Instituto Politécnico Nacional

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1 Instituto Politécnico Nacional ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LOPEZ MATEOS SECCIÓN DE ESTUDIO DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN Análisis de los componentes de un sistema de transmisión de variación continua TESIS DE MAESTRÍA QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA PRESENTA: ING. RUBÉN DANIEL GÓNGORA CORTE DIRECTOR DE TESIS: M. en C. GABRIEL VILLA Y RABASA MÉXICO, D.F. JUNIO 2006

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3 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARIA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO CARTA CESION DE DERECHOS En la ciudad de México, D.F. 31 del mes Mayo del año 2006 al que suscribe Rubén Daniel Góngora Corte Alumno del programa de Maestría en Ciencias en Ingeniería opción diseño con numero de registro A adscrito a la Sección de Estudio de posgrado e investigación de la ESIME Unidad Zacatenco, manifiesta que es autor intelectual del presente Trabajo de Tesis bajo la dirección del M en C Gabriel Villa y Rabasa y cede los derechos de este trabajo : Análisis de los componentes de un sistema de transmisión de variación continua al Instituto Politécnico Nacional con fines Académicos y de investigación. Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos del trabajo sin permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la dirección siguiente: rubgon@yahoo.com. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo. RUBÉN DANIEL GONGORA CORTE iii

4 Dedicatorias A mi Esposa: Verónica Ángeles Hernández A mi hijo: Rubén Alberto Góngora Ángeles A mi padre: Rubén Vicente Góngora Santana A mi madre: María Inés Imelda Corte Molina A mis Hermanos: Raymundo, Juan Carlos, Edgardo, Reina A mis sobrinos Nait, Sergio, Anel, Andrea y Jasmin iv

5 Índice. Índice....i Índice de figuras...iii Índice de tablas...iv Índice de fotografías...iv Simbología... v Resumen...vii Abstract...vii Objetivo...viii Justificación...viii Introducción Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de Transmisión de Variación Continua y del Método del Elemento Finito Tipos de transmisiones de variación continua Sistema de transmisión continúa por fricción Sistemas de transmisión de variación continua hidrostático Sistema de transmisión continua con mecanismos eslabonados y dentados El método del elemento finito (MEF) Construcción del MEF a través de software Errores MEF Tipos de elementos Elementos sólidos en forma de tetraedro de primer orden Elementos sólidos en forma de tetraedro de segundo orden Elementos para placas delgadas en forma triangular de primer orden Elementos para placas delgadas en forma triangular de segundo orden Esfuerzos de Huber Referencias Capítulo 2 Descripción funcional del sistema de transmisión de variación continua de cremalleras y piñón Funcionalidad del sistema Componentes del sistema Diseño y fabricación del prototipo STVC piñón cremalleras Referencias Capítulo 3 Análisis de los componentes del Sistema de Transmisión de Variación Continua de cremalleras y piñón por el método del elemento Finito Análisis del engrane del STVC Análisis por métodos numéricos Análisis experimental Análisis de la cremallera y separador del STVC Capítulo 4 Análisis de resultados Resultados Numéricos del engrane i

6 4.1.1 Resultado de tensiones Resultados experimentales Análisis de resultados del engrane Conclusiones Bibliografía Trabajos futuros ii

7 Índice de figuras Figura 1. 1 Comparación de TM y un STVC... 3 Figura 1. 2 Primeros STVC toroidal... 5 Figura 1. 3 Tipos de STVC Toroidal... 5 Figura 1. 4 STVC toroidal de un motor NISSAN... 6 Figura 1. 5 Funcionamiento básico de un STVC Hidrostático... 7 Figura 1. 6 STVC Hidrostáticos... 8 Figura 1. 7 STVC Hondamatic... 8 Figura 1. 8 Sistema hondamatic... 9 Figura 1. 9 Sistema de control de hondamatic... 9 Figura Representación de STVC de mecanismos dentados Figura STVC con mecanismos articulados y dentados Figura Preparación del modelo geométrico en CAD Figura Preparación del modelo MEF Figura Elemento sólido en forma de tetraedro de primer orden antes y después de deformado Figura Malla con elementos sólidos en forma de tetraedro Figura 1. 16Elemento sólido en forma de tetraedro de segundo orden antes y después de deformado Figura Malla con elementos sólidos en forma de tetraedro de segundo orden Figura Elemento triangular de primer orden Figura Malla de elementos triangulares para placas delgadas de primer orden Figura Elemento triangular de segundo orden Figura Malla de elementos triangulares para placas delgadas de segundo orden Figura 2. 1 STVC de cremalleras y piñón para una bicicleta Figura 2. 2 STVC de cremalleras y piñón Meter J. E. Irvin Figura 2. 3 STVC de cremallera y piñón Figura 2. 4 Arreglo piñón cremallera Figura 2. 5 Configuración del STVC cremallera piñón Figura 2. 6 Partes de un STVC de cremallera y piñón Figura 2. 7 Estructura STVC de cremallera y piñón Figura 2. 8 Rotor de entrada de un STVC de cremallera y piñón Figura 2. 9 Rotor de entrada de un STVC de cremallera y piñón Figura Esfuerzos principales Von Mises Figura 3. 1 Componentes de esfuerzo Figura 3. 2 Componentes de esfuerzo Figura 3. 3 Esfuerzos Principales Figura Modelo CAD del engrane Figura Aplicación de cargas y restricciones en el modelo CAD Figura Malla generada en el engrane Figura Solución gráfica de esfuerzo von mises iii

8 Índice de tablas Tabla 3. 1 Características que aplica un modelo MEF Tabla 4. 1 Propiedades mecánicas de acero AISI Tabla 4. 2 Propiedades del estudio Índice de fotografías Fotografía 3. 1 Montaje de proveta Fotografía 3. 2 montaje de polariscopio Fotografía 3. 3 Aproximación de identador Fotografía 3. 4 Aplicación de carga de ocho newton Fotografía 3. 5 Aplicación de carga de cincuenta newton iv

9 Simbología Símbolo W T Km H RPM DQ DP θ R θ W V R T U F SX SY SZ TXY TYX TXZ TZX TYZ TZY P1 Descripción Velocidad angular Torque Kilómetros Horas Revoluciones por minuto Incremento de gasto Incremento de presión Ángulo de recorrido de la cremallera Ángulo de recorrido del rotor Velocidad angular de salida Velocidad Radio de giro Tiempo Vector unitario Fuerza Esfuerzo en la dirección X que actúa con normalidad en el plano YZ. Esfuerzo en la dirección Y que actúa con normalidad en el plano XZ. Esfuerzo en la dirección Z que actúa con normalidad en el plano XY. Esfuerzo en la dirección Y que actúa con normalidad en la dirección X (plano YZ) Esfuerzo en la dirección X que actúa con normalidad en la dirección Y (plano XZ) Esfuerzo en la dirección Z que actúa con normalidad en la dirección X (plano YZ) Esfuerzo en la dirección X que actúa con normalidad en la dirección Z (plano XY) Esfuerzo en la dirección Z que actúa con normalidad en la dirección Y (plano XZ) Esfuerzo en la dirección Y que actúa con normalidad en la dirección Z (plano XY) Esfuerzo normal en la primera dirección principal (más v

10 P2 P3 T S N K J W In Mm Cm grande). Esfuerzo normal en la segunda dirección principal (intermedia). Esfuerzo normal en la tercera dirección principal (más pequeña). Esfuerzo cortante Esfuerzo normal Newton Grados kelvin Joules Watts Pulgadas Milímetros Centímetros vi

11 Resumen En este trabajo se determinan los esfuerzos generados por cargas estáticas aplicadas a los elementos piñón, cremallera y separador de un sistema de transmisión de variación continua (STVC), con la finalidad de establecer los limites elásticos de estos componentes. Para la determinación de los esfuerzos y desplazamientos de los componentes del STVC se realizó una simulación numérica utilizando el software COSMOS WORKS, el cual resuelve las ecuaciones de Intensidad del esfuerzo (P1-P3) y Von Mises. Las mallas se realizaron con elementos tetraédricos, esta se refinó en la raíz del diente que es el área que necesita mas precisión, debido a que en esta área se presentan los mayores esfuerzos. Las condiciones para esta simulación fueron las siguientes: una carga de 50 N, el módulo de elasticidad del acero AISI 1020 de 2E+11 Nm 2, el coeficiente de Poisson de 0.29 y un límite elástico de E8 Nm 2. Los resultados obtenidos fueron que el esfuerzo maximo a tensión fue de 1.4 MPa validado por el método experimental. Estos resultados muestran que el material seleccionado para los componentes fueron los apropiados debido a que no rebasan los límites de elasticidad. Abstract In this work the stress are determined generated by loads statics applied to the elements gear, zipper and separator of Continuous Variation Transmission (CVT), with the purpose of settling down the you limit elastic of this components. For the determination of the stress and displacements of the components of the STVC it was carried out a numeric simulation using the software COSMOS WORKS, which solves the equations Von Mises. The meshes were carried out with elements tetrahedral, this you refines in the root of the tooth that is the area that it needs but precision, because in this area the biggest stress are presented. The conditions for this simulation were the following ones: a load of 50 N, the module of elasticity of the steel AISI 1020 of 2E+11 Nm2, the coefficient of Poisson 0.29 and an it limits elastic of E8 Nm2. The results obtained 1.4 Mpa. These results show that the material selected for the components was the appropriate ones because they don't surpass the limits of elasticity. vii

12 Objetivo Analizar los esfuerzos en los componentes piñón, cremallera, y separador de un sistema de transmisión continua, utilizando el método del elemento finito y fotoelástico. Justificación Los sistemas de transmisión de potencia se han desarrollado y han evolucionado a través de nuestra historia, en la actualidad se está trabajando con los sistemas de variación continua, en octubre de 2003 el CINVESTAV-IPN solicita la colaboración del Centro Nacional de Actualización Docente (CNAD) para el diseño y construcción de un sistema de transmisión de variación continua, basados en el modelo cinemático propuesto en De Silva et al. El trabajo doctoral del M. en C. Edgar A. Portilla Flores, está basado en la optimización del sistema en donde su principal enfoque se encuentra en el modelo cinemático. El CNAD construyó el prototipo de forma empírica con la colaboración del titular de este trabajo, debido a esto, y de que no se encuentra ninguna información del análisis de esfuerzos de los componentes de un sistema similar. Se decidió desarrollar este trabajo. Así mismo dar continuidad a los trabajos de diseño realizados en la SEPI-ESIME U. Zacatenco, tales como los desarrollados por el M. en C. Gabriel Villa y Rabasa, el M. en C. Herlindo Pérez Mata, el Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón y M en C Juan Manuel Sandoval Pineda. Los trabajos presentados para este STVC se enfocan principalmente en la optimización cinemática y en ninguno de ellos se reporta el análisis de esfuerzos del sistema, es por ello la importancia de realizar el análisis de esfuerzos de sus componentes principales. De esta forma vemos que la importancia potencial de este trabajo es el de dar pie a la investigación de STVC de cremalleras piñón para una aplicación industrial. El desarrollo de los STVC se han realizado en países como Canadá, Rusia, Alemania, Japón, Estados Unidos entre otros, lo que nos hace depender de su tecnología por lo cual es importante seguir con estos trabajos para lograr nuestra propia tecnología. viii

13 También es importante señalar que este trabajo es base para la aplicación de un sistema de transmisión en el proyecto de investigación Interacción mecánica entre el apero y suelo para las condiciones de los Valles Centrales de Oaxaca a cargo del M en C Fidel Diego Nava de CIIDIR Oaxaca. Finalmente es importante mencionar que este trabajo se realizó dentro del proyecto de investigación denominado Validación numérico-experimental de esfuerzos en elementos constituidos por materiales biológicos materiales compuestos y materiales metálicos, con clave de proyecto CGPI en la SEPI-ESIME dirigida por M en C Gabriel Villa y Rabasa. ix

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15 Introducción Introducción. Los sistemas de transmisión continúa SVT se han desarrollado desde los inicios de la industria automotriz sin embargo con la globalización y la competencia en la eficiencia de combustibles, ha sido uno de los desarrollos en nuestros días como se muestra en el capitulo uno. Uno de estos sistemas es el de cremallera piñón desarrollado por Bruce H. Kazuta que patentó el 31 de enero de 1989 que se trata en el capítulo dos. El trabajo de Kazuta se ha retomado en el Canadá por sus colaboradores en el año 2003 se construye un prototipo en el CNAD a petición del CINVESTAV para optimizar el funcionamiento del sistema. En las publicaciones de estos trabajos su enfoque es sobre la cinemática del CVT y no del análisis de esfuerzos de sus componentes de tal forma que en el capítulo tres de este trabajo se presenta el análisis del engrane, cremallera y separador del prototipo utilizado en el CINVESTAV. El análisis de resultados es tratado en el capítulo cuatro 1

16 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de Transmisión de Variación Continua y del Método del Elemento Finito El término de "Transmisión" se aplica en forma genérica a los sistemas a través de, un elemento impulsor o de entrada el cual es movido por un agente externo, transmite movimiento o hace girar a otro elemento que no es axial. Dichos sistemas de transmisión son clasificados como flexibles y rígidos. Los sistemas de transmisión flexible, son aquellos que tienen como elementos principales de funcionamiento las bandas, cadenas, poleas y cables. Los sistemas de transmisión rígidos tienen como elementos principales los engranes piñones y cremalleras. En ambos tipos de transmisión la función primordial puede ser la de reducir velocidad, amplificar el par u obtener la transferencia de potencia más eficiente entre el elemento impulsor con una carga dada. Esta función llamada "relación de transmisión " se define mediante la ecuación (1.1) y puede ser modificada de acuerdo a los diferentes elementos mecánicos que componen el sistema de transmisión. 1 r = = ω ω 2 T T 1 2 (1.1) donde: ω 1 = Velocidad angular de entrada (rad/seg). ω 2 = Velocidad angular de salida (rad/seg). T 1 = Par de entrada (N-m). T 2 = Par de salida (N-m) Una transmisión de variación continua (STVC) es aquella en la que la relación de transmisión puede cambiar continuamente, es decir en incrementos infinitesimales o con una resolución infinitesimal sobre el rango establecido. La transmisión de variación infinita (TVI) es un tipo de transmisión continua la cual asegura una transmisión de variación infinita proporcionando la variación cero de la transmisión con un eje de salida sin movimiento y el eje de entrada con una velocidad diferente de cero.[1] Las transmisiones manuales (TM) son las más comunes en los automóviles de hoy, esta transmisión permite solamente un sistema limitado de cocientes fijos del 2

17 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua engranaje. La TM dispone generalmente de 5 cocientes del engranaje, aunque hay cajas de engranajes con 6 o 7. STVC (Sistema de transmisión de variación continua) es un sistema que permite variar progresivamente el cociente de la transmisión. Seleccionando un número infinito de cocientes, (entre un mínimo y un valor máximo). Las STVC permiten que las revoluciones por minuto (RPM) sea óptima a cualquier velocidad de un vehículo por lo tanto provocan bajo consumo, menos emisiones de gas y mejor eficiencia. Es ventajoso usar un STVC, en lugar de una transmisión manual. Esto es principalmente porque siempre operará en los regímenes óptimos de aceleración y posición, adaptados a las condiciones variantes del camino y demanda de potencia. Pero esta ventaja es bastante para superar las limitaciones inherentes y dispersiones de la fricción común en un STVC? En un caso real: con un vehículo pequeño vendido en Europa en se representan los resultados para acelerar a 100km/h, [6] ver figura 1.1 TM STVC Km/h Km/h Figura 1. 1 Comparación de TM y un STVC 1.1 Tipos de transmisiones de variación continua La historia de este tipo de mecanismos se remonta al siglo XV, Leonardo de Vinci bosqueja la idea de una transmisión de variación continua en el año de En la industria automotriz de inicio del siglo XX, General Motors desarrolla a principio de los años 30 s un STVC de tipo Toroidal la cual no se implementó comercialmente debido al costo, sin embargo en los años sesentas se retoma la investigación sobre ese tipo de sistemas de transmisión. En el año de 1958 se comercializó un vehículo con transmisión de variación continua denominada "variomatic en un pequeño carro fabricado por la compañía alemana DAF. [1] 3

18 En la actualidad ese tipo de sistemas tienen un uso en aumento en la industria en general pero en especial en la automotriz debido a la necesidad de proveer a los automóviles con mejoras tecnológicas en motores, transmisiones y carrocerías. Existen diferentes tipos de sistemas de transmisión de variación continua (STVC), que se pueden clasificar de la siguiente manera: STVC por fricción. STVC hidrostáticas. STVC de mecanismos articulados y dentados Sistema de transmisión continúa por fricción Este tipo de STVC ha sido pionero en el desarrollo de los tres tipos, uno de los automóviles de Ford utilizó un STVC por fricción de una construcción bastante simple que consistía en un disco acoplado a las ruedas del automóvil, otro disco acoplado al motor por un eje y una palanca que movía al disco del eje. Era un sistema muy ingenioso pero con un desgaste muy alto lo que provocó desechar el STVC. Dentro de los STVC por fricción se encuentran los de poleas cónicas y bandas, esferas y toroidales, estos últimos con una aplicación actual en la industria automotriz. Charles W. Cace de Richmond, fué el primero en el mundo en concebir el principio de un STVC toroidal. Su invención se contiene en la patente de EE.UU , el 27 de noviembre de En la patente (Fig. 1.2 A), la rueda oscilante E se coloca entre los discos B y D, por la variación del ángulo de esta rueda, la velocidad se cambia. Los discos B y D son esféricos. En 1943, Wright Aeronautical inventaron el medio toroidal STVC. Wright adquirió una patente de Charles E. Kraus en 1959 y desarrolló el STVC mostrado en la Fig. 1.2 B. En 1973 Charles Kraus y su hijo, James dirigieron las pruebas en un Ford Pinto con 85 HP la relación de transmisión del STVC era de 2.65:1 a 0.6:1. De los resultados de esta prueba, ellos concluyeron que el STVC era capaz de tener buena aceleración, alta eficiencia de combustible y vehículo limpio de emisiones.[1] 4

19 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua Figura 1. 2 Primeros STVC toroidal NSK empezó el desarrollo de un STVC en 1978 y tuvo éxito mercantilizándolo en NissanMotors en los modelos Cédric y Gloria año1999. En 1978, el Profesor Tomoo Ishihara del Instituto de Ciencia Industrial, de la universidad de Tokio sugirió que la transmisión automática, cambiaría a la del STVC debido a su eficacia de combustible. Con ello NSK S.A, inició el desarrollo de un STVC toroidal con la participación del grupo de investigación del profesor Ishihara. Donde desarrollaron un STVC del tipo media toroidal como se muestra en la figura 1.3 [7] Figura 1. 3 Tipos de STVC Toroidal 5

20 Muestra la historia el desarrollo de prototipos de NSK, el enfoque de desarrollo era para los artefactos pequeños y paciencia en los experimentos. En1987, no se hicieron los prototipos completos, si no fue enfocando el esfuerzo en cambio en los discos y rodillos de poder que se han vuelto la UNIDAD de POWERTOROS. Finalmente, se muestra fotografía y un esquema del STVC instalado en un motor Nissan que se presenta en el ' Cédric y Gloria ver figura 1.4 Figura 1. 4 STVC toroidal de un motor NISSAN 6

21 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua Sistemas de transmisión de variación continua hidrostático El Principio: STVC Hidrostáticos convierten el movimiento rotatorio en el flujo de fluido (la bomba hidrostática), y entonces este a un movimiento rotatorio ver figura 1.5 (el motor hidrostático)[4]. Entrada Salida Bomba Figura 1. 5 Funcionamiento básico de un STVC Hidrostático En algunos casos el flujo del fluido es continuamente variado por la bomba del desplazamiento inconstante. Hay otros casos dónde la unidad del desplazamiento inconstante es el motor hidrostático, o ambos. El Principio: STVC Hidrostáticos convierte el movimiento rotatorio en el flujo de fluido (la bomba hidrostática), y entonces este a un movimiento rotatorio (el motor hidrostático). Los tipos más comunes de unidades hidrostáticas son: Bomba de eje torcido (el ángulo variable) ver figura 1.6 a Bomba de pistón radial (el eje variable) ver figura 1.6 b Bomba de paletas (el eje variable) ver figura 1.6 c 7

22 a b c Figura 1. 6 STVC Hidrostáticos Honda desarrollo un STVC Hidrostático llamado Hondamatic.(figura 1.7)[3] Figura 1. 7 STVC Hondamatic En una descripción muy simplificada, Hondamatic es una bomba hidráulica en donde la fuerza del fluido hidráulico es, a través de pistones secuenciales. Del otro lado de estos pistones, el fluido es presurizado y entra en un segundo juego de pistones que empujan contra un plato angulado ver figura 1.8 (llamado plato de chorro). 8

23 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua Bomba de movimiento Motor de movimiento alternativo Figura 1. 8 Sistema hondamatic El cuerpo del cilindro que sostiene los pistones es el splined del árbol de transmisión, la presión ejercida en el plato de chorro hace girar el cuerpo. Cuando el ángulo del plato de chorro del motor hidráulico es ajustado, el cuerpo (y, por consiguiente, el árbol de transmisión) gira más rápidamente o más lentamente ver figura 1.9 El STVC trabaja con dos modos de la transmisión automáticos (Máximo desarrollo D1 o máximo torque D2) seleccionados en la Unidad de Mando the Engine Control Unit (ECU) de forma continua se monitorea la posición del plato de chorro para posicionarlo a la proporción óptima. Usando el modo de ESP, el ECU instruye el motor de mando para mover el plato del motor hidráulico para prefijar los ángulos y simular la selección de engranaje específico. Figura 1. 9 Sistema de control de hondamatic 9

24 1.1.3 Sistema de transmisión continua con mecanismos eslabonados y dentados Estos STVC convierten el movimiento uniforme a movimiento alternativo, y entonces lo rectifica casi uniformemente. Se produce el movimiento rotatorio a la entrada del sistema el cual se convierte en reciprocante por medio de un mecanismo, el movimiento reciprocarte se rectifica por un mecanismo a manera de embrague.así, el movimiento reciprocante se rectifica a un movimiento rotatorio unidireccional. Es posible ajustar la velocidad de este movimiento rotatorio simplemente ajustando el mecanismo de embrague.(figura 1.10)[5] Figura Representación de STVC de mecanismos dentados A continuación se listan algunos STVC con mecanismos articulados y dentados. que se han desarrollado (figura 1.11): Constantinesco Zero-max Epilogics Senté Barloworld Luk Companyx Lestraneng Transrevolution Rowingbike Alenax-"TransBar-Power" StringBike Cremallera piñón 10

25 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua Constantinesco epilogics senté barloworld luk companyx lestraneng transrevolution rowingbike StringBike Alenax-"TransBar-Power" Cremallera piñón Figura STVC con mecanismos articulados y dentados. De la lista anterior se destaca que Barloworld es una compañía sudafricana que se ha dedicado al desarrollo de STVC. Tambien destacado el STVC Luk ya que su desarrollo está puesto en diversos automóviles europeos y en forma particular el STVC cremalleras piñón. 11

26 1.2 El método del elemento finito (MEF) En términos matemáticos el Método del Elemento Finito (MEF), es una técnica numérica de resolver problemas en el campo descrito por ecuaciones diferenciales parciales. Este tipo de problemas normalmente son encontrados en muchas disciplinas de la ingeniería, como en el diseño mecánico, acústica, electromagnetismo, dinámica de fluidos y otras. En ingeniería mecánica, MEF es ampliamente usado en la solución de estructuras, vibraciones y problemas térmicos. MEF no es la única herramienta disponible de análisis numérico. Otros métodos numéricos utilizados por la ingeniería son: Método Diferencial Finito (MDF) Método de Elemento Frontera (MEFr) Método de Volumen Finito (MVF) Sin embargo, debido a la versatilidad y alta eficiencia numérica, MEF ha sido el software dominante en el mercado para los análisis de ingeniería, mientras otros métodos específicos sólo para alguna aplicación. Usando MEF se puede analizar cualquier forma, usa varias maneras de conceptuar la geometría y produce resultados con exactitud deseada. En la teoría MEF, la formulación de problemas numéricos y los métodos de solución vienen completamente transparentes cuando se implementa un software moderno. Indistintamente de la complejidad del proyecto o el campo de aplicación, los pasos fundamentales en cualquier MEF son siempre los mismos sea por ejemplo estructurales, térmicos o análisis acústico. El punto inicial para cualquier análisis es la geometría del modelo. A este modelo se asignan las propiedades de material y se definen cargas y restricciones. Después como siempre que se usan herramientas basadas en aproximaciones de métodos numéricos, se discretiza el modelo. El proceso de discretización mejor conocido como generación de malla, divide el modelo en relativamente pequeñas y simples formas llamadas elementos finitos para dar énfasis al hecho que ellos no son infinitesimalmente pequeños, pero solo razonablemente pequeños en comparación con el tamaño del modelo Desde la perspectiva del software MEF, se requieren tres pasos: Preproceso o El tipo de análisis ( Estático, Térmico, Frecuencia) o Propiedades del material o Definición de cargas y restricciones o Tipo de malla Solución Computando los resultados deseados 12

27 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua Pos proceso Análisis de resultados Desde la perspectiva de la metodología MEF, se listan los siguientes pasos: Construcción matemática del modelo Construcción del modelo de elemento finito Solución modelo del elemento finito Análisis de resultados 1.3 Construcción del MEF a través de software El análisis con un software MEF comienza con la geometría de una parte o ensamble de un software CAD como SolidWorks. Se genera la malla con elementos correctos y razonablemente pequeños, malla de elementos finitos. En donde pequeño se refiere más a la cantidad de elementos que al tamaño. Los requerimientos para generar la malla son muy importantes. Asegurarse que la geometría proporcionada por el CAD, pueda generar la malla y que la malla producida proporcione la solución correcta de los datos de interés, como los desplazamientos, las tensiones, la distribución de temperatura, y así sucesivamente. Frecuentemente pero no siempre, para generar la malla es necesario modificar el modelo provisto por el CAD. Tales modificaciones pueden tomar la forma de recaracterizar, idealización, y/o limpieza. Recaracterizar Se refiere al proceso de suprimir o remover características de la geometría que sean insignificantes para el análisis, como chaflanes, redondeos logos y así sucesivamente. Idealización Se presenta como un ejercicio más agresivo que puede partir de la geometría sólida del CAD, por ejemplo, al representar paredes delgadas con superficies. Limpieza Se refiere a simplificar la geometría del modelo CAD. Es importante mencionar que no siempre se simplifica el modelo CAD con el objetivo de generar la malla. Frecuentemente se simplifica el modelo con el objetivo de tener la malla correcta, pero la malla resultante sería demasiado grande y por 13

28 consiguiente, el tiempo de ejecución del análisis es el más corto. La generación exitosa de la malla depende tanto de la calidad de la geometría del modelo como en la sofisticación de las herramientas para generar mallas del software MEF. Idealización de geometría (Si es Necesario) Tipo de análisis Material Soportes Cargas Modelo Matemático Geometría CAD CAD Geometría simplificad MEF Preproceso Figura Preparación del modelo geométrico en CAD Ahora el modelo matemático divide en elementos finitos a través de un proceso de discretización, mejor conocido como generación de malla. La discretización visual manifiesta por si misma la generación de la malla geométrica. Sin embargo, las cargas y soportes son también discretizados, después de haber sido generada la malla, las cargas y soportes son aplicados a los nodos de los elementos finitos de la malla. Discretización Solución Numérica Modelo Matemático MEF Pre-proceso Modelo MEF MEF Solución Resultados MEF MEF Pos-proceso Figura Preparación del modelo MEF 14

29 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua 1.4 Errores MEF En el proceso para crear el modelo matemático y la generación de elementos finitos inevitablemente se generan errores: 1. Al formular el modelo matemático se introducen errores en el modelo tambien llamados errores de idealización. 2. Al discretizar el modelo matemático se generan errores en la discretización. 3. Al obtener la solución introduce errores numéricos De estos tres tipos de errores solo los errores de discretización pertenecen al MEF y se pueden controlar, los errores del modelo se generan antes de la aplicación del MEF y los errores generados en la solución son debido a acumulación de ellos y son difíciles de controlar. 1.5 Tipos de elementos Los tipos de elementos creados en el proceso MEF dependen de: 1. Tipo de geometría de la malla 2. Tipo de análisis a ser ejecutado. 3. Preferencias del analizador. Los elementos en forma de tetraedro son los más utilizados en geometrías sólidas y los elementos triangulares en placas delgadas. De estos podemos obtener cuatro tipos de elemento: 1. Elementos sólidos en forma de tetraedro de primer orden. 2. Elementos sólidos en forma de tetraedro de segundo orden. 3. Elementos triangulares para placas delgadas de primer orden. 4. Elementos triangulares para placas delgadas de segundo orden Elementos sólidos en forma de tetraedro de primer orden Cada elemento de forma de tetraedro de primer orden tiene en total cuatro nodos, uno en cada esquina. Cada nodo tiene tres grados de libertad (GDL), significa que el nodo puede describir tres translaciones. (Figura 1.14) 15

30 Deformado Antes de la deformación Figura Elemento sólido en forma de tetraedro de primer orden antes y después de deformado En estos elementos de primer orden al aplicarse una carga experimentan una deformación y las aristas son deformadas y las caras aplanadas. Esta situación implica muchas limitaciones sobre la capacidad de la malla construida, para el modelo de desplazamientos y el campo de esfuerzos. Las aristas deformadas y las caras aplanadas no permiten geometría curvilínea. Con un propósito demostrativo, en la figura 1.15 se muestran elementos de tamaño excesivos. Esta malla no se puede refinar lo suficiente para cualquier análisis. Figura Malla con elementos sólidos en forma de tetraedro de primer orden Elementos sólidos en forma de tetraedro de segundo orden Los elementos de segundo orden tienen diez nodos (cuatro en las esquinas y seis en las aristas) y cada nodo tiene tres grados de libertad. 16

31 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua Las aristas y las caras en los elementos de segundo orden pueden asumir formas curvilíneas cuando los elementos se someten a una carga. (Figura 1.16) Después de la deformación Antes de la deformación Figura 1. 16Elemento sólido en forma de tetraedro de segundo orden antes y después de deformado Con un propósito demostrativo en la figura 1.17 se muestran elementos de tamaño excesivos. Esta malla puede refinar lo suficiente para cualquier análisis. Figura Malla con elementos sólidos en forma de tetraedro de segundo orden Elementos para placas delgadas en forma triangular de primer orden. Así como en los elementos sólidos de primer orden el campo de desplazamiento es lineal. Este tipo de elementos tiene un nodo en cada esquina (tres nodos) y cada nodo tiene seis grados de libertad, tres translaciones y tres rotaciones.(figura 1.18) 17

32 Figura Elemento triangular de primer orden Si se representa el codo de las figura 1.15 con la superficie del plano medio y se genera la malla en esta superficie con elementos de primer orden, los resultados obtenidos no permiten geometrías curvilíneas. (Figura 1.19) Figura Malla de elementos triangulares para placas delgadas de primer orden Elementos para placas delgadas en forma triangular de segundo orden Estos elementos cuentan con seis nodos. Tres en cada esquina y tres en el centro de cada arista, de esta forma los nodos pueden tomar geometrías curvilíneas al generar la malla o al estar bajo una carga. (figura 1.20) 18

33 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua Figura Elemento triangular de segundo orden En la figura 1.21 se ilustra la malla generada con este tipo de elementos Figura Malla de elementos triangulares para placas delgadas de segundo orden 1.6 Esfuerzos de Huber El esfuerzo de Huber también conocido como Von Mises es una medida de esfuerzo en 3D para todas las componentes de los seis esfuerzos que se generan. En un cubo elemental cada cara tiene dos componentes de esfuerzos cortantes y una de esfuerzos normales. Sin embargo por requerimiento de equilibrio, el estado general de esfuerzos en 3D, está representado por solo seis componentes de esfuerzos según la ecuación 1.2: t xy = t yx, t yz t zy, t xz = t zx (1.2) La ecuación de Von Mises puede ser expresada por las componentes de esfuerzo que son definidas como coordenadas globales del sistema. 19

34 ( ) ( ) ( ) ( ) σ = 0.5 σ σ + σ σ + σ σ + 3 τ + τ + τ eq x y y z z x xy yz zx (1.3) El estado de esfuerzos puede también expresar sus tres principales esfuerzos normales a las caras de un cubo. s 3 s 2 s 1 Figura 1. 22Esfuerzos principales Von Mises Por lo tanto la ecuación von Mises queda de la siguiente manera. ( ) ( ) ( ) σeq = 0.5 σx σ y + σ y σz + σz σx (1.4) 20

35 Capítulo 1 Antecedentes de los Sistemas de transmisión Variación Continua Referencias. 1. Portilla Flores Edgar, Integración de aspectos estructurales y dinámicos para el sistema óptimo de un sistema de variación continua memoria de exámen predoctoral, CINVESTAV, México, Octubre

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37 Capítulo 2 Descripción funcional del sistema de transmisión de de cremalleras y piñón Capítulo 2 Descripción funcional del sistema de transmisión de variación continua de cremalleras y piñón. Bruce H. Kazuta patentó un STVC de cremallera y piñón el 31 de enero de 1989, el cual desarrolló en Canadá. Este STVC se aplicó para una bicicleta por su sencillez, el STVC puede encajar sólidamente dentro de un disco que es ligeramente de más peso que una rueda convencional de la cadena doble de una bicicleta. Así todas las partes móviles de la transmisión quedan dentro del disco lo que facilita la lubricación y protege la transmisión de contaminación y daño de impacto. Ver figura 2.1 [9] Figura 2. 1 STVC de cremalleras y piñón para una bicicleta 23

38 Meter J. E. Irvin de Canadá el 14 de marzo de 1991 patentó un STVC de cremalleras y piñón basado en la patente de Kazuta, en donde la propuesta de Irvin es la de dientes que llevan un corte a diferencia de los redondeados de Kasuta, este STVC se aplicó a un tractor. Ver figura 2.2 [10] Figura 2. 2 STVC de cremalleras y piñón Meter J. E. Irvin 24

39 Capítulo 2 Descripción funcional del sistema de transmisión de de cremalleras y piñón Edgar Portilla se basa en el STVC de Meter J. E. Irvin para realizar su trabajo doctoral en el CINVESTAV, el cual se enfocó en la optimización del sistema, para ello se construyó un prototipo codiseñado por el M en C portilla y el Ing. Góngora del CNAD. Una de las diferencias con respecto al modelo de Meter es que el rotor es montado en un rodamiento radial, y las deslizaderas son de plástico sobre estructura de aluminio, los dientes de las cremalleras y el piñón llevan el mismo corte hecho por Meter. Ver figura 2.3 Figura 2. 3 STVC de cremallera y piñón 2.1 Funcionalidad del sistema Considere el arreglo de piñón y cremallera( Figura 2.4), el piñón de radio r, gira a una velocidad angular ω respecto a un eje fijo que pasa por el punto P. Si la cremallera no está restringida de alguna manera, su movimiento será determinado. Es decir, si la dirección de la cremallera es fija, esta se moverá con una velocidad rectilínea de ωr y una velocidad angular cero. [8] Figura 2. 4 Arreglo piñón cremallera 25

40 Si ahora la cremallera es restringida de tal forma que se encuentra en un rotor y solo se le permite movimiento lateral (deslizante) relativo a dicho rotor, este será libre de girar alrededor de un punto O el cual es paralelo al eje del piñón, la distancia entre ambos ejes (OP) la denotaremos como e. Es obvio decir que la longitud de la cremallera no puede ser infinita, por lo que se debe contar con un conjunto de cremalleras y medios mecánicos que permitan el enganche y el desenganche de las mismas y producir un movimiento constante del elemento de salida o rotor. El arreglo cinemático de la figura 2.5, muestra una cremallera y el piñón de entrada en un instante de acción conjugada para producir el movimiento continuo de salida. Tomando la configuración cinemática, se observa que la flecha de salida ha girado un ángulo θ de la configuración de referencia. Se debe notar que este ángulo es igual a la rotación del elemento de salida o rotor (con el cual la cremallera gira). El ángulo θ está representado por la línea punteada perpendicular a la cremallera desde el centro de rotación O del eje de salida. Dicha línea intercepta a la cremallera en el punto B el cual es el punto medio de esta. El punto A es en general un punto de ensamblaje o encaje de ambos elementos mecánicos. Al ser A, un punto de enganche es claro que una cremallera no podría mantener la continuidad del elemento de salida, por lo que en el STVC propuesto se consideran 4 cremalleras las cuales se engancharán y desengancharán en forma alternada para mantener la continuidad requerida. Por lo anterior, el Angulo que gira cada una de las cremalleras es de -π/4 a π/4. Figura 2. 5 Configuración del STVC cremallera piñón Se tiene entonces, que una cremallera a la vez es la que interactúa con el piñón mientras las restantes se acomodan (sin estar en contacto con el piñón) para ser 26

41 Capítulo 2 Descripción funcional del sistema de transmisión de de cremalleras y piñón enganchadas, dicho acomodo se realiza por medio de una leva de transporte circular que sincroniza el movimiento. Estas acciones realizadas en forma repetitiva, son las que permiten la continuidad de movimiento del rotor. De hecho, las cuatro cremalleras funcionan conjuntamente para formar un tren de engranes planetarios interno (al rotor) de diámetro variable.[8] 2.2 Componentes del sistema El STVC de cremallera piñón consta de las siguientes partes:(ver figura 2.6) Estructura Rotor de entrada y variador de centro Rotor de salida Rotor de entrada y variador de centro Rotor de salida Estructura Figura 2. 6 Partes de un STVC de cremallera y piñón La estructura del STVC es de aluminio estructural 20 X 20 mm de la marca BOCHS y ensamblada con tornillos m5 como se muestra en la figura

42 Figura 2. 7 Estructura STVC de cremallera y piñón El rotor de entrada y variador de centro consta de un motor eléctrico, un piñón y una base para el motor montada sobre dos deslizaderas de plástico las cuales están acopladas en dos guías de aluminio estructural de la marca Bochs un tornillo y tuerca enbalada acoplados a un motor y finalmente un separador que se sujeta en una deslizadera que corre sobre el estator del rotor de salida. Como se muestra en la figura 2.8 Figura 2. 8 Rotor de entrada de un STVC de cremallera y piñón El rotor de salida está conformado por un cuerpo, el cual está dividido en tres partes, un rodamiento radial sobre el cual se monta el cuerpo, dos pares de cremalleras acopladas en una deslizadera de plástico y cada par se monta sobre una estructura de aluminio la cual está sobre un par de deslizaderas opuestas que 28

43 Capítulo 2 Descripción funcional del sistema de transmisión de de cremalleras y piñón corren en guías de aluminio y éstas últimas se encuentran fijas en el cuerpo del rotor. (Ver figura 2.9) Figura 2. 9 Rotor de entrada de un STVC de cremallera y piñón 2.3 Diseño y fabricación del prototipo STVC piñón cremalleras. El proceso de fabricación de este prototipo se desarrolló en los talleres y laboratorios del CNAD. Previo a este proceso de fabricación, de forma empírica se diseñó el prototipo auxiliando esta etapa con el software de CAD Solid Works, la idea original se realizó en el CINVESTAV, el cual proporcionó los materiales y piezas previamente fabricadas como las cremalleras y el piñón, el rotor de salida se fabricó en 3 partes, utilizando un centro de maquinado de la marca mori seiki, se sugirió montar el rotor sobre un rodamiento. Las cremalleras son los elementos que permiten que el rotor gire por lo cual la forma de sujetar y acoplar, requería de una adecuada solución, y se decidió utilizar estructura de aluminio y deslizaderas de plástico auto lubricadas de la marca bosch. Como parte del funcionamiento del STVC, es que entre el piñón y el rotor exista movimiento relativo. Por el peso del rotor y por ser el elemento de estudio se decidió mover el piñón, lo que implica a su vez mover el motor acoplado al mismo, y se diseñó el movimiento de estos elementos, por medio de un tornillo enbalado que mueve una placa que sujeta al motor y piñón acoplado al mismo, la cual corre sobre dos deslizaderas de plástico montadas en dos estructuras de aluminio. Para soportar este prototipo se montó en una estructura de aluminio de la marca bosch, la cual es ensamblada con tornillo M5 que se acoplan a la estructura de aluminio 29

44 El estator se fabricó en el centro de maquinado, así como la placa, que sujeta al motor, la estructura solo fue cortada en una sierra cinta, y se ensamblo con tornillos M5. Referencias 8. Portilla Flores Edgar, Integración de aspectos estructurales y dinámicos para el sistema óptimo de un sistema de variación continua memoria de exámen predoctoral, CINVESTAV, México, Octubre Kazuta Bruce H., Power transmission apparatus, United States Patent, patente nº 4800,786, 31 de enero de Irvin Meter j., Continuosly variable transmission, United States Patent, patente nº 5,129,272, 14 de julio de

45 Capítulo 3 Análisis de los componentes del sistema de transmisión continua de cremalleras y piñón por el método del elemento finito. Capítulo 3 Análisis de los componentes del Sistema de Transmisión de Variación Continua de cremalleras y piñón por el método del elemento Finito. Después de crear su diseño en SolidWorks, puede que necesite responder preguntas como: Se romperá la pieza? Cómo se deformará? Puedo utilizar menos material sin perjudicar el rendimiento? Sin herramientas de análisis, estas preguntas sólo se pueden responder realizando ciclos de desarrollo de productos costosos y que requieren una gran cantidad de tiempo. Un ciclo de desarrollo de producto normalmente incluye los siguientes pasos: 1. Crear el modelo en el sistema de CAD de SolidWorks. 2. Hacer el prototipo del diseño. 3. Probar el prototipo en el campo. 4. Evaluar los resultados de las pruebas de campo. 5. Modificar el diseño basándose en los resultados de la prueba de campo. Este proceso se realiza hasta que se haya alcanzado una solución satisfactoria. El análisis le puede ayudar a conseguir las siguientes tareas: Reducir el costo probando su modelo utilizando el ordenador en lugar de pruebas de campo costosas. Reducir la comercialización del producto reduciendo el número de ciclos de desarrollo del producto. Optimizar sus diseños simulando rápidamente múltiples conceptos y situaciones antes de tomar una decisión final, lo cual le proporciona más tiempo para idear nuevos diseños. El análisis de esfuerzo estático calcula los desplazamientos, tensiones y esfuerzos en una pieza, basándose en el material, las restricciones y las cargas. Un material falla cuando el esfuerzo alcanza un determinado nivel. Diferentes materiales fallan en diferentes niveles de esfuerzo. Un software MEF como COSMOS o ANSYS utiliza análisis estáticos lineales, basados en el Método de elementos finitos, para 31

46 calcular el esfuerzo. El análisis estático lineal realiza varias suposiciones para calcular los esfuerzos de la pieza. Tensiones. La tensión es la proporción de cambio de longitud dl a la longitud original L. La tensión es una cantidad sin dimensión. Tensión = dl / L Esfuerzos Cuando las cargas se aplican a un sólido, éste intenta absorber sus efectos desarrollando fuerzas internas que, en general, varían de un punto a otro. La intensidad de estas fuerzas internas se denomina "esfuerzo". Las unidades de esfuerzo son la fuerza por unidad de área. Componentes de esfuerzo: Pongamos por ejemplo una barra bajo compresión. El estado de los esfuerzos en el punto P se puede describir en términos de un plano arbitrario. Aunque el esfuerzo resultante es el mismo en todos los casos, los valores de los componentes de esfuerzo dependen del plano elegido. F Plano B Plano A Plano C F Figura 3. 1 Componentes de esfuerzo 32

47 Capítulo 3 Análisis de los componentes del sistema de transmisión continua de cremalleras y piñón por el método del elemento finito. Por tanto, el esfuerzo se describe por magnitud, dirección y el plano en el que actúa. El estado de los esfuerzos en un punto lo describen por completo los siguientes componentes: SX: Esfuerzo en la dirección X que actúa con normalidad en el plano YZ. SY: Esfuerzo en la dirección Y que actúa con normalidad en el plano XZ. SZ: Esfuerzo en la dirección Z que actúa con normalidad en el plano XY. TXY: Esfuerzo en la dirección Y que actúa con normalidad en la dirección X (plano YZ) TYX: Esfuerzo en la dirección X que actúa con normalidad en la dirección Y (plano XZ) TXZ: Esfuerzo en la dirección Z que actúa con normalidad en la dirección X (plano YZ) TZX: Esfuerzo en la dirección X que actúa con normalidad en la dirección Z (plano XY) TYZ: Esfuerzo en la dirección Z que actúa con normalidad en la dirección Y (plano XZ) TZY: Esfuerzo en la dirección Y que actúa con normalidad en la dirección Z (plano XY) Figura 3. 2 Componentes de esfuerzo 33

48 SX, SY y SZ se denominan esfuerzos normales. TXY,.., TZY se denominan esfuerzos cortantes. Los esfuerzos cortantes se relacionan mediante las siguientes ecuaciones: TXY=TYX, TXZ=TZX y TYZ=TZY. De este modo, el estado de esfuerzo en un punto queda completamente definido por seis componentes. Esfuerzos principales: Al describir el estado de esfuerzos en un punto, hay un plano determinado en que no hay esfuerzos cortantes. El estado de esfuerzos con referencia a este plano queda definido por completo por los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales se denominan en este caso "esfuerzos principales". Los siguientes son los tres esfuerzos principales: P1: Esfuerzo normal en la primera dirección principal (más grande). P2: Esfuerzo normal en la segunda dirección principal (intermedia). P3: Esfuerzo normal en la tercera dirección principal (más pequeña). Figura 3. 3 Esfuerzos Principales 3.1 Análisis del engrane del STVC Para este elemento se realizó el análisis numérico por medio del software Cosmos Works, en donde se tomó el criterio Von Mises para el análisis en 3D y el de esfuerzo máximo para 2D el cual podemos comparar con el análisis experimental. Se realizó el análisis experimental por medio fotoelástico con un polariscopio de reflexión marca Vishay Análisis por métodos numéricos Modelo CAD. El modelo CAD de los elementos a analizar se desarrolló en el software SolidWorks. Los modelos generados en este software, son en tres dimensiones 3D los cuales pueden ser convertidos a formato iges para analizarse con cualquier software MEF. 34

49 Capítulo 3 Análisis de los componentes del sistema de transmisión continua de cremalleras y piñón por el método del elemento finito. A continuación en la figura 3.5 se presenta el modelo 3D del engrane del STVC el cual es base para el análisis en 3D y 2D. Preproceso FEA. Figura 3. 4 Modelo CAD del engrane En la tabla 3.1 se muestran las características necesarias para que el software MEF aplique el modelo matemático. Tabla 3. 1 Características del engrane para el modelo MEF Tipo de análisis Tipo de Malla Propiedades del material Carga Estático Malla tetraédrica de segundo orden AISI 1018 Módulo elástico: 2 E+11 N/m 2 50N Estático Malla Triangular de segundo orden Coeficiente de Poisson 0.29 AISI 1018 Módulo elástico: 2 E+11 N/m 2 Coeficiente de Poisson N Se aplican las restricciones y cargas en el modelo CAD como se muestra en la figura 3.6 y

50 Figura 3. 5 Aplicación de cargas y restricciones en el modelo CAD 3D Figura 3. 6 Aplicación de cargas y restricciones en el modelo CAD 2D Crear modelo discreto. Antes de crear el modelo discreto se selecciona el tipo de nodo, que en este caso es tetraédrico de segundo orden con 16 nodos. 36

51 Capítulo 3 Análisis de los componentes del sistema de transmisión continua de cremalleras y piñón por el método del elemento finito. Se aplica la generación de malla para el engrane. (Figura 3.8 y 3.9) Figura 3. 7 Malla generada en el engrane con elementos tetrahedricos Figura 3. 8 Malla generada en el engrane con elementos triangular Solución numérica 37

52 La última etapa es el cálculo numérico para obtener la solución en donde se aplica el esfuerzo Von Mises para el caso de 3D y el de esfuerzos principales en el caso 2D. La solución que se obtiene es gráfica a través de una tabla y un modelo virtual (ver figura 3.10). Figura 3. 9 Solución gráfica de esfuerzo von mises Análisis experimental Probeta Se utiliza una probeta de policarbonato de espesor de 6 mm con el perfil del diente, dicho perfil se manufacturó en un centro de maquinado marca Mori-Seiki. Para evitar tensiones superficiales debido al corte del cortador se opero a altas revoluciones y bajo avance siendo estos de 1500 rpm y un avance de 80 mm/min, se utilizó un cortador de diámetro de 3 mm para acero rápido, con cuatro filos. Finalmente se acabó la probeta con lija grado manualmente. 38

53 Capítulo 3 Análisis de los componentes del sistema de transmisión continua de cremalleras y piñón por el método del elemento finito. El perfil del diente se realizó con un programa de control numérico que lo generó el software CAM Works a partir del modelo que se realizó en Solid Works. Calibración En la mayoría de los análisis Fotoelásticos la distribución de esfuerzos en un modelo complejo es tratada como una función de la carga. Para determinar la distribución de esfuerzos en la forma más exacta posible, se requiere de una calibración cuidadosa del valor de franja del material f σ. Aunque dichos valores se pueden encontrar en la literatura técnica, estos no son muy exactos ya que estos valores varían, como ya se mencionó, de acuerdo al fabricante, la temperatura y la antigüedad. Por esta razón siempre es necesario calibrar cada hoja de material fotoelástico cada vez que se realiza un análisis. Para determinar el valor de franja del modelo, se empleó el método de Tardy de calibración, el modelo fue sometido a diversas cargas, el orden de franja N, y la carga correspondiente P, fueron anotadas. Esta información se muestra en la tabla 3.2. A partir de estos datos se procedió a calcular el valor de franja del material f σ. Para encontrar el valor de f σ, se considera una probeta sujeta a esfuerzo de tensión simple que tiene un ancho b (50 mm) y un espesor h (5.66 mm) el cual se emplea como miembro para la calibración. El esfuerzo axial inducido en el espécimen a tensión por la carga P puede ser expresado como: P σ 1 = y σ 2 = 0 (3.1) bh La diferencia de esfuerzos principales en un ensayo fotoelástico en un patrón de franjas isocromáticas está dada por la Ec. (3.2). Nf σ σ σ 1 2 = (3.2) h 39

54 Sustituyendo la Ec. (3.1) en Ec. (3.2), se tiene el valor de franja del material f σ.que puede ser determinado por: P f σ = Ec. (3.3) bn La aplicación de la Ec. (3.3) a los valores de carga P y orden de franja N generó los valores de franja que aparecen en la tabla 3.2. Tabla 3. 2 Valores de franja f σ obtenidos en el proceso de calibración Lectura Carga (P) Orden de franja (N) Valor de franja El valor de franja empleado se obtiene promediando los valores de la Tabla 5.2; con lo que se tiene: f σ = N/mm-orden de franja Preparación y montaje de la probeta Para el polariscopio de reflexión es necesario que la probeta refleje la luz al analizador por tal motivo se pegó papel aluminio a la probeta. Para realizar el ensayo se fabricó una pieza de aluminio en la cual se monta la probeta tomando en cuenta la dirección de la carga y finalmente se fija esta pieza por medio de dos prensas en una máquina universal la cual proporciona la carga. (Fotografía 3.1) 40

55 Capítulo 3 Análisis de los componentes del sistema de transmisión continua de cremalleras y piñón por el método del elemento finito. Polariscopio Fotografía 3. 1 Montaje de probeta Este es colocado en un tripie, para su mejor operación ya que tiene la opción de sujétalo con la mano y se coloco frente a la probeta para realizar la prueba. (Fotografía 3.2) Fotografía 3. 2 Montaje de polariscopio Análisis Para la carga puntual se adaptó un identador de acero con la punta en forma de cincel, que se colocó en la máquina universal. Este identador se aproximo a la probeta para iniciar la carga. (Fotografía 3.3) 41

56 Fotografía 3. 3 Aproximación de identador Se aplica una pequeña carga de 8N y se identifica la primer franja que en este caso es amarillo. (Fotografía 3.4) Fotografía 3. 4 Aplicación de carga de ocho newton Se siguió cargando la pieza hasta llegar a los 50N y en esta carga se identifico el color de franja en la zona de tensión que en este caso se identificó con el color azul. (Fotografía 3.5) 42

57 Capítulo 3 Análisis de los componentes del sistema de transmisión continua de cremalleras y piñón por el método del elemento finito. Fotografía 3. 5 Aplicación de carga de cincuenta newton 3.2 Análisis de la cremallera y separador del STVC Para estos elementos sólo se realizó el análisis numérico con el software Cosmos Works con el método Von Mises. Se generó el modelo CAD en el software Solid Works de la cremallera y el separador. (figura 3.11 y 3.12) Figura Modelo CAD de la cremallera 43

58 Figura Modelo CAD del separador En la tabla 3.2 se muestran las características necesarias para que el software MEF aplique el modelo matemático de la cremallera y separador respectivamente. Tabla 3. 3 Características de la cremallera y separador para el modelo MEF Tipo de análisis Tipo de Malla Propiedades del material Carga Cremallera Estático Tetraédrica de segundo orden AISI 1018 Modulo elástico: 2 E+11 N/m 2 Coeficiente de Poisson 50N Separador Estático Tetraédrica de segundo orden 0.29 Bronce Comercial Modulo elástico: 1.1 E+11 N/m 2 Coeficiente de Poisson N Se aplican las restricciones y cargas en el modelo CAD como se muestra en la figura 3.13 y

59 Capítulo 3 Análisis de los componentes del sistema de transmisión continua de cremalleras y piñón por el método del elemento finito. Figura Aplicación de fuerzas y restricciones en la cremallera Figura Aplicación de fuerzas y restricciones en el separador Se genera la malla en la cremallera y en el separador para iniciar el cálculo numérico. (Figura 3.15 y 3.16) 45

60 Figura Malla generada en la cremallera Figura Malla generada en el separador Finalmente se ejecuta el modelo numérico para obtener los resultados. 46

61 Capítulo 4 Análisis de resultados Capítulo 4 Análisis de resultados 4.1 Resultados Numéricos del engrane A continuación se muestran los resultados del engrane generados por el software Cosmos Works. Material: Tabla 4. 1 Propiedades mecánicas de acero AISI 1020 Nº Nombre de pieza Material Masa Volumen 1 Engrane AISI kg e-005 m^3 Nombre de propiedad Valor Unidades Tipo de valor Módulo elástico 2e+011 N/m^2 Constante Coeficiente de Poisson 0.29 NA Constante Módulo cortante 7.7e+010 N/m^2 Constante Densidad de masa 7900 kg/m^3 Constante Límite de tracción e+008 N/m^2 Constante Límite elástico e+008 N/m^2 Constante Coeficiente de expansión térmica 1.5e-005 /Kelvin Constante Conductividad térmica 47 W/(m.K) Constante Calor específico 420 J/(kg.K) Constante Carga: 50 newton Propiedades de estudio: Tabla 4. 2 Propiedades del estudio para análisis 3D Información de malla Tipo de malla: Malla con elementos sólidos tetraédricos Malla : Estándar Transición automática: Desactivar Superficie lisa: Activar Verificación jacobiana: 16 Points 47

62 Tamaño de elementos: in Tolerancia: in Calidad: Alta Número de elementos: 9488 Número de nodos: Control-2 <engrane> Control de malla sobre 2 Arista(s) con valor germinal 1 mm, 3 capas y coeficiente 1.5. Tabla 4. 3 Propiedades del estudio para análisis 3D Tipo de malla: Malla con elementos SHELL de superficies y caras Malla: Estándar Transición automática: Desactivar Superficie lisa: Activar Verificación jacobiana: 16 Points Tamaño de elementos: in Tolerancia: in Calidad: Alta Número de elementos: 323 Número de nodos: 763 Resultados de esfuerzos Nombre Engrane 3D Tabla 4. 4 Resultado de esfuerzos en engrane 3D y 2D Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación VON: Esfuerzo de Von Mises N/m^2 Nodo: 289 (2 in, in, in) N/m^2 Nodo: ( in, in, in) Engrane 2D INT: Intensidad del N/m^2 (2 in, e+006 N/m^2 (2 in, 48

63 Capítulo 4 Análisis de resultados esfuerzo(p1- P3) Nodo: in, in) Nodo: in, in) Resultado de tensiones Nombre Tipo Mín. Ubicación Máx. Ubicación Plot1 ESTRN: Tensión equivalente e- 011 Elemento: 46 ( in, in, in) e- 006 Elemento: 8764 ( in, in, in) Figura 4. 1 Esfuerzo máximo de tensión De acuerdo a la figura anterior el valor del esfuerzo es de MPa 49