SÍNTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MONOPUERTAS

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1 TEMA 9 Labels E: 9ge Labels F: 9 9 Labels L: 9 Labels T: 9 SÍTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MOOPUERTAS 9. Introducción Este capítulo se centra en el diseño de filtros pasivos. Estamos particularmente interesados en el diseño de bipuertas, circuitos de cuatro terminales con entrada salida simple. El diseño de estas bipuertas conduce naturalmente a la implementación de impedancias o admitancias, que son los bloques básicos del circuito. os centraremos particularmente en la síntesis de filtros LC. Juegan un papel muy importante en el diseño de filtros porque la resonancia LC permite tener cambios muy rápidos de magnitud y fase con la frecuencia. Esto permite construir filtros con transiciones muy pronunciadas entre bandas pasantes y bandas de rechazo; y ello en un circuito que es sin pérdidas, que no disipa energía. Aunque actualmente hay disponibles otras técnicas de filtrado, tales como filtros RC activos y filtros SC, los filtros LC aún juegan un papel importante en sistemas de comunicaciones, especialmente en aplicaciones a alta frecuencia, donde la operación de los dispositivos activos se aleja mucho de su comportamiento ideal. Además, el estudio de la operación de los filtros LC resulta útil para comprender el concepto de filtrado, la importancia de la resonancia, la creación y función de los ceros de transmisión, etc. Por otra parte, muchos de los diseños de filtros RC activos y SC están basados en una simulación activa de filtros pasivos LC. Esta aproximación se beneficia de la muy baja sensibilidad de la banda pasante de los filtros escalera LC a las tolerancias de los elementos. En primer lugar abordaremos las propiedades fundamentales de las funciones de punto (impedancias o admitancias) físicamente realizables. El teorema básico para comprender dichas propiedades es el teorema de Tellegen. F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

2 SÍTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MOOPUERTAS 9. Teorema de Tellegen Consideremos un circuito genérico tal como el de la Fig.9.. Utilizando la notación que aparece en dicha figura las leyes de Kirchoff pueden escribirse como: v Aj 0 A T e (9.) Fig..4 Temes Figura 9.: (a) Circuito lineal; (b) otación a utilizar. Consideremos la suma de las potencias de cada rama v k j k para todas las ramas del circuito: v k j k v T j ( A T e) T j e T ( Aj) 0 k (9.) Esto no expresa más que la conservación de energía en el circuito. Consideremos otro circuito con distintos elementos pero con la misma topología. Por tanto, las leyes de Kirchoff permanecen válidas con la misma matriz de incidencia: Aj' 0 v' A T e' (9.3) Consideremos 66 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

3 9. Teorema de Tellegen k v k j' k (9.4) que no tiene ningún significado físico de potencia ya que v k y j k pertenecen a circuitos distintos: v k j' k v T j' ( A T e) T j' e T ( Aj' ) 0 k (9.5) Una derivación análoga conduce a v' k j k v' T j 0 k (9.6) Estas son las formas generales del teorema de Tellegen mientras que (9.) es una forma especial. Veamos cómo el teorema de Tellegen en la forma en (9.) permite obtener la forma general de impedancias y admitancias. Consideremos una monopuerta lineal pasiva RLCM de la Fig.9.. Fig..6 Temes Figura 9.: Monopuerta RLCM. Utilizando transformada de Laplace sobre la ecuación (9.): V A T E (9.7) y aplicando la transformada de Laplace sobre (9.) y tomando complejo conjugado. AJ 0 (9.8) Por tanto, V T J E T AJ 0 (9.9) o lo que es lo mismo F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 67

4 SÍTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MOOPUERTAS V ( k s )J 0 k k (9.0) Ya que la impedancia se define con la intensidad i, de sentido contrario a la corriente de la excitación, podemos expresar (9.0) como: V J V I Vk J k k (9.) Ya que la impedancia de la monopuerta es el cociente de V (s) y I (s): Zs ( ) V V I V I I I I I I V k J k k (9.) La Fig.9.3 muestra la rama más general de un circuito RLCM. En ella: V k R k + sl k sc k Jk + sm J kl l l l k (9.3) Fig..8 Temes Figura 9.3: Rama genérica de una monopuerta RLCM. Sustituyendo en (9.) se obtiene: Zs ( ) I R J + -- k k s k k J C k + s J k Lk J k + M kl k k l l k J l (9.4) Suelen utilizarse unos símbolos especiales para estos sumatorios: 68 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

5 9.3 Realizabilidad de monopuertas M o F o R k J k 0 V o k k J k 0 C k k L k J k J k + M J kl k Jl 0 l l k (9.5) Por tanto, Zs ( ) I F o + --V s o + sm o (9.6) Una derivación análoga para la admitancia conduce a: Ys ( ) I V V V k Jk k (9.7) y Ys ( ) V F o V o + s M o s (9.8) 9.3 Realizabilidad de monopuertas La cuestión básica a responder es: dada una impedancia Z(s) o admitancia Y(s), es posible encontrar una implementación para ella utilizando únicamente elementos pasivos R, L, C y M? La respuesta es: Una función de impedancia Z(s) es realizable utilizando únicamente elementos concentrados RLCM (todos ellos son positivos) si y solo si Z(s) es una función racional real positiva, es decir, si se cumplen las siguientes condiciones: a) Z(s) es una función racional real de s: Zs ( ) a 0 + a s + a s + + a n s n b 0 + b s + b s + + b m s m (9.9) donde los coeficientes a i y b j son reales por lo que Z(s) es real si lo es s. b) Si s tiene parte real no negativa, también la tiene Z(s). Es decir, a cualquier punto del. o se presenta el sentido físico de estas magnitudes ni se demuestra que la tercera es real y no negativa. F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 69

6 SÍTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MOOPUERTAS semiplano derecho cerrado del plano s le corresponde un punto del semiplano derecho cerrado del plano Z. La condición b es muy difícil de utilizar de forma práctica por lo que se pueden formular un conjunto de condiciones equivalentes: a) Idéntica a la condición a) anterior. b) Para todo ω real: Re Z( jω) 0 (9.0) c) Todos los polos de Z(s) están en el semiplano izquierdo cerrado (dentro o en el eje jω) del plano s. Todos los polos del eje jω deben ser simples, con residuos reales positivos. Dado que s0 y s también se encuentran en el eje jω, también debe cumplirse para ellos. 9.4 Síntesis de monopuertas LC 9.4. Propiedades de las inmitancias LC En las monopuertas LC R k 0 y por tanto F(s)0. Por tanto, la forma general de impedancias y admitancias es: Zs ( ) Ys ( ) V o + sm s o I V o s M o V s (9.) donde I, V, V o y M o son funciones de s, reales y no negativas para cualquier valor de s, real o complejo. Veamos las propiedades de los ceros de Z(s). Si suponemos que I es finito, en un cero s z : V o ( s z ) s z M o ( s z ) 0 s z (9.) luego s z V o ( s z ) M o ( s z ) (9.3) Dado que V o 0 y M o 0, s z es un número real no positivo por lo que los ceros son imaginarios puros (complejo conjugados para dar coeficientes reales). Las únicas excepciones son ceros en ω0 y ω. Además, dado que los ceros de Z(s) son polos en el eje jω de Y(s), que es una función real positiva, todos los ceros de Z(s) deben ser simples. 70 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

7 9.4 Síntesis de monopuertas LC Puede hacerse un argumento similar para los ceros de Y(s) (o polos de Z(s)). Por tanto, numerador (s) y denominador D(s) tienen la forma general: Ps ( ) ss ( + ω ) s ( + ω ) (9.4) donde el factor s, que representa un cero en ω0, puede estar o no presente. Puede observarse que estos polinomios contienen únicamente potencias pares o impares de s. Potencias pares de s se hacen reales cuando sjω y potencias impares se hacen imaginarias. Por tanto, si (s) y D(s) contienen solamente potencias impares o solamente potencias pares Z(jω) es real. Pero de (9.) se deduce que Z(jω) debe ser imaginaria pura. Por tanto, (s) y D(s) no pueden ser impares o pares al mismo tiempo; uno debe ser par y el otro debe ser impar. Las dos posibilidades son: Zs ( ) s ( ) ss ( + ω z ) s ( + ω z ) Ds ( ) s ( + ω p ) s Zs ( ) ( + ω p ) s ( + ω z )( s + ω z ) ss ( + ω p ) s ( + ω p ) (9.5) Luego Z(s) es una función impar de s: Z( s) Z(s). Consideremos la expansión parcial en fracciones de Z(s): k s k p jω p k' p jω p k p jω p k' p jω p Zs ( ) k s s s+ s s+ (9.6) o puede haber términos en s de orden mayor ya que no puede haber polos múltiples para s y no puede existir un término sin s ya que destruiría el carácter impar de Z(s). Si consideramos la suma de los términos correspondientes a polos complejos conjugados: k pi jω pi k' pi jω pi s s + ( k pi + k' pi )s + jω pi k pi k' pi s + ω pi ( ) (9.7) Los residuos de los polos imaginarios de las funciones reales positivas son reales y positivos. Por tanto, puede escribirse Z(s) como: k k p s k p s Zs ( ) k s s s ω p s ω p (9.8) y cambiando la notación: K 0 K s K s Zs ( ) K s s s ω s K n s + ω s + ω n (9.9) donde K, K 0 y K i también deben ser no negativos. Si hacemos sjω: F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 7

8 SÍTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MOOPUERTAS Zjω ( ) j K ω K 0 K ω K ω ω ω ω ω ω + (9.30) La función entre corchetes se denomina reactancia de la monopuerta LC: X( ω) K ω K 0 K ω K ω ω ω ω ω ω + (9.3) La derivada muestra que X(ω) es una función creciente monótona de ω: K 0 X( ω) K ω ω K ( ω + ω ) K ( ω + ω ) ( ω ω ) ( ω ω ) + (9.3) donde todos los términos son positivos para cualquier valor finito de ω: X( ω) > 0 ω< ω X( ω) K 0 ω ω (9.33) Sabemos que todos los polos y ceros de Z(s), y por tanto de X(ω) están en el eje jω. Si suponemos dos ceros consecutivos sin un polo entre ellos, se tiene la situación de la Fig.9.4a, que viola la condición (9.33). Análogamente ocurre si suponemos dos polos consecutivos sin un cero entre ellos, como se muestra en la Fig.9.4b. Luego la única posibilidad es que polos y ceros de X(ω) se encuentren entrelazados tal como se muestra en la Fig.9.4c. En resumen: ) Z(s) es el cociente de (s) impar y D(s) par o viceversa. ) La diferencia del grado de (s) y D(s) es uno ya que Z(s) y Y(s) pueden tener únicamente un polo simple para s. 3) En s0 hay un cero, si K o 0, o un polo, si K o >0. 4) En s hay un cero, si K 0, o un polo, si K >0. 5) Z(s) tiene polos y ceros simples, entrelazados en el eje jω. 6) Los residuos de todos los polos son reales y positivos Síntesis de Foster para circuitos LC La expansión parcial en fracciones posibilita una implementación directa de Z(s). Dado que las constantes K, K o y K i son positivas, puede identificarse cada término de la expansión con un elemento o una asociación de dos elementos, tal como se muestra en la Fig Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

9 9.4 Síntesis de monopuertas LC Fig. 3. Temes (c) Figura 9.4: (a), (b) situaciones imposibles; (c) característica posible. Dado que Z(s) es igual a la suma de todos estos términos, deben conectarse las impedancias en serie para conseguir la impedancia Z(s) total, tal como se muestra en la Fig.9.6. Esta implementación se denomina Foster. Hemos visto que la expansión de Y(s) tiene la misma forma general de Z(s): F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 73

10 SÍTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MOOPUERTAS Fig. 3.3 Temes Figura 9.5: Impedancias correspondientes a los términos individuales de la expansión parcial en fracciones de una impedancia LC. Fig.3.4 Temes Figura 9.6: Realización Foster de una impedancia LC. K 0 K s K s Ys ( ) K s s s ω s + + ω (9.34) Puede identificarse cada término de (9.34) con una admitancia de la Fig.9.7. Y(s) vendrá dado por la conexión en paralelo de las admitancias que implementan cada sumando, tal como se muestra en la Fig.9.8. Las realizaciones de Foster proporcionan los circuitos más económicos posibles para una impedancia Z(s) dada. Estos circuitos se denominan canónicos. 74 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

11 9.4 Síntesis de monopuertas LC Fig. 3.5 Temes Figura 9.7: Admitancias correspondientes a los términos individuales de la expansión parcial en fracciones de una admitancia LC: Fig.3.6 Temes Figura 9.8: Realización Foster de una admitancia LC:. Es fácil demostrar que en la expansión parcial en fracciones de Z(s) el término correspondiente al polo en s disminuye el orden de la impedancia restante en y se necesita un único elemento para implementar ese término. Lo mismo ocurre con el término correspondiente al polo en s0. Para cada uno de los restantes términos, correspondientes a pares de polos en el eje imaginario, se necesitan dos elementos para implementarlos y el orden de la impedancia restante se ve reducida en. F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 75

12 SÍTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MOOPUERTAS Síntesis de Cauer de monopuertas LC Hemos visto en la síntesis de Foster que por cada eliminación de un polo o un par de ellos, correspondiente a un término de la expansión en fracciones se reduce el orden de la función Z(s). Esa reducción es de para polos en s0 y s ; y para polos imaginarios. Una vez que se implementa un término, la impedancia Z (s) que queda sigue teniendo las mismas propiedades de realizabilidad de Z(s). Entonces, en lugar de expandir Z (s) e implementar otro término, se obtiene Y (s)/z (s) y se efectúa una eliminación de polos en ella. Esto corresponde a la implementación de un término en la realización de Foster. Como consecuencia de esta eliminación aún quedará una admitancia Y (s). Hacemos la transformación inversa, Z (s)/y (s), y se aplica sobre ella un paso de la realización Foster. El mismo proceso se aplica sucesivamente hasta eliminar todos los polos, resultando el circuito de la Fig.9.9(a). Los polos que se eliminan son: s0, sjω, sjω, s, etc. El circuito resultante tiene la forma general de la Fig.9.9(b) por lo que se llaman realizaciones en escalera. Originada por la eliminación sucesiva de polos en Z(s) y Y(s), por propia construcción es una realización canónica y es siempre realizable. Fig. 3.9 Temes Figura 9.9: Circuito escalera: (a) forma especial; (b) forma general. Las realizaciones de Cauer son dos formas especiales de la realización en escalera. La realización Cauer sigue el esquema anterior pero eliminando únicamente polos en s. Si suponemos que Z(s) tiene en un polo en infinito: 76 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

13 9.4 Síntesis de monopuertas LC Z Zs ( ) K s + Z K s Y (9.35) Cuando se elimina el polo Z (s) tendrá un cero en s, por lo que Y (s) tendrá un polo en la misma posición. Se repite el proceso anterior sucesivamente: Y K s + Y 3 K s Z 3 Z 3 K 3 s + Z 4 K 3 s Y 4 (9.36) Ya que cada eliminación de polo requiere un elemento para su implementación y reduce un grado el orden de Z(s) esta realización es también canónica. Si Z(s) tiene un cero en s en lugar de un polo se empieza la eliminación de polo por la admitancia en lugar de por la impedancia. El circuito resultante de la realización Cauer es el que se muestra en la Fig.9.0. Si Z(s) tieen un cero en infinito en lugar de un polo, el primer elemento será un condensador en paralelo en lugar de un inductor en serie. Fig3.0 Temes Figura 9.0: Realizaciones de Cauer de una impedancia LC. Las ecuaciones de la realización Cauer pueden agruparse en una sola: F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 77

14 SÍTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MOOPUERTAS Zs ( ) K s K s K 3 s K 4 s + (9.37) Esta forma se denomina expansión continua en fracciones de Z(s) alrededor de. Si Z(s) tiende a 0 para s tendiendo a, el primer término estará ausente. La realización de Cauer consiste en la eliminación de los polos en s0 de la función de impedancia y admitancia alternativamente. El resultado es una expansión continua en fracciones alrededor de 0: Zs ( ) K s K s K s K s (9.38) Para >3 las realizaciones de Foster y Cauer conducen a circuitos diferentes. 9.5 Síntesis de monopuertas RC 9.5. Propiedades En monopuertas constituidas únicamente por resistencias y condensadores la forma general de la impedancia y admitancia será: Zs ( ) Ys ( ) I F o + --V s o V F o V o s (9.39) En un cero se cumplirá: F o ( s z ) V o ( s z ) s z (9.40) por lo que 78 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

15 9.5 Síntesis de monopuertas RC s z V o ( s z ) F o ( s z ) (9.4) Por tanto, los ceros de Z(s) son reales y no positivos. Algo semejante se puede decir para los ceros de Y(s) por lo que polos y ceros de Z(s) están en el eje real negativo del plano s. F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 79

16 SÍTESIS DE FILTROS PASIVOS I: MOOPUERTAS 80 Análisis y síntesis de circuitos F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US