Apellidos Nombre DNI / NIE Centro de examen PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

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1 CALIFICACIÓN: PRUEBAS DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR DE FORMACIÓN PROFESIONAL SEPTIEMBRE DE 2012 Resolución de 27 de abril de 2012 (DOCM de 30 de abril) Instrucciones Generales PARTE COMÚN MATERIA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS - Duración del ejercicio: 2 horas (desde las 12 hasta las 14 horas) - Mantenga su DNI en lugar visible durante la realización de la prueba. - Realice el ejercicio en las hojas de respuestas entregadas al final de este documento y entregue este cuadernillo completo al finalizar la prueba. - Lea detenidamente los textos, cuestiones o enunciados. - Cuide la presentación y, una vez terminada la prueba, revísela antes de entregarla. - Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora no programable. Criterios de calificación - El aspirante debe realizar cuatro ejercicios de los seis propuestos. - Si el aspirante realiza más de cuatro ejercicios, sólo se calificarán los cuatro primeros realizados. - Esta prueba se calificará numéricamente entre 0 y 10 puntos, en función de los siguientes criterios: - Todos los ejercicios tienen una puntuación de 2,5 puntos, distribuidos de la siguiente manera: Ejercicio 1.. a) 0,625 puntos. b) 0,625 puntos. c) puntos. d) puntos. Ejercicio 2.. 2,5 puntos. Ejercicio 3.. a) 0,625 puntos. b) 0,625 puntos. c) puntos. d) puntos. Ejercicio 4.. a) 0 9 puntos. b) 0,9 puntos. c) 0,7 puntos. Ejercicio 5.. 2,5 puntos. Ejercicio 6.. 2,5 puntos. - Se valorará el orden, la limpieza y la claridad en la presentación. - Se valorará el orden y el rigor en el planteamiento y el uso correcto del lenguaje matemático. - Se valorará la discusión de las soluciones si fuera preciso. - Se valorarán negativamente los errores conceptuales. La nota de la parte común será la media aritmética de las calificaciones obtenidas en cada una de las materias de las que consta, siempre que se obtenga, al menos, una calificación de cuatro puntos en cada una de ellas. Esta nota media de la parte común deberá ser igual o superior a cuatro puntos para que haga media con la parte específica.

2 Ejercicio 1 EJERCICIOS En la factura de la luz se paga una parte fija de 3 y se paga a 1 5 el kw de consumo. a) Cuánto pagaré por 4 kw de consumo?, y por 10 kw? b) Halla la función coste-kw consumidos. c) Si pagamos 25, cuánto habremos consumido? d) Representa la gráfica de la función correspondiente al problema. Ejercicio 2 Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 y un total de Si el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 20, averigua cuántos billetes hay de cada tipo. Ejercicio 3 En una residencia hay 200 ancianos. De entre ellos, 80 son fumadores y 78 están enfermos de los pulmones. Hay 48 que están enfermos de los pulmones y, además, fuman. Acaba de rellenar la siguiente tabla y contesta: Enfermos No enfermos TOTAL Fumadores No fumadores TOTAL a) Cuántos enfermos hay de los pulmones y que no fumen? b) Cuántos fumadores no están enfermos? c) Elegida una persona al azar y sabiendo que fuma, cuál es la probabilidad de estar enfermo? d) Elegida una persona al azar y sabiendo que no está enferma, cuál es la probabilidad de que fume? 2

3 Ejercicio 4 Lanzamos dos dados, sumamos las puntuaciones y anotamos los resultados. Repetimos la experiencia 30 veces: 11, 8, 9, 9, 3, 4, 11, 7, 7, 8, 7, 5, 6, 4, 4, 7, 10, 2, 6, 10, 7, 7, 6, 2, 8, 7, 5, 8, 6, 9 a) Confecciona una tabla de frecuencias. b) Calcula los siguientes parámetros estadísticos: Media aritmética. Moda. Mediana. Varianza Desviación típica. Ejercicio 5 Una empresa reparte una gratificación de euros entre tres de sus trabajadores en forma directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa, que son, 12, 15 y 18 años, respectivamente. Halla cuánto dinero le corresponderá a cada trabajador. Ejercicio 6 Para medir la altura de una torre, nos situamos en un cierto punto y medimos el ángulo con el que se ve la parte más alta, obteniendo un valor de 60º 20. Nos alejamos en línea recta 50 m. y volvemos a medir el ángulo, obteniendo ahora un valor de 32º 11. Halla la altura de la torre. 3

4 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA P.G.S. SEPTIEMBRE 2012 Ejercicio 1 En la factura de la luz se paga una parte fija de 3 y se paga a 1 5 el kw de consumo. a) Cuánto pagaré por 4 kw de consumo?, y por 10 kw? b) Halla la función coste-kw consumidos. c) Si pagamos 25, cuánto habremos consumido? d) Representa la gráfica de la función correspondiente al problema. Solución. a) Cuánto pagaré por 4 kw de consumo?, y por 10 kw? Para calcular cuánto pagará por 4 kw de consumo hacemos los siguientes cálculos combinados: = = 9 Por lo tanto, pagará 9 por 4 kw consumidos. Para calcular cuánto pagará por 10 kw de consumo hacemos los siguientes cálculos combinados, similares a los anteriores pero aplicando ahora 10 kw, = = 18 Por lo tanto, pagará 18 por 10 kw consumidos. b) Halla la función coste-kw consumidos. Llamamos x a la variable kw consumidos e y al coste en euros. En tal caso, la función pedida viene determinada por: y = x Por lo tanto, la función pedida es y = x con x 0. 4

5 c) Si pagamos 25, cuánto habremos consumido? Resolvemos la ecuación, x = 25 Por lo tanto, habremos consumido para pagar 25. d) Representa la gráfica de la función correspondiente al problema. La gráfica de la función correspondiente corresponde a una recta que la podemos representar a partir de la expresión algebraica del apartado b) y = x Para hacer la gráfica de la función hacemos una tabla de valores dando abcisas aleatorias no negativas: x y= x = = = = = = = = = = = = = = 21 En cuyo caso, la gráfica vendrá esbozada mediante la siguiente representación: 5

6 Ejercicio 2 Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 y un total de Si el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 20, averigua cuántos billetes hay de cada tipo. Solución. Nombramos con las siguientes letras al número de billetes de cada tipo: x al número de billetes de 10 ; y al número de billetes de 20 ; z al número de billetes de 50. En tal caso, las siguientes afirmaciones se pueden llegar a expresar algebraicamente del siguiente modo: contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 x + y + z = 95 y un total de x + 20y + 50z = 2000 el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 20 Por lo tanto, debemos resolver el siguiente sistema: x = 2y Que podemos simplificar mediante: Aplicamos el método de Gauss haciendo ceros: Procedemos a despejar: 6

7 Concluimos que hay en el cajero 50 billetes de 10, 25 billetes de 20 y 20 billetes de 50. Ejercicio 3 En una residencia hay 200 ancianos. De entre ellos, 80 son fumadores y 78 están enfermos de los pulmones. Hay 48 que están enfermos de los pulmones y, además, fuman. Acaba de rellenar la siguiente tabla y contesta: Enfermos No enfermos TOTAL Fumadores No fumadores TOTAL a) Cuántos enfermos hay de los pulmones y que no fumen? b) Cuántos fumadores no están enfermos? c) Elegida una persona al azar y sabiendo que fuma, cuál es la probabilidad de estar enfermo? d) Elegida una persona al azar y sabiendo que no está enferma, cuál es la probabilidad de que fume? Solución. La tabla se puede terminar de rellenar del siguiente modo: La tabla completa quedará como sigue No fumadores y enfermos = = 30 Fumadores y no enfermos = = 32 No enfermos = = 122 No fumadores = = 120 No fumadores y no enfermos = = 90 Enfermos No enfermos TOTAL Fumadores No fumadores TOTAL

8 a) Cuántos enfermos hay de los pulmones y que no fumen? Se ha efectuado anteriormente: No fumadores y enfermos = = 30 Por lo tanto, hay 30 enfermos de los pulmones y que no fuman. b) Cuántos fumadores no están enfermos? Se ha efectuado anteriormente: Fumadores y no enfermos = = 32 Por lo tanto, hay 32 fumadores que no están enfermos. c) Elegida una persona al azar y sabiendo que fuma, cuál es la probabilidad de estar enfermo? Sea el suceso A = Fuma y el suceso B = Estar enfermo La probabilidad pedida es una probabilidad condicionada que se resuelve según: Por lo tanto, habrá una probabilidad 0 6 de que elegido un anciano al azar y sabiendo que fuma, esté enfermo. d) Elegida una persona al azar y sabiendo que no está enferma, cuál es la probabilidad de que fume? Sea el suceso A = No está enfermo y el suceso B = Fumar La probabilidad pedida es una probabilidad condicionada que se resuelve según: Por lo tanto, habrá una probabilidad 0 26 aproximadamente de que elegido un anciano al azar y sabiendo que no está enfermo, fume. 8

9 Ejercicio 4 Lanzamos dos dados, sumamos las puntuaciones y anotamos los resultados. Repetimos la experiencia 30 veces: 11, 8, 9, 9, 3, 4, 11, 7, 7, 8, 7, 5, 6, 4, 4, 7, 10, 2, 6, 10, 7, 7, 6, 2, 8, 7, 5, 8, 6, 9 a) Confecciona una tabla de frecuencias. b) Calcula los siguientes parámetros estadísticos: Media aritmética. Moda. Mediana. Varianza Desviación típica. Solución. a) Confecciona una tabla de frecuencias. La tabla de frecuencias es la siguiente: x n f % N F 2 2 2/30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % 30 1 Total % 9

10 b) Calcula los siguientes parámetros estadísticos: Para calcular con corrección los parámetros que nos piden ampliamos la tabla anterior y nos basamos en ella para llegar al valor de los parámetros que se nos solicitan: x n F % N F x n x 2 n 2 2 2/30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % /30 = % Total % Media aritmética. Moda. Es el valor que más se repite (que más frecuencia absoluta tiene). Md = 7 Mediana. Es el valor que queda en el centro de la muestra después de ser ordenada. En nuestro caso, como el tamaño muestral es par, debemos hacer la media aritmética de los dos datos que quedan en el centro de la muestra. Varianza Desviación típica. 10

11 Ejercicio 5 Una empresa reparte una gratificación de euros entre tres de sus trabajadores en forma directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa, que son, 12, 15 y 18 años, respectivamente. Halla cuánto dinero le corresponderá a cada trabajador. Solución. Se trata de un reparto directamente proporcional. La gratificación total debe hacerse corresponder a la suma de los años de todos, = 45. En tal caso, El trabajador con 12 años de antigüedad en el puesto obtendrá: Años trabajados Gratificación 45 años años X Por lo tanto, al trabajador con 12 años de antigüedad en el puesto le corresponden de gratificación. El trabajador con 15 años de antigüedad en el puesto obtendrá: Años trabajados Gratificación 45 años años X Observamos que, al trabajador con 15 años de antigüedad en el puesto le corresponden de gratificación. El trabajador con 18 años de antigüedad en el puesto obtendrá: = En conclusión, al trabajador con 18 años de antigüedad en el puesto le corresponden de gratificación. 11

12 Ejercicio 6 Para medir la altura de una torre, nos situamos en un cierto punto y medimos el ángulo con el que se ve la parte más alta, obteniendo un valor de 60º 20. Nos alejamos en línea recta 50 m. y volvemos a medir el ángulo, obteniendo ahora un valor de 32º 11. Halla la altura de la torre. Solución. Llamamos x a la distancia entre el punto de primera medición y la base de la torre. Por otra parte, llamamos h a la altura de la torre. La representación adjunta ilustra la situación planteada: Aplicando la razón tangente sobre cada ángulo, tendremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por el método de igualación: h tg 60º 20 x h tg 32º 11 x 50 h x tg 60º 20 x tg h ( x 50) tg 32º 11 x tg 60º 20 x tg 32º tg 32º 11 60º 20 ( x 50) tg 32º 11 60º 20 x tg 32º tg 32º 11 x tg tg º 20 tg 32º tg 32º tg 32º 11 60º 20 tg 32º 11 x 60 x m tg Por lo tanto, el punto donde se toma la primera observación está situado a m de la torre. La altura de la torre será: h = x tg(60º20 ) = tg(60º20 ) = m 12