ESCUELA DE INGENIERÍA

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1 ESCUELA DE INGENIERÍA Programa académico: CENTRO DE CIENCIA BÁSICA Curso: ÁLGEBRA LINEAL Ciclo: Básico Disciplinar Área: Ciencias Básicas No. de créditos: 3 Tipo de curso: Teórico Horas/semana: 4 CONCEPCIÓN DEL CURSO: Este curso contribuye en gran parte a formar en el estudiante una estructura de pensamiento lógico-matemático, al tiempo que le proporciona las bases conceptuales y técnicas para comprender, modelar y resolver muchos procesos de ingeniería. Uno de los problemas mas frecuentes al que se ve enfrentado el estudiante de ingeniería en su nivel básico, es solucionar sistemas de ecuaciones lineales, para ello la representación matricial de estos sistemas y su fácil implementación en un software adecuado como Matlab que le permite encontrar la solución para múltiples variables. Los espacios lineales, las transformaciones lineales y los espacios con producto interno proporcionan las bases fundamentales para el diseño de modelos. Los valores y vectores propios por su parte, son esenciales para plantear y resolver problemas de física e ingeniería relacionados con sistemas dinámicos, oscilatorios, teoría general de la estabilidad y mecánica cuántica entre otros. RECOMENDACIONES (SABERES PREVIOS): Matemática Básica, Introducción al Cálculo, Cálculo de Variable Real, Geometría Vectorial Euclidiana. PROPÓSITOS DE FORMACIÓN: Mejoramiento de la capacidad de pensamiento lógico matemático mediante la conceptualización, formulación, interrelación, interpretación y análisis de modelos lineales propios de asignaturas de Ciencia Básica en matemáticas, física para ser aplicadas en ingeniería. Utilización del isomorfismo entre matrices y operadores lineales para facilitar el estudio de estos últimos y sus propiedades. METAS DE APRENDIZAJE: Definir la estructura de espacio y subespacio lineal y encontrar bases para espacios de dimensión finita. Resolver sistemas de ecuaciones lineales, utilizando su representación matricial y determinar el tipo de solución. Aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmith y la proyección ortogonal, en la obtención de bases ortonormales.

2 DETERMINACIÓN DE COMPETENCIAS: Saber distinguir entre los elementos diferenciadores e integradores del modelo vectorial de la Geometría con la estructura de espacio lineal y el de las funciones vectoriales. Saber establecer una relación mediante el isomorfismo desde las matrices y las transformaciones lineales diagonalizables a través de bases propias ortonormales de los subespacios. Saber aplicar los conceptos de sistemas y transformaciones lineales, para modelar y resolver problemas de física e ingeniería interpretando su solución. Saber manejar adecuadamente el lenguaje matemático, simbólico y los procesos deductivos del algebra lineal. ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO ACADÉMICO: PROGRAMACIÓN DEL CURSO ESTRUCTURAS ALGEBRÁICAS El concepto de Operación, tipos de operaciones Propiedades de las binarias: de Clausura, asociatividad, existencia de elemento neutro, existencia de elemento inverso, conmutatividad, distributividad Operación Binaria externa El concepto de estructura Algebraica. Principales estructuras algebraicas: grupo, anillo Cuerpo, Campo, Espacio Lineal sobre un Campo Concepto de matriz Algunos tipos MATRICES Matrices como un espacio lineal sobre un campo Igualdad Adición Producto por un escalar Multiplicación matricial Transposición Operaciones binarias Operaciones unitarias Conjugación Potenciación Determinante Definición y obtención Propiedades Operaciones elementales Equivalencia de matrices Factorización matricial La inversa de una matriz Definición y notación Inversa de una matriz Equivalencia de matrices Sistemas lineales

3 Condiciones para la existencia y no existencia de soluciones en sistemas lineales. Solución de sistemas homogéneos y no homogéneos ESPACIOS LINEALES Estructura de espacio lineal Definiciones y propiedades Ejemplos importantes Subespacios lineales Definición y ejemplos Variedades lineales Subespacio generado Operaciones Base y dimensión Dependencia e independencia lineal Base de un espacio lineal Dimensión de espacios lineales Subespacios complementarios Completación de base El complemento de un subespacio Subespacios asociados a una matriz Álgebra lineal Definición y propiedades Ejemplos Subálgebra lineal OPERADORES LINEALES El espacio de los operadores lineales Definición de operador lineal Espacio de los operadores lineales subespacios asociados a un operador lineal Isomorfismo en espacios lineales Tipos de operadores lineales Espacios lineales isomorfos Matriz asociada a un operador lineal Obtención de la matriz Isomorfismo entre matrices y operadores lineales Matriz de cambio de base Equivalencia de matrices de un operador Operadores multilineales Operadores bilineales Formas cuadráticas Operadores n-lineales ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Estructura de producto interno Producto interno sobre R Producto interno sobre C La norma La métrica desigualdad de Cauchy Schwartz

4 Ortogonalidad Conjuntos ortogonales y ortonormales Proyección ortogonal Proceso de Gram Schmidt Subespacios ortogonales Bases ortonormales Complemento ortogonal Ortogonalidad de los subespacios asociados a una matriz Matrices ortogonales Definición y propiedades Operadores lineales ortogonales VALORES PROPIOS Y DIAGONALIZACIÓN Valores y vectores propios Espectro de un operador lineal Subespacios propios Propiedades de los valores propios Diagonalización de operadores lineales METODOLOGÍA DE TRABAJO: Actividades presénciales: MATRICES SOBRE UN CAMPO: exposición del profesor, formulación y demostración de propiedades. Solución de diversos tipos de ejercicios numéricos. Análisis de condiciones necesarias y suficientes respecto a la existencia de la inversa y a la solución única o múltiple de un sistema lineal ESPACIOS LINEALES: Presentación de la estructura de espacio y subespacio lineal y ejemplos importantes de estas estructuras. Exposición del docente sobre base y dimensión. Presentación de diferentes ejemplos. Identificación de la estructura de algebra lineal. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO: exposición del profesor sobre producto interno sobre Reales y complejos, norma y métrica. Propiedades y demostración de algunas de ellas. Presentación y análisis de condiciones de ortogonalidad entre conjuntos, matrices y operadores lineales. Deducción del proceso de ortonormalización de Gram-Schimdt y su relación con la proyección ortogonal VALORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION: Exposición del profesor. Formulación y demostración de propiedades. Establecer condiciones necesarias y suficientes de diagonalización y con base en ellas determinar los tipos de matrices diagonalizables. Presentación de las principales consecuencias del proceso de diagonalización. OPERADORES LINEALES: Presentación del concepto de espacio lineal de los operadores lineales, subespacios y propiedades. Establecer condiciones necesarias y suficientes para el isomorfismo entre Mmxn y L(V,W) y sus consecuencias. Generalizar la estructura de operador lineal a n dimensiones y deducir algunos casos importantes de estos: formas bilineales y cuadráticas. Actividades de trabajo compartido profesor-alumno.

5 De acuerdo a la exigencia del decreto 2566 se sugieren actividades que puedan ser desarrolladas extra clase en continua asesoría con el docente, estas actividades se llaman actividades de trabajo compartido profesor-alumno. Para esta actividad se han escogido las temáticas: VECTORES Y VALORES PROPIOS: Teoría Básica, propiedades y fundamentales PROCESO DE ORGONALIZACIÓN DE GRAM SCHIMDT. Actividades de trabajo autónomo: MATRICES SOBRE UN CAMPO: Lectura previa a la exposición en clase de algunos temas. Consultas adicionales en textos de la bibliografía básica. Solución de ejercicios del taller. Formulación y solución de modelos lineales. Estudio personal. Preparación de la evaluación escrita sobre el tema ESPACIOS LINEALES: consulta adicional sobre el tema en textos de la bibliografía básica o complementaria. Solución de ejercicios del taller. Estudio personal.preparación de la evaluación escrita. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO: lecturas previas en el texto guia sobre algunos temas. Consulta adicional sobre el tema en la bibliografía básica. Solución de ejercicios del taller. Estudio personal VALORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION: Solución de ejercicios sobre valores, subespacios propios y diagonalización. Consulta adicional sobre el tema en la bibliografía básica. Solución de ejercicios del taller. Estudio personal. Preparación de evaluación escrita OPERADORES LINEALES: Estudio de los tipos de operadores lineales y su relación con el núcleo y el rango. Consulta adicional sobre el tema en los textos de la bibliografía. Solución de ejercicios del taller. Estudio personal. Preparación de la evaluación escrita. Actividades Monitorias: MATRICES SOBRE UN CAMPO: Solución y presentación en clase de ejercicios propuestos. Lectura, análisis y presentación de algunos temas por parte de los estudiantes. Establecer analogías entre Rn y sus operaciones con matrices de orden Mmxn (R). Comparación y distinción entre las operaciones y propiedades de R y las matrices de orden n. ESPACIOS LINEALES: Solución y presentación en clase por parte de los estudiantes de diferentes ejercicios sobre el tema. Consulta y presentación de bases de espacios y subespacios. Establecer analogías entre operaciones con conjuntos y operaciones con subespacios. Apropiación del lenguaje y simbolismo del algebra lineal. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO: presentación en clase por parte de los estudiantes de diferentes ejemplos de producto interno y sus normas y métricas asociadas. Deducción de algunas consecuencias de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Obtención de bases ortonormales de espacios y subespacios. Establecer analogías entre las matrices ortonormales y las rotaciones en R2 y R3 VALORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION: dado un operador lineal, hallar: su matriz asociada, sus valores propios y sus subespacios propios. Determinar si definen una base propio y en consecuencia si es diagonalizable. Establecer analogías entre el teorema de los ejes principales y la rotación de ejes de la geometría analítica

6 OPERADORES LINEALES: solución y presentación en clase de diferentes ejercicios sobre operadores lineales y sus subespacios. Establecer analogías entre las propiedades de las operaciones en matrices Mmxn y las respectivas L(V;W). Definir los cambios de base en espacios lineales mediante la matriz asociada a un operador lineal Nota: Los estudiantes que ejercen la monitoria del curso no tienen autoridad para realizar quices, parciales, ni ninguna otra actividad que tenga que ver con la calificación cualitativa y cuantitativa del curso de Álgebra Lineal. EVALUACIÓN: 4 Parciales de 20% Seguimiento 20% (Cada profesor distribuirá el seguimiento de acuerdo a los criterios acordados en la reunión y que figuran en el acta.) BIBLIOGRAFÌA. Texto Guía: DIAZ SANTA, Georlin. Álgebra Lineal. 3ª edición. Medellin: editorial UPB p. (Texto Guía) Textos Auxiliares: Anton, Howard. Introduccion al Álgebra Lineal, 3ª Edición, México, limusa Wiley p. GROSSMAN, Stanley I. Álgebra Lineal y sus aplicaciones.3ª edición. Mexico: Mc Graw Hill G 34 p. HOFTFMAN,kenneth; KUNSE,Ray. Álgebra Lineal. México: Prentice Hall p. LAY, Davis C. Álgebra Lineal y sus aplicaciones. 2ª edición. México: Pearson p LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Lineal. México: Mc GraW Hill p. RESTREPO, Patricia; FRANCO, Rosa; MUÑOZ, Luz Elena. Álgebra Lineal con aplicaciones. Santa Fe de Bogotá: imprenta U. NAL p. ALGEBRA LINEAL (Optava edición). Bernard Kolma, Davis R. Hill. Editorial: Pearson, Prentice Hall. MAPA CONCEPTUAL:

7 Se respetan los derechos de Autor: Profesores Georlin Díaz Santa & Gabriel Ferney Valencia Carrascal (Universidad Pontificia Bolivariana)