Espacialidad y sus retos

Transcripción

1 Espacialidad y sus retos Daniel A. Rodríguez, Ph.D. University of North Carolina, Chapel Hill danrod@unc.edu Resumen de temas Introducción a la autocorrelación espacial Diagnóstico Visual (variograma, rezagos residuales) Estadístico (I de Moran, C de Geary, Multiplicadores de Lagrange) Opciones para incorporar autocorrelación espacial Modelo de error espacial Modelo de rezago espacial 1

2 Relaciones espaciales Primera ley de la geografía de Tobler Observaciones que están más cercanas (en el espacio) son más parecidos entre si, que observaciones que están más alejadas Fuente: Wilson 2008 Autocorrelación espacial Definición formal Observaciones exhiben autocorrelación espacial si sabiendo el valor de un parámetro de interés en un sitio permite la predicción del mismo parámetro en otro sitio Necesitamos información sobre la localización de nuestras observaciones Geografía importa! 2

3 Por qué ocurre? 1. Dependencia espacial Correlación espacial Lo que explica una observación (la causa) en algún sitio, también explica observaciones en sitios contiguos Estatus socio-económico, cobertura policial y seguridad Por qué ocurre? Causalidad espacial Algo un algún sitio causa o explica observaciones contiguas Falta de mantenimiento y seguridad Solución: estimar modelos que tengan esto en cuenta 3

4 Por qué ocurre? 2. Interacción espacial Cambio de régimen en el espacio (promedio y dispersión varían) Movimiento de información, personas o bienes explican el fenómeno Apertura de líneas de transporte masivo y seguridad Mercado inmobiliario cambia por barrio Solución: Utilizar variables tipo dummy para estabilizar el proceso Ejemplos Seguridad Precios del suelo Calidad de la vivienda Concentración de la pobreza Demanda por vivienda específica De interés social, de lujo, o nueva Calidad ambiental y polución Muestras de aire y agua 4

5 Cuál es la consecuencia de la dependencia espacial de datos? Supuestos de regresión lineal sobre error Está distribuido normalmente y es homoskedástico Se supone que está distribuido normalmente por el teorema del limite central (porque la variable dependiente Y viene de una muestra aleatoria, y el error no está relacionado con ninguna variable independiente) Puede generar sesgo en los parámetros (debido a la falta de independencia) y errores estándares pequeños (heteroskedasticidad) Reduce tamaño efectivo de la muestra Ejemplos teóricos Fuente: Layne, tomado de Wilson

6 Opciones prácticas Controlar por el efecto que genera la autocorrelación espacial Econometría espacial Evitarlo Diseño muestral Resumen de temas Introducción a la autocorrelación espacial Diagnóstico Visual (variograma, rezagos residuales) Estadístico (I de Moran, C de Geary, Multiplicadores de Lagrange) Opciones para incorporar autocorrelación espacial Modelo de error espacial Modelo de rezago espacial 6

7 Cómo se diagnostica? Visualmente, inspeccionando residuales Variograma Gráficas de residuos contra los propios datos pero desplazados (o rezagados) en el espacio Tests estadísticos de los residuales I de Moran Tests de multiplicadores de Lagrange (LM) robustos Variograma Se calcula para los residuales de una regresión lineal (Y-Y hat ) También se puede calcular para la variable dependiente (Y) y variables independientes (X) si se quiere como método descriptivo Para un rango del rezago h, el variograma se define como la diferencia media cuadrada de los valores que tienen una separación dentro de ese rango 7

8 Rezagos espaciales Un rezago espacial es una variable que promedia los valores de observaciones vecinas Valor de cada vecina es multiplicado por un peso y el producto sumado El rango h en el variograma define cuales observaciones vecinas se tienen en cuenta Matriz de proximidad Es una función que define como están distanciados espacialmente los datos Clave para la estimación de rezagos espaciales Suponga que tiene 6 observaciones, y sabe sus localizaciones en el espacio (lat y long) La manera mas sencilla de mostrar distancias es con una tabla de 6 x 6 (también llamada matriz) 8

9 Matriz de proximidad ID Resume 30 pares de puntos (6 x 5) Distancia entre una observación y ella misma es 0 Es una tabla o matriz simétrica Se usa para construir los rezagos Matriz de proximidad ID Definamos rezagos h (arbitrarios), y contemos cuantos pares hay para cada h h # de pares

10 Variograma Para un rango de rezago h, el variograma se define como la diferencia media cuadrada de los valores que están separados en ese rango Usualmente para valores estandarizados (normal estándar) h # de pares Promedio de diferencias Variograma Se grafica h (eje X) contra el promedio de diferencias (eje Y) Variograma empirical del residuales Umbral o sill Valor Gama RANGO Distancia (km) 10

11 Variograma otro ejemplo Fuente: SAS Gráficas de residuales Recorderis: Gráficas de residuos vs. Xs para detectar heteroskedasticidad Sugerencia es similar aquí utilizar residuales para diagnosticar problema Residuales vs. residuales rezagados Es decir graficar el valor de cada residual i vs. un valor promedio de residuales vecinos 11

12 Ejemplo: grafica de residuales Matriz de contigüidad ID Matriz de contigüidad Definamos con un 1 los rezagos si los vecinos están a una distancia h de 3km o menos, o sino 0 12

13 Matriz de contigüidad ID Definamos con un 1 los rezagos si los vecinos están a una distancia h de 7km o menos, o sino 0 Matriz de contigüidad Hay otras maneras de definir contigüidad 1/Distancia ID

14 Matriz de contigüidad Hay otras maneras de definir contigüidad 1/Distancia 2 ID Matriz de contigüidad Hay otras maneras de definir contigüidad K-vecinos mas cercanos ID

15 Grafica de residuales Normal estandar de los residuales Matriz de contiguidad, banda de 7km Matriz de contiguidad estandarizada, banda de 7km Objetivo: crear rezago de residuales, con la matriz de contigüidad estandarizada y los residuales Multiplicar cada residual i por la fila i de la matriz de contigüidad estandarizada Normal estandar de los residuales Grafica de residuales Matriz de contiguidad estandarizada, banda de 7km Para observación 1: * * * * * *0 = 0 15

16 Normal estandar de los residuales Grafica de residuales Matriz de contiguidad estandarizada, banda de 7km Observación 2: * * * * * *0.33 = Grafica de residuales Normal estandar de los residuales Matriz de contiguidad estandarizada, banda de 7km Observación 3: * * * * * *0.33 =

17 Grafica de residuales Ejemplo: grafica de residuales 17

18 Ejemplo: grafica de residuales Repetir mismo ejercicio pero con un rezago de banda de 5km Matriz de contiguidad estandarizada, banda de 5km 18

19 Resumen de temas Introducción a la autocorrelación espacial Diagnóstico Visual (variograma, rezagos residuales) Estadístico (I de Moran, C de Geary, Multiplicadores de Lagrange) Opciones para incorporar autocorrelación espacial Modelo de error espacial Modelo de rezago espacial Tests estadísticos para diagnosticar autocorrelación espacial I de Moran para los residuales Valores entre 1 y -1 1 significa autocorrelación positiva Valores cercanos similares -1 significa autocorrelación negativa Valores lejanos similares 0 significa que no hay autocorrelación 19

20 Tests estadísticos para diagnosticar autocorrelación espacial I de Moran para los residuales Tests global de autocorrelación Calculado con software (stata, SAS, GeoDa, Matlab) Significancia estadística determinada en relación a una distribución aleatoria hipotética Qué tan desviada está nuestra muestra en comparación a una que no tiene autocorrelación espacial? Fotheringham, A. S., C. Brunsdon, and M. Charlton Quantitative Geography: Perspectives on Spatial Data Analysis. London, UK: Sage. Tests estadísticos para diagnosticar autocorrelación espacial C de Geary para los residuales Valores entre 0 y 2 1 significa que no hay autocorrelación espacial Mayor que 1 indica autocorrelación positiva Menor que 1 indica autocorrelación negativa Geary, R The contiguity ratio and statistical mapping. The Incorporated Statistician 5:

21 Tests estadísticos para diagnosticar autocorrelación espacial Tests de multiplicadores de Lagrange Robustos y no robustos Sugiero utilización de los tests robustos En Stata, GeoDA, R Determinan qué tipo de ecuación espacial se debe utilizar Anselin, L., A. K. Bera, R. Florax, and M. J. Yoon Simple diagnostic tests for spatial dependence. Regional Science and Urban Economics 26: Resumen de temas Introducción a la autocorrelación espacial Diagnóstico Visual (variograma, rezagos residuales) Estadístico (I de Moran, C de Geary, Multiplicadores de Lagrange) Opciones para incorporar autocorrelación espacial Modelo de error espacial Modelo de rezago espacial 21

22 Pasos a seguir Estimar modelo mínimos cuadrados Diagnosticar multicolinealidad, heteroskedasticidad y dependencia espacial Si es necesario, usar econometria espacial Pasos para diagnosticar y remediar autocorrelación espacial Fuente: GeoDA Workbook 22

23 Ejemplo Información de ciudad de Columbus, Ohio Seguridad f(ingresos y valor de propiedad) Seguridad (hurtos vehiculares y robos a viviendas por 1000 residentes) Diagnóstico de residuales Pedazo de matriz de contigüidad, estandarizada 23

24 Ejemplo Descripción espacial de variables Ejemplo Diagnóstico de autocorrelación 24

25 Si hay autocorrelación, qué hacer? Dos posibilidades Modelo de error espacial Modelo de rezago espacial Modelo de error espacial W es una matriz espacial de pesos (o de contigüidad, estandarizada) Error f(error vecinos) Implica que el error estándar estimado es mas bajo de lo que realmente es Sesgo a mostrar significancia, cuando no la hay 25

26 Modelo de rezago espacial W es una matriz espacial de pesos (o de contigüidad, estandarizada) Implicaciones Posible sesgo en coeficientes estimados (en cualquier dirección no se sabe a priori) El error estándar estimado puede ser mas bajo de lo que realmente es (sesgo a mostrar significancia, cuando no la hay) De nuevo el ejemplo de la seguridad en Columbus Diagnóstico de autocorrelación 26

27 Ejemplo Ejemplo -comparación 27

28 Ejemplo --Bogotá Examinar efecto de expansiones del BRT en propiedades que ya tenían acceso al BRT Efecto de red, o indirecto Economía urbana sugiere que las mejoras en accesibilidad se capitalizan en el valor del suelo Efectos de red 28

29 Bogotá Troncal, Fase 1 (12/99) Transmilenio: Avenida Caracas Fuente: TransMilenio S.A. Bogotá Troncal, Fase 2 Av. Americas (02/03) Transmilenio: Avenida de Las Americas Fuente: TransMilenio S.A. 29

30 Datos Incluir propiedades residenciales a 1 km del troncal 2,976 propiedades residenciales en venta entre 2000 & 2006 Variable dependiente, precio al que se ofrece Variables independientes de interés Con servicio de troncal a 1km? Seis variables dummy: Atributos Estructurales Atributos de Vecindarios Año de venta (variables dummy, 01-06) = 1 si predio tenía troncal antes de 2003 y fue anunciado en el año 200X Controles = 0 si no 30

31 Datos Incluir propiedades residenciales a 1 km del troncal 2,976 propiedades residenciales en venta entre 2000 & 2006 Variable dependiente, precio al que se ofrece Resultados OJO: Hacer doble click en tabla para mirarla en WORD 31

32 Anuncio extension Inauguración extension Anuncio extension Inauguración extension 32

33 Libros recomendados Anselin, L Spatial Econometrics: Methods and Models. Dordrecht: Kluwer Academic. Bivand, R.S., E.J. Pebesma, and V. Gómez-Rubio Applied spatial data analysis with R. New York, NY: Springer. 33