Inteligencia Artificial

Transcripción

1 Inteligencia rtificial I.T. en Informática de Sistemas, 3º urso académico: 2010/2011 Profesores: Ramón Hermoso y Roberto enteno

2 Tema 2: úsqueda 2. úsqueda 2.1. gentes de resolución de problemas 2.2. úsqueda no informada 2.3. úsqueda heurística 2.4. úsqueda multi-agente

3 Entorno: problemas bien definidos Problemas bien definidos: discreto: se puede concebir el mundo en estados en cada estado hay conjunto finito de percepciones y acciones accesible: el agente puede acceder a las características relevantes del mundo puede determinar el estado actual del mundo puede determinar el estado del mundo que le gustaría alcanzar estático y determinista: el agente puede planificar todas sus acciones, ya que el mundo cambia sólo cuando el agente actúa el resultado de cada acción está totalmente definido y previsible

4 Ejemplo: las Torres de Hanoi Objetivo: Trasladar los discos de la aguja a en el mismo orden Restricción: un disco mayor nunca debe reposar sobre uno de menor tamaño ómo escribir el programa de agente correspondiente?

5 Solución 1: tablas de actuación Tablas de actuación específicos del problema: para cada situación hay una entrada en una tabla de actuación; dicha entrada compila la secuencia de acciones a emprender: cuatro discos en disco 1 de a / disco 2 de a / disco 1 de a / disco 3 de a / disco 1 de a / disco 2 de a / disco 1 de a / disco 4 de a / disco 1 de a / disco 2 de a / disco 1 de a / disco 3 de a / disco 1 de a / disco 2 de a / disco 1 de a problema: limitaciones de memoria

6 Solución 2: algoritmo lgoritmos específicos del problema: el diseñador del agente conoce un método para resolver el problema codifica este método en un algoritmos particular para el problema mejorar la flexibilidad: parametrizar el algoritmo problema: el diseñador ha de anticipar todos los escenarios posibles los entornos reales suelen ser demasiado complejos como para anticipar todas las posibilidades PROEDURE MoverDiscos(n:integer; origen,destino,auxiliar:char); { Pre: n > 0 Post: output = [movimientos para pasar n EGIN discos de la aguja origen a la aguja destino] } IF n = 0 THEN {aso base} writeln; ELSE EGIN {aso recurrente} MoverDiscos(n-1,origen,auxiliar,destino); write('pasar disco',n,'de',origen,'a',destino); MoverDiscos(n-1,auxiliar,destino,origen) END; {fin ELSE} END; {fin MoverDiscos}

7 Solución 3: búsqueda Métodos independientes del problema : modelo declarativo del problema: inicialmente todos los discos reposan en y su tamaño decrece de abajo hasta arriba queremos que todos los discos estén en en el mismo orden podemos mover un disco I a la aguja X, si no hay otro disco por encima de I y, si actualmente hay discos en X, entonces dichos discos han de ser más grandes que I cuanto menos movimientos de discos hagamos mejor algoritmo de búsqueda genérico: genera una solución a cualquier problema representado mediante el modelo simbólico mayor flexibilidad: el diseñador no necesita conocer la solución de antemano es más fácil adaptar el método a nuevas características del problema

8 Solución 3: Modelo declarativo en LIPS Escenario: 3 agujas (,, ) y 2 discos (uno, dos) (deffacts nombre-agujas "Lista con los nombres de las agujas" (agujas )) (deffacts situacion-inicial "Lista describiendo la pos. inicial de los discos en las agujas" (situacion (acciones ) (posicion uno dos base base base)) ) (deffacts situacion-final "Lista describiendo la pos. deseada de los discos en las agujas" (meta base base uno dos base ) ) (deffacts predicado-menor "hechos que definen si un disco es menor que otro" (menor uno dos) (menor uno base) (menor dos base))

9 Solución 3: Modelo declarativo en (defrule mover-x-a-y ) (agujas $??x $?) (agujas $??y $?) (situacion (acciones $?acciones) LIPS (posicion $?inicio?x?disco-x $?medio?y?disco-y $?final) ) (menor?disco-x?disco-y) => (assert (situacion (defrule meta ) (acciones $?acciones (format nil "%s-%s->%s"?x?disco-x?y)) (posicion $?inicio?x $?medio?y?disco-x?disco-y $?final) ) ) (situacion (acciones $?acciones)(posicion $?s-final) ) (meta $?s-final) => (printout t crlf "Solución: " $?acciones crlf) (halt)

10 Solución 3: justes del Modelo Resultados de la búsqueda: 3 agujas 2 discos: Declarativo ("-uno->" "-dos->" "-uno->") 3 agujas 3 discos: ("-uno->" "-dos->" "-uno->" "-tres->" "-uno->" "-dos->" "-uno->") 3 agujas 4 discos: ("-uno->" "-dos->" "-uno->" "-tres->" "-uno->" "-dos->" "-uno->" "-cuatro->" "-uno->" "-dos->" "-uno->" "-tres->" "-uno->" "-dos->" "-uno->") 4 agujas 4 discos: ("-uno->" "-dos->d" "-tres->" "D-dos->" "-cuatro->d" "-dos->" "-tres->d" "-dos->d" "-uno->d")

11 Tema 2: úsqueda 2. úsqueda 2.1. gentes de resolución de problemas 2.2. úsqueda no informada 2.3. úsqueda heurística 2.4. úsqueda multiagente

12 gentes de resolución de problemas mantienen un modelo simbólico del mundo desean modificar el estado del mundo de acuerdo con sus objetivos con tal fin, anticipan los efectos esperados de sus acciones sobre el modelo D E D E

13 iclo de actuación: 1. Definir el modelo 2. Generar los objetivos gentes especializados 3. Percibir y clasificar la situación presente 4. uscar un plan de actuación 5. Ejecutar el plan de actuación Los agentes son especializados: el diseñador dota al agente a priori con conocimientos específicos que definen el modelo que definen los objetivos se supone una percepción y una ejecución ideal

14 úsqueda en espacios de estados Espacio de estados: modelo del mundo representado por un grafo Problema de búsqueda: espacio de estados + actitud del agente Objetivo: encontrar el plan más eficiente que lleve del estado inicial a un estado meta

15 El problema de los bloques Estado: configuración de n bloques Operadores: apilar(x,y): poner X encima de Y Prec.: bloques X e Y están libres Post.: bloque X está encima de Y quitar(y): poner Y en la mesa Prec.: bloque Y está libre oste: Post.: bloque Y está en la mesa la aplicación de cada operador vale una unidad Estado inicial Estado meta

16 Representación del problema Ejemplo con 3 bloques de los bloques Plan óptimo: coste 3

17 onocimientos del agente Representación implícita del problema de búsqueda onocimientos mínimos a priori de un agente: s 0 Estado inicial expandir: s {s i1,..., s in } onjunto finito de sucesores de un estado meta?: s verdad falso Prueba de éxito en un estado c: (s i, s j ) v, v ℵ oste de un operador n 1 ( ) = c ( s ik,s ik+1 ) c s i1 s i2 s in oste de un plan k=1

18 Ejercicio 1 Problema de búsqueda / conocimiento del agente: En una mesa se encuentran dos jarras, una con una capacidad de 3 litros (llamada Tres), y la otra con una capacidad de 4 litros (llamada uatro). Inicialmente, Tres y uatro están vacías. ualquiera de ellas puede llenarse con el agua de un grifo G. simismo, el contenido tanto de Tres como de uatro puede vaciarse en una pila P. Es posible verter todo el agua de una jarra a la otra. No se dispone de dispositivos de medición adicionales. Se trata de encontrar una secuencia de operadores que deje exactamente dos litros de agua en uatro. a) Modele este problema como un problema de búsqueda. on tal fin, defina el estado inicial, el conjunto de estados meta, los operadores (especificando sus precondiciones y post-condiciones), así como el coste de cada operador. b) aracterice el conocimiento a priori del agente de resolución del problema correspondiente? Facilite ejemplos de los resultados de la función expandir. c) Encuentre una solución al problema.

19 Método de búsqueda Método de búsqueda: estrategia para explorar el espacio de estados en cada paso se expande un estado se desarrolla sucesivamente un árbol de búsqueda rbol de búsqueda: Método general de búsqueda: 1. seleccionar nodo hoja 2. comprobar si es nodo meta 3. expandir este nodo hoja

20 lgoritmo de búsqueda Elementos del algoritmo el árbol se representa en base a un registro del tipo nodo abierta es una lista de nodos, que reúne las hojas del árbol vacía? determina si una lista es vacía primero quita el primer elemento de una lista ordinsertar añade un nodo a una lista, clasificado según una función de orden {búsqueda general} abierta s 0 Repetir Si vacía?(abierta) entonces devolver(negativo) nodo primero(abierta) Si meta?(nodo) entonces devolver(nodo) sucesores expandir(nodo) Para cada n sucesores hacer n.padre nodo ordinsertar(n,abierta,<orden>) Fin {repetir}

21 Estados repetidos Problema: el mismo estado puede repetirse varias veces en el árbol de búsqueda puede generarse el mismo subárbol varias veces Soluciones: ignorarlo evitar ciclos simples: no añadir el padre de un nodo al conjunto de sucesores evitar ciclos generales: no añadir un antecesor de un nodo al conjunto de sucesores evitar todos los estados repetidos: no añadir ningún nodo existente en el árbol al conjunto de sucesores

22 lasificación de métodos aracterísticas: completitud: se encuentra una solución si existe optimalidad: se encuentra la mejor solución si hay varias complejidad en tiempo: cuánto se tarda en encontrar la solución? complejidad en espacio: cuánta memoria se utiliza en la búsqueda? Tipos de métodos de búsqueda: no informados: utilizan sólo los conocimientos mínimos heurísticos: además utilizan información aproximada, y específica del problema, para guiar la búsqueda

23 Resumen de los métodos de búsqueda (i) búsqueda en amplitud (iv) búsqueda de coste uniforme 2.3 búsqueda heurística búsqueda general 2.2 búsqueda no informada (vii) ID* (vi) * (iii) úsqueda profundidad iterativa (ii) búsqueda en profundidad (v) búsqueda avara

24 Tema 2: úsqueda 2. úsqueda 2.1. gentes de resolución de problemas 2.2. úsqueda no informada 2.3. úsqueda heurística 2.4. úsqueda multiagente

25 úsqueda en amplitud úsqueda en amplitud: inglés: breadth first search Estrategia: generar el árbol por niveles de profundidad expandir todos los nodos de nivel i, antes de expandir nodos de nivel i+1 Resultado: considera primero todos los caminos de longitud 1, después los caminos de longitud 2, etc. Se encuentra el estado meta de menor profundidad

26 Árbol de búsqueda en amplitud úsqueda en amplitud: Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel

27 lgoritmo para búsqueda en amplitud lgoritmo: usar el algoritmo general de búsqueda añadir nuevos sucesores al final de la lista abierta abierta funciona como cola inserción al final recuperación desde la cabeza estructura FIFO: siempre expandir primero el nodo más antiguo (es decir: menos profundo) {búsqueda en amplitud} abierta s 0 Repetir Si vacía?(abierta) entonces devolver(negativo) nodo primero(abierta) Si meta?(nodo) entonces devolver(nodo) sucesores expandir(nodo) Para cada n sucesores hacer n.padre nodo ordinsertar(n,abierta,final) Fin {repetir}

28 Árbol de búsqueda en amplitud Lista abierta:

29 omplejidad omplejidad en tiempo y espacio: proporcional al número de nodos expandidos Suponemos que en el árbol de búsqueda el factor de ramificación es b el mejor nodo meta tiene profundidad d Mejor caso 1 d 2 d 1 d... 1+b+...+b d-1 +1 O(b d ) 0 aso medio 1 d 2 d 1 d b+...+b d-1 +b d /2 O(b d ) Peor caso 1 d 2 d 1 d b+...+b d-1 +b d O(b d )

30 Requerimientos de tiempo y memoria Requerimientos de recursos de una búsqueda en amplitud exponencial factor de ramificación efectivo: 10 tiempo: 1000 nodos/segundo memoria: 100 bytes/nodo

31 úsqueda en amplitud: análisis Ventajas: completo: siempre se encuentra un nodo meta si existe óptimo (para operadores de coste uno): siempre se encuentra el nodo meta menos profundo Problemas: complejidad exponencial incluso en el mejor caso los problemas de espacio son aún más graves que los problemas de tiempo

32 Ejercicio 2.2 úsqueda en amplitud: El grafo que se muestra al lado determina un problema de búsqueda. ada nodo representa un estado; los arcos modelan la aplicación de operadores. Suponga que es el estado inicial y que K y E son estados meta a) desarrolle el árbol de búsqueda que genera la búsqueda en amplitud. uál de los nodos meta se encuentra primero? b) indique el orden en que se expanden los nodos c) ponga el estado de la lista abierta en cada paso del algoritmo H D F E G K Z W

33 úsqueda en profundidad úsqueda en profundidad: inglés: depth first search Estrategia: expandir los nodos más profundos primero si se llega a un nodo sin sucesores, dar vuelta atrás y expandir el siguiente nodo más profundo Resultado: el método va explorando un camino actual no siempre se encuentra el nodo de profundidad mínima

34 Árbol de búsqueda en profundidad búsqueda en profundidad (evitando ciclos simples):

35 úsqueda en profundidad lgoritmo: usar el algoritmo general de búsqueda añadir nuevos sucesores en la cabeza de la lista abierta abierta funciona como pila inserción en la cabeza de la lista recuperación desde la cabeza estructura LIFO: siempre expandir primero el nodo más reciente (es decir: el más profundo) al guardar todos los sucesores de un nodo expandido en abierta, se permite la vuelta atrás {búsqueda en profundidad} abierta s 0 Repetir Si vacía?(abierta) entonces devolver(negativo) nodo primero(abierta) Si meta?(nodo) entonces devolver(nodo) sucesores expandir(nodo) Para cada n sucesores hacer n.padre nodo ordinsertar(n,abierta,cabeza) Fin {repetir}

36 Árbol de búsqueda en profundidad Lista abierta:

37 Límites de profundidad Problema: la búsqueda en profundidad sólo es completa en el caso de árboles de búsqueda finitos si existen caminos infinitos sin nodo meta, es posible que la búsqueda en profundidad no termine Solución: búsqueda en profundidad limitada: inglés: depth limited search búsqueda en profundidad con límite de profundidad d * expandir sólo nodos con profundidad d d * incompleto si la profundidad del mejor nodo meta es mayor que d *...

38 úsqueda en profundidad limitada: omplejidad en tiempo: complejidad proporcional al número de nodos expandidos factor de ramificación b / límite de profundidad d* / nodo meta con profundidad d d* mejor caso: O(d) (se expanden sólo los nodos del camino meta) peor caso: O(bd*) (se expanden todos los nodos de prof. d*) omplejidad en espacio: sólo los nodos del camino actual y sus vecinos (sucesores) necesitan almacenarse en la memoria lineal en la profundidad del árbol de búsqueda mejor caso: O(b d) / peor caso: O(b d * )

39 úsqueda en profundidad limitada: Ventajas: análisis mejora significativa de la complejidad en espacio con respecto a la búsqueda en amplitud (lineal frente a exponencial): completo para límites de profundidad d* adecuados Problemas: no es óptima: el nodo meta que se encuentra puede no ser de profundidad mínima es común que unos límites buenos de profundidad sólo pueden establecerse cuando el problema ya haya sido resuelto en general, no se puede asegurar que la profundidad d de un nodo meta sea d d *, es decir no se puede garantizar la completitud.

40 Ejercicio 2.3 úsqueda en profundidad: El grafo que se muestra al lado determina un problema de búsqueda. ada nodo representa un estado; los arcos modelan la aplicación de operadores. Suponga que es el estado inicial y que K y E son estados meta a) desarrolle el árbol de búsqueda que genera la búsqueda en profundidad. uál de los nodos meta se encuentra primero? b) indique el orden en que se expanden los nodos c) ponga el estado de la lista abierta en cada paso del algoritmo d) cómo cambiaría el proceso de búsqueda si aplicamos límites de profundidad, p.ej.: d * =2? H D F E G K Z W

41 Ejercicio 2.4 úsqueda en profundidad (limitada): La búsqueda en profundidad puede implementarse fácilmente con un programa recursivo. a) Especifique una implementación recursiva de la búsqueda en profundidad en pseudocódigo. b) Modifique el pseudocódigo del ejercicio a) para incorporar límites de profundidad.

42 úsqueda de profundización iterativa Inglés: iterative deepening search Idea: esquivar el problema de elegir d *, al probar todos los posibles límites de profundidad Estrategia: enumerar todos los límites de profundidad d, empezando por 0 realizar búsqueda de profundidad limitada hasta d lgoritmo: {búsqueda de profundización iterativa} abierta s 0 desde d 0 hasta hacer si búsqueda-en-prof-limitada(problema, d ) = éxito entonces fin {desde} devolver(nodo-meta)

43 úsqueda de profundización iterativa límite d * =1 límite d * =2 límite d * =3 fallo fallo éxito

44 úsqueda de profundización iterativa: complejidad omplejidad en espacio: igual que la búsqueda en profundidad: sólo se almacenan los nodos vecinos del camino actual lineal en la profundidad del árbol de búsqueda: peor caso O(b d) omplejidad en tiempo: normalmente el coste adicional es relativamente pequeño argumento intuitivo: suponga un árbol de búsqueda de profundidad d los nodos interiores (prof. <d) se expanden varias veces los nodos hoja (prof. = d) se expanden sólo una vez en un árbol de búsqueda exponencial casi todos los nodos son hojas en consecuencia, para árboles de búsqueda grandes, la búsqueda de profundización iterativa no expande muchos más nodos que la búsqueda en profundidad limitada

45 úsqueda de prof. iterativa: complejidad en tiempo omplejidad en tiempo en el peor caso: nº de nodos expandidos por la búsqueda en prof. limitada hasta prof. d: nº de nodos expandidos por la búsqueda de prof. iterativa hasta prof. d:

46 úsqueda de prof. iterativa: complejidad en tiempo oste adicional de tiempo de la búsqueda de profundización iterativa: N id w dl N w ( d) d ( ) = b d+2 2b bd +d +1 b 1 ( ) 2 b d+1 1 b 1 = bd +2 2b bd + d +1 ( b 1) 2 = bd +2 2b bd + d +1 b d +2 b d +1 b +1 = bd +1 b 2b = b 2 b d b 1 b d +1 1 ( bd + d + 1 ) b d+1 b d+1 b d+1 b d+1 ( ) b d +1 b b d+1 d b d b d+1 b + 1 b d+1 + d b d b d+1 b 1 1 b d + 1 b d+1 b d+1

47 úsqueda en prof. iterativa: complejidad en tiempo oste adicional de tiempo de la búsqueda de profundización iterativa: para d se obtiene: Ejemplo: b= 10 para b=10 y nodos meta profundos, la búsqueda de profundización iterativa expande sólo 11% más nodos que la búsqueda en profundidad limitada complejidad en tiempo en el peor caso de la búsqueda de profundización iterativa : O(b d )

48 úsqueda no informada: resultados Resultados del peor caso: factor de ramificación b / profundidad de la mejor solución d / límite de profundidad d * Método no informado preferido

49 Ejercicio 2.5 úsqueda de profundización iterativa: El grafo que se muestra al lado determina un problema de búsqueda. ada nodo representa un estado; los arcos modelan la aplicación de operadores. Suponga que es el estado inicial y que K y E son estados meta a) desarrolle la secuencia de árboles de búsqueda generadas por la búsqueda de profundización iterativa, indicando para cada uno de ellos el orden en que se expanden los nodos b) uál de los nodos meta se encuentra primero? H D F E G K Z W

50 Ejercicio 2.6 úsqueda de profundización iterativa: Describa características relevantes de los espacios de búsqueda en los que el rendimiento de la búsqueda de profundización iterativa es mucho peor que el de la búsqueda en profundidad estándar. Ponga un problema ejemplo que ilustre dichas características.

51 Problema de encontrar rutas Estado: estancia en una ciudad oste de un operador: distancia por carretera a la ciudad vecina Operadores: ir a una ciudad vecina oste de un plan: suma de distancias entre las ciudades visitadas Oradea Neamt Zerind Iasi rad Sibiu 99 Fagaras 118 Vaslui 80 Rimnicu Timisoara Pitesti Lugoj 98 Hirsova Urziceni Mehadia ucarest Eforie Dobreta raiova Giurgiu

52 Problema de encontrar rutas: ejemplo O Z S R T 111 L M 75 D P 138 F G 90 N 85 U I 92 V 98 H 86 E Ejemplo: p 1 = -S-F- c(p 1 ) = 450 p 2 = -S-R-P- c(p 2 ) = 418 Problema: los métodos de búsqueda no informados encuentran el nodo meta de menor profundidad; éste puede no ser el nodo meta de coste mínimo prof.( p1 ) = 3 < 4 = prof.( p2 ) / c(p1) = 450 > 418=c(p2)

53 úsqueda de coste uniforme úsqueda de coste uniforme: Inglés: uniform cost search Idea: guiar la búsqueda por el coste de los operadores Método: g(n): coste mínimo para llegar del nodo inicial al nodo n expandir siempre el nodo de menor coste g primero lgoritmo: almacenar cada nodo con su valor g insertar los nuevos nodos en abierta en orden ascendente según su valor g {búsqueda de coste uniforme} abierta s 0 Repetir Si vacío?(abierta) entonces devolver(negativo) nodo primero(abierta) Si meta?(nodo) entonces devolver(nodo) sucesores expandir(nodo) Para cada n sucesores hacer n.padre nodo ordinsertar(n,abierta,g) Fin {repetir}

54 Ejemplo: úsqueda de coste uniforme g = 0 S g=140 g= 118 Z g =75 R g=220 O F g=280 g=291 g =239 L g=229 g=236 O g=146 g=150 g=300 g=317 S P g=366 T g = 340 M g= 299 Z g = 212 S g= 292 g=290 g=225 S Z T g=268 O g=283 g=287 O g=296 g=300...

55 Lógica de la búsqueda de coste uniforme Z O 151 N 87 I T D S 80 R L 146 M P 138 F G U V 98 H 86 E g = 80 g = 120 g = 160

56 aracterísticas de la búsqueda de coste Dinámica: uniforme la búsqueda de coste uniforme desarrolla sucesivamente todos los caminos por orden de valor g creciente igual que la búsqueda en amplitud si g(n) = prof.(n) para todos los n La búsqueda de coste uniforme es óptima: suponga que se encuentra un camino a un nodo meta n g con g(n g ) = k los valores de g crecen de forma monótona la largo de todos los caminos del árbol de búsqueda por tanto, la búsqueda de coste uniforme expande todos los nodos n g con g(n) < k en particular, si hubiera un nodo meta n g ' con g(n g ') < k, éste se habría expandido antes que n g contradicción; en consecuencia n g es el nodo meta de menor coste (valor de g)

57 aracterísticas de la búsqueda de coste uniforme La búsqueda de coste uniforme es completa: sea n g un nodo meta con g(n g ) = k suponga que no es encontrado por la búsqueda de coste uniforme debe haber un número infinito de nodos n i con g(n i ) k ya que el número de sucesores de un nodo es finito, debe haber un camino infinito p, tal que para todos los nodos n i de p se cumple que g(n i ) k pero la función de coste c asigna un entero positivo a cada operador, y todas las sucesiones crecientes de enteros no tienen límite contradicción; en consecuencia el nodo meta n g será encontrado omplejidad en tiempo y espacio: exponencial, al igual que la búsqueda en amplitud

58 Ejercicio 2.7 úsqueda de coste uniforme: plique la búsqueda de coste uniforme para encontrar una ruta de raiova () a Fagaras (F). Desarrolle el árbol de búsqueda generado por dicho algoritmo, asumiendo que se evitan ciclos simples. Indique el valor g de cada nodo, así como el orden en el que se expanden los nodos.

59 Tema 2: úsqueda 2. úsqueda 2.1. gentes de resolución de problemas 2.2. úsqueda no informada 2.3. úsqueda heurística 2.4. úsqueda multiagente

60 Heurísticas Heurística (griego: heuriskein): encontrar, descubrir Inteligencia rtificial: compila conocimiento empírico sobre un problema / un entorno Interpretación fuerte : una heurística suele facilitar la resolución de un problema, pero no garantiza que se resuelva una heurística es una regla de tres para un problema búsqueda: optimalidad o incluso completitud no garantizados Interpretación débil : método riguroso + información heurística información heurística puede mejorar el rendimiento medio de un método de resolución de problemas, pero no garantiza una mejora en el peor caso búsqueda: mejora de complejidad no garantizado

61 Funciones heurísticas Funciones heurísticas para búsqueda en el espacio de estados: estiman de adecuación de un nodo para ser expandido métodos de búsqueda el mejor primero eligen el nodo más prometedor para expandir Heurística usual: distancia hacia la meta h :N ℵ mide el coste real desde el nodo n hasta el nodo meta más cercano h * :N ℵ es una función heurística que estima el valor de h(n) una función heurística h * es optimista, si h * (n) h(n) para todo nodo n Ejemplos de funciones heurísticas optimistas: mundo de los bloques: número de bloques descolocados encontrar rutas: distancia en línea recta hasta un nodo meta

62 Función heurística para encontrar rutas O Z S R T 111 L M 75 D P 138 F G 90 N 85 U I 92 V 98 H 86 E h * D 242 E 161 F 178 G 77 H 151 I 226 L 244 M 241 N 234 O 380 P 98 R 193 S 253 T 329 U 80 V 199 Z 374

63 úsqueda avara úsqueda avara: Inglés: greedy search Idea: Estrategia: lgoritmo: minimizar el coste estimado para llegar a la meta Entre las hojas del árbol de búsqueda, seleccionar el nodo que minimice h * (n) mantener la lista abierta ordenada por valores crecientes de h * insertar nuevos nodos en abierta según sus valores h * {búsqueda avara} abierta s 0 Repetir Si vacía?(abierta) entonces devolver(negativo) nodo primero(abierta) Si meta?(nodo) entonces devolver(nodo) sucesores expandir(nodo) Para cada n sucesores hacer n.padre nodo ordinsertar(n,abierta,h * ) Fin {repetir}

64 Ejemplo 1: búsqueda avara h * = 366 S h * = 253 T h * = 329 Z h * = 374 F O R h * = 366 h * = 178 h * = 380 h * = 193 S h * = 253 h * =0 Solución subóptima: c(-s-f-) = 450 c(-s-r-p-) = 418

65 Ejemplo 2: búsqueda avara Ejemplo: Nodo inicial: I (Iasi) Nodo meta: F (Fagaras) h F * estima la distancia hasta F h F * F 0 I 226 N 201 V h F * = 226 N V h F * =246 h F * = 201 h F * = 226 N V h F * =246 h F * = 201 h F * =

66 úsqueda avara: análisis nálisis: en general, la búsqueda avara sufre los mismos problemas que la búsqueda en profundidad no es óptima (ejemplo 1) no es completa (ejemplo 2) sin embargo, suele encontrar una solución aceptable de forma rápida omentarios: problema fundamental de la búsqueda avara: sólo considera el coste para llegar al nodo actual no se fija en la distancia restante desde el nodo actual para asegurar la completitud habría que evitar todos los estados repetidos el método es óptimo sólo en aquellos espacios de estados en los que el coste de un nodo n es independiente del camino por el que se llega hasta él

67 Ejercicio 2.8 Problema de las 4 reinas: 4 reinas en un tablero 4x4 estados: casillas de las 4 reinas metal?: ninguna reina amenazada op.: mover una reina a otra casilla de su misma fila coste: el coste de cada op. es cero estado inicial: Nótese: dado que el coste de cada operador es 0, el camino por el cual se llega a un nodo no importa, siempre que al final se encuentre un nodo meta (ninguna reina esta amenazada) a) encuentre una heurística h * para el problema de las 4 reinas b) resuelve el problema aplicando la búsqueda avara con dicho heurística h * omentario: si concebimos cada fila como una variable, podemos replantear el ejercicio como un problema de satisfacción de restricciones

68 úsqueda * Idea: minimizar el coste estimado total de un camino en el árbol de búsqueda combinar el coste para llegar al nodo n (se conoce exactamente: g), y el coste aproximado para llegar a un nodo meta desde el nodo n (estimado por la función heurística h * ) Función heurística de * : f (n) = g(n) + h(n): coste real del plan de mínimo coste que pasa por n f * (n) = g(n) + h * (n): estimación de f Estrategia * : entre las hojas del árbol de búsqueda, elegir el nodo de valor f * mínimo

69 El lgoritmo * {*} lgoritmo * : se basa en la búsqueda general almacenar el valor g de cada nodo expandido mantener la lista abierta ordenada por valores crecientes de f * insertar nuevos nodos en abierta según sus valores f * abierta s 0 Repetir Si vacío?(abierta) entonces devolver(negativo) nodo primero(abierta) Si meta?(nodo) entonces devolver(nodo) sucesores expandir(nodo) Para cada n sucesores hacer n.padre nodo ordinsertar(n,abierta, f * ) Fin {repetir}

70 Ejemplo 1: úsqueda * f * = = 366 S f * = T f * = f * = = 393 = 447 Z = 449 f * = = 646 F O R f * = = 417 f * = = 671 f * = = 413 S f * = = 591 f * = = 450 f * = P f * = S f * = = 526 = 415 = 533 f * = = 607 f * = = 615 R f * = = 418

71 Ejemplo 2: úsqueda * Ejemplo: Nodo inicial: I (Iasi) / nodo meta: F (Fagaras) h F * estima la distancia hasta F f F * = = 226 h F * 180 F 0 I 226 N 201 U 151 V N f * V f * F = F = = 288 = 338 f F * = = 400 U f * I f * F = F = = 385 = 410 f * = = f * = = 499 V H f * = = 682

72 Valores de f * en árboles de búsqueda * Posibles tipos de variación de los valores de f * a lo largo de un camino desde la raíz hasta un nodo n j f * f * f * (n j ) f * (n j ) n 1 n j n 1 n j (a) variable (b) monótono creciente

73 Funciones heurísticas consistentes Definición: Si para todo nodo n i y todo sucesor n j de n i se cumple que h * (n i ) h * (n j ) c(n i,n j ) entonces h * es consistente Interpretación intuitiva: h * es consistente si cumple la desigualdad triangular c(n i,n j ) n i n j h * (n i ) h * (n j ) n g Nota: Si h * es consistente, entonces también es optimista

74 Monotonía de f * con función heurística consistente Lema 1: Si h * es consistente, entonces f * crece de forma monótona en todos los caminos del árbol de búsqueda, es decir: si n j es sucesor de n i, entonces f * (n j ) f * (n i ) Prueba: h * (n j ) h * (n i ) c(n i,n j ) h * (n j ) + g(n j ) h * (n i ) + g(n j ) c(n i,n j ) h * (n j ) + g(n j ) h * (n i ) + g(n i ) + c(n i,n j ) c(n i,n j ) f * (n j ) f * (n i )

75 Valores de f * en árboles de búsqueda * f * h * consistente f * h * consistente f * (n j ) f * (n j ) n 1 (a) variable n j n 1 n j (b) monótono creciente orolario 1: Sea n m el mejor nodo meta. Si h * es consistente, entonces el conjunto de nodos expandidos por el algoritmo * es {n i f * (n i ) f * (n m ) }

76 Lógica de la búsqueda * con función heurística consistente Z O 151 N 87 I T D S 80 R L 146 M P 138 F G U V 98 H 86 E f * = 380 f * = 400 f * = 420

77 Optimalidad de * Teorema 1: Si h * es consistente, entonces el método * es óptimo Prueba: 1. Debido a la consistencia de h *, la búsqueda se realiza por las curvas de nivel correspondientes a f * (lema 1). Se expanden sucesivamente los nodos de menor a mayor valor de f * 2. Por tanto, el primer nodo meta encontrado n tendrá el valor mínimo de f * (e.d. la misma argumentación que en el caso de la búsqueda de coste uniforme) 3. Un nodo meta con valor mínimo de f * también tiene el valor mínimo de g. f * (n ) = g(n )+ h* (n ) Si h * es consistente también es optimista, y entonces h * (n ) = 0 para todo nodo meta 4. En consecuencia, el camino en el árbol de búsqueda desde la raíz hasta el primer nodo meta n es de coste mínimo, y * es óptimo Nota: se puede demostrar el siguiente teorema más general: Si h * es optimista, entonces el método * es óptimo

78 ompletitud de * Teorema 2: Si h * es consistente, entonces el método * es completo Prueba: sea n g un nodo meta con f * (n g ) = k. Suponga que n g no es encontrado por el método * ya que el número de sucesores de un nodo es finito, debe haber un camino infinito p debido al lema 1 (monotonía de f * ) todos los nodos n i de p han de cumplir f * (n i ) k pero la secuencia de valores de g a lo largo de p no tiene límite (véase la prueba de completitud de la búsqueda de coste uniforme) por definición h * (n) 0, por lo que la secuencia de f * (n i ) = g(n i ) + h * (n i ) tampoco tiene límite para los nodos n i a lo largo de p contradicción; en consecuencia, el método * encuentra el nodo meta n g Nota: se puede demostrar que * es completo para cualquier función heurística positiva h *

79 Encontrar Funciones Heurísticas: prendizaje Idea: generar información heurística sobre la marcha realizar varias búsquedas (ligeramente diferentes) en el mismo dominio (p.e. siempre a ucarest, pero desde diferentes ciudades iniciales) En cada paso de una búsqueda, usar el coste real de un paso parar mejorar el valor de h * En la próxima búsqueda se utilizan los valores de h * actualizadas Método: Inicialmente, se realiza una búsqueda con h * (n) = 0 para todos los nodos n En cada paso de n i a n j : [ ] h * (n i ) min n j expandir(n i ) h* (n j ) + c(n i,n j ) l visitar un nodo por segunda vez, se utilizan los valores de h * actualizados Problema: Hay que almacenar los valores h * de todos los nodos en una tabla (memoria!) Inteligencia rtificial 3º ITIS

80 Ejemplo: * con prendizaje de una Función R O F f L *=220+0 f L *= 280 = f L *= 291 = = f L * = 0+0 = 0 f L * = = 239 Heurística S f L * = = 140 f L * = = 118 Z f L * = 75+0 = f S P f L *=366 L *=300 f L *= = = =366 L f L *=229+0 =229 Ejemplo: ir de a L Inicialmente h L *(n) = 0 para todo nodo n f L *= = S f L *= =377 Z f L *= = f O f L * = L *=146+0 = = 225 f S Z T f L *=268 L *=290 f L *= = = =379 n D E F G H I L M N O P R S T U V Z h L * Inteligencia rtificial 3º ITIS

81 Ejemplo: * con prendizaje de una Función f L *= = Z f L * = 0+71 = f L * = = Heurística S f L * = f L * = Z f L * = = 295 = 304 = 363 R O F f L *= = f L *= = 597 f L * = = L Ejemplo: ir de Z a L Inicialmente h L *(n) aprendido anteriormente O f L * = = 213 n D E F G H I L M N O P R S T U V Z h L * Z 151 f L *= =355 S ff L *= =302 = f L *=304+0 =304 f L *= =531 Inteligencia rtificial 3º ITIS

82 Ejemplo: * con prendizaje de una Función Heurística f L * = = S f L * = f L * = Z f L * = = 239 = 229 = L Ejemplo: ir de a L Inicialmente h L *(n) aprendido anteriormente 118 f L *=229+0 =229 f L *= =465 n D E F G H I L M N O P R S T U V Z h L * Inteligencia rtificial 3º ITIS

83 Encontrar de Funciones Heurísticas: Diseño El problema del 8-puzzle: Estado inicial Estados: posición de cada una de las piezas Operadores: oste: mover pieza adyacente a la posición del hueco de 2 a 4 operadores aplicables, según el estado La aplicación de cada operador vale una unidad Estado meta

84 Encontrar de Funciones Heurísticas: Diseño Estado inicial Problemas relajados: menos restricciones para cada operador h * : distancia h exacta en el problema relajado Puzzle: una pieza puede moverse de a... a) siempre 6 5 b) si está vació c) si es adyacente a Estado meta Funciones heurísticas: a) número de piezas descolocadas h a* (s 0 ) = 5 b) suma de saltos necesarios h b* (s 0 ) = 5 c) suma de las distancias de Manhattan h c* (s 0 ) = =7

85 Ejercicio 2.9 Estado inicial Estado meta Heurísticas * : onsidere el 8-puzzle cuyo estado inicial y estado meta se muestra al lado: a) desarrolle el árbol de búsqueda del algoritmo * usando la heurística h a * (número de piezas descolocadas) b)desarrolle el árbol de búsqueda del algoritmo * usando la heurística h c * (suma de distancias Manhattan) c) uál de las heurística expande menos nodos? Por qué? Puede sacar una conclusión general con respecto a la calidad de la funciones heurísticas?

86 alidad de las Funciones Heurísticas Definición: Sean h 1 * y h 2 * dos funciones heurísticas optimistas. h 1 * es más informada que h 2*, si para todo nodo n se cumple que Ejemplo: h 1* (n ) h 2 * (n ) en el 8-puzzle, h c * es más informada que h a * las piezas bien colocadas no cuenta en h a * ni en h c * la distancia Manhattan de cada pieza descolocada es al menos 1 en consecuencia, en toda posible configuración n del 8-puzzle la suma de las distancias distancias es igual o mayor que la suma de piezas descolocadas para todas las configuraciones n se cumple h c* (n ) h a * (n )

87 alidad de las Funciones Heurísticas Lema 2: Sean h 1 * y h 2 * dos funciones heurísticas consistentes. Si h 1 * es más informada que h 2*, entonces * (h 2 * ) expande al menos tantos nodos como * (h 1 * ) Prueba: 1. Para el mejor nodo meta n m se cumple que f * (n m ) = f 1* (n! m ) = f 2* (n m ) 2. Ya que h 1 * es más informada que h 2*, para todos los nodos n se cumple que h 1* (n ) h 2 * (n ), y por tanto f 1 * (n ) f 2 * (n ) 3. Por (1) y el orolario 1 se sigue que * (h 1 * ) expande todos los nodos n j con f 1* (n j ) f * (n m ) * (h 2 * ) expande todos los nodos n j con f 2* (n j ) f * (n m ) 4. Por (2), se verifica que f 1* (n j ) f * (n m ) f 2* (n j ) f * (n m ) 5. Por (3) y (4) se concluye que cualquier nodo expandido por * (h 1* ) también será expandido por * (h 2 * )

88 alidad de las Funciones Heurísticas Nota: Se puede demostrar que el lema 2 también se cumple si se asume sólo que h 1 * y h 2 * sean funciones heurísticas optimistas. onclusión: preferir grandes valores de h *, siempre que se mantenga optimista si hay varias funciones heurísticas optimistas: h * ( n) = max h * 1 ( n),h * * 2 ( n),,h m ( n) ( )

89 omplejidad de * El número de nodos expandidos por * depende de la precisión de h * : si h * (n) = h(n) para todos los nodos n: información completa: complejidad lineal ( sin contar la complejidad de computar h *!) calcular h * (n) suele equivaler a resolver el problema completo si h * (n) = 0 para todos los nodos n: * degenera a la búsqueda de coste uniforme resultados generales [Russell, pág. 101]: en el peor caso, * es lineal sólo si para todos los nodos n, h (n) h * (n) O(c) en el peor caso, * es polinomial sólo si para todos los nodos n, h (n) h * (n) O(log h(n)) en escenarios reales, el error heurístico h (n) h * (n) crece, al menos, de forma proporcional al coste h (n) aún así, suele haber una mejora notable en comparación con métodos no informados

90 Resultados experimentales omparación experimental: número de nodos expandidos en el problema del 8-puzzle varias profundidades d de la solución media sobre 100 instancias del problema

91 Resultados acerca de * : nálisis de * * es completo y óptimo para funciones heurísticas consistentes (optimistas) la complejidad en espacio y tiempo de * es proporcional al número de nodos expandidos * es de eficiencia óptima [véase Russell y Norvig] para todo heurística optimista h *, se verifica que no existe otro algoritmo que asegure optimalidad y a la vez garantice expandir menos nodos sin embargo, al igual que en el caso de la búsqueda en amplitud (véase la tabla correspondiente), en situaciones límite los problemas de espacio de * son más graves que los problemas de tiempo

92 ID * ID * : Iterative Deepening * (Korf 1985) Idea: aplicar búsqueda de profundización iterativa, pero en vez de usar sucesivos límites de profundidad, usar sucesivos límites f * Estrategia: usar inicialmente el valor f * de la raíz como limite f * realiza búsqueda en profundidad estándar hasta llegar al limite f * actual (es decir: los valores f * no influyen en el orden de expandir los nodos) curiosear encima del límite f * por el nodo con el siguiente valor f * más bajo repetir el proceso con dicho valor f * como nuevo limite f * aracterísticas: al igual que la búsqueda en profundidad, ID * desarrolla un camino actual sólo los nodos vecinos de dicho camino actual se mantienen en le memoria

93 úsqueda ID * : Ejemplo (1) límite f * = 366 f * = = 366 S f * = T f * = f * = = 393 = 447 Z = 449 f * = = 646 F O R f * = = 417 f * = = 526 f * = = 413 S f * = = 591 f * = = 450 f * = P f * = S f * = = 526 = 415 = 533 f * = = 607 f * = = 615 R f * = = 418

94 úsqueda ID * : Ejemplo (2) límite f * = 393 f * = = 366 S f * = T f * = f * = = 393 = 447 Z = 449 f * = = 646 F O R f * = = 417 f * = = 526 f * = = 413 S f * = = 591 f * = = 450 f * = P f * = S f * = = 526 = 415 = 533 f * = = 607 f * = = 615 R f * = = 418

95 úsqueda ID * : Ejemplo (3) límite f * = 413 f * = = 366 S f * = T f * = f * = = 393 = 447 Z = 449 f * = = 646 F O R f * = = 417 f * = = 526 f * = = 413 S f * = = 591 f * = = 450 f * = P f * = S f * = = 526 = 415 = 533 f * = = 607 f * = = 615 R f * = = 418

96 úsqueda ID * : Ejemplo (4) límite f * = 415 f * = = 366 S f * = T f * = f * = = 393 = 447 Z = 449 f * = = 646 F O R f * = = 417 f * = = 526 f * = = 413 S f * = = 591 f * = = 450 f * = P f * = S f * = = 526 = 415 = 533 f * = = 607 f * = = 615 R f * = = 418

97 úsqueda ID * : Ejemplo (5) límite f * = 417 f * = = 366 S f * = T f * = f * = = 393 = 447 Z = 449 f * = = 646 F O R f * = = 417 f * = = 526 f * = = 413 S f * = = 591 f * = = 450 f * = P f * = S f * = = 526 = 415 = 533 f * = = 607 f * = = 615 R f * = = 418

98 úsqueda ID * : Ejemplo (6) límite f * = 418 f * = = 366 S f * = T f * = f * = = 393 = 447 Z = 449 f * = = 646 F O R f * = = 417 f * = = 526 f * = = 413 S f * = = 591 f * = = 450 f * = P f * = S f * = = 526 = 415 = 533 f * = = 607 f * = = 615 R f * = = 418

99 lgoritmo ID * lgoritmo: un subprograma bp-limite-f que realiza búsqueda en profundidad hasta un límite f * dado devuelve el siguiente f * más bajo un subprograma ID* que actualiza el límite f * y detecta éxito/fallo {ID*} limite-f f*(s 0 ) Repetir limite-f bp-limite-f(limite-f) Si éxito ent. devolver(solución) Si limite-f = ent. devolver(fallo) Fin {repetir} {bp-limite-f} abierta s 0 f-siguiente Repetir Si vacia?(abierta) entonces devolver(f-siguiente) {fallo} nodo primero(abierta) Si meta?(nodo) entonces devolver(nodo) {éxito} sucesores expandir(nodo) Para cada n sucesores hacer Si f*(n ) límite-f entonces n.padre nodo ordinsertar(n,abierta,cabeza) Sino f-siguiente min(f-siguiente, f*(n )) Fin {repetir}

100 Ejercicio 2.10 lgoritmo ID * : plique el algoritmo ID * al problema del 8- puzzle del ejercicio 2.8. Simule a mano el proceso de búsqueda. uántos diferentes límites f * son explorados?

101 lgunos resultados sobre ID * : nálisis de ID * completo y óptimo para funciones heurísticas optimistas, al igual que * complejidad en espacio: δ : coste de un operador / m: mejor nodo meta / b: factor de ramificación / d: profundidad de m complejidad en tiempo: muchos valores diferentes de f * (p.e. búsqueda de rutas): puede elevar la complejidad en tiempo de * al cuadrado pocos valores diferentes de f * (p.e. 8 puzzle): proporcional a la complejidad en tiempo de * mejoras: equilibrar expansión repetida y uso de memoria SM * (Simplified Memory-bounded * ) [Russell 1992] RFS (Recursive est First Search) [Korf 1992]

102 Resumen Resultado clave: algoritmos * e ID * la información heurística puede mejorar la eficiencia de un método de búsqueda sin sacrificar su optimalidad Extensiones: úsqueda aproximada: acotar el espacio de búsqueda con información heurística fuerte (e.d. sacrificando las garantías de optimalidad y completitud búsqueda guiada por subobjetivos (island-driven search), búsqueda jerárquica, úsqueda en línea: engranar búsqueda (elección de acciones) y acción/percepción ejemplos búsqueda de horizonte (limited-horizon search), * en tiempo real (RT * ),

103 Tema 2: úsqueda 2. úsqueda 2.1. gentes de resolución de problemas 2.2. úsqueda no informada 2.3. úsqueda heurística 2.4. úsqueda multiagente

104 Resolución de problemas con múltiples agentes

105 gentes especializados Situación: Múltiples agentes de resolución de problemas actúan en el mismo entorno Las acciones de los demás agentes influyen en la medida de rendimiento de cada agente Ningún agente puede controlar las acciones de los demás agentes Hasta cierto punto, un agente puede predecir las acciones de los demás Tipos de problemas multiagente : Escenarios cooperativos: metas compartidas Escenarios parcialmente cooperativos: algunas metas compartidas, otras opuestas Escenarios antagónicos: metas opuestas

106 Ejemplo: el mundo síncrono de los bloques Dos agentes conviven en el mundo de los bloques: cada agente tiene sus propia situación meta los agentes evalúan la situación actual respecto a su distancia a su meta dicha distancia viene dada por el plan más corto que lleva a la meta del agente α 1 situación inicial α α 1 : 3 2 metas α distancia 2 distancia 4 ctuación simultánea: los agentes pueden actuar en paralelo (de modo síncrono) las acciones (planes) pueden ejecutarse simultáneamente, siempre que no accedan al mismo bloque a la vez el coste de un plan viene dado por el tiempo necesario para ejecutarlo

107 Escenarios cooperativos α 1 Estado inicial α 2 Estados meta α 2 α Potencial para la cooperación: metas compartidas: los dos agentes desean alcanzar la misma situación acuerdo respecto a realizar un plan conjunto P: un agente trabaja en la pila izquierda, y el otro simultáneamente el la pila derecha: P = ( [quitar(1), quitar(2)], [apilar(4,1), apilar(3,2)] ) los dos agentes sacan provecho si se ejecuta el plan conjunto

108 Escenarios antagónicos situación inicial metas α 1 α 2 α α Potencial para el conflicto: metas totalmente antagónicas: todos los bloques deben colocarse en sitios diferentes, dependiendo del agente no hay acuerdo, ni siquiera respecto a partes de un plan conjunto: P a1 = ( [apilar(2,1), NOP], [apilar(3,2), NOP] ) P a2 = ( [apilar(1,2), NOP], [apilar(4,1), NOP] ) todo lo que es bueno para a 1 es malo para a 2, y viceversa

109 Escenarios parcialmente cooperativos α 1 α α 1 metas α 2 situación inicial Potencial para la cooperación y el conflicto: metas parcialmente compartidas: los dos agentes desean que los bloques 1, 3 y 4 estén en la mesa, sin embargo a 1 prefiere que el bloque 2 esté encima de 3, mientras que a 2 prefiere que esté encima de 4 acuerdo sólo sobre partes de un plan conjunto P : P a1 = ( [quitar(5), quitar(6)], [quitar(4), quitar(3)], [apilar(2,3), NOP ] ) P a2 = ( [quitar(5), quitar(6)], [quitar(4), quitar(3)], [apilar(2,4), NOP ] ) los dos agentes sacan provecho si se ejecuta un plan conjunto, pero dependiendo del plan un agente gana más que otro

110 Escenarios antagónicos: Juegos Juegos: ejemplo clásico de escenarios antagónicos (juegos de suma nula) el escenario está totalmente definido por las reglas del juego, y los agentes jugadores los conocen completamente Tipos de juegos: número de jugadores : bipersonales (damas) / múltiples jugadores (Monopoly) elementos de azar: con elementos de azar (backgammon) / sin elementos de azar (damas) información: información perfecta (damas) / información incompleta (póker) juegos bipersonales con información perfecta y sin elementos de azar

111 Ejemplo: Tres en Raya Tres en Raya: dos jugadores (min y max) los jugadores van poniendo fichas en las casillas de un tablero 3x3 max usa las fichas X / min usa las fichas O una casilla puede contener como mucho una ficha Reglas: Inicialmente el tablero está vacío max empieza y los jugadores se van alternando en poner sus fichas max gana si obtiene una raya de tres fichas X min gana si obtiene una raya de tres fichas O si todas las casillas están ocupadas sin que haya una raya de 3 fichas del mismo tipo, hay empate gana max gana min empate

112 Modelo de juegos bipersonales onocimientos mínimos a priori de los agentes max y de min : s 0 posición inicial (estado inicial) expandir: s {s i1,..., s in } cjto. finito de posiciones sucesores terminal?: s true false prueba terminal U: s k, k R función parcial de utilidad del juego Nótese: la función expandir codifica las jugadas (acciones) permitidas en una posición s supone implícitamente que los jugadores se alternan en realizar las jugadas la función de utilidad está definida sólo en los estados terminales s juegos de suma nula: max gana si sólo si min pierde gana max: U(s) = + / gana min : U(s) = / empate: U(s) = 0

113 Ejemplo: Árbol de juego para Tres en Raya max min... max... min terminal 0 + utilidad

114 Árboles de juego Definición: Sea N un conjunto de nodos, E N N, L = { max, min }, y G = ( N, E, L ) un árbol etiquetado. G es un árbol de juego si G no es vacío la raíz está etiquetada max todos los sucesores de max son etiquetados min todos los sucesores de min son etiquetados max Observaciones: cada nivel del árbol de juego representa un ply (media jugada) en los nodos etiquetados max, es el turno del agente max en los nodos etiquetados min, es el turno del agente min las hojas de un árbol de juego (completamente desarrollado) representan las posiciones terminales del juego

115 Estrategias Problema del agente max: cómo determinar su mejor jugada? max podría aplicar métodos de búsqueda estándar, usando las posiciones en las que él gana como estados meta pero min no querría realizar las acciones que el plan de max prevé para él! Estrategia: define las jugadas de max para cada posible jugada de min un subárbol del árbol de juego Estrategia óptima (o racional) : la estrategia que implica el mejor resultado garantizado para max escenarios totalmente antagónicos con agentes racionales: max puede asumir que min hará lo mejor para sí mismo, lo que a su vez es lo peor para max la estrategia óptima para max es la estrategia minimax: maximizar la utilidad mínima en cada jugada

116 Ejemplo: estrategia minimax estrategia óptima: mejor jugada de max: a 1 max 0 a 1 a 2 a 3 min a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 terminal utilidad

117 Método minimax Método Minimax: 1. Generar el árbol de juego completo 2. plicar la función de utilidad en cada nodo terminal 3. Propagar las utilidades hacia arriba en los nodos max, usar la utilidad máxima de los sucesores en los nodos min, usar la utilidad mínima de los sucesores 4. Eventualmente los valores de utilidad llegan al nodo raíz (max) 5. La jugada óptima de max es la que lleva al sucesor de utilidad máxima