MAGNITUDES Y SU MEDIDA

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1 MAGNITUDES Y SU MEDIDA 1. Introducción Vivimos en un universo sometido a continuos cambios, cambios que tienen lugar de acuerdo con unas normas a las que en términos genricos llamamos Leyes de la Naturaleza. El estudio y explicación de estas Leyes nos permite explicar lo que sucede a nuestro alrededor. Sin embargo, esta necesidad de explicación requiere métodos y lenguajes coherentes que nos permitan ordenar de acuerdo con unos patrones o reglas nuestra manera de estudiar y de cuantificar lo que sucede a nuestro alrededor. Una vez satisfecha la necesidad de contar, surge la necesidad de medir y de expresar esta medida en términos cuantificables, esto es, reducir el problema de medir a un problema de contar y poder operar con estos resultado de acuerdo con las leyes de la aritmética. 2. Magnitudes y su medida. Definiciones Qué es medir? Medir es comparar un objeto con otro de referencia, que se llama patrón, y expresar cuntas veces lo contiene. Por ejemplo, si tomamos como patrón una lagartija (Figura 1), podemos medir lo largo que es un coche añadiendo lagartijas sucesivamente desde donde comienza el coche hasta que termina. Así, si hemos podido colocar 7 lagartijas, el coche medirá 7 lagartijas de largo (Figura 2). Podemos elegir una lagartija como patrón, sin embargo, esto no es muy práctico (la lagartija puede crecer, es dificil de dejarla quieta para medir,...) por lo que necesitamos coger un elemento que sea invariable y esté totalmente definido. En el caso que estamos tratando, el de la longitud, el patrón es el METRO. A partir de este patrón se construyen los instrumentos de medida (reglas, escuadras, cintas métricas,...) con los que se mide en la práctica. Así, podemos medir de nuevo el coche anterior por medio del METRO, y a través de los instrumentos de medida. Si hemos podido colocar 3 unidades de medida de longitud a las que llamamos metro, entonces podemos decir que el coche mide 3 metros de largo (Figura 3). Cuando medimos la anchura, la altura o el perímetro de un objeto, estamos midiendo la longitud. También es longitud cuando medimos la distancia entre dos o más objetos. La unidad de referencia o patrón en este caso, en el caso de la longitud, es el METRO. Cada una de las cualidades que se pueden medir de un objeto (el peso, la masa, el volumen,...) tienen una unidad patrón. Tras este ejemplo, parece claro que primeramente hemos de establecer qué es medible y cómo debemos expresar esta medición. Definición: Llamamos Magnitud a un atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede 1

2 2 MAGNITUDES Y SU MEDIDA ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente (Oficina Internacional de Pesas y Medidas). Por ejemplo, la belleza no es una magnitud porque no se puede hablar de una belleza cuyo valor sea 7. Pero sí se puede hablar de una longitud cuyo valor es 3 (metros, por ejemplo). El concepto de medida aparece ligado al de magnitud en tanto que magnitud es cualquier propiedad de los cuerpos que es susceptible de ser medida. Por ejemplo, la longitud, la masa, el área, el volumen,... Para entender el concepto de cantidad, vamos a seguir el ejemplo de la longitud. Imaginemos que tenemos todos los objetos para los cuales podemos medir cierta magnitud. En el caso de la longitud, serán todos los objetos susceptibles de poder medirse su longitud (por ejemplo, el coche de la introducción, una carretera, un armario,...) Tendremos un conjunto inmenso de objetos para los que se puede distinguir la magnitud longitud. A continuación, establecemos una relación de equivalencia dada por los objetos que tienen la misma medida (cuya característica con respecto a la magnitud longitud es la misma). En el ejemplo de la magnitud longitud, si una silla y una mesa son iguales en cuanto a esta magnitud (es decir, miden lo mismo), ambas estarán en la misma clase de equivalencia. Cada una de las clases de equivalencia que aparecen se llamará cantidad. Llamaremos cantidad a la manifestación concreta de la magnitud que estamos estudiando, es decir, a la clase de equivalencia a la que pertenece el objeto concreto. La medida es el proceso de asignación de un valor cuantitativo como resultado de comprar dicha magnitud con la que hemos tomado como patrón, y que se ha adoptado como unidad. CUADRO RESUMEN magnitud longitud cantidad las distintas clases de equivalencia unidad de medida metro medida asignación de valor cuantitativo (dada una unidad de medida) Para entenderlo mejor vamos a resumir lo aprendido siguiendo el ejemplo del coche y la magnitud longitud. Atendiendo a la magnitud longitud, hemos dividido todos los objetos que pueden distinguirse según esta propiedad (es decir, que pueden ser medidos) en clases de equivalencia. El coche del ejemplo estará en una de ellas (y una mesa que mida tres metros también estará en esa misma clase de equivalencia). Si fijamos el metro como unidad de medida, podemos asignar el valor cuantitaivo 3 a todos los elementos de la clase de equivalencia. Así que la medida del coche es 3 metros (la mesa también medirá 3 metros). 3. Magnitudes. Elección de unidades Hemos visto que para determinar la medida de un objeto es necesario establecer una unidad de medida. En el caso de la magnitud longitud establecimos el metro como unidad de medida para medir el coche. En general, las unidades de las magnitudes se eligen arbitrariamente procurando obedecer a los siguientes criterios:

3 MAGNITUDES Y SU MEDIDA 3 Invariabilidad: el patrón es inalterable siendo siempre el mismo en cualquier lugar y condición. Contrastabilidad: es fácil fabricar copias del patrón y su comparación con cualquier cantidad de la magnitud a medir. Internacionalidad: es admitida y utilizada internacionalmente para facilitar la transmisión de datos y reprodución de los mismos. Como vemos, la lagartija que comenzamos a utilizar como unidad de la magnitud longitud no es adecuada porque no cumple estos principios. Comparada la magnitud con el patrón si esta contiene n unidades de aquel, diremos que n es la medida de dicha magnitud. La unidad se debe entender como la cantidad de magnitud que se toma como referencia. La medida no tiene que ser un número natural de veces el patrón que se ha elegido. Por ejemplo, el coche podría no haber medido tres metros ni cuatro, sino algo distinto y entre ambos... Definiremos entonces subdivisiones y múltiplos del patrón que, en general, se toman de acuerdo con el sistema decimal de forma que una unidad de orden superior es diez veces mayor que la unidad de orden inmediatamente inferior. También, estas subdivisiones y múltiplos aparecen para poder medir objetos respecto de los cuales estas unidades pueden ser muy grandes o muy pequeñas. Por ejemplo, si quiero medir la longitud de la Tierra, el metro será una unidad muy pequeña. Sin embargo, si quiero medir la longitud de una hormiga, el metro será una unidad muy grande. Todo esto lo veremos a continuación, a la hora de introducir el sistema métrico decimal. 4. Sistema internacional de unidades Como la elección de la unidad es arbitraria, podemos elegir distintas unidades para medir una misma magnitud. A lo largo de la historia y en distintos lugares se ha usado la yarda, el pie, la pulgada, el metro,... para medir longitudes. Para facilitar la transferencia de información, en 1960, durante la Conferencia internacional de Pesas y Medidas se aceptó como Sistema Internacional de Unidades (SI) el que había propuesto a principios de siglo el italiano Giorgi. Este sistema fue declarado legal en España en El Sistema Internacional establece las magnitudes consideradas fundamentales, el símbolo dimensional, la unidad de medida y el símbolo de la misma. Es un sistema mks (metro-kilogramo-segundo) Para completar este sistema se establecen también los múltiplos y divisores de estas unidades y el símbolo que tienen asociado Magnitudes fundamentales y derivadas. Las primeras son primarias y no se definen en función de otras magnitudes, mientras que las segundas se definen a partir de operaciones algebráicas que relacionan magnitudes fundamentales. Por ejemplo, el metro es una magnitud fundamental y mide longitudes, mientras que el metro cuadrado es una magnitud derivada (es el cuadrado de la magnitud metro) y sirve para medir superficies. Las magnitudes que se consideran fundamentales son 7:

4 4 MAGNITUDES Y SU MEDIDA Magnitud física Simb. Dimensional Unidad Simb. Unidad Longitud L Metro m Masa M Kilogramo Kg Tiempo T Segundo s Temperatura Θ Grado Kelvin K I. de corriente eléctrica I Amperio A I. Luminosa J Candela cd Cantidad de materia N Mol mol Ejemplos de magnitudes derivadas son la velocidad (espacio recorrido por unidad de tiempo), la aceleración (varación de la velocidad por unidad de tiempo), volumen (longitud en tres dimensiones), densidad (masa por unidad de volumen), etc Sistema internacional. Múltiplos y divisores. La siguiente tabla contiene los divisores y múltiplos decimales de las unidades del sistema internacional, su valor y su símbolo. Divisores Múltiplos deci 10 1 Deca 10 1 centi 10 2 Hecto 10 2 mili 10 3 Kilo 10 3 micro 10 6 Mega 10 6 nano 10 9 Giga 10 9 pico Tera El ejemplo típico con la magnitud longitud aparece en la Figura 4. Ejercicio: Realizar una tabla similar con una magnitud general y las magnitudes para áreas y volúmenes. Ten cuidado porque ahora se multiplica y divide por otra cantidad. 5. Magnitudes. Clasificación Se pueden hacer varios tipos de clasificaciones de las magnitudes: (1) atendiendo al tipo de fenómeno magnitudes discretas (cantidad de personas, cantidad de caramelos, número de zancadas...) magnitudes continuas (tiempo, longitud, peso,...) (2) atendiendo a su forma de expresión magnitudes escalares: son las que quedan definidas completamente con un número y las unidades utilizadas para su medida: la masa, la temperatura, la densidad,... magnitudes vectoriales: son las magnitudes que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), una dirección y un sentido. ejemplo: la velocidad, la aceleración, la fuerza gravitatoria... (3) otro criterio: no aditivas o intensivas: si los rasgos son sumativos pero la suma de los rasgos no es exactamente la adición de los mismos. Por ejemplo, la temperatura, la densidad, la presión... aditivas o extensivas: la cantidad total es la suma de las partes. Por ejemplo el peso, la longitud, la superficie, el tiempo, el dinero,...

5 MAGNITUDES Y SU MEDIDA 5 6. Errores de medida Al realizar una medición de forma experimental, es posible haber realizado algún error de forma que la medida real y la obtenida experimentalmente son distintas. Los errores o imprecisiones en los resultados se expresan matemáticamente en dos formas llamadas error absoluto y error relativo. Llamamos error absoluto, y escribimos Ea a la diferencia entre el resultado real de la medición M y el valor real de la medida m, en valor absoluto. Es decir, Ea = M m. El error relativo Er es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor de la medida. Se expresa en tanto por ciento y su expresión es Er = Ea M m 100 = 100. m m Cuál de estos errores es más fiable para saber si se ha hecho una buena o una mala medición? - Área del cuadrado y de un rectángulo. - Área de un triángulo. - Área de un trapecio. - Longitud de una circunferencia. - Área de un círculo. 7. Cálculo de áreas y volúmenes - Área y volumen de un cubo y un ortoedro. - Área y volumen de un cilindro. - Área y volumen de una esfera.

6 6 MAGNITUDES Y SU MEDIDA Figure 1 Figure 2 Figure 3

7 MAGNITUDES Y SU MEDIDA 7 Figure 4