APLICACIONES INFORMÁTICAS: Geogebra y hoja de cálculo

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1 APLICACIONES INFORMÁTICAS: Geogebra y hoja de cálculo LibrosMareaVerde.tk *** Revisor: ***

2 2 Índice 1. PRIMEROS PASOS CON GEOGEBRA 1.1. LA VENTANA DE GEOGEBRA 1.2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 1.3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 1.4. ÁNGULOS 2. GEOGEBRA PARA 1º Y 2º DE ESO 2.1. POLÍGONOS 2.2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO 2.3. SEMEJANZA 2.4. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO 3. GEOGEBRA PARA 3º Y 4º DE ESO 3.1. MOVIMIENTOS EN EL PLANO 3.2. GRÁFICAS DE FUNCIONES CON GEOGEBRA 3.3. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS 3.4. LA PROPORCIÓN ÁUREA 3.5. APLICACIÓN INFORMÁTICA PARA COMPRENDER LA SEMEJANZA 4. GEOGEBRA PARA BACHILLERATO 4.1. LAS CÓNICAS 4.2. OTROS LUGARES GEOMÉTRICOS. CICLOIDES, EPICICLOIDES E HIPOCICLOIDES 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5. PRIMEROS PASOS CON LA HOJA DE CÁLCULO 5.1. LA VENTANA DE UNA HOJA DE CÁLCULO 5.2. OPERACIONES GENERALES 5.3. CÁLCULO DE LA LETRA DEL NIF 6. HOJA DE CÁLCULO PARA 1º Y 2º DE ESO 6.1. NÚMERO PERFECTO 6.2. NÚMEROS AMIGOS 6.3. CONSTRUCCIÓN DE NÚMEROS PERFECTOS. NÚMEROS PRIMOS 6.4. EL ORDENADOR Y LA ESTADÍSTICA EN 1º DE ESO 6.5. EL ORDENADOR Y LA ESTADÍSTICA EN 2º ESO 7. HOJA DE CÁLCULO PARA 3º Y 4º DE ESO 7.1. ALGORITMO DE EUCLIDES 7.2. LOS NÚMEROS IRRACIONALES. LÍMITE DE SUCESIONES 7.3. INTERÉS COMPUESTO 7.4. SISTEMAS LINEALES 7.5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS 7.6. ESTADÍSTICA. PARÁMETROS 8. HOJA DE CÁLCULO PARA BACHILLERATO 8.1. EL NÚMERO e COMO LÍMITE DE UNA SUCESIÓN 8.2. LOS NÚMEROS IRRACIONALES. MÉTODO DE MONTECARLO 8.3. LA CATENARIA : GEOGEBRA

3 3 senx 8.4. CÁLCULO DEL VALOR APROXIMADO DE. x 8.5. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES 8.6. CÁLCULO DE SOLUCIONES APROXIMADAS Resumen El alumnado de hoy en día no se corresponde ya con los de decenios anteriores. Ahora mismo nuestros estudiantes serán lo que se podría llamar nativos digitales (individuos que han crecido inmersos en la tecnología digital), y que tendrán por maestros a los llamados inmigrantes digitales (personas que nos hemos adaptado a la tecnología, pero con ciertas dificultades). El sistema educativo prevé la necesidad de cambios profundos en el aula, y las posibilidades didácticas de la integración de las herramientas informáticas en las clases, como un recurso cotidiano en el aula de matemáticas. Ir al aula de informática o de audiovisuales resulta, en la mayoría de los casos, muy complicado y estresante para el profesorado, ya que allí pueden darse múltiples incidencias: hay que buscar cuándo está libre, programar la actividad con mucho tiempo, sin modificación temporal, dedicar toda la clase a trabajar con ese medio, y sin poder continuar al día siguiente si no estaba previsto,, además de los problemas técnicos que pueden surgir en un aula de informática (no funciona Internet, el ordenador o el vídeo, programas que dejan de funcionar, cables que se aflojan, programas que no funcionan ), y sin que haya un experto informático que pueda arreglar en un tiempo razonable esas incidencias. Una propuesta de Marea Verde de Matemáticas es la de tener un aula taller de matemáticas (del mismo modo que tenemos aulas de tecnología, de música, laboratorios, gimnasio, ). También se podría llamar Laboratorio de Matemáticas. En éste aula debería estar instalada una Pizarra Digital interactiva con ordenador, proyector y conexión a Internet (además de materiales manipulables y fotocopiables, libros, etc.). En éste aula también debería haber algunos ordenadores portátiles, que podrían ser del centro o del alumnado. Hemos propuesto actividades para secundaria (ESO y Bachillerato) en Geogebra y en hoja de cálculo. Este software tiene la ventaja de ser gratuito y poder instalarse en cualquier ordenador de casa (no ocupan mucho espacio), pues para los estudiantes serán asistentes de uso habitual para resolver problemas matemáticos. : GEOGEBRA

4 4 1. PRIMEROS PASOS CON GEOGEBRA Esta actividad está orientada al aprendizaje de las reglas básicas para manejar el programa Geogebra. Se describen los elementos básicos del programa que se utilizan para realizar construcciones sencillas y estudiar relaciones entre ángulos La ventana de Geogebra Al ejecutar el programa Geogebra la ventana que aparece tiene muchos componentes comunes con cualquier ventana de Windows. El elemento más característico de este programa es la barra de herramientas en la que aparecen iconos. Cada uno de ellos se activa al hacer clic con el ratón sobre él y se desactiva cuando se selecciona otro. Estos primeros iconos que aparecen se corresponden con la primera opción que encontramos en el menú desplegable que se obtiene al mantener pulsado el ratón sobre cada uno de ellos. Otra particularidad es que el área de trabajo está dividida en dos partes la ventana geométrica, donde se realizan las construcciones geométricas, y la ventana algebraica en la que aparecen características de los elementos que se construyen en la ventana geométrica como son las coordenadas de los puntos, las longitudes de los segmentos, el área de los polígonos, las ecuaciones de rectas, circunferencias,. También se pueden realizar operaciones introduciendo los números o el nombre de los elementos en el Campo de Entrada que se encuentra en la parte inferior de la ventana, los resultados aparecen en la ventana algebraica. Con las opciones de Visualiza de la barra de menús se puede ocultar o mostrar, la ventana algebraica, el campo de entrada así como los ejes y la cuadrícula de la ventana geométrica. Los iconos Deshace y Rehace que se encuentran en la parte superior derecha de la ventana geométrica y como opciones del menú Edita permiten eliminar o volver a mostrar una acción realizada. El menú contextual, el que se obtiene al hacer clic con el botón derecho del ratón sobre el objeto de la ventana geométrica o de la algebraica, tiene múltiples posibilidades, permite entre otras funciones borrar, ocultar, cambiar el nombre y modificar la apariencia de los objetos construidos. : GEOGEBRA

5 Elementos geométricos Actividades resueltas Antes de comenzar comprueba en la opción del menú Visualiza que está activada la ventana algebraica y desactiva ejes y cuadrícula. Con la herramienta Nuevo punto dibuja un punto en la ventana geométrica, el sistema lo denomina A y sus coordenadas aparecen en la ventana algebraica, en la carpeta de los objetos libres. Dibuja otro punto B y con la herramienta Segmento entre dos puntos traza el segmento, a, que pasa por los puntos A y B. En la ventana algebraica aparece la longitud del segmento en la carpeta de objetos dependientes. Dibuja otro punto C, que no pertenezca al segmento, y con la herramienta Recta que pasa por 2 puntos traza la recta, b, que pasa por A y C. Activa la herramienta Ángulo y señala con el ratón los puntos B, A y C, obtienes la medida del ángulo que has señalado. El orden para señalar los puntos B y C debe ser el contrario al de las agujas del reloj Rectas paralelas y perpendiculares Actividades resueltas Con la herramienta Recta paralela traza una recta, c, que pasa por el punto B y es paralela a la recta b que pasa por los puntos A y C. Utiliza la herramienta Recta perpendicular para trazar una recta, d, que pasa por el punto B y es perpendicular a la recta b. Calcula la medida del ángulo que forman las rectas b y d. Con la herramienta Desplaza, la primera de la barra de herramientas, agarra el punto B y cambia su posición, observa de qué forma cambian sus coordenadas y la longitud del segmento. Con la herramienta Desplaza, mueve los puntos A, B y C y observa que cambian de posición pero se mantienen las propiedades geométricas de la construcción, por ejemplo, las rectas b y c permanecen paralelas entre sí y perpendiculares a la recta d. : GEOGEBRA

6 Ángulos Actividades resueltas Abre una nueva ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva Ejes y Cuadricula Determina tres puntos A, B y C, no alineados, la recta, a, que pasa por A y B y la recta, b, que pasa por los puntos A y C. Traza la recta paralela, c, que pasa por B y es paralela a la recta a. Calcula la medida del ángulo, α, que determinan los puntos B, A y C, señalando los puntos B y C en orden contrario al sentido de las agujas del reloj. Elige un punto D de la recta a y otro E de la recta b para determinar y medir un ángulo, β, opuesto por el vértice al ángulo α. Determina y mide un ángulo γ tal que los ángulos α y γ sean correspondientes entre paralelas y con la opción propiedades del menú contextual cambia su color. Determina y mide un ángulo δ tal que los ángulos α y δ sean alternos internos entre paralelas y con la opción propiedades del menú contextual cambia su color. Con la herramienta Desplaza, mueve los puntos A, B y C y observa que cambian de posición pero los ángulos α, β, γ y δ miden lo mismo. Indica dos ángulos de los que has dibujados que sean alternos externos entre paralelas. Actividades propuestas 1. Repite la actividad resuelta de elementos geométricos. Colócate encima del segmento a, aprieta el botón derecho, entra en Propiedades y modifica el color, haz que sea rojo. Lo mismo con la recta b, pero ahora coloréala en azul. Mueve el punto B para observar cómo se modifican las longitudes y el ángulo. 2. Dibuja los rectas paralelas cortadas por una secante y mide todos los ángulos que se formen. 3. Dibuja dos ángulos con lados paralelos y comprueba que miden lo mismo. 4..Dibuja dos ángulos con lados perpendiculares y comprueba que miden lo mismo. 5. Dibuja dos ángulos que sean complementarios y dos que sean suplementarios. En el Proyecto Gauss: puedes encontrar muchas actividades para GeoGebra. Otras de autores de Marea Verde en: : GEOGEBRA

7 7 2. GEOGEBRA PARA 1º Y 2º DE ESO 2.1. Polígonos En esta actividad se construyen cuadriláteros y triángulos, fijado el valor de su área, con el programa Geogebra. Para realizar estas construcciones es necesario conocer las clasificaciones de estos polígonos y las fórmulas para calcular sus áreas. Paralelogramos Actividades resueltas Construye un cuadrado de área 4 u 2. Antes de comenzar comprueba en la opción del menú Visualiza que está activada la ventana algebraica y la cuadrícula y desactiva los ejes. Para que en la ventana geométrica no aparezcan los nombres de los elementos que vas a dibujar, en Rotulado del menú Opciones activa Obviando nuevos puntos. Se trata de construir paralelogramos de área dada, por ejemplo 4 u 2. Empieza dibujando un cuadrado de lado 2 u. Con la herramienta Nuevo punto determina dos puntos en la ventana geométrica en puntos de la cuadrícula que sean vértices consecutivos del cuadrado de lado 2 u. Utiliza Polígono regular, señalando los puntos anteriores, para dibujar un cuadrado. Comprueba en la ventana algebraica que el polígono dibujado tiene de área 4 u 2. Construye un romboide de área 4 u 2. Determina cuatro puntos para dibujar con Polígono un paralelogramo de base 2 u y altura 2 u. Comprueba que el valor del área del polígono es 4 u 2 y comprueba que el paralelogramo que has dibujado no es un rombo sino un romboide, midiendo el ángulo que forman sus diagonales: Traza las diagonales con Segmento entre dos puntos. Determina su punto de intersección Calcula el ángulo que forman. Construye un rectángulo de área 4 u 2. Utiliza la herramienta polígono para construir un rectángulo de área 4 u 2. Construye un rombo de área 4 u 2. Para construir un rombo de área 4 u 2, dibuja primero sus diagonales perpendiculares con la condición de que el producto de sus medidas sea 8 u, por ejemplo, una puede medir 2 u y otra 4 u. Dibuja con polígono el rombo y comprueba en la ventana algebraica el valor de su área. Actividades propuestas 6. Construye un cuadrado, un rectángulo, un romboide y un rombo de área 9 u 2. : GEOGEBRA

8 8 Trapecios Actividades resueltas Construye tres trapecios, uno rectángulo, otro isósceles y otro escaleno de área 6 u 2. Abre una nueva ventana de Geogebra y comprueba en la opción del menú Visualiza que está activada la ventana algebraica y la cuadrícula y desactiva los ejes. Para que en la ventana geométrica no aparezcan los nombres de los elementos que vas a dibujar, en Rotulado del menú Opciones activa Obviando nuevos puntos. Las bases de todos los trapecios las vamos a tomar de 2 u y de 4 u, y la altura de 2 u. Por tanto todas las áreas miden 6 u 2. Observa la figura. Para dibujar el trapecio escaleno utiliza la herramienta Segmento dados su longitud y punto extremo inicial Comprueba en la ventana algebraica que el valor del área de los tres trapecios que has dibujado es 6 u 2. Triángulos Abre una nueva ventana de Geogebra y comprueba en la opción del menú Visualiza que está activada la ventana algebraica y la cuadrícula y desactiva los ejes. Para que en la ventana geométrica no aparezcan los nombres de los elementos que vas a dibujar, en Rotulado del menú Opciones activa Obviando nuevos puntos. Actividades resueltas Dibuja tres triángulos, uno rectángulo, otro acutángulo y el tercero obtusángulo, de área 3 u 2. Elige, por ejemplo, 2 u para la base y 3 u para la altura. Determina primero los vértices con la herramienta Nuevo punto y después dibuja los triángulos con la herramienta Polígono. Utiliza la herramienta Ángulo para medir los ángulos necesarios para comprobar que el primero es rectángulo, el segundo acutángulo y el tercero obtusángulo. : GEOGEBRA

9 9 Dibuja tres triángulos, uno isósceles, otro escaleno y el tercero equilátero, de área 4 u 2. Para dibujar el triángulo isósceles y el triángulo escaleno puedes elegir, por ejemplo, 2 u para la base y 4 u para la altura. Determina primero los 6 vértices con la herramienta Nuevo punto y después dibuja los dos triángulos con la herramienta Polígono. Para dibujar el triángulo equilátero, determina dos puntos cualesquiera del plano y con Polígono regular construye el triángulo equilátero que tiene por vértices estos dos puntos. Con la herramienta Desplaza modifica la posición de uno de los puntos libres del triángulo equilátero hasta conseguir que el valor del área, que aparece en la ventana algebraica, sea lo más próximo posible a 4 u 2. Utiliza la opción Expone rótulo, del menú contextual, para nombrar los lados de los triángulos y a partir de sus medidas en la ventana algebraica comprueba que las construcciones están bien realizadas. Para mejorar la aproximación de las medidas de los lados de los triángulos, en el menú Opciones, aumenta las Posiciones decimales a 5. Actividades propuestas 7. Dibuja un trapecio escaleno de área 3 u Construye un rombo, que no sea un cuadrado, de lado 2 u. 9. Dibuja un triángulo escaleno cuya base mide 3 u y el valor de su área es 3 u 2. : GEOGEBRA

10 La circunferencia y el círculo En esta actividad se utiliza el programa Geogebra para estudiar la relación entre los ángulos centrales e inscritos en una circunferencia con el mismo arco. Se profundiza en el concepto de longitud de la circunferencia y área del círculo calculando la razón entre la medida de la longitud de la circunferencia y la del radio así como la razón entre la medida del área del círculo y la del cuadrado del radio. También se trazan polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia. Ángulos centrales y ángulos inscritos Actividades resueltas Comprueba la relación entre un ángulo inscrito en la circunferencia y el central que abarca el mismo arco. En el menú Visualiza desactiva los ejes y la cuadrícula y para que sólo aparezcan los nombres de los puntos, en la opción Rotulado del menú Opciones activa Nuevos puntos exclusivamente. Define un Nuevo punto A y otro que, con el menú contextual, llamarás O. Traza, con Circunferencia por centro y punto que cruza, la que tiene centro en O y pasa por A. Determina dos nuevos puntos B y C de dicha circunferencia y traza los segmentos AB, BC, AO y OC. Utiliza Ángulo para calcular las medidas los ángulos ABC y AOC. Estos ángulos aparecen en la ventana algebraica como α y β. Calcula en la línea de Entrada el cociente β / α, que aparece en la ventana algebraica como f = 2. Desplaza el punto B por la circunferencia. Observa que no cambia la medida de los ángulos. Desplaza el punto A. Observa que pueden cambiar las medidas de los ángulos pero la razón entre ellas se mantiene constante. : GEOGEBRA

11 11 Longitud de la circunferencia y área del círculo. Actividades resueltas Comprueba la relación entre la longitud de la circunferencia y su radio. Abre una nueva ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva Ejes y Cuadricula Define un Nuevo punto A y otro que, con el menú contextual, llamarás O y dibuja la circunferencia, c, con centro en O que pasa por A y el segmento OA. Utiliza la herramienta Distancia para medir la longitud de la circunferencia, PeriCónica; y el segmento OA, que es su radio y se denomina a. Calcula en la línea de Entrada el cociente PeriCónica[c]/a, que aparece en la ventana algebraica como b = 6,28. Elige en el menú Opciones, 5 Posiciones decimales. El cociente b aparece como b = 6,28319, una aproximación del número 2π. Desplaza el punto A. y observa que aunque cambian las medidas de la longitud de la circunferencia y del radio el cociente b permanece constante. Comprueba la relación entre el área del círculo y su radio. Activa la herramienta Área para calcular la medida de la superficie del círculo. Calcula en la línea de Entrada el cociente Area[c]/a^2, que aparece en la ventana algebraica como d = 3,14159, una aproximación del número π. Desplaza el punto A. y observa que aunque cambian las medidas del área del círculo y del radio el cociente d permanece constante. Cuadrado inscrito en una circunferencia Actividades resueltas Dibuja un cuadrado inscrito en una circunferencia. Abre una nueva ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva Ejes y Cuadricula y para que sólo aparezcan los nombres de los puntos, en la opción Rotulado del menú Opciones activa Nuevos puntos exclusivamente. Define un Nuevo punto A y otro que, con el menú contextual, llamarás O y dibuja la circunferencia, con centro en O que pasa por A y el segmento OA. Traza la recta perpendicular al segmento OA que pasa por el punto O y define como B un punto de intersección de esta recta con la circunferencia. Activa polígono regular para dibujar el cuadrado que pasa por los : GEOGEBRA

12 12 puntos A y B, inscrito en la circunferencia. Utiliza Desplaza para mover el punto A, modifica el tamaño de la circunferencia para así comprobar que la construcción está bien hecha y el cuadrado permanece inscrito en la circunferencia. Cuadrado circunscrito a una circunferencia. Actividades resueltas Dibuja un cuadrado circunscrito en una circunferencia. En la misma ventana y con la figura anterior: Traza la recta perpendicular al segmento OA que pasan por A y las rectas paralelas al segmento OA que pasan por B y D. Denomina E, F a los puntos de intersección de estas rectas. Activa polígono regular para dibujar el cuadrado que pasa por los puntos E, F y está circunscrito a la circunferencia. Obtienes el cuadrado EFGH. Utiliza la opción Propiedades del menú contextual, para que con Estilo aparezcan discontinuas las rectas auxiliares y con color diferenciar el cuadrado inscrito y el circunscrito. Modifica el tamaño de la circunferencia para comprobar que la construcción está bien hecha y el cuadrado permanece circunscrito a la circunferencia. Actividades propuestas 10. Dibuja la circunferencia que tiene su centro en un punto O y es tangente a una recta r. 11. Dibuja la circunferencia que pasa por dos puntos A y B y tiene su centro en una recta r. 12. Dibuja un octógono regular inscrito y otro circunscrito a una circunferencia. Modifica la apariencia de la construcción punteando los elementos auxiliares y dibujando los dos polígonos con distinto color. 13. Dibuja un hexágono regular inscrito y otro circunscrito a una circunferencia. Modifica la apariencia de la construcción punteando los elementos auxiliares y dibujando los dos polígonos con distinto color. : GEOGEBRA

13 Semejanza Polígonos semejantes En esta actividad se utiliza el programa Geogebra para dibujar polígonos semejantes, estudiar las propiedades que los caracterizan y calcular la razón entre sus áreas en función de la razón de semejanza. Cuadriláteros: Actividades resueltas Comprueba que todos los cuadrados son semejantes. Abre el programa Geogebra y en Visualiza activa Ejes y la Cuadrícula para que sea más fácil definir puntos. Con la herramienta Nuevo Punto define los puntos A (1, 1), B (2, 1), C (2, 2) y D (1, 2). Utiliza Polígono para dibujar el cuadrado ABCD. Define un Nuevo Punto de coordenadas (2, 1), el programa lo llama E, con el botón derecho del ratón y la opción Renombra, llámalo O. Utiliza la herramienta Dilata objeto desde punto indicado, según factor, para dilatar el polígono ABCD desde el punto O, con factor 2. Se obtiene el cuadrado A B C D, de lado 2 unidades. Dos cuadrados son siempre semejantes, observa en la Ventana algebraica las longitudes de sus lados y los valores de sus áreas. Cuál es la razón de semejanza? Cuál es la razón entre las áreas? Utiliza la herramienta Dilata objeto desde punto indicado, según factor, para dilatar el polígono ABCD desde el punto O, con factor 3. Se obtiene el cuadrado A 1 B 1 C 1 D 1, de lado 3 unidades. 14. Compara en la Ventana algebraica la longitud del lado del cuadrado ABCD con la del cuadrado A 1 B 1 C 1 D 1, Cuál es la razón de semejanza? Cuál es la razón entre las áreas? 15. Calcula también la razón de semejanza entre el cuadrado A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1, y la razón entre sus áreas. : GEOGEBRA

14 14 Analiza la semejanza en otros cuadriláteros. Desplaza con el puntero el punto C, de modo que el cuadrado ABCD tome distintas formas de cuadrilátero. 16. Justifica que los cuadriláteros A B C D y A 1 B 1 C 1 D 1, son semejantes a ABCD. 17. Calcula la razón de semejanza entre dos de ellos y la razón entre sus áreas. 18. Busca una relación entre la razón de semejanza y la razón entre las áreas de dos cuadriláteros semejantes. Actividades resueltas Triángulos: Analiza la semejanza entre triángulos. Abre una nueva ventana de Geogebra, comprueba que aparecen los Ejes y la Cuadrícula. Con la herramienta Nuevo Punto define los puntos A (1, 2), B (2, 1) y C (4, 2). Utiliza Polígono para dibujar el triángulo ABC. Define un Nuevo Punto de coordenadas (1, 1), el programa lo llama D. Con el botón derecho del ratón y la opción Renombra, llámalo O. Utiliza la herramienta Dilata objeto desde punto indicado, según factor, para dilatar el polígono ABC desde el punto O, con factor 2. Se obtiene el triángulo A B C. Con la herramienta Refleja objeto en recta, dibuja el simétrico del triángulo A B C con respecto al segmento a del triángulo ABC. Se obtiene el triángulo A B C. Selecciona el polígono A B C en la Ventana algebraica o en el área de trabajo, y con el botón derecho del ratón desactiva la opción Expone objeto, el triángulo A B C queda oculto. Observa que puedes volver a visualizar activando esta opción. Oculta de la misma forma los puntos A, B y C. Para que las medidas aparezcan con 5 decimales, activa Posiciones decimales en el menú Opciones y elige Por qué son semejantes los triángulos ABC y A B C? Observa en la Ventana algebraica las longitudes de sus lados y los valores de sus áreas. Cuál es la razón de semejanza? Cuál es la razón entre las áreas? : GEOGEBRA

15 15 Desplaza con el puntero el punto C, de modo que el triángulo ABC siga siendo un triángulo. 20. Justifica que los triángulos ABC y A B C son semejantes. Calcula la razón de semejanza y la razón entre sus áreas. Busca una relación entre la razón de semejanza y la razón entre las áreas de dos triángulos semejantes. Actividades propuestas 21. Dibuja distintos pentágonos y hexágonos que no sean regulares y con la herramienta Dilata objeto desde punto indicado, según factor, construye otros semejantes. a) Argumenta por qué son semejantes. b) Calcula en cada caso la razón de semejanza y la razón entre sus áreas. c) Investiga cómo puedes hallar la razón entre las áreas de polígonos semejantes a partir de la razón de semejanza. : GEOGEBRA

16 Puntos y rectas notables en un triángulo Puntos de un triángulo En esta actividad se utiliza el programa Geogebra para determinar el circuncentro, el incentro y el baricentro de un triángulo, estudiar sus propiedades y dibujar la recta de Euler. Una vez abierto el programa en la opción del menú Visualiza, oculta Ejes y activa Cuadrícula. Actividades resueltas Circuncentro: Dibuja las tres mediatrices de un triángulo y determina su circuncentro. Define tres puntos A, D y E, observa que el programa los define como A, B y C, utiliza el botón derecho del ratón y la opción Renombra para cambiar el nombre. Con la herramienta Polígono activada dibuja el triángulo que tiene por vértices estos puntos. Observa que cada lado tiene la misma letra que el ángulo opuesto con minúscula. Con la herramienta Mediatriz dibuja las mediatrices de dos lados, los segmentos a y d. Determina con Intersección de dos objetos el punto común de estas rectas y con Renombra llámalo C. Dicho punto es el circuncentro del triángulo. Dibuja la Mediatriz del segmento e y observa que pasa por el punto C. Activa circunferencia por centro y punto que cruza para dibujar la circunferencia circunscrita al triángulo. Utiliza el Puntero para desplazar los vértices A, D o E y comprobar que la circunferencia permanece circunscrita al triángulo. Ortocentro: Dibuja las tres alturas de un triángulo y determina su ortocentro. En el mismo triángulo cambia el color de las mediatrices y la circunferencia situándote con el ratón sobre el trazo o sobre su ecuación y con el botón derecho elige en Propiedades, Color un azul muy próximo al blanco. Dibuja dos alturas con la herramienta Recta Perpendicular. Observa que el programa te pide que el punto por el que vas a trazarla y la recta o el segmento respecto al que es perpendicular. Determina con Intersección de dos objetos el ortocentro como el punto de corte de las dos alturas y con Renombra : GEOGEBRA

17 17 denomínalo O. Dibuja la tercera altura y comprueba que pasa por el ortocentro, desplazando con el Puntero los vértices del triángulo. Incentro: Dibuja las tres bisectrices de un triángulo y determina su incentro. Cambia el color de las alturas como en la construcción anterior, ahora con color rosa pálido. Con la herramienta Bisectriz dibuja dos bisectrices. Observa que para determinar la bisectriz de un ángulo es suficiente señalar tres puntos que pueden ser los vértices del triángulo en el orden adecuado. Determina el incentro con Intersección de dos objetos como el punto de corte de las dos bisectrices y con Renombra denomínalo I. Dibuja la tercera bisectriz y comprueba que pasa por el incentro, desplazando con el Puntero los vértices del triángulo. Traza desde el punto I una Recta perpendicular a uno de los lados y con Intersección de dos objetos calcula el punto de corte entre esta recta y el lado del triángulo y con Renombra llámalo M. Activa Circunferencia por centro y punto que cruza para dibujar con centro en I y radio el segmento IM la circunferencia inscrita al triángulo. Desplaza con el puntero los vértices del triángulo para comprobar que la circunferencia permanece inscrita al triángulo. Baricentro: Dibuja las tres medianas de un triángulo y determina su baricentro. Cambia el color de las bisectrices, del punto M y de la circunferencia inscrita, con gris muy pálido, como en las construcciones anteriores. Con la herramienta Punto medio o centro calcula los puntos medios de dos lados. Si el programa nombra alguno con la letra B, utiliza Renombra para llamarlo H. Con la herramienta Segmento entre dos puntos dibuja dos medianas y con Intersección de dos objetos, su punto de corte, el baricentro, que llamarás B. : GEOGEBRA

18 18 Traza la tercera mediana y verifica que el baricentro pertenece a este segmento desplazando con el Puntero los vértices del triángulo. Activa Segmento entre dos puntos y determina los dos segmentos determinados por el baricentro en una de las medianas. Activa Distancia para medir estos segmentos. Desplaza los vértices del triángulo con el Puntero y observa la relación que existe entre las medidas realizadas. Recta de Euler Dibuja la recta que pasa por el circuncentro y el ortocentro. Cambia el color de las medianas, de los puntos medios de los lados y de los dos segmentos de la mediana, con amarillo muy pálido. Con la herramienta Recta que pasa por dos siempre pertenece. puntos dibuja la recta de Euler que pasa por el circuncentro y el ortocentro y utiliza Renombra para llamarla Euler. Comprueba que el baricentro pertenece a la recta de Euler y que el incentro no Actividades propuestas 22. Repite las actividades resueltas. Modifica a tu gusto colores y líneas. 23. Mueve uno de los vértices originales del triángulo e indica qué cosas permanecen invariantes. 24. Comprueba que se verifican las propiedades de circuncentro, como centro de la circunferencia circunscrita, del incentro, como centro de la circunferencia inscrita. 25. En baricentro divide a la mediana en dos parte, siendo una dos tercios de la otra. Compruébalo. 26. La recta de Euler pasa por el circuncentro, el baricentro y el ortocentro, y qué el incentro no siempre pertenece a la recta de Euler. Cómo debe ser el triángulo para que pertenezca? 27. Mueve los vértices del triángulo para determinar si es posible que sus cuatro puntos notables coincidan. : GEOGEBRA

19 19 3. GEOGEBRA PARA 3º Y 4º DE ESO 3.1. Movimientos en el plano En esta actividad se va a utilizar el programa Geogebra para estudiar los movimientos en el plano, también llamados isometrías, como son las traslaciones, los giros o las simetrías, que son transformaciones en el plano que mantienen las distancias y los ángulos y por lo tanto las áreas de las figuras Actividades resueltas Traslación Utiliza Geogebra para estudiar vectores y traslaciones. En un archivo de Geogebra Visualiza los ejes, la cuadrícula y la ventana algebraica. Con la herramienta Nuevo Punto define el origen de coordenadas como A y el punto de coordenadas (6, 2) como B. y con la herramienta Vector entre dos puntos determina el vector u de origen A y extremo B que tendrá coordenadas (6, 2). Define con Nuevo Punto C (4, 1), D (1, 2) y E (3, 3) y con Polígono dibuja el triángulo que tiene por vértices estos puntos. Observa que los puntos que has dibujado aparecen en la ventana algebraica como objetos libres y el triángulo como objeto dependiente. Utiliza la herramienta Trasladar objeto acorde a vector para trasladar el triángulo CDE según el vector u, se obtiene el triángulo C D E. 28. Qué tipo de cuadriláteros son los polígonos ACC B, ADD B y AEE B? 29. Comprueba en la ventana algebraica que: a) Las coordenadas de los puntos C, D y E se obtienen respectivamente al sumar a las coordenadas de los puntos C, D, y E las coordenadas del vector u. b) La longitud de cada lado del triángulo es la misma que la de su trasladado y las áreas de los triángulo CDE y C D E coinciden Dibuja con Recta que pasa por 2 puntos, la recta a que pasa por los puntos por C y D y comprueba, con la ecuación de la recta, que C y D están en la misma recta. Traslada ahora la recta a según el vector u, aparece, denominada b, la misma recta. Qué propiedad tiene la recta a para que permanezca invariante mediante la traslación? Una conjetura es que la recta a es paralela al vector u. Para comprobar la conjetura define un Nuevo Punto F ( 1, 1) y con Recta paralela dibuja una recta f : GEOGEBRA

20 20 que pase por F y paralela al vector u. Traslada la recta f según el vector u y verás que aparece la recta g que coincide con ella. Dibuja otras rectas paralelas al vector u y comprueba que la traslación las deja invariantes. Mueve con el puntero el punto B, para que el vector u tenga distinta dirección y observa como la recta a ya no tiene la misma dirección que el vector u y su trasladada, la recta b, es distinta y paralela a ella, sin embargo la recta f tiene la misma dirección que el vector u y su trasladada g coincide con ella. 30. Investiga si algún punto del plano permanece invariante mediante traslaciones según diferentes vectores. Simetría axial Utiliza Geogebra para estudiar las propiedades de la simetría axial. Abre una nueva ventana de Geogebra y visualiza los ejes, la cuadrícula y la ventana algebraica. Con la herramienta Nuevo Punto define A ( 2, 0) y B (0, 1) y con Recta que pasa por 2 puntos, dibuja la recta a que pasa por A y B, que será el eje de simetría. Determina el punto C (1, 4) y con la herramienta Refleja objeto en recta, su simétrico con respecto a la recta a, que es el punto D (3, 0). Con la herramienta Distancia comprueba que la distancia del punto C a la recta a coincide con la del punto D a dicha recta. Dibuja con Segmento entre dos puntos el que une los puntos C y D. Con la herramienta Angulo calcula la medida del ángulo que forman el segmento CD y la recta a para verificar que son perpendiculares. Las siguientes propiedades, que acabas de comprobar, caracterizan la simetría axial: 1ª: Las distancias de un punto y de su simétrico al eje de simetría coinciden. 2ª: El segmento que une un punto y su simétrico es perpendicular al eje de simetría. Con la herramienta Refleja objeto en recta halla el simétrico de los puntos A y B con respecto al eje a y comprueba que A y su simétrico de E coinciden lo mismo que B y F. Prueba con otros puntos de la recta a para verificar que todos los puntos del eje resultan invariantes mediante una simetría axial con respecto a este eje. Verifica, también, que el eje, la recta a, y su simétrica la recta b coinciden. Utiliza Recta perpendicular para trazar la recta c, perpendicular al eje a que pasa por el punto B. : GEOGEBRA

21 21 Calcula la recta simétrica de la recta c con respecto al eje a, se obtiene la recta d que coincide con c. Mejora el aspecto de la construcción dibujando el segmento CD y las rectas c y d con trazo discontinuo. Haz clic con el botón derecho del ratón sobre el elemento o su ecuación y en Propiedades, Estilo, elige un trazo discontinuo. 31. Cuáles son los puntos invariantes de una simetría axial? Y las rectas invariantes? Actividades propuestas 32. Utiliza la herramienta Rota objeto en torno a un punto, el ángulo indicado para estudiar los giros en el plano. Define un punto O como centro de giro, por ejemplo, el centro de coordenadas. Define tres puntos para determinar con Angulo uno de 45º. a) Dibuja rectas y polígonos y observa como se transforman mediante este giro. b) Investiga si al realizar un giro existen puntos y/o rectas que permanecen invariantes. 33. Utiliza la herramienta Refleja objeto por punto para estudiar la simetría central. Define un punto O como centro de simetria, por ejemplo, el centro de coordenadas. a) Dibuja rectas y polígonos y observa como se transforman por una simetría central. b) Comprueba que una simetría central equivale a un giro de 180º. c) Investiga si en una simetría central hay puntos y/o rectas que permanecen invariantes. : GEOGEBRA

22 Gráficas de funciones con Geogebra Gráficas de funciones lineales y afines En esta actividad se va a utilizar el programa Geogebra para representar funciones lineales y afines, las gráficas de estas funciones son rectas. Primero se representan rectas con la misma pendiente para observar la relación que existe entre ellas y determinar la propiedad que las caracteriza. También se representan rectas que tienen misma ordenada en el origen para observar la relación que existe entre ellas y determinar una característica común. Actividades resueltas Rectas con la misma pendiente Utiliza Geogebra para estudiar rectas con igual pendiente. Abre el programa Geogebra y en Visualiza activa Cuadrícula para que sea más fácil definir puntos. Con la herramienta Nuevo Punto define un punto en el origen de coordenadas. Observa que en la Ventana Algebraica aparece el punto, que el sistema denomina A, como objeto libre y coordenadas (0, 0). Define un Nuevo Punto de coordenadas (1, 2), el programa lo llama B y en la Ventana Algebraica aparece como objeto libre con sus coordenadas: B = (1, 2). Utiliza la herramienta Recta que pasa por 2 puntos para dibujar la recta que pasa por los puntos A y B. Observa que el programa la denomina a y en la Ventana Algebraica aparece como objeto dependiente y su ecuación a: 2x + y = 0. Esta ecuación se puede expresar por: y = 2x. Define un Nuevo Punto de coordenadas (0, 3), el programa lo llama C y en la Ventana Algebraica aparece como objeto libre con sus coordenadas: C = (0, 3). Con la herramienta Recta Paralela, dibuja una recta paralela a la recta a que pase por C. Observa que el programa la denomina b y en la Ventana Algebraica aparece como objeto dependiente y su ecuación a: 2x + y = 3. Esta ecuación se puede expresar por: y = 2x + 3. Define un Nuevo Punto de coordenadas (1, 2), el programa lo llama D y en la Ventana Algebraica aparece como objeto libre con sus coordenadas: D = (1, 2). Con la herramienta Recta Paralela, dibuja una recta paralela a la recta a que pase por D. Observa que el programa la denomina c y en la Ventana Algebraica aparece como objeto dependiente y su ecuación a: 2x + y = 4. Esta ecuación se puede expresar por: y = 2x 4. Utiliza la herramienta Pendiente para calcular las pendientes de las rectas a, b y c. Observa que al calcular la pendiente de la recta a aparece en la gráfica y en la Ventana Algebraica como objeto dependiente m = 2. Análogamente al calcular la pendiente de la recta b, se obtiene m 1 = 2 y al : GEOGEBRA

23 23 calcular la pendiente de la recta c, se tiene m 2 = Cómo son las pendientes de las rectas paralelas? En función de los resultados anteriores realiza una conjetura y dibuja otras rectas paralelas a la recta a para comprobarla. Observa que la ecuación de todas las rectas paralelas a la recta a son de la forma: y = 2x + n, con n variable. Alguna de las rectas que has dibujado es la gráfica de una función lineal? Rectas con la misma ordenada en el origen Utiliza Geogebra para estudiar rectas con igual ordenada en el origen. Abre una Nueva Ventana que es una opción del menú Archivo. Con la herramienta Nuevo Punto define un punto de coordenadas (0, 3). Observa que en la Ventana Algebraica aparece el punto, que el sistema denomina A, como objeto libre y aparecen sus coordenadas A = (0, 3). Define un Nuevo Punto B de coordenadas (1, 4) y con la herramienta Recta que pasa por 2 puntos dibuja la recta que pasa por A y B, el programa la denomina a y en la Ventana Algebraica aparece su ecuación, a: x + y = 3 equivalente a y = x +3. Define un Nuevo Punto C de coordenadas (1, 1) y con la herramienta Recta que pasa por 2 puntos dibuja la recta que pasa por A y C, el programa la denomina b y en la ventana algebraica aparece su ecuación, b: 2x + y = 3 equivalente a y = 2x +3 Con un proceso similar dibuja la recta c que pasa por A y D, con D = (2, 4) que tiene por ecuación c: x 1 + 2y = 6. Esta ecuación se puede expresar por: y x 3. 2 Dibuja también la recta d que pasa por A y E, con E = (2, 1), la ecuación de la recta d que aparece es: d: 4x +2y = 6, equivalente a y = 2x + 3. Utiliza la herramienta Pendiente para calcular las pendientes de las cuatro rectas que has dibujado. Observa que las cuatro rectas que has dibujado pasan por el punto A = (0, 3), sus ecuaciones con la variable y despejada son: 1 a: y = x +3 b: y = 2x +3 c: y x 3 d: y = 2x Qué tienen en común las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto A (0, 3)? En función de los resultados anteriores realiza una conjetura y compruébala dibujando otras rectas que pasen por el punto A. : GEOGEBRA

24 24 Observa que la ecuación de todas las rectas que pasan por el punto A(0, 3) son de la forma: y = mx + 3, siendo m la pendiente de la recta. En la ecuación de la recta y = mx + n, el parámetro n se denomina ordenada en el origen 36. Cuál es el valor de la ordenada en el origen de las cuatro rectas que has dibujado? 37. Observa las ecuaciones de las cuatro rectas que has dibujado, dos de ellas tienen pendiente positiva a y d y las otras dos, b y c tienen pendiente negativa. Relaciona el signo de la pendiente de la recta con el crecimiento o decrecimiento de la función que representan Actividades propuestas x 38. Calcula dos puntos de las rectas de ecuaciones: y = 2x + 2 e y = + 2, para dibujarlas con Geogebra. 2 Indica dos propiedades comunes de ambas gráficas. x 39. Representa, también, las rectas de ecuaciones: y = 3x + 1 e y = Qué condición deben verificar las pendientes de dos rectas para que sean perpendiculares? : GEOGEBRA

25 Funciones definidas a trozos En algunas funciones la relación entre la variable independiente y la dependiente varía en los distintos intervalos en los que está definida y a veces es posible encontrar una fórmula para cada intervalo del dominio que exprese esta relación, estas funciones se dice que están definidas a trozos. Por ejemplo en la siguiente función la relación entre la variable independiente y la dependiente es diferente para los números negativos y los positivos. 2x2 six [, 0] f(x) 2x 2 six (0, ] Dibuja esta función con Geogebra En la línea de entrada escribimos: Función [2x+2,,0] Esta orden dibuja el primer trozo de la función. Utiliza el comando función: Función [] y entre los corchetes se escribe la función y los extremos del segmento o la semirrecta donde está definida, separados por comas. A continuación escribimos en la línea de entrada Función [ 2x+2, 0, ] Y ya tenemos representada la función. Las dos órdenes anteriores se pueden introducir como una sola, separándolas por una coma y entre llaves. {Función [2x+2,,0], Función [ 2x+2, 0, ]} Recuerda que el símbolo se encuentra entre la línea de entrada y los comandos. Representar una función definida a trozos definida por: 2 x 4 si x1 f(x) 2x1 si1 x2 2 x 6 si x 2 Introduce en la línea de entrada: {Función [ x^2+4,,1], Función [2x+1, 1,2], Función [ x^2+6, 2, ]} Recuerda que para escribir las potencias en la línea de entrada de Geogebra se utiliza el símbolo ^, así cuando escribimos x^2 el sistema entiende x 2. Esta es la gráfica que se obtiene: Se observa que esta función es continua en x = 1, y el valor de la función en este punto es 3, es decir f(1) = 3, sin embargo en el punto x = 2 la función no es continua y a partir de la gráfica no podemos detectar si la imagen del punto 2 es decir f(2) es 2 o 5. A partir de la expresión analítica de la función observamos que f(2) = 5 que podemos reflejarlo en la gráfica dibujando el punto (2, 5) como se muestra en la siguiente gráfica. Actividades propuestas 41. Utiliza Geogebra para representar las siguientes funciones: x6 six (, 1) 2x1 six1 x f() x x4 six [ 12], gx () e si1 x0 2 x 7x12 six (2, ) x1 six0 : GEOGEBRA

26 La proporción áurea En esta actividad se va a utilizar el programa Geogebra para realizar un estudio de la proporción áurea. Un segmento está dividido en dos partes que están en proporción áurea si la razón entre la longitud del segmento y la longitud de la parte mayor coincide con la razón entre la longitud de la parte mayor y la de la parte menor. Actividades resueltas Dividir un segmento en dos partes que estén en proporción áurea Utiliza Geogebra para dividir un segmento en dos partes que estén en proporció áurea. Abre una nueva ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva Ejes y Cuadricula Determina con Nuevo punto los puntos A y B y dibuja el segmento, a, que los une. Traza un segmento BD perpendicular al segmento AB en el punto B, cuya longitud sea la mitad de AB, puedes seguir las siguientes instrucciones: Calcula el Punto medio o centro del segmento AB y llámalo C. Dibuja con Circunferencia con centro y punto que cruza la que tiene centro en B y pasa por C. Traza la Recta Perpendicular al segmento AB que pase por B. Define D como el Punto de Intersección entre esta recta y la circunferencia. Dibuja el segmento AD y una circunferencia con centro D que pase por B. Sea E el Punto de Intersección de esta circunferencia con el segmento AD. Con centro en A traza la circunferencia que pasa por E y determina el punto de Intersección, F, de esta circunferencia con el segmento AB. Traza el segmento, g, que une los puntos A y F. Comprueba que el punto F divide al segmento AB en dos partes que están en proporción áurea: Elige en el menú Opciones, 5 Posiciones decimales. Calcula en la línea de Entrada los cocientes a/g y g/(a g). Observa en la Ventana algebraica que estos valores coinciden, has calculado un valor aproximado del número de oro, Φ. Con la herramienta Desplaza, cambia la posición de los puntos iniciales A o B y comprueba que el cociente entre las longitudes de los segmentos AF y FB permanece constante. Para visualizar mejor la construcción puedes dibujar los elementos auxiliares con trazo discontinuo, eligiendo en el menú contextual, Propiedades y Estilo de trazo. : GEOGEBRA

27 27 El rectángulo áureo Un rectángulo es áureo si sus lados están en proporción áurea. Si a un rectángulo áureo le quitamos (o le añadimos) un cuadrado obtenemos un rectángulo semejante al de partida y por lo tanto también áureo. Utiliza Geogebra para dibujar un rectángulo áureo. Abre una nueva ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva Ejes y Cuadricula Define dos puntos A y B que van a ser los extremos del lado menor del rectángulo y con la herramienta polígono regular dibuja, a partir de los puntos A y B, el cuadrado ABCD y oculta los nombres de los lados con la herramienta Expone/Oculta rótulo. Calcula el Punto medio, E, del lado BC. Con centro en E dibuja la Circunferencia con centro en E que pasa por A. Traza la recta, a, que pasa por BC y define como F el Punto de intersección entre esta recta y la circunferencia. Dibuja la Recta perpendicular a la recta a que pasa por F, y la recta que pasa por los puntos A y D, llama G al Punto de intersección de estas rectas y define con Polígono el rectángulo ABFG. En la ventana algebraica aparecen las longitudes de los lados del rectángulo como f y g, introduce en la línea de Entrada g / f y observa en esta ventana que aparece el valor e que es una aproximación al número áureo. Elige en el menú Opciones, 5 Posiciones decimales. Dibuja el segmento CF, en la ventana algebraica aparece su longitud, h, introduce en la línea de Entrada f / h, observa que este cociente coincide con g / f y es una aproximación del número áureo. Con la herramienta Desplaza, cambia la posición de los puntos iniciales A o B y observa que el cociente entre las longitudes de los lados de los rectángulos es constante. El rectángulo ABFG es áureo ya que el cociente entre la longitud de su lado mayor y la del menor es el número de oro, además el rectángulo DCFG, que se obtiene al quitar un cuadrado de lado el menor del rectángulo, es también áureo y por lo tanto semejante al primero. Herramienta rectanguloaureo Crea tus propias herramientas con Geogebra. Crea una que dibuje rectángulos áureos. Se va a crear una herramienta que a partir de dos puntos A y B dibuje el rectángulo áureo en el que el segmento AB es el lado menor. En la figura anterior oculta el nombre de los puntos C, D, E, F y G con la herramienta Expone/Oculta rótulo haciendo clic con el ratón sobre ellos, en el área de trabajo o en la ventana algebraica. Activa en el menú Herramientas, la opción Creación de nueva herramienta y define: Objetos de salida: el polígono cuadrado, el polígono rectángulo y los puntos C, D, F, y G. Objetos de entrada: los dos puntos iniciales A y B. : GEOGEBRA

28 28 Y elige como nombre de la herramienta rectanguloaureo. Observa que aparece en la barra de herramientas. En la opción Manejo de útiles del menú Herramientas graba la herramienta creada como rectanguloaureo, que se guarda como rectanguloaureo.ggt Utiliza la herramienta Desplazamiento de la zona gráfica para ir a una parte vacía de la pantalla y comprobar que la herramienta rectanguloaureo funciona perfectamente. La espiral áurea Dibuja una espiral áurea, y crea una herramienta que dibuje espirales áureas. Abre una nueva ventana de Geogebra, en el menú Visualiza desactiva Ejes y Cuadricula y abre el archivo rectanguloaureo.ggt que acabas de crear. Define dos puntos A y B y aplica la herramienta rectanguloaureo, se obtiene el rectángulo áureo ABEF y el cuadrado ABCD con el nombre de los vértices C, D, E y F ocultos. Utiliza la herramienta Arco de circunferencia dados centro y dos puntos extremos para dibujar el arco con centro el punto C y que pasa por los puntos D y B. Se va a crear una nueva herramienta que dibuje el rectángulo áureo y el arco. Activa en el menú Herramientas, la opción Creación de nueva herramienta y define: Objetos de salida: el cuadrado, el polígono rectángulo, los puntos C, D, E, F y el arco c. Objetos de entrada: los dos puntos iniciales A y B. Elige como nombre de la herramienta espiralaurea. En la opción Manejo de útiles del menú Herramientas graba la herramienta creada como espiralaurea, que se graba como espiralaurea.ggt. Activa sucesivamente la herramienta anterior, con objeto de dibujar la espiral que resulta de unir con un arco de circunferencia dos vértices opuestos de los cuadrados de forma consecutiva y de mayor a menor. Para mejorar el aspecto de la espiral se pueden ocultar los puntos, mejor en la ventana algebraica, con la herramienta Expone / Oculta objeto. Observa que al variar los ángulos en una progresión aritmética de diferencia =90º, los lados de los cuadrados se modifican según una progresión geométrica de razón:. : GEOGEBRA

29 29 Actividades propuestas 42. Comprueba que la longitud del lado del pentágono regular y la de su diagonal están en proporción áurea. 43. Calcula con Geogebra una aproximación de la razón de semejanza entre un pentágono regular y el que se forma en su interior al dibujar sus diagonales. Determina sin utilizar Geogebra el valor real de la razón de semejanza entre estos dos pentágonos. 44. Comprueba que los triángulos ABD y ABF de la figura son semejantes y calcula aproximadamente con Geogebra su razón de semejanza. 45. Calcula con Geogebra el valor aproximado de la razón de semejanza entre un decágono regular y el decágono que se forma al trazar las diagonales de la figura. Determina sin utilizar Geogebra el valor real de la razón de semejanza entre estos dos polígonos : GEOGEBRA