ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN EL CURRÍCULO COLOMBIANO PARA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA

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1 XXVI Simposio Internacional de Estadística 2016 Sincelejo, Sucre, Colombia, 8 al 12 de Agosto de 2016 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN EL CURRÍCULO COLOMBIANO PARA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA Emilse Gómez Torres 1,a 1 Departamento de Estadística, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia Resumen Este trabajo presenta en forma sintética un análisis curricular en relación con los contenidos de estadística y probabilidad sugeridos para la Educación Básica y Media en Colombia. Las orientaciones curriculares colombianas (estándares de competencias, lineamientos y documentos complementarios emitidos por el Ministerio de Educación Nacional) son bastante amplias y la normativa es muy fleible en cuanto a contenidos, favoreciendo la autonomía de la institución escolar y delegando en los profesores (o en los jefes de área) la organización del currículo. Desde el enfoque onto-semiótico (marco teórico para el análisis), la identificación en el currículo de objetos primarios permite establecer un significado de referencia para el ejercicio docente, con la finalidad de orientar a los profesores encargados de su enseñanza hacia una introducción paulatina y articulada de los contenidos. 1. Introducción El análisis del currículo pretendido, según Cai y Howson (2013), determina qué se espera que aprendan los estudiantes, cuándo y cómo. Sin embargo, establecer un (único) currículo pretendido en el caso colombiano es imposible dada la amplitud de los lineamientos oficiales (MEN, 1998) y su falta de precisión en contenidos, que son poco descriptivos. Este hecho ha conllevado a la generación de documentos oficiales complementarios, entre ellos MEN (2003, 2006, 2015) y Gobernación de Antioquia (2005), que se analizan en este estudio. La probabilidad es parte del currículo de matemáticas desde la educación primaria debido a su utilidad en la vida diaria, su papel instrumental en otras disciplinas y su importancia en el desarrollo de un razonamiento crítico. La estadística se incorporó al currículo mucho antes que la probabilidad; sin embargo, suele quedarse en el tratamiento de los datos, la mayoría de estudiantes al finalizar la secundaria solo conocen algoritmos de cálculo propios de la estadística descriptiva univariada. La mejora en la enseñanza de estos contenidos depende fuertemente de los profesores, quienes tienen un papel esencial al interpretar el currículo y adaptarlo a las circunstancias específicas de sus estudiantes. Esto se pone de manifiesto en la investigación en educación estadística, la cual está mostrando que muchos profesores mantienen inconscientemente una variedad de dificultades y errores que podrían transmitir a sus estudiantes (por ejemplo ver Batanero, Burrill, y Reading, 2011). Estos retos también tienen implicaciones en la formación de profesores (inicial o continua). A nivel internacional, esta problemática ha motivado la realización de estudios como el proyecto GAISE (Franklin et al., 2007) y la mesa de trabajo conjunto entre ICMI e IASE (Batanero, Burrill, y Reading, 2011). Como se verá en las conclusiones, la necesidad de disponer de materiales que orienten el proceso de enseñanza-aprendizaje de la probabilidad a Profesora asociada. egomezt@unal.edu.co 1

2 2 Emilse Gómez Torres y la estadística en la escuela es un problema vigente, que motiva una línea de trabajo para los interesados en mejorar la educación estadística. El objetivo de este estudio es Caracterizar el significado institucional de referencia en los documentos curriculares, vigentes en 2016, para educación básica y media en Colombia, con respecto al bloque pensamiento aleatorio. En la primera sección de este documento se eponen bases del Enfoque Onto-Semiótico (EOS) que son consideradas para el análisis y se describe la metodología seguida. En la siguiente sección se presenta el propósito de cada uno de los documentos curriculares analizados. A continuación, resultados generales se sintetizan. Para finalizar se dan a conocer las conclusiones del trabajo y una breve discusión sobre su impacto. 2. Objetos básicos del enfoque onto-semiótico En el EOS (Godino, 2003), se entiende por institución a un grupo de personas que, además de tener intereses comunes, comparte instrumentos, reglas y modos de funcionamiento propios de tal institución. La actuación de las personas o instituciones frente a un tipo de situaciones problemáticas relacionadas con un cierto objeto (por ejemplo, regresión lineal simple) está dada por sus sistemas de prácticas (ligadas al objeto), que en el EOS constituye el significado del objeto matemático. Godino (2003) identifica cinco tipos de significado en un análisis didáctico, a nivel institucional: el holístico (sistema de prácticas en el sentido más amplio), el referencial (sistema de prácticas base), el pretendido (sistema para planificar un proceso de enseñanza), el evaluado (subsistema que usado para valorar los aprendizajes), y el implementado (sistema empleado por el docente). Este análisis de documentos curriculares corresponde a un significado referencial de la institución escolar colombiana, ya que describe un sistema de prácticas base que debería ser común para los profesores y estudiantes colombianos de todos los establecimientos educativos a nivel de básica y media. Para un colegio en particular, este análisis se completaría con el estudio de su Proyecto Educativo Institucional (PEI). Estos significados se caracterizan, entre otros elementos, por los siguientes objetos primarios (Godino, Batanero y Font, 2007): Situaciones problema, aplicaciones etra-matemáticas que inducen una actividad matemática; lenguaje, formas de representación que permiten comunicar, en forma oral o escrita, la situación problema, su abordaje y las soluciones encontradas; conceptos, elementos abstractos que entran en juego durante la resolución del problema, implícita o eplícitamente; proposiciones, enunciados sobre relaciones o propiedades de los conceptos; procedimientos, algoritmos, operaciones, técnicas de cálculo que se aplican; y argumentos, enunciados usados para validar o eplicar proposiciones y procedimientos, o bien la solución de los problemas. Este análisis se desarrolla a la luz de estas definiciones, es un estudio que sigue una metodología cualitativa: Primero se buscan y enlistan los documentos curriculares vigentes que hacen referencia al pensamiento aleatorio en la escuela y han sido emitidos por instancias gubernamentales, luego se verifica que están disponibles al público y se eploran para verificar que involucra contenido de probabilidad o estadística por grados o niveles escolares (documentos meramente normativos no son de interés para la investigación). Todos los documentos curriculares que cumplen estas características conforman el universo de estudio (en la práctica fueron 4). En cada uno de ellos se identifican y caracterizan los objetos primarios presentes, en forma implícita o eplícita. Esta caracterización se revisa en repetidas ocasiones para disminuir el riesgo de omisión, concluye con una descomposición en elementos básicos de los contenidos de estadística y probabilidad presentes en los documentos curriculares. Los resultados se consignan en tablas que indican los objetos encontrados en cada grado o nivel (en concordancia con la agregación en los lineamientos del MEN), siguiendo la tipología dada por Godino, Batanero y Font (2007). Finalmente, se elaboran los informes de hallazgos y se emiten conclusiones.

3 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN EL CURRÍCULO COLOMBIANO PARA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA3 3. Marco normativo de referencia El artículo 77 de la Ley General de Educación en Colombia (Ley 115 de 1994) da autonomía a cada institución educativa para elaborar su Proyecto Educativo Institucional (PEI), en el cual se organizan las áreas fundamentales de cada nivel, se introducen asignaturas optativas y se adaptan las áreas a las necesidades del contorno de la institución. Con objeto de disminuir la disparidad en cuanto a contenidos y garantizar un mínimo de calidad, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) dictó en 1998 ciertos derroteros para la construcción del currículo en los PEI. Estos elementos deberían verse reflejados en los planes de estudio de cada área dentro de cada Institución. Los lineamientos curriculares (MEN, 1998) se publican como guías conceptuales del Ministerio. Para matemáticas, clasifican los conceptos básicos, a incluir en el currículo, según el tipo de pensamiento que debería desarrollar. Cada clasificación cuenta con una definición, una base teórica-educativa, un sistema asociado, algunos ejemplos genéricos con sus dificultades de aprendizaje y ejemplos concretos para el aula. De manera que el currículo de matemáticas quedó organizado en cinco bloques: Pensamiento numérico y sistemas numéricos; pensamiento espacial y sistemas geométricos; pensamiento métrico y sistemas de medidas; pensamiento aleatorio y los sistemas de datos; pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Contenidos de probabilidad y estadística se encuentran dentro de la descripción de pensamiento aleatorio, siendo difícil determinar el alcance esperado o el momento en que se introduce cada concepto. Los estándares básicos se publican como guías prácticas del Ministerio. Este documento pretende definir criterios claros y públicos referidos a la enseñanza mínima que deben recibir los estudiantes. Estas epectativas de formación constituyen un punto de referencia de lo mínimo que un estudiante puede estar en capacidad de saber y saber hacer, en determinada área y en determinado nivel. En matemáticas, MEN (2003) define competencias por bloque para cada nivel de formación, esto es agrupados por grados (1 a 3, 4 y 5, 6 y 7, 8 y 9, 10 y 11 ). Los estándares de pensamiento aleatorio están ligados a procedimientos de probabilidad y estadística, reflejan la progresión pretendida en los contenidos del currículo. Gobernación de Antioquia (2005) es un esfuerzo local que presenta propuestas de reconceptualización, interpretación e implementación del proceso de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas, fruto de discusiones colectivas alrededor de los lineamientos y estándares básicos. El capítulo referido a pensamiento aleatorio y sistemas de datos plantea una organización de los estándares básicos en tres ejes temáticos: organización de datos, medidas de posición y variabilidad, y, probabilidad e inferencia. Pone de manifiesto contenidos y relaciones entre conceptos que incorpora en esquemas, uno general y uno por eje temático. Proporciona cuatro situaciones problema para ilustrar actividades metodológicas, utilizando contetos reales que se consideran familiares para los estudiantes, y sugiere su adaptación para cada nivel. MEN (2015) presenta un conjunto de saberes y habilidades fundamentales a desarrollar en los estudiantes, denominados Derechos básicos de aprendizaje (DBA). Al igual que los estándares básicos, pretender ser un referente central para dar condiciones de equidad en los saberes mínimos. Para cada grado escolar enlista una serie de competencias esperadas, cada una acompañada de una actividad didáctica ilustrativa. 4. Algunos resultados La Tabla 1 ilustra la forma de organizar los resultados de la identificación de objetos primarios, que están eplícita o implícitamente en las orientaciones curriculares. En general, el nivel de complejidad en tales objetos aumenta de un nivel al siguiente, llegando a una formalización incipiente en el último grado de la educación media. Esta progresión está ligada al incremento en número de objetos identificados en ese grado, a los objetos desarrollados en otros tipos de pensamiento (como el numérico o el variacional) y a la complejidad de las relaciones entre conceptos. Conceptos como suceso seguro o dato etremo se utilizan sin llegar a su definición formal, es decir el estudiante egresa con un significado intuitivo o una noción de ellos. Se pretende que los estudiantes

4 4 Emilse Gómez Torres interpreten y usen en forma adecuada el lenguaje probabilístico y estadístico de uso cotidiano, así como algunos términos especializados, aunque omite ejemplos ilustrativos al respecto. Tabla 1: Procedimientos asociados a la media incluidos en Derechos básicos de aprendizaje Cálculo a partir de datos observados (sin involucrar frecuencias) Cálculo como promedio ponderado (los pesos son las frecuencias observadas) Interpretación como un reparto equitativo (número de unidades que le corresponde a cada individuo observado) Etrae los datos de una tabla o listado Etrae los datos de un teto (valor observado para cada individuo en lenguaje natural) Etrae la información de un gráfico (histograma o curva suavizada) Reconoce que datos etremos afectan el valor de la media Reconoce relaciones entre media y mediana de acuerdo con la forma de la distribución de los datos (simetría/asimetría) Reconoce que hay una relación entre media y desviación estándar El lenguaje es bastante diferenciado. En educación básica primaria se usan epresiones cotidianas y lenguaje numérico, en básica secundaria se identifica un inicio de formalización (sólo en 9 se usa notación simbólica incipiente), y en educación media se utilizan términos técnicos, simbología propia de la disciplina, diagramas de Venn y aiomática. En cuanto al contenido probabilístico, los documentos curriculares promueven el desarrollo del significado intuitivo de la probabilidad durante la básica primaria; la introducción del significado clásico durante la básica secundaria y una mención tangencial al significado frecuencial en la educación media, en la medida que se pretende iniciar al estudiante en la inferencia estadística. Cabe notar que en los derechos básicos de aprendizaje, contenidos probabilísticos sólo se observan en grados impares de la educación básica y en los dos grados de la media. En cuanto al contenido estadístico, las directrices curriculares se enfocan en la estadística descriptiva hasta grado 9 y pretenden introducir nociones básicas de estadística inferencial en grado 11. Durante la básica primaria, los procedimientos se refieren a la lectura literal de gráficas sencillas para una variable cualitativa en un colectivo (de máimo 250 personas). En particular, dos temas resaltan en los derechos básicos de aprendizaje por su presencia en casi todos los grados de la educación básica, gráficos estadísticos desde 3 y cálculo de media y moda desde 5 (como se ve en la Tabla 1). Otras temáticas apenas sí aparecen en la educación media, como la desviación estándar que es la única medida de dispersión mencionada (sin definición ni procedimiento de cálculo). Por otra parte, los documentos conceptuales sugieren una enseñanza basada en la eperimentación y simulación y el uso de estrategias pedagógicas, como resolución de problemas y trabajo por proyectos, para promover un aprendizaje significativo. La aplicación del contenido disciplinar, en situaciones de la vida cotidiana, muestra a los estudiantes el carácter interdisciplinar y la necesidad del pensamiento aleatorio y su lenguaje, en contetos públicos y privados. Gobernación de Antioquia (2005) ilustra cuatro situaciones problema que se enmarcan en el trabajo por proyectos en contetos cercanos a los estudiantes. MEN (2015) epone ejercicios en formato tradicional, el enunciado de algunos emula una situación real con fallos en el contenido disciplinar o en la contetualización, por ejemplo presenta un diagrama de dispersión y el ajuste de una recta a datos que supuestamente provienen de bebes menores de 1 año (etapa de la vida en que la curva de crecimiento difiere de una línea recta). 5. Conclusiones Este análisis pone de relieve bondades de los documentos y cuestionamientos acerca de la idoneidad de algunos de sus ejemplos, así como de la progresión sugerida. El componente aleatorio supone un reto para el docente de matemáticas, ya que algunos profesores no están preparados para enfrentar las dificultades que implica tratar con fenómenos inciertos, en particular si consideramos que en Colombia no se requiere una licenciatura de matemáticas para el acceso a la función docente (MEN, 2002).

5 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD EN EL CURRÍCULO COLOMBIANO PARA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA5 En general, se privilegia la adquisición de destrezas operativas, procedimientos, que están sugeridos en las competencias o saberes mínimos. Los conceptos aparecen implícitamente, en su mayoría con finalidad introductoria y de reconocer su aplicabilidad. Las propiedades casi ni se mencionan. Gobernación de Antioquia (2005) resalta la baja articulación de la probabilidad con la estadística en los documentos previos, hace énfasis en el entorno cercano al niño y en dar más importancia a la interpretación que al cálculo. Sin embargo, en sus propuestas tampoco son evidentes esa relaciones, los ejemplos se orientan más al tratamiento de datos o a dar un valor numérico. Hasta 9 grado en MEN (2015), las situaciones problema ligados a probabilidad giran en torno a calcular probabilidades de sucesos en conteto de juegos de azar, y los de estadística se refieren a describir un colectivo, que suele ser pequeño, en conteto de conteos de objetos, personas o características medibles. Una caracterización como la que se ilustró en este documento es un primer paso de un proyecto que pretende generar material, dirigido a los profesores, que ayude a disminuir conflictos potenciales y obstáculos de aprendizaje, que suelen evidenciarse durante el desarrollo del pensamiento estadístico y probabilístico en los escolares. Otro análisis a futuro es el contraste entre este significado de referencia y el significado evaluado, identificar coincidencias y diferencias entre estos mínimos promulgados en las orientaciones y las competencias evaluadas en las pruebas SABER. Referencias Batanero, C., Burrill, G. y Reading, C. (Eds.) (2011). Teaching statistics in school mathematics. Challenges for teaching and teacher education. A joint ICMI and IASE study. New York: Springer. Franklin, C., Kader, G., Mewborn, D., Moreno, J., Peck, R., Perry, M., y Scheaffer, R. (2007). Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report. Aleandría: American Statistical Association. Gobernación de Antioquia. (2005). Interpretación e Implementación de los Estándares Básicos de Matemáticas. Secretaría de Educación para la Cultura. Dirección de Fomento a la Educación con Calidad. Digital Epress Ltda. Medellín. Colombia. Bajado el 30 de marzo de 2014 de cmap.upb.edu.co/servlet/sbreadresourceservlet?rid= _ _19195 Godino, J. D. (2003). Teoría de las funciones semióticas. Un enfoque ontológico-semiótico de la cognición e instrucción matemática. Trabajo de investigación. Universidad de Granada. Godino, J. D., Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 39 (1-2), Cai, J., y Howson, G. (2013). Toward an international mathematics curriculum. En M. A. Clements, A. J. Bishop, C. Keitel, J. Kilpatrick y F. K. S. Leung (Eds.) Third International Handbook of Mathematics Education (pp ). New York: Springer. Ministerio de Educación Nacional MEN. (1998). Matemáticas: lineamientos curriculares: áreas obligatorias y fundamentales. Cooperativa Editorial Magisterio. Colombia. MEN (2002). Decreto 1278 de Junio 19 de 2002 por el cual se epide el estatuto de profesionalización docente. Disponible en: MEN. (2003). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadana. Bogotá. MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadana. Guía sobre lo que los estudiantes deben saber y saben hacer con lo que aprenden. Bogotá: El autor. MEN. (2015). Derechos básicos de aprendizaje. Bogotá: El autor. Disponible en: www. colombiaaprende.edu.co/html/micrositios/1752/w3-article html.