MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

Transcripción

1 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 6 Trigonometría. Resolución de triángulos Elaorado por la Profesora Doctora María Teresa González Montesinos

2

3 Índice 1. Medidas de un ángulo: grados sexagesimales y radianes 1. Razones trigonométricas.1. Definiciones fundamentales Propiedades Reducción al primer cuadrante Teoremas de adición 7 4. Resolución de triángulos Triángulos rectángulos Resolución de triángulos isósceles Aplicación a polígonos regulares Medición de alturas y distancias Resolución de triángulos olicuángulos Fórmulas del área de un triángulo Ejercicios propuestos 16

4

5 Tema Medidas de un ángulo: grados sexagesimales y radianes Un ángulo es la porción del plano limitado por dos semirrectas, denominados lados, que tienen un origen común llamado vértice. Los ángulos siempre se medirán en el sentido contrario de las agujas del reloj, y para realizar dicha medida se hace uso de los denominados grados sexagesimales y radianes r r 1 rad r Figura 1: Grados sexagesimales y radián. Llamaremos grado sexagesimal a cada una de las 360 partes iguales en las que se puede dividir una circunferencia. Cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales, llamadas minutos, y cada minuto a su vez se divide en 60 partes iguales, llamadas segundos: 1 = 60, 1 = 60. Osérvese la semejanza de estas divisiones con las fracciones horarias. Los ángulos medidos en grados sexagesimales pueden expresarse en forma compleja y en forma incompleja. Así, por ejemplo, el ángulo está expresado en forma compleja, y su expresión en forma incompleja sería El paso de una forma a otra se realiza fácilmente con una calculadora científica. Por otro lado, dada una circunferencia de radio r, se llama radián al ángulo que aarca un arco de longitud r. La relación entre grados sexagesimales y radianes viene dada por 180 = π rad. A partir de la igualdad anterior, haciendo uso de reglas de tres, se tiene que rad π 6 rad π 4 rad π 3 rad π rad π rad 3π rad π rad

6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Es fundamental el hecho de que el ángulo no depende en asoluto de la circunferencia elegida, es decir, cualquiera que sea la circunferencia que se considere, el ángulo no varía. Ejemplo 1.1 Para expresar el ángulo 4π 7 rad en grados sexagesimales sólo deemos hacer: π rad 180 4π rad x 7 } = x = 4π = π 7 Ejemplo 1. Expresemos el ángulo de 15 en radianes: 180 π rad 15 x. Razones trigonométricas.1. Definiciones fundamentales } = x = 15π 180 rad = 5π 36 rad. Como se muestra en la figura, dado un ángulo α, si desde un punto cualquiera de uno de sus lados se traza la perpendicular al otro lado, se construye un triángulo rectángulo. Sore este triángulo α a c Figura : Triángulo rectángulo de hipotenusa a, y de catetos y c. rectángulo definiremos las llamadas razones trigonométricas del ángulo α: Seno de α: sen α = cateto opuesto hipotenusa = a. Coseno de α: cos α = cateto contiguo hipotenusa = c a. Tangente de α: tg α = cateto opuesto cateto contiguo = sen α cos α = c. Estas tres razones trigonométricas son las fundamentales. A partir de éstas se pueden definir estas tres:

7 Tema 6 3 β a a β α c c Figura 3: Triángulos equivalentes. Cosecante de α: Secante de α: Cotangente de α: cosec α = 1 sen α = a. sec α = 1 cos α = a c. ctg α = 1 tg α = cosec α sec α = cos α sen α = c. Oservemos ahora la figura 3: En ella vemos representados dos triángulos rectángulos, uno de lados a,, c, y otro de lados a,, c ; no ostante, los ángulos agudos de amos triángulos, α y β, son exactamente iguales, esto es, los triángulos son semejantes, lo cual quiere decir que sus lados son proporcionales. De este modo, se puede afirmar que las razones trigonométricas de α y tamién las de β serán las mismas, independientemente del triángulo que usemos para calcularlas, es decir, tenemos que sen α = a = a, cos α = c a = c a, tg α = c = c. Análogamente se tendría para el resto de las razones trigonométricas. Visto esto y recordando lo que decíamos en la sección anterior en relación a que un ángulo no depende de la circunferencia donde se represente, consideremos la circunferencia centrada en el origen de coordenadas, esto es, en el punto O(0, 0) y de radio 1, que se denomina circunferencia goniométrica. Haremos uso de esta circunferencia para ver exactamente cómo se representan geométricamente el seno y el coseno de cualquier ángulo. En la figura 4 se han representado el seno y el coseno de ángulos de cada uno de los cuatro cuadrantes, y se han denotado por x e y respectivamente. Nótese que en cada una de las gráficas anteriores aparece un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 1, esto es, el radio de la circunferencia; por lo tanto: sen α = y 1 = y cos α = x 1 = x.

8 4 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Y Y 1 x α y X y 1 x α X sen>0, cos>0,tg>0 sen>0, cos<0, tg<0 Y Y α x x X y y α 1 1 X sen<0, cos<0, tg>0 sen<0, cos>0, tg<0 Figura 4: Representación geométrica y signos de las razones trigonométricas de un ángulo según el cuadrante del plano. En cuanto a la tangente de dichos ángulos, decir que su representación gráfica carece de interés, y que su signo puede otenerse a partir de los signos del seno y del coseno del ángulo en cuestión. En la tala siguiente aparecen las razones trigonométricas de los ángulos fundamentales, cuyos valores se han otenido haciendo uso de la circunferencia goniométrica y aplicando las definiciones precedentes: 0rad π 6 rad π 4 rad π 3 rad π rad π rad 3π rad sen cos tg Propiedades La fórmula fundamental de la trigonometría viene dada por sen α + cos α = 1. Ésta se deduce fácilmente a partir de la figura 4. Si la igualdad anterior de divide por cos α y sen α, respectivamente, se otienen estas dos fórmulas: 1 + tg α = sec α, 1 + ctg α = cosec α.

9 Tema 6 5 Dado un ángulo α del primer cuadrante, es decir, 0 < α < 90 o 0 < α < π, se tienen estas otras propiedades: Si un ángulo es mayor que 360 = π rad, entonces éste podrá expresarse en la forma α k = α + kπ, donde k Z indica el número de revoluciones o vueltas. Claramente las razones trigonométricas del ángulo α k son las mismas que las del ángulo α. Las razones trigonométricas del ángulo complementario de α, β = 90 α = π siguen: sen β = cos α, cos β = sen α, tg β = ctg α. α, son las que Si β = α + 90 = α + π, entonces.3. Reducción al primer cuadrante sen β = cos α, cos β = sen α, tg β = ctg α. Las razones trigonométricas de los ángulos del segundo, tercer y cuarto cuadrantes se pueden hallar usando las de un ángulo del primero, como se muestra en la figura 5 véase la página siguiente. Así, si α es un ángulo del primer cuadrante, se verifica lo siguiente: Ángulos del segundo cuadrante: El ángulo β = 180 α = π α tendrá las siguientes razones trigonométricas: sen β = sen α, cos β = cos α. Ángulos del tercer cuadrante El ángulo β = α = π + α tendrá las siguientes razones trigonométricas: sen β = sen α, cos β = cos α. Ángulos del cuarto cuadrante El ángulo β = 360 α = π α tendrá las siguientes razones trigonométricas: sen β = sen α, cos β = cos α. Osérvese que el ángulo α tiene las mismas razones trigonométricas que el ángulo β: sen( α) = sen α, cos( α) = cos α, donde α es el ángulo α pero medido en el mismo sentido de las agujas del reloj. Ejemplo.1 Calcula las razones trigonométricas del ángulo 10. Nótese que este ángulo está en el tercer cuadrante, siendo 10 = ,

10 6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Y Y sen β cos β β α X sen β cos β β α X Reducción de ángulos del segundo cuadrante Reducción de ángulos del tercer cuadrante Y α β cos β sen β X Reducción de ángulos del cuarto cuadrante Figura 5: Reducciones de ángulos al primer cuadrante. de modo que se otiene sen 10 = sen 30 = 1, 3 cos 10 = cos 30 =, 3 tg 10 = tg 30 = 3, cosec 10 1 = sen 10 =, sec 10 1 = cos 10 =, 3 ctg 10 = 1 tg 10 = 3.

11 Tema 6 7 Ejemplo. Las razones trigonométricas del ángulo x = π 4 son sen x = sen π 4 =, cos x = cos π 4 =, tg x = tg π 4 = 1, cosec x = 1 sen x =, sec x = 1 cos x =, ctg x = 1 tg x = 1. Ejemplo.3 Hallar las razones trigonométricas del ángulo 900. Al dividir 900 entre 360 se otiene cociente igual a y resto igual a 180, de manera que 900 = , y tendrá las mismas razones que 180, las cuales ya son conocidas. 3. Teoremas de adición Sean x e y dos ángulos cualesquiera. Entonces se tiene: Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos: Razones trigonométricas del ángulo dole: Razones trigonométricas del ángulo mitad: sen(x + y) = sen xcos y + cos xsen y sen(x y) = sen xcos y cos xsen y cos(x + y) = cos xcos y sen xsen y cos(x y) = cos xcos y + sen xsen y tg x + tg y tg(x + y) = 1 tg xtg y tg x tg y tg(x y) = 1 + tg xtg y sen x = sen xcos x cos x = cos x sen x = 1 sen x = cos x 1 tg x = tg x 1 tg x sen x 1 cos x = ± cos x 1 + cos x = ± tg x 1 cos x = ± 1 + cos x

12 8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas C a A c B Transformaciones de sumas y diferencias en productos: Ejemplo 3.1 Para hallar sen 105, hacemos de manera que sen x + sen y = sen x + y sen x sen y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x cos y = sen x + y 105 = , cos x y sen x y cos x y sen x y sen 105 = sen 60 cos 45 + sen 45 cos 60 = = Ejemplo 3. Hallemos cos 15. Osérvese que 15 = 30 y que es un ángulo del primer cuadrante, por lo que 1 + cos 30 cos = = = Resolución de triángulos El ojetivo de la trigonometría es la resolución de triángulos, es decir, considerados los seis elementos de un triángulo tres ángulos, A, B, C, y tres lados, a,, c, resolverlo consiste en calcular los elementos desconocidos a partir de los que ya se conocen o a partir de ciertos datos. La notación adoptada en este tema, salvo en casos particulares, será la que se muestra en la figura 6: tanto los vértices del triángulo como los ángulos correspondientes a ellos se denotarán por letras mayúsculas haitualmente A, B, C, empezando por un vértice y siguiendo el sentido contrario de las agujas del reloj; los lados opuestos a dichos ángulos se denotarán con las mismas letras, pero en minúsculas a,, c. Nota 4.1 Dado cualquier triángulo, la suma de sus ángulos es de 180 = π rad. Este hecho se considerará como un dato más a la hora de la resolución de un triángulo.

13 Tema Triángulos rectángulos es, Los triángulos rectángulos se resuelven fácilmente haciendo uso del teorema de Pitágoras, esto a = + c, y de las definiciones que se estudiaron en el tema anterior. Osérvese que como A = 90 = π rad, teniendo en cuenta la Nota 4.1 dee ser B + C = 90 = π rad. (1) Ejemplo 4.1 Resuelve un triángulo rectángulo de hipotenusa a = 54 m y de ángulo B = 3. C a = 54m A c B = 3 Gracias a (1) saemos que C = 58. Por otro lado, sen B = a sen 3 = 0 53 = 54 = m = 8 6m. Conocido el cateto, el cateto c puede calcularse de dos formas distintas: Usando el teorema de Pitágoras: c = a = = 45 79m. Mediante definiciones trigonométricas: sen C = cos B c a. Ejemplo 4. Resuélvase el triángulo rectángulo de hipotenusa a = 6 m y cateto = 3 m. C = 3m a = 6m A c B

14 10 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Para calcular el cateto c se aplica el teorema de Pitágoras: Hallemos, por ejemplo, el ángulo B: con lo que C = 90 B = c = a = 6 3 = 53 10m. sen B = a = 3 6 = 0 5 = B = arcsen 0 5 = 31 4, Resolución de triángulos isósceles Un triángulo isósceles es un triángulo que tiene dos lados iguales y, por tanto, dos ángulos tamién iguales. En la figura 8 vemos representado uno de altura h y ase a, siendo B = C y = c. Nótese que la altura h divide al triángulo en dos triángulos rectángulos exactamente iguales, de modo que resolviendo uno de éstos, la resolución del triángulo isósceles es inmediata. De este modo, si se A c h B a C Figura 6: Triángulo isósceles. desea resolver un triángulo isósceles cuya ase mide 4 cm y cuya altura es de 8 cm, teniendo en cuenta la figura A A =A/ c h=8 cm h=8 cm B a=4 cm C a = a =1cm C tendremos por un lado que, aplicando el teorema de Pitágoras, = c = a + h = = cm.

15 Tema 6 11 O r a A l B Figura 7: Polígono regular de lado l y apotema a, inscrito en una circunferencia de radio r. Por otro lado: tg C = h a = 8 1 = 33 = C = B = arctg 33 = Como A + C = 90, entonces A = A = = De este modo, A = A = Aplicación a poĺıgonos regulares La resolución de polígonos regulares queda reducida a la de triángulos isósceles. Si tenemos un polígono regular de n lados entonces el ángulo central será O = 360 n = π n rad. Ejemplo 4.3 El apotema de un pentágono regular es a = 15 cm. Hállese la medida del lado. Teniendo en cuenta la figura 9, lo que hay que resolver realmente es el triángulo isósceles O = 7 r a = 15cm A l l/ B

16 1 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas En este caso se otiene un ángulo central O = tg B = a l/ = a l Medición de alturas y distancias = tg 54 = = 15 l = 7, de modo que A = B = 54, y por lo tanto: = l = = cm. La medición directa de alturas y distancias es una operación que a menudo resulta difícil y, a veces, imposile. No sucede lo mismo cuando se trata de ángulos, ya que su medida se logra con facilidad y exactitud, merced a instrumentos especiales como el grafómetro 1, que mide ángulos horizontales, y el teodolito, que mide ángulos tanto verticales como horizontales. Sin emargo la medición indirecta de distancias es posile como una de las aplicaciones prácticas de la trigonometría asándonos en la resolución de triángulos. Es por esta razón por la se destaca la importancia de la trigonometría en topografía, agrimensura, etc. El caso más estudiado queda perfectamente representado en los siguientes ejemplos: Ejemplo 4.4 El punto más alto de una torre se divisa desde el suelo ajo un ángulo de 45, y si nos alejamos 40 m dicho punto se ve ajo un ángulo de 30. Hállese la altura de la torre y la distancia al pie de ésta en la medición inicial. h m x En la figura anterior se distinguen dos triángulos rectángulos: uno de catetos h y x, con un ángulo de 45 sore la horizontal, y otro de catetos h y x + 40, con un ángulo de 30 sore la horizontal. Este tipo de prolemas se resolverá como sigue: tg 30 = tg 45 = h x = 1 = h = x = h, x () h x + 40 = 1 = h 3 x + 40 = x + 40 = 3h. (3) Las ecuaciones () y (3) constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: h y x; resuelto este sistema el prolema tamién lo estará. Entonces, sustituyendo () en (3) se otiene h + 40 = 3h = ( 3 1)h = 40 = h = x = = 54 64m. 1 Semicírculo graduado, con dos alidadas o anteojos, uno fijo y otro móvil, que sirve para medir cualquier ángulo en las operaciones topográficas. Instrumento de precisión que se compone de un círculo horizontal y un semicírculo vertical, amos graduados y provistos de anteojos, para medir ángulos en sus planos respectivos.

17 Tema 6 13 Ejemplo 4.5 Al orde de un acantilado se sitúa un faro de 30 metros de altura desde el cual se divisa un arco con un ángulo de depresión de 30. Cuando el arco está a 100 m del pie del acantilado, el ángulo de depresión pasa a ser de 60. Calcular la altura del acantilado sore el nivel del mar y la distancia recorrida por el arco. 30m h m x Este caso es similar al anterior, pero ahora sí que podemos calcular h directamente: Para calcular x hacemos tg 60 = 30 + h 100 = 3 = 30 + h 100 = h = = 143 1m. tg 30 = 30 + h x = 1 = = x x = = x = = x = = 00m. 4.. Resolución de triángulos olicuángulos Llamaremos triángulo olicuángulo a todo triángulo que no sea ni rectángulo ni isósceles. En cuanto a la resolución del triángulo decir que se presentan cuatro casos, dependiendo de los datos que se conozcan: 1. un lado y dos ángulos adyacentes a él;. dos lados y el ángulo comprendido; 3. dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos; 4. tres lados. Nota 4. Oligatoriamente uno de los datos dee ser un lado. En caso contrario, el triángulo será irresolule. En la práctica, en lugar de distinguir los casos anteriores, se procederá a saer relacionar las incógnitas con los datos que se proporcionen. Para ello haremos uso de dos herramientas fundamentales: el teorema de los senos y el teorema del coseno. Con la notación adoptada en la figura 10, el teorema de los senos viene dado por a sena = sen B = c sen C = r, donde r es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

18 14 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas C a r A c B Figura 8: Triángulo con su correspondiente circunferencia circunscrita de radio r. El teorema del coseno tiene las expresiones que siguen, siendo las tres equivalentes: a = + c ccos A, = a + c accos B, c = a + acos C. Ejemplo 4.6 Resolvamos el triángulo de lado a = 5 cm y ángulos B = y C = C = a = 5cm Como A + B + C = 180, entonces Aplicando el teorema de los senos se tendrá que: 5 sen = A c B = A = = sen = = 5sen sen = 14 93cm. Para calcular el lado c se puede aplicar tanto el teorema de los senos como el del coseno; aplicando este último se otiene: c = cos = = c = 1 46cm.

19 Tema 6 15 Ejemplo 4.7 Resolvamos el triángulo de lados a = 1 m, = 0 m y c = 15 m. C = 0m a = 1m A c = 15m B Como no conocemos ningún ángulo sólo podemos aplicar el teorema del coseno; así: 1 = cos A = 144 = cos A = = cos A = = 0 80 = A = Para calcular el ángulo B apliquemos el teorema de los senos: 1 sen = 0 sen B = sen B = 0sen = = B = Por último, C = 180 A B = Fórmulas del área de un triángulo De todos es conocida la expresión del área de un triángulo en función de su ase y su altura: ase altura. Decir que todo triángulo posee tres alturas, una por cada vértice 3. Si denotamos por S el área del triángulo de la figura 11, tendremos que: S = ah A = h B = ch C. (4) El área de un triángulo tamién puede expresarse en función del radio de la circunferencia circunscrita, r, recuérdese figura 10, siendo S = ac 4r. Ejemplo 4.8 Si consideramos el triángulo del ejemplo 4.7 y denotamos por r al radio de la circunferencia circunscrita entonces, por el teorema de los senos, a sen A = 1 sen = r = r = 0 075m = r = m. 3 Una altura correspondiente a un vértice es una recta que pasa por dicho vértice y que es perpendicular al lado opuesto a éste, aunque en este caso estamos considerando la altura como la longitud del segmento que va desde el vértice hasta el lado.

20 16 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas C a h B h A h C A c B Figura 9: Triángulo con sus tres alturas. Por lo tanto, si S es el área del triángulo en cuestión, se otiene: S = m = m. Calculemos ahora las tres alturas de dicho triángulo. Así, teniendo en cuenta la expresión (4), las alturas vendrán dadas por: es decir, h A = S a, h B = S, h C = S c, h A = = m, h B = h C = = m. = m, 5. Ejercicios propuestos (1) Expresa en radianes los ángulos siguientes: , , () Expresa en grados sexagesimales los ángulos que siguen: 5π rad, 7 8rad, 7π 8 rad. (3) Expresa los siguientes ángulos indicando el número de revoluciones o vueltas: 10π 3 rad, , (4) Si el coseno de un ángulo agudo vale, hállese el seno y la tangente. 3

21 Tema 6 17 (5) Un ángulo agudo tiene su tangente igual a 8. Hallar su seno y su coseno. 15 (6) Calcular los ángulos positivos menores de 360 que verifican: 3 a) cos x =, ) sen x =, c) tg x = 3. (7) Mediante reducción al primer cuadrante, calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 5π 4 rad, 7π 60, 6 rad, 315, 10, π 3 rad. (8) Calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos expresados en radianes: 11π 3, 6π 4, 19π, 7π 6, 15π 4. (9) Hallar las razones trigonométricas de los siguientes ángulos expresados en grados: 700, 865, 1550, 56. (10) Calcular el valor de las expresiones de los ángulos que se indican, simplificando previamente: a) ctg α sec α ctg α sec α, ) 3sen4 α 3 sen α + 1, en α = 60, α = 180, α = 5, α = 70. (11) Hallar las restantes razones trigonométricas en los siguientes casos: a) tg x = 4 3, π < x < 3π, ) cos x = 3, π < x < π, c) sen x = 3 5, 0 < x < π, d) tg x = 8 15, π < x < π, e) ctg x = 4 7, π < x < 3π, f) sec x = 13, 3π < x < π. (1) Simplificar tg α + α sen ctg α. (13) Hallar las razones trigonométricas de (14) Teniendo en cuenta las razones trigonométricas del ángulo de 45, hallar tg (15) Si sen α = 3 5, hallar senα, α [ π,π ].

22 18 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas (16) Hallar las razones trigonométricas de α (17) Calcular sen 75 + sen 15. (18) Si ctg α = 3, hallar sen α, con α ( π 4, π ). si sec α = 5 7. (19) Hallar cosec(α + β) si cosec α = 3, cosec β = y α,β ( 0, π ). (0) Simplificar sen(α + β) + sen(α β) cos(α β) cos(α + β). (1) Si sen 70 + sen 36 = y cos 70 + cos 36 = , hallar tg 53. () Calcular el coseno de 16 si cos 4 + cos 56 = (3) Convierte en sumas las siguientes expresiones: cos 5x sen x, sen 4x sen 6x. (4) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 6 cm y uno de sus ángulos agudos 30. Hallar los catetos. (5) Resolver un triángulo rectángulo saiendo que uno de sus ángulos es el dole del otro y que un cateto mide 8 m. (6) Hallar el área de un decágono regular de 8 cm de lado. (7) Hallar el lado de pentágono regular de 50 cm de área. (8) Calcula los ángulos de un romo cuyas diagonales miden 13 cm y 9 cm. (9) Calcula los ángulos de un trapecio isósceles cuyas ases miden 83 m y 51 m, y la altura 61 m. (30) Un lado de un paralelogramo mide 56 cm y los ángulos formados por este lado y las diagonales son y Calcula los lados del paralelogramo. (31) Desde el alcón de una casa situada a 4 m de altura sore el suelo se divisa la cúspide de una torre ajo un ángulo de 30. Si nos situamos en la calle, al pie de dicha casa, se ve ajo un ángulo de 45. Hallar la altura de la torre. (3) Desde la orilla de un río se ve un árol en la otra orilla ajo un ángulo de 45 y, si se retrocede 4 m, se ve ajo un ángulo de 30. Hallar la altura del árol. (33) Calcula la altura de una torre situada en un terreno horizontal, saiendo que con un aparato de 1 0 m de altura, colocado a 0 m de ella, se ha medido el ángulo que forma con la horizontal la visual dirigida al punto más elevado, y se ha otenido (34) Desde cierto lugar del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30 con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre este ángulo se hace de 60. Calcula la altura de la torre. (35) Desde la altura de m, el piloto de un avión oserva la luz de un aeropuerto ajo un ángulo de depresión de 30. Calcula la distancia entre el avión y el foco.

23 Tema 6 19 (36) Dos vehículos salen a la misma hora del mismo punto con direcciones que forman un ángulo de 45. La velocidad del vehículo más lento es de 80 km/h. Al cao de una hora y media, qué distancia les separa, si la recta que los une forma un ángulo de 30 con la que indica la dirección del más rápido? (37) Dos oservadores, uno desde el este y otro desde el oeste, miran un gloo situado en el plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre los oservadores es de km y los ángulos de elevación del gloo desde los oservadores son 48 y 56, respectivamente. Hallar a qué distancia del suelo se encuentra el gloo. (38) Resolver un triángulo de lados 1 y m, respectivamente, siendo de 13 el ángulo comprendido entre ellos. (39) Si los lados de un triángulo son 0, 15 y 6 cm, respectivamente, hallar el ángulo opuesto al lado menor. (40) Dos ángulos de un triángulo miden 7 y 64, respectivamente, y 8 cm el lado opuesto al ángulo de 7. Resolver dicho triángulo. (41) Resolver un triángulo, dos de cuyos lados miden 6 y 7 m, y el ángulo que forman, 8. (4) Si en el prolema anterior el ángulo dado es 30, hallar los elementos del triángulo. (43) En un triángulo, un lado mide 8 cm y su ángulo opuesto, 40. Si otro lado mide 5 cm, hallar los restantes elementos de dicho triángulo. (44) Dos lados de un triángulo miden 1 y 10 cm, respectivamente, y el ángulo que forman, 60. Hallar los restantes ángulos. (45) Hallar el área de un triángulo si a = 57 5 m, A = y C = (46) Calcular el área de un triángulo de lados 15, 7 y 14 m. (47) En un triángulo, el radio de su circunferencia circunscrita mide 6 m, un lado 7 m y un ángulo no opuesto a dicho lado, 43. Resolverlo.