LOS grupos de investigación GIAR (Grupo de

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1 III CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA MECATRÓNICA 1 Cinemática y Simulación de una Plataforma Robótica Paralela -RPS Diego Ospina Latorre Resumen Se presenta una plataforma robótica paralela de arquitectura -RPS diseñada como parte del proyecto Plataforma de Realidad Aumentada desarrollado en la Universidad Central. Se explican las razones que llevaron a elegir este tipo de mecanismo. Luego, se presentan algunos conceptos básicos sobre robots paralelos. Posteriormente, se desarrolla el análisis cinemático inverso de posiciones del robot. Finalmente, se presenta una interfaz gráfica desarrollada en Matlab con la implementación del análisis cinemático presentado. Index Terms Robótica, mecanismo paralelo, cinemática inversa, interfaz gráfica, simulación computacional, Matlab. I. INTRODUCCIÓN LOS grupos de investigación GIAR (Grupo de Investigación en Automatización y Robótica) y UCIB (Grupo de Investigación en Bioingeniería) pertenecientes a la Universidad Central, están desarrollando un proyecto denominado Plataforma de Realidad Aumentada (PRA). El objetivo del proyecto, es generar un espacio que cuente con un conjunto de aplicaciones orientadas a estudios de estimulación física y cognitiva, con fines de rehabilitación y recreación. Este espacio debe lograr un ambiente de inmersión aplicando técnicas de realidad aumentada, a través de la manipulación de sonido, video y movimiento. Figura 1. Concepto de la Plataforma de Realidad Aumentada movimiento, generación de movimiento y registro de señales fisiológicas. La figura 1 presenta el concepto de los módulos de video, audio y movimiento de la PRA. Este artículo presenta el análisis cinemático y la simulación computacional de unos de los módulos mencionados, el de generación de movimiento. Dicho módulo, esta formado por una plataforma móvil sobre la que el usuario del sistema esta situado. Su función, es mover la base de sustentación del usuario de manera similar a como lo haría un simulador de vuelo. En la sección II se presentan algunos conceptos básicos sobre plataformas robóticas paralelas. Luego, en la sección III se describe la arquitectura de la plataforma diseñada y en la IV se desarrolla la cinemática inversa de posiciones. Posteriormente, se presenta en la sección V una interfaz gráfica interactiva para el análisis de la cinemática inversa de posiciones. II. GENERALIDADES SOBRE PLATAFORMAS PARALELAS Un mecanismo está formado por cadenas cinemáticas, que son conjuntos de eslabones unidos entre sí mediante articulaciones. Estas cadenas cinemáticas pueden ser cerradas o abiertas. Si cada eslabón está conectado a los demás al menos mediante dos trayectorias distintas se denomina cadena cinemática cerrada; de lo contrario, se trata de una cadena cinemática abierta. Se llama plataforma paralela a un mecanismo cuyo efector final está soportado por al menos dos cadenas cinemáticas. En este tipo de plataformas el número de actuadores debe por lo menos igual al número de grados de libertad del efector final para que el mecanismo sea controlable 1]. Las plataformas robóticas paralelas están siendo usadas actualmente en varias aplicaciones por sus características: gran rigidez; múltiples grados de libertad; ventajosa relación entre capacidad de carga y peso; elevada precisión y baja inercia 2]. Por las ventajas presentadas, se optó por una plataforma paralela para el sistema de generación de movimiento de la PRA. El sistema completo está compuesto por módulos que se están desarrollando de forma independiente para luego integrarse y formar en conjunto la PRA. Los módulos que conforman el sistema son: video, audio, detección de D. Ospina es docente del Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad Central, Bogotá - Colombia. dospinal@ucentral.edu.co. II-A. Parámetros de un robot paralelo Cuando se habla de robots paralelos, algunos parámetros son importantes para caracterizar su arquitectura. Entre ellos están el número de grados de libertad (GDL), el número de bucles, el número de brazos y su conectividad. A continuación se explica brevemente cada uno de estos parámetros usando

2 III CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA MECATRÓNICA 2 como base la nomenclatura y explicaciones dadas en ]. II-A1. Grados de Libertad: Los GDL de un mecanismo, son una medida de la cantidad de movimientos independientes que puede realizar. Como para cualquier otro mecanismo, los GDL F del efector final de una plataforma robótica paralela están dados por la fórmula de Grübler: F = λ(n j 1) + j f i (1) i=1 Donde λ son los GDL del espacio en el que se mueve el manipulador. Por lo tanto, λ = 6 para mecanismos que se mueven en el espacio y λ = para mecanismos que se mueven en un solo plano. El parámetro n corresponde al número de eslabones, j al número de articulaciones y f i a los GDL que permite la i-esima articulación. II-A2. Número de Bucles: Un bucle o cadena cinemática cerrada es la unión de varios eslabones mediante por lo menos dos trayectorias diferentes. En las plataformas paralelas, se define el número total de bucles independientes L, como la cantidad de bucles que posee sin incluir el exterior; su valor se relaciona con el número de eslabones y de articulaciones mediante la ecuación de Euler: L = j n + 1 (2) II-A. Número de brazos y simetría: En un robot paralelo, la base está unida al efector final por un número m de brazos. Cada brazo es una cadena cinemática formada por eslabones unidos entre sí por articulaciones. Un robot paralelo se clasifica como simétrico si cumple con estas tres condiciones: El número de brazos es igual a los GDL del efector, esto es m = F El tipo y número de articulaciones en todos los brazos tienen el mismo patrón El número y ubicación de las articulaciones activas en todos los brazos es igual En un manipulador paralelo simétrico, el número total de bucles incluyendo el bucle externo es igual al número de brazos y por lo tanto también a los GDL del efector, es decir: F = L + 1 () II-A4. Conectividad: Se define la conectividad C k del k-esimo brazo, como los GDL asociados con todas las articulaciones que posee. Por lo tanto: II-B. m C k = k=1 j f i (4) i=1 Representación de la ubicación La ubicación espacial de un cuerpo rígido, queda completamente definida al dar la posición y orientación de un sistema coordenado solidario al cuerpo respecto a un marco de referencia fijo. Se define a {A} como el sistema coordenado de referencia con ejes X, Y, Z. También se define a {B} con ejes U, V, W, como el sistema coordenado móvil. Independientemente del sistema usado, para describir la posición del origen de {B} respecto de {A}, se requieren tres coordenadas que forman un vector. Los sistemas más comunes son: cartesiano o rectangular, cilíndrico y esférico. También existen diferentes representaciones para describir la orientación de {B} respecto de {A}. Las representaciones más usuales en robótica son: matriz de rotación, eje screw, ángulos RPY (roll, pitch, yaw), ángulos de Euler ZYX y ángulos de Euler ZYZ. El número de parámetros que requiere cada representación es diferente, sin embargo, cualquiera de ellas tiene solo tres parámetros independientes a partir de los cuales se pueden obtener los demás. II-B1. Matriz de rotación: La representación de la orientación de {B} respecto de {A} usando una matriz de rotación es la siguiente:: A R B = u x v x w x u y v y w y (5) u z v z w z Donde u, v, w, son los vectores unitarios que apuntan en las direcciones de los ejes U, V, W de {B} y los subíndices x, y, z representan respectivamente sus componentes en los ejes X, Y, Z de {A}. II-B2. Ángulos RPY: La representación de la orientación mediante ángulos RPY es muy usada en la aviación. La sigla RPY viene de los términos Roll (alabeo), Pitch (cabeceo) y Yaw (guiñada) que representan respectivamente los ángulos sobre los ejes X, Y y Z. En esta forma de representación se dan los valores de Roll (γ), Pitch (β) y Yaw (α) para definir cómo está orientado {B} respecto de {A}. II-B. Relación entre representaciones de orientación: A partir de los ángulos RPY se puede obtener la matriz de rotación como se muestra a continuación 4]: cαcβ cαsβsγ sαcγ cαsβcγ + sαsγ A R B = sαcβ sαsβsγ cαcγ sαsβcγ cαsγ (6) sβ cβsγ cβcγ Donde se han usado las letras c y s como abreviación de las funciones seno y coseno respectivamente. III. PLATAFORMA -RPS La primera fase en el desarrollo de la plataforma móvil, fue establecer sus requerimientos: Posibilidad de soportar y mover a una persona parada sobre la plataforma Desplazarse verticalmente Girar sobre los 2 ejes del plano horizontal (Roll y Pitch) III-A. Elección de la arquitectura Para cumplir con el primer requerimiento, se decidió trabajar con una plataforma robótica paralela

3 III CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA MECATRÓNICA para el sistema de generación de movimiento de la PRA, dadas las ventajas de los mecanismos paralelos que se mencionaron anteriormente en la sección II. Los requerimientos de girar sobre los dos ejes horizontales y trasladarse sobre el eje vertical implican un movimiento en varios planos. Los mecanismos que describen este tipo de movimientos se conocen como mecanismos espaciales (que tienen λ = 6). Como no son necesarios ni la rotación sobre el eje vertical (Yaw), ni las traslaciones sobre los dos ejes horizontales (X y Y), la plataforma tiene tres GDL, es decir, F =. Para facilitar el desarrollo cinemático y por ende el control de la plataforma, se optó por una arquitectura simétrica (ver II-A); por lo tanto, el número de brazos debía ser igual a los GDL de la plataforma, es decir m =. A partir de la manipulación matemática de (1) a (4) se puede obtener la siguiente relación: m C k = (λ + 1)F λ (7) k=1 Reemplazando los parámetros establecidos (F =, λ = 6 y m = ), se obtiene k=1 C k = 15 y por la simetría, cada brazo debe tener conectividad C k = 5 (ver II-A4). Esto quiere decir que las articulaciones presentes en cada brazo deben sumar 5 GDL. Figura 2. Articulaciones a) rotacional, b) prismática y c) esférica NOTA: Esta imagen es una adaptación de varias figuras disponibles en En la parte inferior se encuentran las tres articulaciones rotacionales que son pasivas. En la parte superior están las tres articulaciones esféricas que también son pasivas. Uniendo la plataforma fija y la móvil se encuentran las articulaciones prismáticas que son activas, es decir, se tiene control sobre su posición. La posición de la plataforma móvil se controla mediante tres variables, que son las longitudes de los tres actuadores lineales. A partir del análisis anterior, se eligió una plataforma de arquitectura -RPS. El indica el número de brazos (m) que conectan la plataforma fija con la plataforma móvil (efector final). Las letras RPS indican que cada brazo tiene respectivamente una articulación rotacional (simbolizada por R), una prismática (simbolizada con P) y una esférica (simbolizada con S). Varios autores han realizado trabajos con plataformas robóticas de arquitectura paralela, entre ellos 5] y 6]. III-B. Articulaciones Una articulación rotacional une dos eslabones, permitiendo entre ellos movimiento de rotación sobre un eje. Por lo tanto tiene solo un solo GDL, es decir f = 1. Por su parte, una articulación prismática permite el movimiento traslacional entre dos eslabones a lo largo de un eje; en este tipo de articulación también se tiene f = 1. En las articulaciones esféricas f = ya que permiten la rotación de un eslabón respecto a otro sobre tres ejes perpendiculares entre sí; esta articulación es equivalente a tener tres articulaciones de rotación con ejes que se intersecten y sean perpendiculares. La figura 2 muestra los tres tipos de articulación. La suma de los GDL de una articulación rotacional, una prismática y una esférica es 5, resultado consistente con lo establecido en III-A. En la figura se presenta el modelo de la plataforma robótica -RPS generado usando el software SolidEdge. Figura. Plataforma paralela con arquitectura -RPS III-C. Definiciones geométricas Usando la representación presentada en ], para simplificar el análisis cinemático de la plataforma -RPS, se hacen las siguientes suposiciones (ver figura 4): Las bases fija y móvil son triángulos equiláteros. Los vértices de la base fija son A 1, A 2, A y los de la base móvil son B 1, B 2, B. Los centroides de las bases fija y móvil son respectivamente O y P. La base fija está contenida en un plano formado por los ejes X-Y que tienen su origen en O, con el eje X apuntando hacia A 1. La base móvil está contenida en un

4 III CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA MECATRÓNICA 4 plano formado por los ejes U-V que tienen su origen en P con el eje U apuntando hacia B 1. En el triángulo de la base fija, la distancia del centroide a cualquiera de los vértices es g y en el de la base móvil es h. Figura 4. Coordenadas y vectores de posición en la plataforma -RPS IV. CINEMÁTICA INVERSA DE POSICIONES Un movimiento sencillo de la plataforma móvil como por ejemplo girar a velocidad constante sobre uno de los ejes un ángulo determinado, se convierte en un movimiento complejo desde el punto de vista de los actuadores; cada uno debe moverse una cantidad diferente y variar permanentemente su velocidad a lo largo del recorrido. Por ello, se requiere estudiar la cinemática inversa de la plataforma paralela propuesta para poder generar las trayectorias de cada uno de los actuadores, con el fin de que la plataforma móvil logre el movimiento final deseado. IV-A. Ubicación de vértices La posición de los vértices de la plataforma fija (A i con i 1, 2, ) expresados en el sistema coordenado fijo {A} están dados por los siguientes vectores: a 1 = g, 0, 0] T (8) a 2 = 1 ] T 2 g, 2 g, 0 (9) a = 1 ] T 2 g, 2 g, 0 (10) La posición de los vértices de la plataforma móvil (B i con i 1, 2, ) respecto al sistema coordenado móvil {B} está expresada por los vectores b i con i 1, 2,. Como el sistema coordenado {B} es solidario a la plataforma móvil, los vectores b i son constantes aún cuando la plataforma cambie de posición u orientación: b 1 = h, 0, 0] T (11) b 2 = 1 ] T 2 h, 2 h, 0 (12) b = 1 ] T 2 h, 2 h, 0 (1) La posición de estos vértices respecto al sistema coordenado fijo {A} se puede obtener mediante la siguiente expresión: q i = p + A R B b i (14) Donde p es el vector de posición del origen P respecto del sistema coordenado {A} y A R B es la matriz de rotación definida en II-B1. A partir de (8) a (14), se obtienen los vectores de posición de los vértices de la plataforma móvil en términos del sistema coordenado {A}: IV-B. q 2 = q = q 1 = p x + hu x p y + hu y p z + hu z p x 1 2 hu x + 2 hv x p y 1 2 hu y + 2 hv y p z 1 2 hu z + 2 hv z p x 1 2 hu x 2 hv x p y 1 2 hu y 2 hv y p z 1 2 hu z 2 hv z Restricciones de movimiento (15) (16) (17) Por la forma como está dispuesta la articulación rotacional en A 1, el brazo A 1 B 1 solo puede moverse en el plano vertical X-Z. Por la misma razón, el brazo A 2 B 2 solo puede moverse en un plano vertical girado 120 respecto al plano X-Z y el brazo A B solo pueden moverse en un plano vertical girado 120 respecto al plano X-Z. Las condiciones anteriores restringen el movimiento de los vértices de la plataforma móvil, lo que puede expresarse mediante las siguientes tres ecuaciones ]: q 1y = 0 (18) q 2y = q 2x (19) q y = q x (20) Sustituyendo las tres expresiones anteriores en el componente y de (15) a (17) y manipulando matemáticamente las expresiones obtenidas, se llega a: p x = 1 2 h (u x v y ) (21) p y = hu y (22) v x = u y (2) Al comparar las representaciones de la matriz de rotación A R B presentadas en (5) y (6) se llega a la siguiente definición de los vectores unitarios u y v: u = v = cαcβ sαcβ sβ cαsβsγ sαcγ sαsβsγ cαcγ cβsγ (24) (25)

5 III CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA MECATRÓNICA 5 IV-C. Coordenadas de ubicación dependientes Como se ha mencionado anteriormente, el mecanismo -RPS es espacial, por lo tanto, la ubicación (posición y orientación) de su efector final está definida por seis parámetros, tres para describir su posición y tres para su orientación. Como F =, de los seis parámetros que definen la ubicación del efector final, solo tres son independientes. Existen diversas posibilidades para elegir los tres parámetros independientes sobre los que se tendrá control en la plataforma. Sin embargo, la posición vertical p z es obligatoriamente uno de los parámetros independientes, ya que no aparece en ninguna de las ecuaciones presentadas en IV-B que describen las restricciones de movimiento. Para lograr el movimiento que se requiere en esta aplicación, los otros dos parámetros elegidos como independientes son: la rotación sobre el eje X (Roll) y la rotación sobre el eje Y (Pitch). Las otras tres coordenadas no pueden elegirse arbitrariamente, son dependientes de las primeras y su dependencia se evidencia en las restricciones impuestas por las ecuaciones presentadas en IV-B. Las ecuaciones (21) y (22) muestran que la posición horizontal de la plataforma móvil, es función de su orientación. Por su parte (2), impone una restricción en la orientación; aunque pueden elegirse dos variables para orientar la plataforma móvil (Roll y Pitch), la tercera variable (Yaw) tendrá solo un valor que hará válida la ecuación. A partir de la definición de los vectores unitarios u y v en términos de los ángulos RPY (ver (24) y (25)) y teniendo en cuenta la condición de (2), se puede describir el ángulo α como función de los otros dos: ( ) sin (β) sin (γ) α = arctan (26) cos (β) + cos (γ) En resumen, los parámetros independientes que pueden ser elegidos para posicionar la plataforma son: el ángulo γ (Roll o rotación sobre el eje X) el ángulo β (Pitch o rotación sobre el eje Y) el desplazamiento p z (traslación sobre el eje Z) Los otros tres parámetros de ubicación de la plataforma quedan definidos en función de los tres independientes: IV-D. el ángulo α (Yaw o rotación sobre el eje Z) según (26) el desplazamiento p x (traslación sobre el eje X) según (21), (24) y (25) el desplazamiento p y (traslación sobre el eje Y) según (22), (24) y (25) Longitud de los brazos Se define a d i como el vector que parte de A i y apunta hacia B i (para i 1, 2, ), de manera que coincida con el brazo A i B i que une la plataforma fija con la móvil. Este vector puede calcularse como la diferencia de posiciones entre los puntos A i y B i expresados en el sistema coordenado {A}, es decir: d i = q i a i con i 1, 2, (27) La magnitud del vector d i corresponde a la longitud del brazo A i B i y se obtiene como la raíz de su producto escalar: d i = d i d i con i 1, 2, (28) Sustituyendo (8) a (10) y (15) a (17) en (27) y luego el resultado en (28), se obtienen las siguientes expresiones ]: d 2 = d = d 1 = n 1 + 2n 2 2gp x 2ghu x (29) n 1 n 2 + n + g(p x p y ) n 9 (n 4 n 5 ) (0) n 1 n 2 n + g(p x + p y ) n 9 (n 4 + n 5 ) (1) Donde: n 1 = p 2 x + p 2 y + p 2 z + g 2 + h 2 n 2 = h(p x u x + p y u y + p z u z ) n = h(p x v x + p y v y + p z v z ) n 4 = u x + v y n 5 = u y + v x Las ecuaciones (29) a (1) corresponden a la cinemática inversa de posiciones. Permiten a partir de la posición y orientación de la plataforma móvil, obtener la longitud necesaria en cada brazo. V. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL A partir de la cinemática inversa de posiciones desarrollada en la sección IV, se implementó una aplicación en Matlab para: V-A. Visualizar el espacio de trabajo Analizar los cambios en el espacio de trabajo variando parámetros geométricos tales como: dimensión de la base (g), dimensión del efector final (h) y longitud de los brazos (d). Evaluar el comportamiento de las variables de posición y orientación dependientes Ventana de comandos Inicialmente se implementaron las ecuaciones presentadas en la sección IV mediante funciones para ser usadas desde el command window de Matlab. El objetivo principal era calcular la longitud de cada uno de los actuadores (d 1, d 2 y d ) a partir de la posición de la plataforma móvil, es decir, ingresando los valores de Roll (γ), Pitch (β) y posición vertical (p z ). Luego, con el fin de visualizar la posición del mecanismo, se desarrollaron otras funciones que generaban las posiciones de los vértices tanto de la plataforma fija como de la móvil. V-B. Diagrama de flujo En la figura 5, se presenta un diagrama de flujo con la secuencia realizada por la aplicación cada vez que se hace un cambio en la zona de control descrita en la subsección V-C.

6 III CONGRESO INTERNACIONAL DE INGENIERÍA MECATRÓNICA 6 Figura 5. Diagrama de flujo de la aplicación V-C. Interfaz gráfica Figura 6. Interfaz gráfica de la aplicación desarrollada en Matlab La aplicación desarrollada, tiene una interfaz gráfica que se presenta en la figura 6, en la que se muestran las cuatro zonas que la componen, demarcadas por rectángulos de colores: control (rojo), visualización D (verde), visualización 2D (azul) y longitud de brazos (amarillo). La zona de control, permite establecer la ubicación de la plataforma móvil controlando las tres variables independientes: altura (p z ), Roll (γ) y Pitch (β). También se puede visualizar el valor de las tres variables dependientes: desplazamiento en X (p x ), desplazamiento en Y (p y ) y Yaw (α). En la zona de visualización D, se muestra una representación isométrica de la ubicación (posición y orientación) de la plataforma móvil respecto a la fija, para los valores indicados en la zona de control. La zona de visualización 2D, presenta proyecciones ortogonales (superior, frontal y lateral) de la misma postura que muestra la zona D. Finalmente, la zona de longitud de brazos, muestra la longitud que debe tener cada brazo para que la ubicación de la plataforma móvil corresponda a la definida en la zona de control. La postura adoptada por la plataforma en las zonas de visualización de la figura 6, se obtuvo al definir en la zona de control los siguientes valores para las variables independientes: p z = 900mm, γ = 18 o y β = 12 o. En la misma zona de control, se presentan los valores que toman las variables dependientes: p x = 6,2mm p y = 14,2mm α = 1,9 o. La zona de longitud de brazos, indica que para la posición adoptada por la plataforma, los actuadores deben tener las siguientes longitudes: d 1 = 942,7mm, d 2 = 959mm y d = 125,4mm. Los resultados de la cinemática inversa de posiciones, muestran que cuando la base superior está inclinada, se produce una pequeña rotación sobre el eje vertical (α) y un pequeño desplazamiento horizontal de su centro (p x y p y ); las magnitudes de esta rotación y de este desplazamiento, son función de los valores de las variables independientes p z, γ y β. Para el rango de movimiento de los actuadores reales usados en el prototipo de la plataforma, estos movimientos colaterales pueden despreciarse. AGRADECIMIENTOS El autor agradece a la Universidad Central por el apoyo brindado durante el desarrollo del proyecto PRA. También a los estudiantes Cristian Bernal y Óscar Rojas quienes realizaron el diseño CAD de la plataforma robótica paralela presentada en este artículo. REFERENCIAS 1] J. P. Merlet, Parallel Robots, 2nd ed., ser. Solid Mechanics and Its Applications. Springer, 2006, vol ] M. Badescu, J. Morman, and C. Mavroidis, Workspace optimization of -UPU parallel platforms with joint constraints, in Proceedings of the 2002 IEEE International Conference on Robotics and Automation, Washington, D.C., May ] L.-W. Tsai, Robot Analysis: the mechanics of serial and parallel manipulators. John Wiley & Sons, ] A. Ollero, Robótica: Manipuladores y robots móviles, 1st ed. Alfaomega & Marcombo, ] D. Verdes, S. Stan, M. Manic, R. Balan, and V. Maties, Kinematics analysis, workspace, design and control of -RPS and triglide medical parallel robots, in 2nd IEEE Conference on Human System Interaction, Catania, Italy, May ] J. Gallardo, H. Orozco, and J. M. Rico, Kinematics of -RPS parallel manipulators by means of screw theory, The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 6, pp , VI. CONCLUSIONES En este artículo, se tomó la teoría existente en la literatura sobre la cinemática de mecanismos de arquitectura -RPS y se adaptó para obtener a partir de las variables de entrada requeridas por el proyecto Plataforma de Realidad Aumentada, la longitud de cada actuador. Diego Ospina Latorre es Ingeniero Mecánico de la Universidad Nacional de Colombia (2005) y Magíster en Ingeniería en Automatización Industrial de la misma institución (2009). Actualmente trabaja en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad Central. Sus temas de investigación son robótica y modelado de sistemas dinámicos. En el área de robótica se ha especializado en el trabajo con brazos robóticos y plataformas de arquitectura paralela. En el área de modelado, trabaja particularmente en modelos creados usando Bond-Graphs.