Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Transcripción

1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que interviene una letra, llamada incógnita, que significa desconocida. La palabra incógnita viene del latín in (partícula negativa) cognoscere (conocer). La letra que se suele utilizar como incógnita es la aunque puede ser cualquier otra letra. Llamamos solución de una ecuación de primer grado con una incógnita al valor que debe de tener la incógnita para que dicha ecuación se verifique. Los coeficientes son los números que acompañan a la incógnita. Los términos independientes son los números que no acompañan a la incógnita. El primer miembro es todo lo que hay a la izquierda del signo igual. El segundo miembro es todo lo que hay a la derecha del signo igual. Ejemplo La incógnita es Los coeficientes son y Los términos independientes son y El primer miembro es El segundo miembro es Ecuaciones sin paréntesis ni denominadores Ejemplo 7 ) Se colocan todos los términos que llevan incógnita en el primer miembro y todos los términos independientes en el segundo miembro, teniendo en cuenta que, lo que en un miembro está sumando pasa al otro miembro restando y viceversa. A esta operación también se le denomina transponer términos. 7 ) Se agrupan (reducen) los términos semejantes, es decir, se agrupan todos los términos con incógnita del primer miembro por un lado y todos los términos del segundo miembro por otro lado. ) Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al segundo miembro dividiendo (con el signo que tiene en el primer miembro). Si la división no sale eacta se puede dejar el resultado en forma de fracción. ) Se sustituye en la ecuación original la solución que hemos obtenido y comprobamos si se verifica la igualdad. Si se verifica, la solución es correcta I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

2 ATENCIÓN! El coeficiente que está multiplicando a la incógnita pasa al otro miembro dividiendo, con el signo que tiene. 7 7 FALSO VERDADERO Resuelve mentalmente a) b) c) 9 0 d) e) Ecuaciones con paréntesis Ejemplo 7( ) ( ) Se suprimen los paréntesis multiplicando el coeficiente que tengan delante por todos los términos que hay en el interior del paréntesis (propiedad distributiva). A continuación se efectúan las operaciones como en el apartado anterior Comprobamos que se verifica la igualdad 7 ( ) ( ) ATENCIÓN! Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos los términos que hay en su interior. ( ) FALSO ( ) VERDADERO Ejemplo ( ) ( ) ( ) Problemas propuestos con soluciones a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) Soluciones a ) 0 b) Ecuaciones con denominadores Ejemplo ) Suprimimos los denominadores multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

3 m.c.m.(,) ( ) ( ) ) Eliminamos los paréntesis. ) Transponemos los términos y reducimos los términos semejantes. 0 ) Despejamos la incógnita 0 ) Sustituimos la solución en la ecuación original y comprobamos si se verifica la igualdad. A veces, al operar con el m.c.m. (denominador común), hay que introducir paréntesis en los numeradores. Ejemplo m.c.m.(,) ( ) ( ) ( ) Comprobación: Ejemplo Comprobación: 7 7 ( ) ( ) Ejemplo m.c.m.(,,) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

4 ( 7) (7 ) Comprobación: Problemas propuestos con soluciones 0 a) b) c) 7 Soluciones a) b) c) Caso general ( ) ( ) Ejemplo ) En primer lugar eliminamos los paréntesis que aparecen en los numeradores ) Suprimimos los denominadores multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. 0 0 m.c.m.(,) ( 0) (0 ) ) Eliminamos los paréntesis que han aparecido en el paso anterior. 0 0 ) Transponemos los términos y reducimos los términos semejantes. 0 0 ) Despejamos la incógnita ) Sustituimos la solución en la ecuación original y comprobamos si se verifica la igualdad. ( ) ( ) ( ) (0 ) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

5 Ejemplo ) (.c.m.(,) m ) ( ) ( Comprobación: 0 0 ) (0 0 Ejemplo 0 m.c.m.(, ) ) ( Ejemplo ) ( ) m.c.m.(,, Ejemplo I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

6 Ejemplo ) Antes de operar conviene arreglar la epresión que tenemos. Por ejemplo, es conveniente, aunque no es necesario, escribir las epresiones de la forma como para que sea más fácil operar con ellas. Nota: La epresión es equivalente a ) Quitamos los paréntesis, teniendo en cuenta que un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todos los elementos que hay en su interior. ) Quitamos los corchetes, teniendo en cuenta que un signo menos delante de un corchete cambia el signo de todos los elementos que hay en su interior. ) Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. (,,) 9 90 ) Transponemos los términos y reducimos los términos semejantes ) Sustituimos la solución en la ecuación original y comprobamos si se verifica la igualdad I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

7 Ecuaciones sin solución Ejemplo 0 Es evidente que esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome. Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución. Ejemplo ( ) ( ) Es evidente que esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome. Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución. Ecuaciones con infinitas soluciones Ejemplo 0 0 Comprobamos que cualquier valor de es solución de la ecuación. Decimos que la ecuación tiene infinitas soluciones. Ejemplo ( ) 0 0 Comprobamos que cualquier valor de es solución de la ecuación. Decimos que la ecuación tiene infinitas soluciones. ( )( ) ( )( ) Ejemplo Comprobamos que cualquier valor de es solución de la ecuación. Decimos que la ecuación tiene infinitas soluciones. I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez

8 Ejemplos con diversas variables Despejar la variable a en la ecuación Solución m (n a) mn ma Despejar la variable a en la ecuación v v Solución v v0 at a t Despejar la variable t en la ecuación v v0 Solución v v0 at t a 0 m n a ma mn v v 0 at v v 0 at mn mn a m m Despejar la variable a en la ecuación s vt at s vt Solución s vt at s vt at a t M m Despejar la variable d en la ecuación F G d GMm Solución d F GMm d F W Despejar la variable t en la ecuación P ( v v ) gt W Solución ( ) ( v v) P gt W v v t gp I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

9 Problemas propuestos con soluciones Resolver las siguientes ecuaciones simplificando al máimo el resultado. a) b) c) d) e) 7 0 f) ( ) ( ) g) ( ) ( ) h) ( ) ( ) 0 i) ( ) j) ( ) ( ) k) l) ( 7) 0 0 m) ( ) n) o) p) q) r) s) t) u) 0 v) ( ) w) ) ( ) y) z) ( ) ñ) α) ( ) [ ( )] β) [ ( ) ] ( ) Soluciones a ) b ) c) d) e ) f ) 0 g) h) 0 i) j ) k ) l ) m ) n ) 7 o ) p ) q ) r ) s ) 7 t ) 0 9 u) 7 v) 0 w) ) y) z) ñ) α) No tiene solución β) Infinitas soluciones I.E.S. Historiador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez

10 Resolución de problemas Para la resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita es conveniente realizar los siguientes pasos: Elección de la incógnita: Como incógnita se elige una de las cantidades desconocidas y las otras se relacionan con ella según el enunciado del problema. Planteamiento de la ecuación: Consiste en epresar mediante una ecuación la relación eistente entre los datos del problemas y la incógnita. Resolución de la ecuación: Consiste en resolver la ecuación que hemos obtenido, es decir, encontrar el valor de la incógnita. Comprobación: Una vez resuelta la ecuación hay que comprobar que la solución cumple las condiciones del problema. Ejemplo Un número más su doble es igual a su mitad más quince. Cuál es ese número? Problemas resueltos Elección de la incógnita: Al número, que no conocemos le llamamos. Planteamiento de la ecuación: Resolución de la ecuación: 0 0 Comprobación: ) Halla tres números consecutivos cuya suma sea 9. Sea el primer número. Por ser consecutivos los otros dos números son y 9 9 Comprobación: Los números son, y, cuya suma da 9. ) Busca un número sabiendo que, si se divide entre y al resultado se le suma se obtiene. Sea ese número. Del enunciado del problema se deduce que: 9 9 Comprobación: ) Un padre tiene años y su hijo. Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo? Sea el número de años que tienen que pasar para que la edad del padre sea el triple que la del hijo. Al cabo de años la edad del padre será y la del hijo. 0 ( ) 0 0 años Comprobación: 0 ( 0) ) La suma de dos números es y uno de ellos es unidades mayor que el otro. Cuáles son los números? I.E.S. Historiador Chabás -0- Juan Bragado Rodríguez

11 Si un número es el otro es, por tanto 0 Comprobación: 0 ) El perímetro de un rectángulo es m. Si su base es metros mayor que su altura cuánto miden la base y la altura del rectángulo? Llamamos a lo que mide la altura. Si la base es metros mayor quiere decir que mide El perímetro de un rectángulo es la suma de sus lados. Comprobación: ) La suma de cuatro números pares consecutivos es 0 Cuáles son esos números? Un número par se epresa como. El siguiente número par consecutivo a se obtiene sumando unidades al anterior, es decir,. Cuatro números pares consecutivos serán: 0 Comprobación: 0 7) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 9 personas? Sea el número de hombres que hay. Si hay el doble de mujeres que de hombres en la reunión quiere decir que hay mujeres. Si hay el triple de niños que de hombres y mujeres juntos quiere decir que hay ( y) niños. Si en total hay 9 personas tenemos: 9 ( ) Es decir, hay hombres, mujeres y 7 niños ) Se han consumido 7/ de un bidón de aceite. Reponemos l y el bidón ha quedado lleno hasta sus / partes. Calcula la capacidad del bidón. Sea la capacidad del bidón de aceite, en litros m.c.m.(,) litros 9 I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

12 9) Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 0 l. de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió / de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Calcular: a) La cantidad de gasolina que tenía en el depósito. b) Los litros consumidos en cada etapa. a) Sea la cantidad de gasolina que tenía el depósito. En la primera etapa consumió y en la segunda. La ecuación es: m.c.m.(,, ) litros b) En la primera etapa consumió litros y en la segunda litros 0) Halla tres números consecutivos tales que la mitad del menor más la tercera parte del mediano menos la quinta parte del mayor sea. Sean, y los tres números consecutivos. m.c.m.(,,) ( ) ( ) Los tres números son, 9 y Comprobación: ) En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía. Cuánto dinero tenía Ana? Sea la cantidad de dinero que tenía Ana. En el libro se gasta y en el cómic se gasta. La ecuación es: 9 9 I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

13 m.c.m.(,9) 9 9 9( ) ) La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. Cuál es el número? En un número cualquiera, por ejemplo el 7, el número 7 representa las unidades y el número las decenas, de tal manera que lo podemos escribir como Si es la cifra de las unidades entonces será la cifra de las decenas ya que el problema nos dice que son consecutivas, por tanto nuestro número, al igual que el 7, lo podemos escribir como 0 ( ). La ecuación es: [( ) ] 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 Por lo tanto, las dos cifras del número son el para las unidades y el para las decenas, es decir, el número es el. Tal como dice el enunciado ( ) ) Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan ecede en años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos. Sea la edad de Juan. Sabemos que hace años la edad del padre de Juan era el doble que la del hijo, luego hoy, que han pasado años, la edad de Juan será y la del padre. Por lo tanto, la ecuación es: ( ) 9 ( 9) 7 ) Halla tres múltiplos de consecutivos cuya suma sea. El primer múltiplo de es, el segundo será ( ) y el tercero ( ). ( ) ( ) 9 9 Los tres múltiplos de consecutivos son, 7 y 0. Comprobación: 7 0 ) Carlos se ha gastado 0 en comprar chicles de fresa y de menta. Si los de fresa cuestan céntimos cada uno y los de menta céntimos cada uno, cuántos ha comprado de cada clase? Sea el número de chicles de fresa. Si en total hay chicles, quiere decir que hay chicles de menta. En este problema es mejor utilizar céntimos en vez de euros para operar con números enteros. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

14 ( ) ) En un eamen de 0 preguntas dan puntos por cada respuesta acertada y quitan punto por cada respuesta equivocada. Si un alumno contesta todas las preguntas y obtiene puntos, cuántas respuestas ha acertado? Sea el número de preguntas acertadas. Como en total hay 0 preguntas, el número de preguntas falladas será 0. Podemos platear la siguiente ecuación: (0 ) 0 El alumno ha acertado preguntas y ha fallado 7. 7) Para organizar una ecursión de un grupo de amigos, cada uno ha puesto. Si hubieran sido tres más, sólo hubieran tenido que poner. cuántos amigos han ido a la ecursión? Sea el número de amigos que han ido a la ecursión. ( ) ) Las entradas para un concierto se pusieron a la venta al principio de la semana: el lunes se vendieron / del total, el martes / de las restantes, el miércoles 0 y sobraban todavía /0 del total de entradas. Cuál era el aforo del local? Sea el número total de entradas m.c.m.(,,,0) personas 9) La edad actual de Sergio es el doble que la de su hermana Raquel, pero hace 0 años la edad de Sergio era el triple que la de Raquel. Cuántos años tienen actualmente cada uno? Sea la edad actual de Raquel, por lo tanto la edad actual de Sergio es. 0 ( 0) Actualmente Raquel tiene 0 años y Sergio 0. 0) En una central quieren mezclar dos tipos de leche: una de céntimos el litro y otra de 9 céntimos el litro, de modo que la mezcla de 0 litros les sale a 90 céntimos el litro. Cuántos litros de leche de cada clase se mezclan? Sea la cantidad de leche de céntimos el litro. Si en total hay 0 litros quiere decir que la cantidad de leche de 9 céntimos el litro que se mezcla es de 0. La ecuación que se plantea es: 9(0 ) Hay que mezclar 00 litros de leche de céntimos el litro con 0 litros de leche de 9 céntimos el litro. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

15 ) Cuántos litros de agua hay que añadir a 0 litros de zumo concentrado que cuesta a el litro, para obtener una bebida que resulte a 7 el litro? Sea el número de litros de agua a añadir. 0 7 (0 ) litros de agua hay que añadir 7 ) Un coche y una motocicleta parten a las 0 de la mañana el uno hacia el otro desde dos pueblos que distan 90 km. Sabiendo que el coche va al doble de velocidad que la motocicleta y que se cruzan a las 0, a qué velocidad va cada uno? dónde se cruzan? Tardan horas en cruzarse. Si v es la velocidad de la motocicleta y v la velocidad del coche, teniendo en cuenta que el espacio recorrido por cada uno de ellos es igual a e v t, podemos plantear la ecuación de la siguiente manera: v v 90 v 90 v 0 km/h La motocicleta va a 0 km/h y el coche a 0 km/h. La motocicleta recorre e 0 0 km. y el coche km. ) Un grifo A llena un depósito de agua en horas y otro grifo B lo llena en horas. Cuánto tiempo tardarán los dos grifos en llenar el depósito? En este tipo de problemas se calcula primero qué fracción de depósito llena cada grifo por separado en una hora, a continuación se calcula qué fracción de depósito llenan los dos grifos juntos en una hora y finalmente se halla el tiempo que tarda en llenarse el depósito con los dos grifos abiertos. Vamos a llamar al tiempo que tardarán en llenar el depósito los dos juntos. Como se observa en el dibujo, el grifo A llena en una hora del depósito y el grifo B llena en una hora del depósito. Entre los dos llenan en una hora de depósito. Veamos ahora el tiempo que tarda en llenarse el depósito con los dos grifos abiertos. Si un grifo tarda horas en llenar un depósito quiere decir que en una hora llena / de depósito. Si los dos grifos llenan / de depósito en una hora significa que tardan en llenarlo / horas, es decir, horas. Este resultado se obtiene sin más que despejar la incógnita en la igualdad anterior: horas horas horas 0 horas horas y 0 0 minutos horas y minutos I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

16 ) Un carpintero hace un trabajo en días y su ayudante en 7 días. Entre los dos juntos cuánto trabajo pueden realizar en un día? cuánto tiempo tardarán en realizar el trabajo entre ambos? El carpintero hará en un día del trabajo y su ayudante 7. Entre los dos harán en un día En un día harán del trabajo. El tiempo que tardarán los dos juntos es 9 días ) Los dos surtidores de una fuente llenan un depósito en horas. Cuánto tiempo tardaría en hacerlo cada uno por separado sabiendo que el segundo surtidor invierte el doble de tiempo que el primero? Si los dos surtidores juntos tardan en llenar un depósito horas, quiere decir que en una hora llenan / de depósito. Si un surtidor tarda horas él solo y el otro tarda el doble entonces: horas Un surtidor tardaría en llenar el depósito horas y el otro el doble, es decir, horas. ) Un obrero coloca 7 ladrillos en h0, otro coloca 00 ladrillos en h y otro coloca ladrillos en h0 cuánto tardarán en colocar 000 ladrillos juntos? Ponemos el tiempo en minutos. h 0 0 h 0 h El primer obrero colocará en minuto ladrillos El segundo obrero colocará en minuto ladrillos. 0 El tercer obrero colocará en minuto ladrillos. 0 Los tres juntos colocarán en un minuto minutos 0 h 0 0 7) Un reloj marca las en punto. A qué hora entre las y las se superpondrán las dos agujas? El ángulo o arco que describe el minutero es siempre veces mayor que el arco que describe la aguja horaria, ya que mientras que la aguja horaria recorre en una hora un arco de 0º la aguja correspondiente al minutero da una vuelta completa ( 0º 0º ). I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

17 Sea el arco que recorre la aguja horaria. La aguja del minutero recorrerá un arco de. Como el recorrido del minutero es veces el recorrido de la aguja horaria podemos plantear la ecuación: minutos m y 0 0 seg m y s Esto significa que las dos agujas se superpondrán a las h m s. ) Un reloj marca las en punto. A qué hora formarán sus agujas por primera vez un ángulo recto? Las agujas del reloj formarán un ángulo recto a las h m y un poco más que llamaremos. 77 minutos m y seg m y s Esto significa que las dos agujas formarán 90º a las h 7 m s. I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez

18 Problemas propuestos con soluciones ) Calcula un número sabiendo que sus tres cuartos superan en unidades a su mitad. Solución: ) La construcción de una carretera entre dos pueblos se inicia a la vez por ambos etremos. Al cabo de un mes, lo construido por un etremo es ¾ de lo construido por el otro, y faltan por construir 00 m, que es el doble de lo que se ha hecho. Qué longitud va a tener la carretera? Solución: 00 m ) Un depósito está lleno de agua. En una primera etracción se saca / de su contenido, en una segunda etracción se sacan 0 litros y, por último, se sacan / del agua restante, quedando aún 0 litros. Calcula la capacidad del depósito. Solución: 0 litros ) En una familia trabajan el padre, la madre y el hijo mayor, ganando conjuntamente 0 al mes. La ganancia de la madre es igual a los / de la del padre, y la del hijo ½ de la de su madre. Cuánto gana cada uno? Solución: El padre gana 00, la madre 70 y el hijo 0 ) La nota media de tres evaluaciones de Carmen en el área de matemáticas se obtiene sumando las tres notas y dividiendo entre tres. Si ha sacado un y un 7 en las dos primeras evaluaciones, qué nota ha de sacar en la tercera para alcanzar una nota media de? Solución: 7 ) Un triángulo isósceles tiene de perímetro 0 cm.. Calcula la longitud de sus lados sabiendo que el lado desigual mide la mitad que cada uno de los otros dos. Solución: Los lados iguales miden cm. y el lado desigual cm. 7) Una pared de metros cuadrados está pintada de dos colores, blanco y azul. La superficie de blanco es veces la mitad de la superficie de azul. Qué superficie está pintada de cada color? Solución: 9 m de blanco y m de azul. ) Dos grifos llenan un depósito en horas. Uno de ellos en solitario lo llenaría en horas. Cuánto tardaría en llenarlo el otro grifo? Solución: horas 9) Una furgoneta sale de un punto A, a una velocidad de 0 km/h. Hora y media más tarde sale del mismo punto un coche a una velocidad de 00 km/h Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar la furgoneta? Solución: El coche tarda horas en alcanzar la furgoneta a 00 km. de A 0) Un mercancías y un epreso salen de una ciudad a las de la mañana en sentidos opuestos. Sabiendo que el mercancías lleva una velocidad de 0 km/h y el epreso de 90 km/h, a qué hora estarán separados 0 km de otro? Solución: A las de la mañana I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez