CÁLCULO DE ESTRUCTURAS

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3 Índice CÁLCULO DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS ARTICULADAS, RETICULADAS, ARCOS, CABLES, CÁLCULO MATRICIAL, CÁLCULO DINÁMICO, CÁLCULO PLÁSTICO TOMO I CARLOS JURADO CABAÑES Doctor Ingeniero de Caminos Canales y Puertos Profesor Titular Universidad Politécnica de Madrid Coordinador y Responsable de la asignatura de Cálculo de Estructuras en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil III

4 Índice Foto de la cubierta Langkawy Skay Bridge, Malasia (cortesía IABSE) Primera edición enero 2012 Carlos Jurado Cabañes Reservados los derechos para todos los países. Ninguna parte de la publicación puede ser reproducida por ningún medio sin previa autorización del autor. ISBN TOMO I: ISBN OBRA COMPLETA: Depósito Legal: M IV

5 Índice CÁLCULO DE ESTRUCTURAS TOMO I CAPÍTULO 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES CAPÍTULO 2: ACCIONES SOBRE LAS ESTRUCTURAS CAPÍTULO 3: TEOREMAS ENERGÉTICOS CAPÍTULO 4: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS PLANAS CAPÍTULO 5: ESTRUCTURAS ARTICULADAS HIPERESTÁTICAS PLANAS CAPÍTULO 6: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESPACIALES CAPÍTULO 7: INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS RETICULADAS CAPÍTULO 8: ESTRUCTURAS RETICULADAS INTRASLACIONALES TOMO II CAPÍTULO 9: ESTRUCTURAS RETICULADAS TRASLACIONALES CAPÍTULO 10. ARCOS CAPÍTULO 11. CABLES Y TIRANTES, ESTRUCTURAS RETICULADAS CON BARRAS ELONGABLES CAPÍTULO 12. LÍNEAS DE INFLUENCIA CAPÍTULO 13. CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CAPÍTULO 14. CÁLCULO DINÁMICO DE ESTRUCTURAS CAPÍTULO 15. CÁLCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS APÉNDICE: MÉTODO DE CROSS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS V

6 Índice A mi esposa e hijos VI

7 Índice INDICE PRÓLOGO DEL AUTOR CAPÍTULO 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1.1. Definición de estructura 1.2. Formas y elementos estructurales 1.3. Tipos de apoyo de una estructura 1.4. Estructuras estáticamente determinadas e indeterminadas 1.5. Grado de indeterminación cinemática 1.6. Modelización estructural 1.7. Métodos de cálculo de estructuras 1.8. Clasificación de las estructuras CAPÍTULO 2: ACCIONES SOBRE LAS ESTRUCTURAS 2.1. Introducción 2.2. Criterios de comprobación de una estructura Estados Límite de Servicio (E.L.S.) Estados Límite Últimos (E.L.U.) Comprobación de la estructura 2.3. Clasificación de las acciones sobre una estructura 2.4. El Código Técnico de la Edificación (CTE) Verificaciones basadas en coeficientes parciales Capacidad portante. Verificaciones Combinación de acciones Valor de cálculo de la resistencia Aptitud al servicio Efectos del tiempo Acciones permanentes Acciones variables Acciones térmicas Nieve Acciones accidentales Otras acciones accidentales VII

8 Índice CAPÍTULO 3: TEOREMAS ENERGÉTICOS 3.1. Introducción 3.2. Ley de Hooke 3.3. Principio de superposición de efectos 3.4. Trabajo de las fuerzas externas 3.5. Energía de deformación de un cuerpo elástico 3.6. Trabajo y trabajo complementario 3.7. Energía de deformación y energía de deformación complementaria Caso particular de tensión o deformación inicial impuesta Sistemas conservativos 3.8. Variaciones del trabajo y de la energía de deformación 3.9. Energía de deformación de una viga Tracción y compresión Flexión Cortante Torsión Caso general Cálculo de los alargamientos en las barras Barras rectas Barras curvas Principio de los trabajos virtuales Principio de los trabajos complementarios virtuales Teorema de la fuerza unidad Primer teorema de Castigliano Segundo teorema de Castigliano Teorema del trabajo mínimo o de Menabrea Teorema de la Reciprocidad o de Betti-Maxwell Cálculo de sistemas estructurales mediante teoremas energéticos Desplazamientos en arcos Cálculo de una reacción isostática Deformaciones en pórticos Deformaciones en estructuras articuladas Aplicación del Teorema de Castigliano al cálculo de desplazamientos Aplicación del Teorema de Menabrea VIII

9 Índice CAPÍTULO 4: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS PLANAS 4.1. Conceptos fundamentales 4.2. Idealización de las estructuras articuladas 4.3. Clasificación de las estructuras articuladas según su tipología 4.4. Actuación de las cargas exteriores. Barras curvas 4.5. Isostatismo e hiperestatismo. Planteamiento del método de equilibrio 4.6. Clasificación de las estructuras articuladas según su grado de hiperestaticidad Celosías isostáticas Celosías hiperestáticas Mecanismos Estructuras articuladas críticas 4.7. Celosías isostáticas con cargas en los nudos 4.8. Métodos de cálculo de estructuras articuladas simples con cargas en los nudos Método de los nudos Método de Cremona o Maxwell Método de las secciones 4.9. Estructuras articuladas asimilables a vigas. Cálculo simplificado de esfuerzos Cálculo de estructuras articuladas compuestas Cálculo de estructuras articuladas complejas Método de Henneberg Método iterativo Cinemática de las estructuras articuladas Cálculo de los alargamientos de las barras Teorema de Castigliano Método de Maxwell Mohr Método gráfico de Williot Tratamiento de los alargamientos impuestos de las barras Celosías isostáticas con cargas en las barras. Cálculo de esfuerzos Celosías en las que las cargas fuera de los nudos están aplicadas perpendicularmente al eje de las barras y/o barras horizontales de peso no despreciable Celosías en las que las cargas fuera de los nudos no están aplicadas perpendicularmente al eje de las barras y/o barras inclinadas de peso no despreciable IX

10 Índice Dimensionamiento de las barras de una celosía a tracción y compresión. Método de los coeficientes w Análisis de la estabilidad Carga crítica de pandeo de la barra biarticulada Otros tipos de enlaces Tensiones críticas y curvas de diseño Pandeo inelástico Método de los coeficientes w CAPÍTULO 5: ESTRUCTURAS ARTICULADAS HIPERESTÁTICAS PLANAS 5.1. Conceptos fundamentales 5.2. Estructuras articuladas hiperestáticas con cargas en los nudos y barras rectas 5.3. Deformaciones impuestas en estructuras articuladas hiperestáticas 5.4. Estructuras articuladas hiperestáticas con barras rectas cargadas 5.5. Estructuras articuladas hiperestáticas con barras curvas cargadas 5.6. Método general de cálculo de estructuras articuladas hiperestáticas 5.7. Cinemática de las estructuras articuladas hiperestáticas. Cálculo de movimientos 5.8. Generalización del concepto de barra. Subestructuras 5.9. Cálculo aproximado de estructuras articuladas Estructuras articuladas de cordones paralelos Estructuras articuladas de cordones no paralelos CAPÍTULO 6: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESPACIALES 6.1 Consideraciones generales de fuerzas concurrentes en el espacio 6.2 Clasificación de las estructuras articuladas espaciales según su tipología 6.3 Grado de hiperestaticidad de una estructura articulada espacial 6.4 Clasificación de las estructuras articuladas espaciales según su grado de hiperestaticidad Celosías isostáticas Celosías hiperestáticas Mecanismos Formas críticas 6.5 Cálculo de estructuras articuladas espaciales X

11 Índice Método de los nudos Método de las secciones Método de Henneberg 6.6 Cálculo de estructuras articuladas por ordenador CAPÍTULO 7: INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS RETICULADAS 7.1 Conceptos fundamentales 7.2 Hipótesis de partida 7.3 Ecuaciones básicas a introducir en el cálculo de una estructura 7.4 Métodos generales de cálculo de estructuras Método de la elongabilidad o de las fuerzas Método de la rigidez o de los movimientos 7.5. Características elastomecánicas de las barras rectas Concepto de rigidez de una barra Concepto de flexibilidad de una barra Rigidez a axil o elongabilidad Rigidez al giro y coeficiente de transmisión de una barra Rigidez a la traslación transversal. Asentamientos diferenciales Flexibilidades elementales de una barra Relaciones entre las rigideces y flexibilidades al giro 7.6. Cálculo de movimientos Teorema de la fuerza unidad Fórmulas de Navier-Bresse 7.7. Características elastomécanicas de las barras curvas 7.8. Momentos de empotramiento rígido 7.9. Momentos de empotramiento rígido debidos a asentamientos diferenciales Ecuación constitutiva de la barra biempotrada Ecuación constitutiva de la barra empotrada-articulada Simetrías y antimetrías Estructuras simétricas Estructuras antimétricas Movimientos de apoyo en estructuras simétricas con simetría axial (acciones cinemáticas) Simetría y antimetría puntual XI

12 Índice Movimientos de apoyos en estructuras simétricas con simetría puntual (acciones cinemáticas) Estructuras simétricas con cargas arbitrarias Estructuras antifuniculares Nudos de dimensión finita CAPÍTULO 8: ESTRUCTURAS RETICULADAS INTRASLACIONALES 8.1. Conceptos y definiciones 8.2. Planteamiento general del cálculo en movimientos 8.3. Obtención de esfuerzos cortantes y axiles 8.4. Estructuras de un solo nudo con grado de libertad activo 8.5. Estructuras simétricas y antimétricas Estructuras simétricas Estructuras antimétricas Estructuras simétricas con cargas cualesquiera 8.6. Cálculo de movimientos en estructuras intraslacionales 8.7. Acciones climáticas y defectos de montaje 8.8. Cálculo de vigas contínuas CAPÍTULO 9: ESTRUCTURAS RETICULADAS TRASLACIONALES 9.1. Traslacionalidad. Grado de traslacionalidad 9.2. Estados paramétricos 9.3. Ecuaciones de equilibrio 9.4. Proceso operativo de cálculo de una estructura traslacional por el método indirecto Ejemplo de cálculo de una estructura reticulada traslacional por métodos indirectos 9.5. Método matricial directo de cálculo de estructuras reticuladas traslacionales 9.6. Estructuras traslacionales bajo acciones cinemáticas 9.7. Estructuras reticuladas no sustentadas en equilibrio 9.8. Influencia de los conceptos de nudo y barra en el grado de traslacionalidad de una estructura 9.9. Cálculo de movimientos en estructuras reticuladas isostáticas. Ampliación de los teoremas de Mohr a pórticos XII

13 Índice Cálculo de estructuras reticuladas hiperestáticas por el método de compatibilidad Cálculo de estructuras reticuladas por ordenador CAPÍTULO 10: ARCOS Introducción Energía de deformación de un arco Arcos isostáticos Arcos triarticulados Arcos hiperestáticos Arcos biarticulados Arcos biarticulados atirantados Arcos articulados-empotrados Arcos biempotrados Arcos simétricos y antimétricos Arcos antifuniculares Centro elástico de un arco Cálculo numérico de arcos CAPÍTULO 11: CABLES Y TIRANTES, ESTRUCTURAS RETICULADAS CON BARRAS ELONGABLES Cables. Ecuaciones generales Curva funicular parabólica Curva funicular catenaria Estructuras constituidas por cables. Puentes colgantes y atirantados Puentes colgantes Puentes atirantados Entramados con barras elongables Estructuras con bielas o tirantes. Métodos de cálculo de los movimientos y de las fuerzas Los tirantes no pertenecen a la sustentación de la estructura Los tirantes pertenecen a la sustentación de la estructura Subestructuras XIII

14 Índice CAPÍTULO 12: LÍNEAS DE INFLUENCIA Concepto de línea de Influencia. Definiciones Cálculo de líneas de influencia por la aplicación directa de una carga unitaria Cálculo de líneas de influencia por el teorema de los trabajos virtuales Línea de influencia de momentos flectores Línea de influencia de esfuerzos cortantes Línea de influencia de esfuerzos axiles Línea de influencia de la reacción de un apoyo Cálculo de líneas de influencia en estructuras articuladas isostáticas Cálculo de líneas de influencia por el teorema de la reciprocidad o de Betti- Maxwell Aplicación del Teorema de Reciprocidad al cálculo de estructuras articuladas Cálculo de esfuerzos en estructuras articuladas isostáticas Cálculo de esfuerzos en estructuras articuladas hiperestáticas Cálculo de reacciones en estructuras articuladas hiperestáticas Cálculo de movimientos en celosías por el Teorema de Reciprocidad Aplicación del Teorema de Reciprocidad al cálculo de estructuras reticuladas Líneas de influencia de esfuerzos en vigas isostáticas Líneas de influencia de esfuerzos en vigas hiperestáticas Líneas de influencia de reacciones en vigas hiperestáticas Líneas de influencia en estructuras reticuladas Líneas de influencia de esfuerzos axiles en pórticos Trenes de carga y sobrecarga repartida Líneas de influencia en estructuras de edificación CAPÍTULO 13: CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 13.1 Introducción. Conceptos fundamentales 13.2 Métodos numéricos de cálculo de estructuras Introducción al cálculo matricial de estructuras Modelización geométrica de una estructura Hipótesis básicas del cálculo matricial Principio de superposición Ecuaciones básicas a utilizar en el cálculo matricial de estructuras XIV

15 Índice Grado de indeterminación de una estructura Métodos de cálculo matricial de estructuras Método de equilibrio, de los movimientos o de la rigidez Método de la compatibilidad, de las fuerzas o de la flexibilidad Ventajas e inconvenientes de ambos métodos Convenio de signos y notaciones Vectores de carga y movimientos Ejes locales y ejes globales Matrices de transformación Método de equilibrio Matrices de rigidez de una barra en coordenadas locales Matrices de rigidez de una barra en coordenadas globales Matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura Cálculo de la matriz de rigidez de una estructura articulada plana Cálculo de la matriz de rigidez de una estructura reticulada plana Métodos numéricos para la resolución de la ecuación matricial de la estructura Formación de la matriz de rigidez de una estructura Propiedades de la matriz de rigidez K Esfuerzos térmicos y defectos de montaje Esfuerzos térmicos Defectos de montaje Modificación de la matriz de rigidez por las condiciones de contorno Condiciones cinemáticas completas Condiciones estáticas completas Condiciones mixtas Apoyos no concordantes Nudos con conexiones semirrígidas Piezas formadas por elementos unidos en serie o en paralelo Ejemplo de cálculo matricial de estructuras Matriz de rigidez de los elementos Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura Sistema de ecuaciones lineales de una estructura Fuerzas en los elementos Aplicación de ordenadores al cálculo matricial de estructuras. Programas comerciales XV

16 Índice CAPÍTULO 14: CÁLCULO DINÁMICO DE ESTRUCTURAS 14.1 Introducción. Conceptos fundamentales 14.2 Formulación de las ecuaciones del movimiento Principio de D Alembert Principio de los Trabajos Virtuales Principio de Hamilton Grados de libertad dinámicos Amortiguamiento Sistemas con un solo grado de libertad Vibraciones libres Vibraciones forzadas Excitación arbitraria 14.6 Sistemas con varios grados de libertad Modelos de elementos finitos Cálculo sísmico de estructuras Sistemas con un grado de libertad Sistemas con muchos grados de libertad Aplicación de ordenadores al cálculo dinámico/sísmico de estructuras. Programas comerciales. CAPÍTULO 15: CÁLCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS Introducción 15.2 Diferencias entre el cálculo elástico y el cálculo plástico 15.3 Referencias normativas 15.4 Hipótesis iniciales del cálculo plástico 15.5 Comportamiento elastoplástico de la rebanada Comportamiento elastoplástico de la rebanada a tracción o compresión simple Comportamiento elastoplástico de la rebanada a flexión pura Comportamiento elastoplástico de la rebanada a flexión simple Comportamiento elastoplástico de la rebanada a flexión compuesta Comportamiento elastoplástico de la rebanada a compresión compuesta 15.6 Concepto de rótula plástica 15.7 Momento plástico. Factor de forma XVI

17 Índice 15.8 Agotamiento de la estructura por formación de rótulas plásticas 15.9 Unicidad de la solución. Teoremas de máximo y mínimo Unicidad de la solución Teorema de mínimo o teorema estático Teorema de máximo o teorema cinemático Métodos de cálculo plástico Método iterativo de generación de rótulas plásticas Método estático Método de los trabajos virtuales Cálculo plástico de vigas Viga empotrada-apoyada con carga puntual Viga empotrada-apoyada con carga uniforme Viga biempotrada con carga puntual Viga biempotrada con carga uniforme Vigas continuas Cálculo plástico de pórticos Consideraciones iniciales Métodos de cálculo Ejemplos prácticos APÉNDICE MÉTODO DE CROSS. A.1 Introducción A.2. Momentos de empotramiento A.3 Momentos repartidos A.4 Momentos transmitidos A.5. Rigideces y coeficientes de transmisión A.5.1. Barra recta de sección constante biempotrada A.5.2. Barra recta de sección constante empotrada-articulada A.5.3. Barra recta de sección constante en voladizo A.5.4. Simplificaciones en el caso de piezas rectas con sección y módulo de elasticidad constantes A.6. Relaciones entre rigideces y coeficientes de transmisión A.7 Método de Cross A.8. Estructuras intraslacionales XVII

18 Índice A.9. Simplificaciones en el método de Cross A.10. Estructuras traslacionales REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS XVIII

19 Prólogo PRÓLOGO DEL AUTOR El nuevo título de Graduado en Ingeniería Civil ofrecido por la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil de Madrid, ha incluido, dentro de las tres intensificaciones que se imparten en ella: 1) Construcciones Civiles y Transportes y Servicios Urbanos; 2) Construcciones Civiles e Hidrología; 3) Hidrología y Transportes y Servicios Urbanos, como asignatura obligatoria el Cálculo de Estructuras, cubriendo de esta manera una laguna de conocimientos muy importante que existía en los antiguos títulos de Ayudante de Obras Públicas e Ingeniero Técnico de Obras Públicas, correspondientes a los planes de estudio anteriores. El contenido de esta materia es muy extenso y queda encorsetado dentro de los 6 créditos europeos (ECTS) asignados a la misma. No obstante su inclusión como asignatura obligatoria supone una mejora muy importante en la formación de los futuros graduados en Ingeniería Civil. Por otro lado, la consolidación de los conocimientos teóricos del Cálculo de Estructuras, solo puede realizarse a través de la práctica de la profesión, en la que el futuro Graduado en Ingeniería Civil podrá refrendar los conocimientos teóricos adquiridos y formar su propio concepto de la magnitud que deben tener las estructuras de edificación e ingeniería civil, que lógicamente habrá de acometer en la práctica de la profesión. Además, la lógica evolución de las herramientas de cálculo, con la introducción de los ordenadores, ha modificado el contenido clásico de la materia de Cálculo de Estructuras, sin que ello quiera decir que deban abandonarse los conocimientos teóricos profundos de la misma. Existe una tendencia en algunos ingenieros a considerar una dependencia total de los programas de cálculo de estructuras para todo, que les conduce a una falsa sensación de seguridad. El ordenador es una herramienta muy potente, que en modo alguno puede sustituir a los conocimientos teóricos, que deben situarse en primer lugar. Es un error atribuir a la herramienta que constituye el ordenador, las capacidades del conocimiento teórico del cálculo de estructuras. El autor de este libro, ha pretendido poner en manos de la comunidad científica, estudiantes y profesionales, un texto que pueda servir de estudio a los primeros y de consulta a los segundos. Por este motivo el libro, aun recogiendo el contenido de la materia incluida en el título de Graduado en Ingeniería Civil, excede los límites del mismo, sirviendo a los futuros graduados en Ingeniería Civil y de otros títulos de Grado similares, como ampliación de conocimientos. En el texto se incluyen capítulos clásicos de Cálculo de Estructuras, impartidos por excelentes profesores como D. Florencio del Pozo Frutos en la Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, a cuyas lecciones magistrales, el autor tuvo el honor y el privilegio de asistir. Entre estas materias se encuentran: 1

20 Prólogo 1) Las estructuras articuladas 2) Las estructuras reticuladas 3) El cálculo matricial Se ha obviado el cálculo de placas por métodos de rotura, impartido en el clásico curso de Cálculo de Estructuras de la Escuela de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, que el autor tuvo que aprender y que no ha sido utilizado por él en los más de 35 años de experiencia profesional, en el campo del cálculo de estructuras de edificación y de ingeniería civil, en los numerosos proyectos que ha realizado directamente o dirigido, algunos de gran relevancia. El libro comienza introduciendo los conceptos fundamentales del cálculo de estructuras, así como de su modelización y de los métodos de cálculo que se desarrollarán posteriormente. Se ha incluido un capítulo que normalmente no se recoge en los textos de cálculo de estructuras, dirigido a la determinación de las acciones sobre las mismas, que es una de las primeras fases del cálculo, definidas en la normativa vigente y que en el caso español lo constituyen el Código Técnico de la Edificación (CTE), la Instrucción de las acciones a considerar en puentes de carretera (IAP) y de ferrocarril (IAPF). El capítulo se refiere a la normativa actual y solo tiene el carácter de introductorio, a sabiendas de que las nuevas ediciones de la normativa, modificarán ligeramente su contenido. Dado que en el futuro título de Graduado en Ingeniería Civil, se incluye la asignatura de Puentes, donde tienen mejor cabida las Instrucciones IAP e IAPF, el libro solo recoge un resumen del CTE. Se ha incluido también un capítulo correspondiente a arcos, que supone una materia clásica dentro del cálculo de estructuras, cuyo conocimiento se considera indispensable para los nuevos graduados, aunque es una tipología algo especializada. La utilización cada vez mayor de las estructuras constituidas por cables: puentes colgantes, puentes atirantados, cubiertas colgadas, etc. ha animado al autor a incluir un capítulo dedicado a los cables y tirantes y a su elemento antagónico por la forma de trabajo, como son las bielas. La experiencia del autor durante 14 años en el proyecto de estructuras de Centrales Nucleares, ya desde mediados de la década de los 70, en las que el cálculo dinámicosísmico resulta obligado y la cada vez mayor atención a las estructuras resistentes a los terremotos (sismo de Lorca de 2011), ha incitado al autor a incluir un tema dedicado al Cálculo dinámico de estructuras, cubriendo por otro lado el capítulo correspondiente al mismo, ofrecido en el Título de Graduado de Ingeniería Civil de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil de Madrid. La aparición de nuevas técnicas de cálculo de estructuras metálicas, más allá del cálculo elástico clásico, recogidas en la actual normativa española (Código Técnico de la Edificación) y en el europeo (EC3), hace obligada la introducción de un capítulo dedicado al Cálculo plástico de estructuras. 2

21 Prólogo Por último, aun cuando los actuales programas de ordenador hacen innecesaria la utilización de Métodos de relajación como Cross y Kani, que el autor tuvo que aprender en su época de estudiante y utilizar profesionalmente en los primeros años de práctica de la profesión, hasta la aparición y popularización de los programas de cálculo matricial de estructuras, el valor formativo e intuitivo de dichos métodos de cálculo, le ha animado a incluir un Apéndice dedicado al método de Cross, que servirá de consolidación de conocimientos y permitirá resolver algunos tipos de estructuras reticuladas de forma manual, de innegable interés didáctico. En resumen, el libro contiene los siguientes capítulos: Capítulo 1: Conceptos fundamentales Se incluyen en este capítulo de introducción las formas y elementos estructurales más significativos, con los que el futuro graduado se encontrará en la práctica de la profesión. Así mismo se definen los conceptos de grado de indeterminación estática y cinemática. Se finaliza el capítulo con una introducción a los dos métodos de cálculo de estructuras: el de equilibrio y el de compatibilidad. Capítulo 2: Acciones sobre las estructuras Se introduce al lector en este capítulo en la Normativa existente en España y homologable con la de la Unión Europea, sobre las acciones a considerar en el cálculo de estructuras. La Normativa española recoge como documentos básicos para la definición de las acciones sobre las estructuras: CTE Código Técnico de la Edificación IAP-11 Instrucción sobre las acciones a considerar en el Proyecto de puentes de carretera IAPF-07 Instrucción sobre las acciones a considerar en el Proyecto de Puentes de ferrocarril NCSE-02 Norma de construcción sismorresistente. Parte general y edificación NCSP-07 Norma de Construcción sismorresistente. Parte Puentes Eurocódigo 1. Bases del Proyecto y acciones en estructuras. Parte 1: Bases de Proyecto. El contenido de todos estos documentos es muy extenso para incluirlo en un libro de Cálculo de Estructuras y además se recoge en asignaturas específicas del nuevo título de Graduado en Ingeniería Civil, por lo que el libro se concentra solo en el primero. Por otra parte teniendo en cuenta que las Instrucciones IAP e IAPF deberán estudiarse en la asignatura específica de Puentes, para el estudiante de una asignatura general de Cálculo de Estructuras solo se considera obligatorio tener conocimientos del CTE, dejando las Instrucciones IAP e IAPF para la asignatura específica de puentes. Capítulo 3: Teoremas energéticos El contenido de este capítulo recoge una gran cantidad de teoremas energéticos que fundamentan los métodos de Cálculo de Estructuras que se desarrollan después. El 3

22 Prólogo contenido del mismo excede el ámbito de conocimientos del futuro graduado en Ingeniería Civil y en una primera lectura puede limitarse a los teoremas de a) Fuerza unidad b) Trabajos virtuales c) Segundo teorema de Castigliano d) Teorema de la reciprocidad o de Betti Por ser estos los teoremas que se utilizan a lo largo del libro. Capítulo 4: Estructuras articuladas isostáticas planas En este capítulo se hace una introducción a las estructuras articuladas planas definiendo los conceptos de: a) Celosías isostáticas b) Celosías hiperestáticas c) Celosías críticas d) Mecanismos Desarrollando a continuación los métodos de cálculo para las estructuras articuladas isostáticas. En un primer estudio del libro puede atenderse al Método de los nudos, complementado con el método de las secciones. Son de interés los métodos correspondientes a la Cinemática de las estructuras articuladas y al tratamiento de los alargamientos impuestos a las barras. Capítulo 5: Estructuras articuladas hiperestáticas planas Se desarrollan en este capítulo los métodos de cálculo de las estructuras articuladas hiperestáticas planas, debiendo hacer hincapié en la aplicación del segundo teorema de Castigliano para el cálculo de los esfuerzos, movimientos y reacciones en estructuras articuladas. Resultan de especial interés los apartados de barras curvas cargadas, el método general de cálculo de celosías hiperestáticas, el de cinemática de las estructuras y el de subestructuras. Capítulo 6: Estructuras articuladas espaciales Este capítulo se incluye para completar el campo de las estructuras articuladas, pero con la aparición del ordenador y con la práctica imposibilidad de calcular una estructura articulada espacial por poco compleja que sea, la lectura de este capítulo puede realizarse de una manera más o menos rápida. 4

23 Prólogo Capítulo 7: Introducción a las estructuras reticuladas Este es un capítulo de especial relevancia en el que se introducen los dos métodos de cálculo de estructuras: a) El Método de las fuerzas b) El Método de los movimientos El capítulo tiene contenidos de especial interés en cuanto a la introducción y uso de las flexibilidades y las rigideces de las barras para el cálculo de los desplazamientos longitudinal y transversal, así como del giro de sus extremos. Se introducen los conceptos de rigidez y flexibilidad elemental de una barra y sus relaciones entre una y otra. Se determinan los movimientos en las estructuras reticuladas y se introducen las fórmulas de Bresse. El capítulo finaliza con un tratamiento muy completo de las simetrías y antimetrías. Capítulo 8: Estructuras reticuladas intraslacionales Una gran parte de las estructuras reticuladas lo constituyen las estructuras peraltadas, en las que la deformación por axil se desprecia y entonces los únicos posibles movimientos de los nudos son la traslación horizontal y el giro. Si además la estructura reticulada tiene impedida la traslación horizontal, como sucede en la mayoría de las estructuras de edificación, el problema se simplifica enormemente, pues los tres grados de libertad de los nudos se reducen a uno solo, que es el giro. En este caso se plantea el método general de cálculo en movimientos. Se introducen así mismo los casos debidos a acortamientos y alargamientos por acciones climáticas, los descensos de apoyos y los defectos de montaje. Finaliza el capítulo con el cálculo de vigas continuas por el método de la flexibilidad, conduciendo al teorema de los tres momentos. Capítulo 9: Estructuras reticuladas traslacionales Existen un gran número de estructuras reticuladas, en las que los desplazamientos laterales no están impedidos, por lo que aun despreciando la elongabilidad de las barras, ahora los nudos del reticulado tienen dos grados de libertad, la traslación horizontal y el giro. La resolución de este tipo de estructuras puede realizarse por métodos indirectos, descomponiendo el estado real en suma de uno fundamental más los paramétricos, que pueden resolverse por métodos matriciales o por aplicación del método de Cross, por lo que se ha incluido este último en el Apéndice. Se enuncia el método matricial directo, despreciando la elongabilidad de las barras, lo que implica dos grados de libertad por nudo, dejando para el capítulo 13 el Cálculo matricial de estructuras sin despreciar ninguna deformación y por tanto con tres grados de libertad. Se estudian también en este capítulo, las estructuras reticuladas no sustentadas en equilibrio. 5

24 Prólogo Capítulo 10: Arcos En este capítulo se aborda el tema de los arcos comenzando con una breve descripción de los arcos isostáticos, para pasar inmediatamente al estudio de los arcos hiperestáticos: a) Arcos biarticulados b) Arcos biarticulados atirantados c) Arcos articulados-empotrados d) Arcos biempotrados Se estudian las condiciones de simetría y antimetría en arcos y se describen los arcos antifuniculares clásicos. Por último se introduce el concepto de centro elástico y el cálculo numérico de arcos. Capítulo 11: Cables y tirantes Se dedica este capítulo al estudio de las estructuras constituidas por cables: parábola y catenaria. Se comenta su aplicación en puentes colgantes y atirantados. Por último se analizan las estructuras constituidas por bielas o tirantes. Capítulo 12: Líneas de influencia Uno de los aspectos de relevancia en las estructuras sometidas a cargas móviles como puentes es el de las líneas de influencia. Se estudia en este capítulo el cálculo de las líneas de influencia por aplicación directa del Método de la carga unitaria mediante la utilización del Teorema de los trabajos virtuales, analizando los procedimientos para el cálculo de líneas de influencia de esfuerzos y movimientos, tanto en estructuras articuladas como reticuladas. Por último se estudia el cálculo de líneas de influencia por aplicación del Teorema de reciprocidad. Capítulo 13: Cálculo matricial de estructuras Se atiende en este capítulo al tema importante del Cálculo matricial de estructuras que siempre debería preceder a la utilización de programas de cálculo comerciales. Se introducen los conceptos fundamentales y se desarrolla el método de la rigidez, de los movimientos o de equilibrio. Se describe el proceso de formación de la matriz de rigidez, considerando los casos de esfuerzos térmicos y defectos de montaje. Se consideran los casos de modificación de la matriz de rigidez por las condiciones de contorno: cinemáticas completas, estáticas completas y mixtas. Termina el capítulo con la resolución numérica de ejemplos mediante Cálculo matricial. 6

25 Prólogo Capítulo 14: Cálculo dinámico de estructuras Se realiza en este capítulo la introducción a un tema cada vez de mayor relevancia, como es el cálculo dinámico de estructuras, cuando las cargas actuantes son rápidamente variables, como las producidas por máquinas vibratorias, terremotos, explosiones, ferrocarriles de alta velocidad, etc. El tema es muy extenso y este capítulo solo supone una introducción al tema, que puede desarrollarse en asignaturas de postgrado. Capítulo 15: Cálculo plástico de estructuras Este capítulo se dedica al análisis del Cálculo plástico de estructuras, describiendo el comportamiento elastoplástico de la rebanada sometida a los diferentes tipos de esfuerzos: tracción o compresión, flexión pura, flexión simple y flexión compuesta. Se introducen los conceptos de rótula plástica, momento plástico y factor de forma. Se definen los Teoremas de Máximo y Mínimo y se describen los métodos de cálculo plástico: a) Método de generación de rótulas plásticas b) Método estático c) Método de los Trabajos virtuales Finalmente se desarrolla el cálculo de vigas y pórticos, realizando una serie de ejemplos. Apéndice: Método de Cross A pesar de que este método, con el desarrollo de los Métodos Matriciales y la aparición del ordenador ha dejado de tener una aplicación práctica, su innegable valor didáctico y su interés conceptual ha animado al autor a incluir este capítulo dedicado al Método de Cross. Finalmente quisiera agradecer la colaboración prestada en la edición de este libro, a mi esposa Isabel del Prisco González por su apoyo incondicional y por la mecanografía del texto, así como a mi hijo David Jurado del Prisco y a Andrea Pérez Patiño, durante la fase final mecanográfica. El texto ha sido revisado cuidadosamente para evitar posibles erratas, sin embargo toda obra humana está sujeta a imperfecciones, por lo que el autor agradecería la recepción de estas que pueda detectar el lector, en el correo electrónico [email protected]. 7

26 Prólogo 8

27 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1.1. DEFINICIÓN DE ESTRUCTURA Una estructura es un sistema de elementos resistentes: vigas, arcos, losas, etc. conectados entre sí, de tal forma que es capaz de resistir su peso propio y las acciones exteriores (cargas, desplazamientos impuestos, acciones térmicas, reológicas, etc.), sin sufrir movimientos relativos ni de conjunto, a excepción de las deformaciones elásticas de los elementos que la constituyen. La función básica de una estructura es la de soportar cargas. Esto conduce a una gran variedad de soluciones, dependiendo del propósito para el que la estructura va a ser construida. Por ejemplo, en el caso de un edificio de estructura metálica, los pilares soportan el tejado y las losas de piso, las paredes externas resisten las cargas de viento. Las losas de piso soportan las cargas de peso propio y sobrecarga y por intermedio de las vigas metálicas las transmiten a los pilares. El tejado resiste las cargas de viento y nieve que transmite a la estructura metálica. Las paredes del edificio trasladan las cargas de viento igualmente a la estructura metálica. Finalmente son los pilares metálicos los que transmiten a la cimentación (zapatas o losas de cimentación) la totalidad de cargas y sobrecargas del edificio. Otras tipologías de estructuras soportan cargas de otro tipo. Por ejemplo en el caso de un puente, la estructura del mismo debe soportar las cargas de peso propio, sobrecarga de vehículos, sobrecarga de personas, cargas térmicas y reológicas, etc. En el caso de una presa su estructura debe soportar el empuje del agua embalsada, los esfuerzos térmicos, de retracción, etc. En el caso de una estructura offshore debe resistir además de su peso propio, la sobrecarga del personal de trabajo, helicópteros y fundamentalmente ser capaz de aguantar las acciones del oleaje y las corrientes marinas. Un muelle costero debe soportar las importantes cargas de las grúas que descargan mercancías de los buques de transporte, la presión de las tierras de relleno del muelle, el empuje del agua, la acción del oleaje y los impactos de los barcos. Un tanque de petróleo o de gas debe resistir la presión interna del material almacenado y al mismo tiempo poseer la suficiente resistencia y estabilidad para soportar el viento, la nieve y las variaciones térmicas. Una torre de televisión debe ser capaz de soportar su peso propio y sobrecarga de uso, además del viento, la nieve y las variaciones térmicas. Otros tipos de estructuras como: coches, barcos, aviones, cápsulas espaciales, trenes, etc. soportan igualmente un sistema más o menos complejo de cargas, pero están 9

28 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales fuera del alcance de la ingeniería civil, situándose en otras áreas de la ingeniería: mecánica, naval, aeronáutica, etc. En cualquier caso, toda estructura desde la más simple a la más compleja, debe resistir siempre su carga de peso propio FORMAS Y ELEMENTOS ESTRUCTURALES La decisión de la forma de una estructura depende en gran medida del ingeniero estructural y de la persona u organismo que le encarga el trabajo, así como del propósito para el que se va a construir la estructura, también de los materiales elegidos para su construcción y de las consideraciones estéticas que deban aplicarse. Normalmente para resolver un problema puede elegirse más de una forma estructural y será la experiencia, o las soluciones utilizadas en el pasado, lo que conducirá a elegir la mejor solución estructural. Por otro lado, nuevos materiales y nuevos procedimientos constructivos, pueden conducir a soluciones innovadoras que supongan ahorros económicos o mejoras estéticas. Se denomina elemento estructural a cada una de las partes de una estructura que es capaz de resistir las cargas directamente aplicadas sobre él y trasladarlas al resto de la misma. Las estructuras por requerimientos de su análisis o su construcción, se subdividen en una serie de elementos estructurales: vigas, arcos, losas, láminas, etc. Por ejemplo una viga puede formar parte de la estructura de un edificio o constituir por sí sola una estructura para cruzar, por ejemplo un vano encima de un arroyo. Las vigas y los pilares son los elementos estructurales más comunes que pueden resistir cargas, desarrollando esfuerzos axiles, esfuerzos cortantes, momentos flectores y momentos torsores, como ya se ha visto en otras asignaturas: Mecánica estructural y Resistencia de Materiales. FIGURA 1.1. VIGA DE ALMA LLENA Cuando la luz a cubrir no es muy grande el elemento estructural usual es la viga de alma llena. 10

29 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales A medida que aumenta el vano a salvar, la utilización de vigas de alma llena resulta antieconómica y hay que acudir a vigas en celosía, como el caso de la viga Warren en la construcción de puentes metálicos. FIGURA 1.2. VIGA EN CELOSÍA TIPO WARREN En este tipo de estructuras los nudos funcionan como articulaciones y por eso a las estructuras construidas con este tipo de elementos se les denomina estructuras articuladas. Otro tipo de elementos estructurales utilizados en la construcción de edificios son los pórticos. Un pórtico es una estructura constituida por vigas y pilares que resisten las cargas merced a las uniones rígidas de sus elementos. Una estructura construida por vigas y pilares en los que las uniones de sus elementos son nudos rígidos, se le denomina estructura reticulada. FIGURA 1.3. ESTRUCTURA RETICULADA La utilización de vigas en celosía para soportar el tablero de un puente resulta imposible para vanos muy grandes. En este caso pueden utilizarse arcos. En la figura siguiente puede observarse un puente en el que el tablero está soportado por péndolas verticales apoyadas en el arco que trabajan a compresión. 11

30 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales FIGURA 1.4. PUENTE ARCO DE TABLERO SUPERIOR Puede también disponerse el tablero de forma que esté suspendido del arco mediante tirantes o péndolas verticales trabajando a tracción. FIGURA 1.5. PUENTE ARCO DE TABLERO INFERIOR En el caso excepcional de puentes con un vano muy grande, pueden utilizarse cables para soportar el tablero del puente, como en el caso de los puentes colgantes, en donde los cables pasan por unos elementos verticales llamados pilas o torres. FIGURA 1.6. PUENTE COLGANTE Los elementos estructurales que constituyen una estructura, pueden ser de diferentes tipos. Atendiendo a su geometría pueden distinguirse entre: Elementos estructurales lineales Elementos estructurales superficiales Elementos estructurales tridimensionales 12

31 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales Son elementos estructurales lineales aquellos elementos que pueden esquematizarse como una línea recta o curva. Ejemplos de este tipo de elementos son: la viga, el pilar, el arco, el cable, el tirante, etc. En este tipo de elementos una dimensión es muy grande frente a las otras dos. VIGA PILAR ARCO FIGURA 1.7. ELEMENTOS ESTRUCTURALES UNIDIMENSIONALES Son elementos estructurales superficiales aquellos que pueden esquematizarse como una superficie plana o curva. Son ejemplos de este tipo de elementos: la losa o placa, el muro, la lámina, etc. LOSA MURO LÁMINA FIGURA 1.8. ELEMENTOS ESTRUCTURALES BIDIMENSIONALES En este tipo de elementos dos dimensiones son muy grandes frente a la tercera. Son elementos estructurales tridimensionales aquellos elementos que pueden esquematizarse como volúmenes. Como ejemplos de este tipo de elementos tenemos: un macizo de cimentación. FIGURA 1.9. MACIZO DE CIMENTACIÓN (ELEMENTO ESTRUCTURAL TRIDIMENSIONAL) 13

32 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales En este tipo de elementos las tres dimensiones son del mismo orden de magnitud. La combinación de elementos estructurales lineales por intermedio de nudos articulados o rígidos conduce a las siguientes formas estructurales. Estructuras articuladas Estructuras reticuladas En las estructuras articuladas la unión de todos los elementos lineales que las constituyen (barras) se realiza por medio de articulaciones. Según que todos los elementos lineales estén o no en un plano se hablará de estructuras articuladas planas o estructuras articuladas espaciales. ESTRUCTURA ARTICULADA PLANA ESTRUCTURA ARTICULADA ESPACIAL FIGURA ESTRUCTURAS ARTICULADAS También reciben el nombre de celosías planas o espaciales. En las estructuras reticuladas, la unión de todos los elementos lineales que la constituyen (vigas y pilares), se realiza por medio de nudos rígidos. Según que todas las cargas y los elementos lineales estén o no en un plano, se distingue entre estructuras reticuladas planas y estructuras reticuladas espaciales. ESTRUCTURA RETICULADA PLANA ESTRUCTURA RETICULADA ESPACIAL FIGURA ESTRUCTURAS RETICULADAS También reciben el nombre de pórticos planos o espaciales. Una forma estructural constituida por barras rectas es el emparrillado. El emparrillado está constituido por una serie de barras rectas, normalmente constituyendo una parrilla ortogonal y situada en un plano horizontal, sometido a cargas perpendiculares al 14

33 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales plano, momentos flectores y momentos torsores. Las deformaciones de los elementos del emparrillado están constituidas por traslaciones perpendiculares a este y por dos giros ortogonales de ejes contenidos en el plano. FIGURA 1.12.EMPARRILLADO Otra forma estructural es la losa o placa que está constituida por un elemento bidimensional, normalmente situado en un plano horizontal y sometido a cargas del mismo tipo que en el caso del emparrillado. FIGURA 1.13 LOSA O PLACA Cuando este elemento superficial plano está situado en un plano vertical se llama muro. FIGURA 1.14 MURO Como elementos superficiales espaciales tenemos la lámina, que dependiendo de su forma reciben distintos nombres: bóveda, cúpula, etc. 15

34 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales LÁMINA BÓVEDA CÚPULA FIGURA 1.15 ESTRUCTURAS LAMINARES En este tipo de elementos los esfuerzos son del tipo: axiles, cortantes, flectores, no existiendo normalmente momentos torsores. Cuando en la lámina solo existen esfuerzos axiles y cortantes dentro del plano del elemento no existiendo flexiones, la forma estructural se denomina membrana o cáscara. Es el caso de un globo TIPOS DE APOYO DE UNA ESTRUCTURA Las cargas aplicadas a una estructura se transfieren a su cimentación por medio de sus apoyos. En la práctica, los apoyos de una estructura pueden ser muy complejos, en cuyo caso se idealizan en unas tipologías que se aproximen lo máximo posible a la realidad y permitan el análisis de la misma. Por ejemplo, un tipo de apoyo que permite la rotación pero impide las dos traslaciones en el plano de la estructura es el apoyo fijo figura 1.16 a), que se idealiza como se indica en la figura 1.16 b). a) APOYO FIJO REAL b) APOYO FIJO IDEALIZADO FIGURA 1.16 APOYO FIJO Una viga que tenga en cada uno de sus extremos un apoyo fijo tiene sus movimientos totalmente impedidos, pero puede ser ventajoso permitir el movimiento horizontal de uno de ellos, para que los efectos de contracción y dilatación debidos a los cambios de temperatura, no introduzcan esfuerzos adicionales en la estructura. Una forma de idealizar un apoyo móvil en una estructura, es disponiendo un apoyo de neopreno que permite en función del espesor del mismo el movimiento horizontal, así como el giro. 16

35 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales a) APOYO MÓVIL REAL b) APOYO MÓVIL IDEALIZADO FIGURA 1.17 APOYO MÓVIL En algunos casos interesa impedir en el extremo de una viga las dos traslaciones y el giro, lo que supone un empotramiento. Por ejemplo en el caso de una estructura metálica, la unión rígida de la viga al pilar puede realizarse mediante dos angulares, como se indica en la figura nº 1.18, constituyendo un empotramiento. a) EMPOTRAMIENTO DE VIGA EN PILAR b) EMPOTRAMIENTO IDEALIZADO FIGURA 1.18 EMPOTRAMIENTO Una viga con un apoyo móvil y otro fijo se denomina viga simplemente apoyada. Sin embargo, puede haber apoyos móviles en puntos intermedios de la viga, constituyendo en este caso una viga continua. VIGA SIMPLEMENTE APOYADA VIGA CONTINUA FIGURA 1.19 VIGAS APOYADAS En las figuras siguientes se puede apreciar el caso de una viga en ménsula o voladizo y el de una viga biempotrada. VIGA EN MÉNSULA O VOLADIZO VIGA BIEMPOTRADA FIGURA 1.20 VIGAS EMPOTRADAS 17

36 Capítulo 1 - Conceptos fundamentales Cuando las cargas se aplican a la estructura, se generan reacciones en los apoyos y en muchos análisis estructurales, el primer paso consiste en calcular esos valores ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS E INDETERMINADAS Una estructura se dice que es isostática o estáticamente determinada si el número de coacciones internas más coacciones externas es igual al número de grados de libertad totales de la misma y si los enlaces internos y externos están convenientemente situados para impedir los movimientos internos y externos de la misma. ESTRUCTURA ARTICULADA ESTRUCTURA RETICULADA ISOSTÁTICA ISOSTÁTICA FIGURA 1.21 ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS En este caso las ecuaciones de equilibrio de la estática son suficientes para determinar los valores de las reacciones externas. Por el contrario, si el número de coacciones internas más coacciones externas es superior al número de grados de libertad totales, la estructura se dice que es hiperestática o estáticamente indeterminada. En este caso las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar los valores de las reacciones y es necesario acudir a ecuaciones adicionales de deformación, tantas como grado de hiperestaticidad tenga la estructura. En el caso de que el número de coacciones externas más coacciones internas sea menor que los grados de libertad totales, se dice que el sistema de cuerpos es un mecanismo. En este caso existen movimientos no impedidos. ESTRUCTURA ARTICULADA ESTRUCTURA RETICULADA HIPERESTÁTICA HIPERESTÁTICA FIGURA 1.22 ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS 18

37 Capítulo 3 Teoremas Energéticos Donde las cargas exteriores P i y los esfuerzos σ j suponen un sistema en equilibrio, mientras que los movimientos virtuales dδ i y las deformaciones virtuales dε j, son arbitrarios y compatibles TEOREMA DE LOS TRABAJOS COMPLEMENTARIOS VIRTUALES Al igual que en el caso de trabajo y la energía de deformación, para los trabajos virtuales se define el Teorema de los trabajos virtuales complementarios, también conocido como Teorema de las fuerzas virtuales. De igual manera que en el teorema de los trabajos virtuales, ahora se definen fuerzas virtuales dp i al conjunto de fuerzas infinitesimales imaginarias en equilibrio con los esfuerzos dδ i, que no modifican las condiciones de equilibrio y para las que no se produce variación de los movimientos δ i, de la estructura, es decir dδ i = 0. Se denomina trabajo complementario virtual sobre la estructura, para las fuerzas virtuales supuestas, al trabajo complementario definido por la primera variación δ 1 W*: n 1 dw* = δ W* = δidpi i= 1 Las tensiones dσ j que se producen en la estructura, para equilibrar a las fuerzas virtuales dp i se conocen como tensiones virtuales y por definición no modifican las deformaciones virtuales dε j, es decir, dε j = 0. Por lo tanto, el incremento de la energía complementaria de deformación coincide con la primera variación: m 1 du* = U* = jd j= 1 δ ε σ Y se define como energía complementaria de deformación virtual. En el caso de que la estructura se trate de un sistema conservativo, se tiene que: dw du W U 1 1 * = * δ * = δ * Que representa la expresión matemática del Teorema de los trabajos complementarios virtuales, cuyo enunciado es el siguiente: La condición necesaria y suficiente para que en una estructura unos movimientos δ i y unas deformaciones ε j, sean compatibles, es que para cualquier conjunto arbitrario de fuerzas virtuales dp i en equilibrio con las correspondientes tensiones virtuales dσ j, se cumpla la igualdad entre el trabajo complementario y la energía complementaria de deformación virtuales. j 88

38 Capítulo 3 Teoremas Energéticos Por tanto la expresión matemática de la condición anterior, es que: n m δ dp = ε dσ i i j j i= 1 j= 1 (3.45) Donde los movimientos δ i y las deformaciones ε j deben ser compatibles, mientras que las fuerzas virtuales dp i y las tensiones virtuales dσ j, son arbitrarios y están en equilibrio TEOREMA DE LA FUERZA UNIDAD A partir del Principio de los trabajos virtuales y del Principio de los trabajos complementarios virtuales se deducen un conjunto de Teoremas de gran aplicación en los desarrollos teóricos de Cálculo de Estructuras, en los que están fundamentados la mayoría de los métodos de análisis actuales: Teorema de la fuerza unidad Teoremas de Castigliano Teorema de la energía complementaria de deformación mínima. Teorema de la energía potencial total estacionaria. Cada uno de los teoremas basados en el Principio de los trabajos virtuales tiene su análogo basado en el Principio de los trabajos complementarios virtuales o Principio de las fuerzas virtuales. Se expresa a continuación el primero de ellos denominado teorema de la fuerza unidad. Consideremos un sistema estructural elástico y conservativo constituido por la estructura articulada de la figura 3.24, sometida a la acción de unas fuerzas P i en equilibrio con unos esfuerzos N j. Bajo este estado de cargas se producen unos movimientos cuyas componentes eficaces con las fuerzas son δ i. Estos movimientos son compatibles con unas deformaciones (alargamientos en el caso de estructuras articuladas) que denominaremos Δ j, que al igual que los esfuerzos N j están producidos por las fuerzas P i, así como por cualquier otro tipo de acción de carácter no estático como incrementos de temperatura, defectos de montaje, etc. 89

39 Capítulo 3 Teoremas Energéticos CÁLCULO DE SISTEMAS ESTRUCTURALES MEDIANTE LOS TEOREMAS ENERGÉTICOS Desplazamientos en arcos Sea el arco de tres articulaciones de la figura en la cual se ha producido un desplazamiento horizontal δ H del apoyo B del lado derecho y se desea conocer el descenso δ* v en la articulación C. FIGURA 3.35 Para ello se coloca una carga P (que puede ser unitaria o no) en el punto C y que producirá trabajos a través del corrimiento desconocido δ* V. Las reacciones debidas a P valen: V = 1 2 P H= V l 2 f = P l 4 f Pensando en los desplazamientos como virtuales y el sistema de cargas como real, se puede aplicar el Principio de los Trabajos Virtuales, donde: W e W e = 0 * * * l = P δ v H δ H = 0 δv = δ 4 f * H Cálculo de una reacción isostática Sea la viga isostática de la figura en la que queremos determinar el valor de la reacción R B para el sistema de cargas P en equilibrio con las reacciones en A, B y C. Eliminando el apoyo B y explicitando la reacción R B como carga externa, el sistema se convierte en un mecanismo de grado 1, al que se le puede dar un desplazamiento virtual con valor en B igual a Δ. En este caso, también W = 0 : e 109

40 Capítulo 3 Teoremas Energéticos FIGURA 3.36 W e Δ 2 7 = P + RB Δ P Δ = 0 RB = P No dependiendo naturalmente del desplazamiento virtual Δ arbitrario dado al punto B Deformaciones en pórticos a) Desplazamientos Sea el pórtico de la figura sometido a un estado de cargas P que produce unas solicitaciones M, N, Q y unas deformaciones de las que se desea conocer el desplazamiento de un punto genérico i en la dirección s-s (δs). FIGURA 3.37 Se aplica en i una carga virtual P* = 1 en la dirección s-s que produce solicitaciones M*, N*, Q*. 110