67.31 Transferencia de Calor y Masa

Transcripción

1 Índice general 8. Condensación Introducción Repaso de termodinámica Principios de la condensación Condensación en película Régimen laminar Solución analítica Análisis dimensional Limitaciones de la teoría Otras geometrías Transición y turbulencia Condensación en gotas Generalidades

2 67.31 Transferencia de Calor y Masa 2

3 8 Condensación 8.1 Introducción Repaso de termodinámica Recordemos el diagrama de estado de un fluido real como muestra la figura 8.1 Figura 8.1: Diagramas de estado Principios de la condensación Buscaremos dar una descripción cualitativa del fenómeno de condensación de una pared. Establecer los factores que intervienen sobre la determinación del calor transferido durante la condensación de un vapor puro en distintas geometrías. La masa que condensa y los espesores de film del condensado son las cantidades globales que se buscan determinar en la práctica. a partir de estas bases se debe poder comprender y prever fenómenos que ocurren en: a) Condensadores para recolección de agua potable. ; b) Condensación en plantas desalinizadoras; c) Condensación 3

4 67.31 Transferencia de Calor y Masa T( C) presión VS densidad VS -10 2,15 2,36 0 4,58 4,85 5 6,54 6,8 10 9,21 9,4 11 9,84 10, ,52 10, ,23 11, ,99 12, ,79 12, ,54 17, , ,8 30, , ,3 51, ,4 130, ,1 293, , Presión de vapor saturado para un rango de temperaturas. Figura 8.2: Propiedades del vapor saturado. en intercambiadores de calor; d) Condensadores de Turbinas de Vapor. La condensación aparece en un intercambiador de calor cuando un flujo de vapor se expone a una pared que lo enfría hasta que su temperatura es inferior a la temperatura de saturación del vapor (T s ). Si el vapor es puro, la temperatura de saturación corresponde a su presión total. Si es una mezcla (pej vapor de agua en aire), la temperatura corresponde a la presión parcial del vapor. Por ejemplo, el aire al nivel del mar saturado con vapor de agua a 20 C, tiene una presión parcial de 23 mbar. Podemos distinguir dos modos posibles de condensación: en película, si la pared se humedece uniformemente y en gotas cuando la pared no alcanza a cubrirse uniformemente de condensado. la condensación en gotas es el estado que precede a la condensación en película y se caracteriza por tener muy altos coeficientes de transferencia (hasta 10 veces mayores). Las gotas pueden ser evacuadas, por la gravedad y reemplazadas, o bien se puede producir coalescencia, que conduce a la formación de una película. El factor principal que determina la forma de condensar es el mojado de la superficie. El efecto de mojado está relacionado con la acción de la tensión superficial. La tensión superficial distorsiona la superficie del líquido en el punto en el que están en contacto la superficie de condensador, y el vapor de 4

5 Condensación mismo como muestra la figura 8.3: Aparecen entonces tensiones asociadas a la interacción entre las fases sólido líqui- Figura 8.3: Determinación del ángulo de contacto. do (σ wl ), sólido gas[o vapor](σ wg ) y líquido vapor (σ lg ). El estado de equilibrio está determinado por la ecuación: σ wg = σ wl + σ lg cos(θ) (8.1) cos(θ) = (σ wg σ wl )/σ lg (8.2) La condición de mojado se da para θ < 90. La condensación en gotas se producirá si θ > 90, y para ello es necesario que la superficie del condensador (o el vapor) tenga agregados que produzcan el no mojado. Al impedirse la formación de películas, se evita una barrera importante en la transmisión del calor y así se explican los altos coeficientes de transferencia. Sin embargo, las condiciones necesarias para su mantenimiento son de difícil materialización a nivel industrial por lo que centraremos nuestro análisis sobre la condensación en película que desarrollaremos a continuación. 8.2 Condensación en película La condensación se trata de un problema donde aparecen dos fases: el vapor y el líquido como muestra el esquema. de la figura 8.4. Como sucede en el problema de Convección, existirán distintos regímenes de acuerdo a la evolución de los parámetros del problema, aunque destaquemos que intervendrá en la ecuación de la energía un término que dará cuenta del cambio de fase. Para ello, definiremos números adimensionales que nos ayudarán a caracterizarlos Régimen laminar Las hipótesis para el estudio del problema son: 5

6 67.31 Transferencia de Calor y Masa Figura 8.4: Condensación en película. Las fuerzas de inercia que aparecen en la película de condensado son despreciables comparadas con las viscosas y gravitatorias. El calor transmitido por convección y el transmitido en la dirección x son despreciables frente al calor transmitido por conducción en la dirección y. No hay fricción en la interfase vapor-líquido (y = δ). La superficie externa de la película está a una temperatura constante igual a la de saturación del vapor, y la variación de temperatura dentro de la película es lineal. Las propiedades físicas del condensado son independientes de la temperatura. La tensión superficial en la superficie de la película no afecta a la naturaleza del flujo. Las ecuaciones a resolver son las mismas que presentamos en Convección, podemos resumir: 6

7 Condensación a. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento. ρ u t + (u grad )u = ρf v + grad p + ν 2 u (8.3) ρ b. La ecuación de conservación de la energía (estacionaria). La ecuación para la coordenada vertical (x) es: ρc p u T = σ ik u i div (λ T ) (8.4) x k u u x + v u y = 1 ρ p x + g + ν 2 u (8.5) y 2 Las condiciones de borde corresponden a u(y = 0) = 0 no deslizamiento ; v(y = 0) = 0 pared impermeable y u y = 0 tensión de corte nula en la interfase. y=δ La ecuación de conservación de cantidad de movimiento: u x + v u ( y = 1 ρ ) g g + ν 2 u (8.6) ρ f y 2 pues el gradiente de presión p x = ρ gg se expresa en términos de una fuerza de flotación. Por otra parte, el flujo laminar permite despreciar los términos convectivos de la ecuación: term.convec = 0 u u x + v u ( y = 1 ρ ) g g + ν 2 u (8.7) ρ f y 2 Resulta u = u(y, δ), donde δ = δ(x) es el espesor de capa límite local. ( d 2 u dy = 1 ρ ) g g (8.8) 2 ρ f ν Ecuación a la que llega Nusselt en Consideremos a continuación el planteo de la ecuación de conservación de la energía: ρc p u T = σ ik u i div (λ T ) (8.9) x k Nuevamente, cancelamos los términos convectivos. Si despreciamos además el aporte de calor a partir de la fricción interna, frente al flujo de calor: ρc p u T = σ u i ik div (λ T ) (8.10) x k 7

8 67.31 Transferencia de Calor y Masa Resulta la ecuación de Laplace para conducción. Con condiciones de borde 2 T = 0 (8.11) T (y = 0) = T w y T (y = δ) = T s Se obtiene: u = (ρ f ρ g )gδ 2 2µ [ ( y ) ( y ) ] 2 2 δ δ (8.12) T = T w + (T s T w ) y δ (8.13) Para determinar δ, recurrimos a una relación para el caudal: ṁ = δ 0 ρ f udy = ρ f(ρ f ρ g ) gδ 3 (8.14) 3µ Figura 8.5: Condensación en película: Flujo másico y balance energético. 8

9 Condensación Si despreciamos el aporte del calor sensible al flujo de calor total, la expresión del flujo en términos de la variación del caudal másico: q = k T y = k (T s T w dṁ ) = h fg (8.15) y=0 δ dx Sustituyendo ṁ, k (T s T w δ ) = h fgρ f (ρ f ρ g ) gδ 2 dδ µ dx (8.16) Solución analítica [ ] 1/4 4k(Ts T w )µx δ = (8.17) ρ f (ρ f ρ g )gh fg Debido a las fuertes hipótesis, Nusselt y más tarde Rohsenow sugirieron corregir h fg con el parámetro adimensional Ja. El coeficiente de transferencia h para condensación se define según: h q T s T w = [ ] 1 k(ts T w ) = k T s T w δ δ Nu x = hx k = x δ (8.18) [ ρf (ρ f ρ g )gh ] 1/4 fg Nu x = 0,707 x3 (8.19) µk(t s T w ) La solución analítica es válida en algunos casos. Para determinar los límites de la validez, podemos escribir la función para h y los parámetros completos del problema: h = F(C p, ρ f, k, h fg, g(ρ f ρ g ), µ, (T s T w ), x) (8.20) Considerando las dimensiones (Joule [calor], m, kg, s, C) y las 9 variables, surgen 4 números adimensionales: Π 1 = Nu x = hx Π 2 = P r ν k a Π 3 = Ja = C p(t s T w ) Π 4 = ρ f(ρ f ρ g )gh fg x 3 h fg µk(t s T w ) (8.21) (8.22) Así aparece el número de Jakob Ja que compara el calor sensible máximo absorbido respecto del calor latente absorbido. El cuarto número, multiplicado por Ja puede ser entendido como un número de Rayleigh para la película de condensado. 9

10 67.31 Transferencia de Calor y Masa Análisis dimensional Luego, ( ) ρf (ρ f ρ g )gh fg x 3 Nu x = F, P r, Ja µk(t s T w ) (8.23) NuD Π 4 = ρ f (ρ f ρ g )gh fg D 3 µk(t s T w ) Figura 8.6: Correlacion de datos de Dhir para condensación laminar en película, para esferas de cobre en vapor de agua. Se fija P r, y se evalúa en un rango de Π 4 y Ja, con propiedades evaluadas en (T s + T w )/2. En linea sólida, una solución analítica Limitaciones de la teoría Recuperando el resultado: [ ρf (ρ f ρ g )gh fg Nu x = 0,707 x3 µk(t s T w ) ] 1/4 sabemos que Nu x = F (Π 4, P r, Ja) 10

11 Condensación Π 4 es la variable dominante mientras P r no influye al despreciar los términos convectivos en la ecuación de energía, y Ja se usa en la corrección del valor del calor latente. Sparrow y Gregg(1959)(figura 8.7) estudiaron la influencia de P r y el grado de aproximación al representar el aporte de las variaciones con el número de Jakob, Ja, mediante h fg. Funciona razonablemente en líquidos no metales1 Sadasivan y Nux ) 1/4 = ( Π 4 Nux [ ] ρf (ρ f ρg)gh 1/4 fg 0,707 x3 µk(ts Tw) 4 Ja = C p T/h fg (a) Influencia de P r sobre la transferencia de calor T Tw Ts Tx y/δ (b) Perfil de temperaturas en el condensado. Figura 8.7: Ajustes sobre el modelo de Nusselt, Sparrow y Gregg (1959). Lienhard(1987) produjeron una correlación para la corrección del calor latente: h fg = h fg [1 + (0,683 0,228/P r)ja] (8.24) 1 Recordemos P r = ν/a, cuando la difusión térmica es más importante que la difusión viscosa, en metales, P r 1. 11

12 67.31 Transferencia de Calor y Masa Por otra parte, podemos extender el resultado de Nusselt a la longitud de la placa vertical: h = 1 L h(x)dx = 4 L 3 h(l) 0 Entonces: [ ρf (ρ f ρ g )gh ] 1/4 fg Nu L = 0,9428 L3 (8.25) µk(t s T w ) Otras geometrías Dhir y Lienhard(1971) determinaron una expresión que permite adaptar la solución de Nusselt: g eff = x(gr)4/3 x (8.26) 0 g1/3 R 4/3 dx donde x es la distancia a lo largo de la película, g = g(x) la componente de la gravedad proyectada sobre x, y R es el radio de curvatura a lo largo del eje vertical. En geometrías donde R es fijo, puede simplificarse la expresión: g eff = xg4/3 x 0 g1/3 dx (8.27) Puede así extenderse el resultado a otras geometrías: a) Cilindro vertical ; b) Cilindro horizontal ; c) Esfera ; d) Cono vertical ; e) Disco horizontal rotatorio Transición y turbulencia La aparición de inestabilidades hidrodinámicas determinarán un cambio cualitativo del comportamiento. Definiremos un número de Re. Para ello, una forma más usual de designar al caudal por unidad de ancho de película. Se define Re en términos de Γ c : δ Γ c = ρ f udy 0 Γ c = ρ f(ρ f ρ g ) gδ 3 (8.28) 3µ Re c = Γ c µ = ρ f(ρ f ρ g ) 3µ 2 gδ 3 12

13 Condensación Re c determina la aparición de la inestabilidad del film. 2 A partir de Re c 7 aparecen ondulaciones (o ripples). Re c > 400 corresponde al desarrollo de una película turbulenta. Gregorig et al.(1974) mostraron la evolución de Nu L con Re c. Los datos empíricos de la película turbulenta se podrán resumir a partir de correlaciones. (véase Mills, Lienhard, etc.) Figura 8.8: Evolución de Nu L con Re c. 8.3 Condensación en gotas Generalidades La condensación en gotas sucede cuando el condensado no moja la superficie de la pared, y aparecen entonces gotas individuales de condensado sobre la misma. Las gotas se forman abruptamente para luego crecer lentamente en tamaño. La formación se produce a partir de la ruptura espontánea de una muy fina capa de condensado. A medida que la película se forma y crece nuevamente, ésta podrá unirse a las gotas por coalescencia o bien producir nuevas gotas sobre la pared. Mediante este mecanismo, las gotas crecen hasta un tamaño que les permite rodar por las superficie bajo la acción de la gravedad. La película de condensado que permanece entre las gotas tiene espesores típicos del orden del µm (vapor a 1 atm), inferior al espesor de condensación en película. Espesores delgados producen resistencias térmicas bajas, lo cual explica los altos valores del coeficiente de transferencia de calor en condensación en gotas. 2 Análogamente a Capa Lím. en Mec.Fluidos 13

14 67.31 Transferencia de Calor y Masa A pesar del carácter no estacionario del proceso de formación y evacuación de las gotas, sus características pueden ser promediadas a la hora de definir parámetros característicos. De Termodinámica, se sabe que la presión de vapor saturado de equilibrio sobre una superficie convexa es mayor que cuando la superficie es plana. La condensación de vapor sobre una gota esférica de radio R será posible sólo si excede un valor crítico R > R cr. El radio crítico se determina por la ecuación de Thompson 3 : R cr = 2σT s h fg ρ f (T s T sg ) (8.29) donde σ es la tensión superficial, T s es la temperatura de saturación a la presión del vapor y T sg el valor de la temperatura en la superficie de la gota. Se desprende que si se tienen grandes T de subenfriado, respecto de la temperatura de saturación, se pueden conseguir que progresen gotas de menor tamaño para una dada presión de vapor. Si R (superficie plana), T sg T s en el límite (se supone que no hay salto de temperatura en la interfase). Sobre la interfase curvilínea de la gota actúa una presión adicional debida a la tensión superficial acuerdo a la ecuación de Laplace p f = p g + 2σ. Si la tensión superficial varía, aparece un movimiento asociado. En efecto, si la tensión superficial R cambia de un punto a otro, sobre la superficie del líquido actuará, además de la presión dirigida normalmente, una fuerza suplementaria dirigida tangencialmente. Los cambios de tensión superficial se producen, por ejemplo, debido a variaciones en la temperatura y en la curvatura de la interfase, por la presencia de un gradiente de concentración de sustancias activas en la superficie o por acción de fuerzas volumétricas (cargas eléctricas variables) sobre la superficie del líquido. Con el aumento de la temperatura del líquido se produce una reducción de σ. Con una temperatura superficial variable, el movimiento en la dirección de las temperaturas decrecientes puede, por consiguiente, originarse en la capa capilar. Esta clase de movimiento se llama termocapilar. La fuerza inductora del movimiento termocapilar p t se determina de la forma siguiente: p t = σ = σ T sg (8.30) T sg Si llamamos ξ al coeficiente de variación de la tensión superficial con respecto a la temperatura: ξ = 1 σ σ T reescribimos: p t = ξσ T sg (8.31) 3 Una justificación detallada de este resultado se encuentra en la clase de Ebullición. 14

15 Condensación Figura 8.9: Esquema de la formación de una gota a partir de un capilar. El cambio de la presión interna del líquido contenido produce variaciones de la geometría de la superficie libre La figura 8.9 presenta el esquema de un capilar de líquido en la superficie donde se produce la condensación. Se observa que el líquido es adsorbido (fijación superficial) sobre las paredes del capilar. La adsorción progresa y luego la columna de líquido crece dentro del capilar. El hueco se completa y se forma una gota que podrá ser desprendida o bien se unirá al resto y se producirá condensación en película. A lo largo de este proceso, la temperatura varía en la superficie del líquido, y con ello la tensión superficial y el radio de curvatura de la interfase. De la relación de Laplace también observamos que la presión en el líquido varía acompañando al proceso. La figura 8.10 muestra la acumulación de líquido desde la adsorción a la pared. El cambio de la geometría tal como se observa en la figura 8.9 se describe como una relación entre la presión dentro del líquido y la cantidad depositada. Durante la condensación capilar, la presión no cambia al no variar el ángulo entre la superficie y el líquido. El achatamiento del menisco del capilar, que se produce al finalizar el llenado del capilar, es acompañado por un aumento de la presión interna necesaria para establecer la geometría. Dado que el proceso se repite por toda la superficie, teniendo como puntos de partida a poros de distinto tamaño, el cambio de comportamiento se da a distintas presiones (efecto detallado en la figura 8.10 con línea punteada). Por último, si las gotas coalescen, se forma la película de condensación a presión constante. Si la película se desestabiliza, el proceso puede recomenzar. Figura 8.10: Evolución de la condensación sobre una superficie. La línea punteada representa la evolución de todos los núcleos de condensación de la superficie. 15