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Transcripción

1 Fuerzas conservativas POTENCIAL ELÉCTRICO La razón fundamental por la que se puede definir el concepto de potencial eléctrico (al igual que potencial gravitatorio) es la que nos dice que el trabajo (1) de la fuerza eléctrica entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida para ello, sino simplemente del punto inicial y del punto final. Por ello, la fuerza eléctrica recibe el nombre de fuerza conservativa(2). De esta propiedad se deduce otra equivalente, que sirve también de definición de fuerza conservativa, a saber: el trabajo de la fuerza eléctrica en una trayectoria cerrada es cero. En efecto: B A Para ir del punto A al punto A evidentemente el trabajo es cero pues no hay desplazamiento. Pero también podemos ir desde A hasta B y después volver de B hasta A siendo el trabajo el mismo pues no depende de la trayectoria. Así: (El trabajo de una fuerza lo denotamos por W, como en dinámica) W A B + W B A = W A A = 0 W A B = W B A Por lo tanto también podemos decir, como definición de fuerza conservativa, que es aquella cuyo trabajo en una trayectoria cerrada es cero: F eléc dr = 0 (1) Recordar la definición de trabajo de una fuerza (2) Si sólo actúan fuerzas de este tipo, la energía mecánica se conserva (en sólidos rígidos, indeformables ) Página 1 de 14

2 Definición de potencial Para definir el concepto de potencial en un punto A, se elige un punto concreto y arbitrario como origen de potenciales O v y el trabajo hecho por la fuerza eléctrica, y cambiado de signo (esto por sencillez en el teorema del trabajo) sobre un culombio (el trabajo del campo eléctrico por lo tanto) cuando este se traslada desde el origen de potenciales hasta el punto A lo llamamos potencial en A (dicho trabajo, como se ha dicho, es una constante que no depende de la trayectoria) E A + 1C O v V(A) = W A eléctrico O v A = E dr O v Si en ese punto A pusiéramos una carga q, diremos que esa carga q posee una energía potencial E potencial = q V(A) Página 2 de 14

3 TRABAJO DE LA FUERZA ELÉCTRICA ENTRE DOS PUNTOS Tengamos ahora dos puntos A y B. Vamos a calcular el trabajo de la fuerza eléctrica cuando trasladamos +1 culombio desde A hasta B B A O v Como dicho trabajo no depende de la trayectoria, vayamos primero desde A hasta el origen de potenciales y después, desde allí, hasta el punto B: W B O A = W v B A + W Ov = hacemos que nos aparezca la definición de potencial O = W v A = W A Ov = W A Ov ( W B Ov ) = V(A) V(B) = V Si en vez de trasladar un culombio, trasladamos una carga q: W A B = q V El trabajo hecho por la fuerza eléctrica sobre una carga q cuando se traslada entre dos puntos es igual a menos la carga por la diferencia de potencial, o lo que es lo mismo, a la variación de su energía potencial cambiada de signo ( q V = E potencial ) Página 3 de 14

4 TEOREMA DEL TRABAJO (recordatorio) Veamos ahora el teorema del trabajo cuando aparecen fuerzas conservativas: Teorema del trabajo: W total = E cinética W conservativas + W no conservativas = E cinética E potencial + W no conservativas = E cinética W no conservativas = E cinética + E potencial W no conservativas = E mecánica Expresión que utilizaremos para relacionar posiciones y velocidades cuando haya cargas en movimiento (como hemos utilizado el teorema en la parte de mecánica) y donde se ha definido la energía mecánica como la suma de la cinética y la potencial (como siempre) Ejercicio 1 Los puntos A y B están inmersos en un campo eléctrico de módulo 20N/C y dirección horizontal hacia la derecha tal como indica la figura. Calcular la diferencia de potencial V(B)-V(A) siendo la distancia entre los puntos 10 m A 60 B E = 20i Tenemos que calcular el trabajo de la fuerza eléctrica sobre +1C cuando nos desplazamos desde A hasta B por cualquier trayectoria, eligiendo la más simple, la recta AB. Aplicando la definición de trabajo: Página 4 de 14

5 W B A = E AB = cos60 = 100 J Por lo tanto, la diferencia de potencial V(B) V(A) = 100 V Como vemos en este ejemplo, algo que se cumple siempre, es que si vamos en la dirección del campo el potencial disminuye (como si cayéramos en el seno del campo) Ejercicio 2 Una carga de +1C y masa 1Kg e inicialmente en reposo se traslada desde el punto A de potencial 100V al punto B de potencial 10V. Calcular: a) Trabajo ejercido por el campo eléctrico sobre la carga: Según sabemos: W A B (F eléctrica ) = q V = q(v(b) V(A)) = (+1)(10 100) = 90J Lo que indica que el trabajo hecho por el campo es positivo y, en ausencia de más fuerzas, esa carga habrá ganado energía cinética, como veremos en la pregunta siguiente. No está de más añadir, a la luz de este ejemplo, que las cargas positivas se mueven de mayor a menor potencial. b) Calcular energía cinética adquirida por la masa y su velocidad al llegar al punto B: Para relacionar dos puntos y sus velocidades utilizamos, como ya hemos repetido, el teorema del trabajo: W nc = E m Siempre calculamos cada miembro de la igualdad por separado y después aplicamos la ley: W nc = 0 porque sólo actúa el campo eléctrico que es conservativo y, por lo tanto, no hay fuerzas conservativas Página 5 de 14

6 E m (A) = qv(a) + E c (A) = (+1) = 100J E m = { E m (B) = qv(b) + E c (B) = (+1) v2 (B) Y aplicando el teorema W nc = E m (B) E m (A) 0 = 100 [ v2 (B)] 1 2 v2 (B) = 90 v(b) = 180 m s Donde se ha denotado a la velocidad con la letra v y la distinguimos claramente de la letra que denota al potencial, V. Realmente, como vemos, en el teorema del trabajo aparece la diferencia de potencial pero es muy cómodo hablar de la función potencial eligiendo un origen de potenciales como hemos dicho al principio. Veamos esto con un ejemplo y vamos a calcular la función potencial producida por una carga puntual: POTENCIAL CREADO POR UNA CARGA PUNTUAL E = K Q x 2 i Q x 1 x 2 x dr = dx i Vamos a calcular la diferencia de potencial V(x 2 ) V(x 1 ) producida por una carga Q puesta en el origen de coordenadas: Página 6 de 14

7 V(x 2 ) V(x 1 ) x 2 = E dr = { E = K Q x 2 i x 1 dr = dxi x 2 = K Q x 2 dx = KQ [ 1 x 2 x ] = KQ( ) x 1 x2 x 1 x 1 V(x 2 ) V(x 1 ) = KQ( 1 x x 1 ) Si ahora elegimos x 1 = como orígen de potenciales V(x 1 ) = 0 V(x 2 ) 0 = KQ( 1 x 2 ) Quitando subíndices (nos da igual llamarle x 2 que x y x es más fácil) tenemos el potencial creado por una carga puntual: V(x) = K Q x Donde, insistimos, se ha elegido arbitrariamente el origen de potenciales en el infinito (como en muchos libros) y x es la distancia a la carga del punto en donde estamos calculando el potencial que en algunos problemas que haremos llamaremos d. Para una carga puntual utilizaremos siempre esta fórmula. En problemas más complejos podemos elegir nosotros nuestro propio origen de potenciales para conseguir expresiones sencillas. En la fórmula anterior recordar que la carga Q lleva su signo. Página 7 de 14

8 CÁLCULO DE POTENCIALES Para el cálculo de potenciales distinguiremos, como en el caso de cálculo de campos, tres tipos de problemas y métodos según sea la distribución de cargas: 1.-cargas puntuales 2.-varillas y aros 3.-planos, cables y cilindros infinitos y esferas 1.-CÁLCULO DE POTENCIALES CREADOS POR CARGAS PUNTUALES Este es el caso más sencillo, sólo tenemos que calcular el potencial creado por cada carga puntual en el punto que nos pregunten (utilizando la fórmula anterior deducida para una carga puntual) y sumar todos los potenciales (se insiste, con su signo algebraico, es un número a diferencia del campo eléctrico). Con el siguiente ejemplo creemos queda clara la explicación: Sea la distribución de las tres cargas q 1 = 2C, q 2 = 2C y q 3 = 4C en las posiciones de la figura A(0,0), B(0,3)y C(5,0) respectivamente. Calcular el potencial en el punto D(10,10) D (10,10) V? d 2 q 2 = 2C B (0,3) d 1 d 3 q 1 = 2C A (0,0) q 3 = 4C C(5,0) Página 8 de 14

9 Como sabemos por la fórmula del potencial creado por una carga puntual, nos hace falta conocer las distancias de las cargas, d 1, d 2 y d 3, al punto donde D queremos hallar el potencial: Distancia AD = AD = (10 0, 10 0) = = 10 2 Distancia BD = BD = (10 0, 10 3) = = 149 Distancia CD = CD = (10 5,10 0) = = 125 Una vez conocidas las distancias conocemos todas las magnitudes necesarias y calculamos el potencial, como hemos dicho, sumando el que produce cada una: V(D) = k q d = k k k = V Página 9 de 14

10 2.-POTENCIALES CREADOS POR CARGAS CONTINUAS (varillas y aros ) En este segundo caso haremos algo que ya nos tiene que empezar a ser familiar: calcularemos el potencial infinitesimal de una carga puntual muy pequeñita con la fórmula del potencial creado por una carga puntual y sumaremos todas sus contribuciones por medio de una integral. Esta técnica es la que hemos utilizado también en el cálculo del campo eléctrico y se utiliza en la resolución de muchos problemas, no sólo de física. Veamos. Ejemplo1 Calcular el potencial creado por una varilla de longitud L y cargada con una densidad de carga γ C m a una distancia d de uno de sus extremos en el punto P tal como indica la figura: P L d Para ello, tomamos un origen de coordenadas cómodo, en el origen izquierdo de la varilla, y definimos la posición de una carga infinitesimal cualquiera (y entonces función de variables, en este caso una, "x") o genérica dentro de ella: L + d dx x L + d x La carga puntual está en el trocito de varilla de longitud dx y por lo tanto su carga infinitesimal será γdx. Calculamos ahora el potencial infinitesimal creado por esta carguita aplicando la fórmula de potencial creado por carga puntual: Página 10 de 14

11 dv = K dq L + d x = K γdx L + d x Una vez que tenemos el potencial infinitesimal todo en función de la misma variable, x en nuestro caso, integramos para calcular el potencial total: Ejemplo2 L V = dv = K 0 γdx L + d x = = KγLn(L + d x) L L + d 0 = KγLn d L + d V(P) = KγLn d Calcular el potencial en el centro de un arco de circunferencia de radio R, de amplitud 3π Rd y de densidad variable γ = βθ C 4 m donde β es una constante. 3π 4 Rd dq La carguita infinitesimal está definida por el ángulo θ y encerrada en un arco infinitesimal dθ. Vamos a calcular, como antes, el voltaje infinitesimal creado por esta carguita en el centro a distancia R O θ dθ Página 11 de 14

12 dv = k dq R kβθ dθ γ = βθ βθr = dq = γdl = { = βθ(rdθ) = k dl = Rdθ R dθ = 3π V = dv = 4 kβθ dθ 0 Integral muy sencilla que no acabamos. 3.- POTENCIAL CREADO POR PLANOS, HILOS Y CILÍNDROS INFINITOS Y ESFERAS En todos los ejemplos donde es necesario utilizar el teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico aplicaremos la definición de b diferencia de potencial V(b) V(a) = E dr para calcular el potencial a y la diferencia de potencial. Ejemplo 1. Potencial creado por un plano infinito cargado con una densidad de carga σ C m 2 E = σ 2ε i A P B x X dr = dxi Queremos calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y B, de ahí también podremos deducir la función potencial. Para ello calculamos el trabajo hecho por el campo eléctrico cuando nos trasladamos desde el punto A hasta el punto B. Dado que el campo depende de la variable x tenemos que aplicar la definición integral de trabajo: Página 12 de 14

13 dw = E dr = σ 2ε i dxi = σ dx dv = dw 2ε V(B) V(A) = x=b x=a σ 2ε dx = σ 2ε x=b x=a dx = σ (b a) 2ε Si ahora elegimos un punto de potencial cero definimos la función potencial: Por comodidad Si a = 0 V(A) = 0 Quedándonos entonces: V(B) = σ 2ε b Veamos una aplicación de esta ley en el estudio de un condensador de placas paralelas. Es un artilugio compuesto por dos placas metálicas cargadas con la misma carga pero opuestas en signo, rectangulares y separadas una distancia. Condensador de placas plano-paralelas +σ σ E + E X D En la figura, las dos placas están vistas de perfil y su superficie es S. Queremos calcular la diferencia de potencial entre las dos placas y, por lo tanto, haremos algo parecido a lo que hemos hecho en el apartado anterior: calcular el trabajo hecho por el campo eléctrico al ir de la placa positiva a la negativa (aunque no sean planos infinitos se asume que el campo eléctrico creado por la placa es el mismo que el creado por un plano infinito por lo menos, lejos de los bordes-) E = E + E + = 2 σ i; dr = dxi 2ε Página 13 de 14

14 En valores absolutos podemos decir: x=d σ V V + = ε dx = σ ε D x=0 V = σ ε D como E = σ ε V = E D La carga total del condensador es cero, pero no es lo mismo que esté cargado que no. Definimos la carga de un condensador de este tipo como la carga Q positiva: Como V = σ ε D Q = σ S Dividiendo una entre otra observamos una propiedad de este elemento: Q V = σs σ = ε D ε El aparato almacena carga y el cociente entre esta carga y la diferencia de potencial es siempre una constante que depende de sus características: superficie de las placas, distancia que las separa y permitividad eléctrica del medio que las separa en este caso. A esta constante se llama capacidad y es una propiedad que cumplen todos los tipos de condensadores, no solamente este. Ley para todos los condensadores: S D academiavictorloza.com C = Q V Para condensadores de placas plano-paralelas como el estudiado C = ε s D Página 14 de 14