ROBÓTICA I. Cinemática Directa

Transcripción

1 Cinemática Directa M. C. Jorge Luis Barahona Avalos 2 de mayo de 2012 Universidad Tecnológica de la Mixteca Instituto de Electrónica y Mecatrónica 1 / 42

2 Índice General 1 Cinemática Directa 2 Cadena Cinemática Abierta 3 Convención de Denavit-Hartenberg 4 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores 2 / 42

3 Cinemática Directa Introducción Un manipulador consiste de una serie de cuerpos rígidos (eslabones links) conectados por medio de pares cinemáticos o articulaciones (joints). Las articulaciones pueden ser esencialmente de dos tipos: giratorias o prismáticas. La estructura completa forma una cadena cinemática. Un extremo de la cadena está restringido a una base. Un efector final (pinza, herramienta, etc.) está conectado al otro extremo permitiendo la manipulación de objetos en el espacio. 3 / 42

4 Cinemática Directa Tipos de articulaciones 4 / 42

5 Cinemática Directa Cadenas cinemáticas Desde un punto de vista topológico, la cadena cinemática se denomina abierta, cuando sólo existe una secuencia de eslabones conectando los extremos de la cadena. Por el contrario, una manipulador contiene una cadena cinemática cerrada cuando una secuencia de eslabones forman una trayectoria cerrada. La estructura mecánica de un manipulador se caracteriza por un número de grados de libertad (GDL) o en inglés DOF (Degree Of Freedom), los cuales determinan en forma única su postura. Observación: El término posture de una cadena cinemática, denota la pose de todos los cuerpos rígidos que componen la cadena. Siempre que la cadena cinemática se reduzca a un sólo cuerpo rígido, entonces la posture coincide con la pose del cuerpo. 5 / 42

6 Cinemática Directa Posición y orientación del efector final 6 / 42

7 Cinemática Directa Cinemática Directa Cada GDL se asocia típicamente a una articulación, constituyéndose así en una variable articular. El objetivo de la CINEMÁTICA DIRECTA, es calcular la pose del efector final como una función de las variables articulares. Se mostró previamente, que la pose de un cuerpo rígido respecto a un sistema coordenado de referencia se describe mediante el vector de posición del origen y de los vectores unitarios del sistema de referencia asignados al cuerpo. Así, respecto al sistema de referencia O b x b y b z b la matriz de transformación homogénea está dada por: [ ] T b n b e(q) = e (q) s b e(q) ae(q) b p b e(q) (1) / 42

8 Cinemática Directa Cinemática Directa donde q R n, es el vector de variables articulares, y n e, s e y a e, son los vectores unitarios del sistema de referencia asignado al efector final, y p e es el vector de posición de dicho sistema de referencia respecto al origen de O b x b y b z b. Obsérvese que n e, s e, a e y p e son funciones de q. El sistema O b x b y b z b se denomina sistema de referencia base. El sistema de referencia asignado al efecgtor final, se denomina sistema de referencia del efector final. El sistema de referencia del efector final se elige de acuerdo a la geometría de la tarea particular.. 8 / 42

9 Cinemática Directa Ejemplo 1: Robot planar de 2 eslabones Si el efector final es una pinza, por ejemplo, el origen del sistema de referencia del efector final se localiza en el centro de la pinza, a e se elije en la dirección aproximada del objeto, s e se elije normal a a e en el plano de deslizamiento de las mordazas y n e se elije normal a los otros dos de modo tal que el sistema de referencia (n e, s e, a e ) se rige por la regla de la mano derecha. Una primera aproximación para calcular la cinemática directa, la ofrece un análisis geométrico de la estructura del manipulador Ejemplo 1: Coinsidérese el robot planar de 2 GDL de dos eslabones de la siguiente figura. 9 / 42

10 Cinemática Directa Ejemplo 1: Robot planar de 2 eslabones 10 / 42

11 Cinemática Directa Ejemplo 1: Robot planar de 2 eslabones Por trigonometría simple, por la elección de las variables articulares, por la elección del sistema de referencia base y por la elección del sistema de referencia del efector final, se obtiene: [ ] T b n b e(q) = e (q) s b e(q) ae(q) b p b e(q) = 0 S 12 C 12 a 1 C 1 + a 2 C 12 0 C 12 S 12 a 1 S 1 + a 2 S (2) 11 / 42

12 Cinemática Directa Cinemática directa No es difícil inferir que la efectividad de la aproximación geométrica al problema cinemático directo está basado, primero, en una selección conveniente de las cantidades relevantes y luego en la capacidad e intuición geométrica de quien resuelve el problema. Siempre que la estructura del manipulador es compleja y el número de articulaciones se incrementa, es preferible adoptar una solución menos directa que esté basada en un procedimiento sistemático general. El problema llega a ser aún más complejo cuando el manipulador contiene una o más cadenas cinemáticas cerradas. En tal caso, no hay garantía de obtener una expresión analítica para la función de cinemática directa dada en la ecuación (1). 12 / 42

13 Cadena Cinemática Abierta Cadena Abierta Considérese un manipulador de cadena abierta constituido por n + 1 eslabones conectados por n articulaciones, donde el eslabón 0 está convencionalmente fijado a tierra. Se supone que cada articulación proporciona la estructura mecánica con un sólo GDL correspondiente a la variable articular. La construcción de un procedimiento operativo para el cálculo de la cinemática directa se deriva naturalmente de la cadena cinemática abierta típica de la estructura del manipulador. De hecho, ya que cada articulación conecta dos eslabones consecutivos, es razonable considerar primeramente la descripción de la relación cinemática entre eslabones consecutivos y entonces obtener la descripción total de la cinemática del manipulador en una forma recursiva. 13 / 42

14 Cadena Cinemática Abierta Transformaciones de coordenadas 14 / 42

15 Cadena Cinemática Abierta Transformaciones de coordenadas 1 Para este propósito, vale la pena definir un sistema coordenado asignado a cada eslabón, desde el eslabón 0 hasta el eslabón n. Entonces, la transformación de coordenadas que describe la posición y la orientación del sistema coordenado n con respecto al sistema coordenado 0 está dada por: T 0 n(q) = A 0 1(q 1 )A 1 2(q 2 )... A n 1 n (q n ) (3) 2 Entonces, como ya se dijo, el cálculo de la función cinemática directa es recursiva y se obtiene en una forma sistemática por productos simples de las matrices de transformación homogénea A i 1 i (q i ), i = 1, 2,..., n, cada una de las cuales es función de una sola variable articular. 15 / 42

16 Cadena Cinemática Abierta Cadena abierta: cinemática directa 1 Con respecto a la cinemática directa del dispositivo del ejemplo anterior (ecuación 2), la transformación de coordenadas real, que describe la posición y la orientación del efector final con respecto al sistema base, se puede obtener como: T b e(q) = T b 0T 0 n(q)t n e (4) 2 donde T b 0 y T n e son dos transformaciones homogéneas constantes que describen la posición y orientación del sistema 0 con respecto a la base y del efector final respecto al sistema n, respectivamente. 16 / 42

17 Convención de Denavit-Hartenberg Convención de Denavit-Hartenberg 1 Para calcular la ecuación de cinemática directa de un manipulador de cadena abierta de acuerdo a la expresión recursiva dada en (3), se tiene un método sistemático general para definir la posición y orientación relativa de dos eslabones consecutivos. 2 El problema es aquél de determinar dos sistemas coordenados asignados a los dos eslabones y calcular las transformaciones de coordenadas entre ellos. 3 En general, los sistemas coordenados pueden elegirse arbitrariamente siempre y cuando estén asignados al eslabón al cual son referidos. 4 Con referencia a la figura de la siguiente página, sea el eje i el eje de la articulación que conecta a los eslabones i 1 e i; se adopta la así llamada Convención de Denavit-Hartenberg (DH) para definir el sistema de referencia i. 17 / 42

18 Convención de Denavit-Hartenberg Parámetros cinemáticos DH 18 / 42

19 Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH Elíjase el eje z i a lo largo del eje de la articulación i + 1 Localizar el origen O i en la intersección del eje z i con la normal común a los ejes z i 1 y z i. También localizar O i en la intersección de la normal común con el eje z i 1 Nota: La normal común entre dos líneas es la línea que contiene el segmento de distancia mínima entre las dos líneas Seleccionar el eje x i a lo largo de la normal común a los ejes z i 1 y z i con dirección de la articulación i a la aticulación i + 1. Elegir el eje y i de modo tal que se complete un sistema coordenado regido por la regla de la mano derecha. 19 / 42

20 Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH La convención DH proporciona una definición no-única del sistema de referencia del eslabón en los siguientes casos: Para el sistema 0, sólo se especifica la dirección del eje z 0. Entonces O 0 y x 0 se pueden elegir arbitrariamente. Para el sistema n, ya que no existe una articulación n + 1, z n no está definido en forma única mientras que x n tiene que ser normal al eje z n 1. Típicamente, la articulación n es giratoria, y así z n está alineada con la dirección de z n 1. Cuando dos ejes consecutivos son paralelos, la normal común entre ellos no está definida de manera única. Cuando dos ejes consecutivos se intersectan, la dirección del eje x i es arbitraria. Cuando la articulación i es prismática, la dirección de z i 1 es arbitraria. 20 / 42

21 Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH En los casos anteriores, se puede explotar la indeterminación para simplificar el procedimiento; por ejemplo, los ejes de sistemas consecutivos pueden hacerse paralelos. Una vez que los sistemas de referencia de los eslabones se han establecido, la posición y orientación del Sistema i respecto al sistema i 1 está completamente definida por los siguientes parámetros: 1 a i, la distancia entre O i y O i 2 d i, la coordenada de O i a lo largo de z i 1 3 α i, el ángulo entre los ejes z i 1 y z i alrededor del eje x i, positivo cuando la rotación es CCW. 4 ϑ i entre los ejes x i 1 y x i alrededor del eje z i 1, positivo cuando la rotación es CCW. 21 / 42

22 Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH Dos de los cuatro parámetros (a i y α i ) son siempre constantes y dependen únicamente de la geometría de la conexión entre articulaciones consecutivas establecidas por el eslabón i. De los dos restantes parámetros, sólo uno es variable dependiendo del tipo de articualación que conecta a los eslabones i 1 e i. En particular: 1 Si la articulación i es giratoria la variable es ϑ i. 2 Si la articulación i es prismática, entonces la variables es d i. En éste punto, es posible expresar la transformación de coordenadas entre el sistema i y el sistema i 1 de acuerdo a los siguientes pasos: 22 / 42

23 Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH 1 Elegir un sistema coordenado alineado con el sistema i 1. 2 Trasladar el sistema seleccionado por d i a lo largo del eje z i 1 y rotarlo por ϑ i alrededor del eje z i 1 ; esta secuencia alinea el sistema actual con el sistema i y es descrito por la matriz de transformación homogénea siguiente: A i 1 i (q) = C ϑi S ϑi 0 0 S ϑi C ϑi d i Trasladar el sistema alineado con el sistema i por a i a lo largo del eje x i y rotarlo por α i alrededor del eje x i ; esta secuencia alinea el sistema actual con el sistema i y es descrito por la matriz de transformación homogénea de la siguiente diapositiva. 23 / 42

24 Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH La matriz de transformación correspondiente a lo comentado antes está dada por: a i A i i (q) = 0 C αi S αi 0 0 S αi C αi 0 (5) La transformación de coordenadas resultante se obtiene mediante pos multiplicación de las transformaciones sencillas como sigue: C ϑi S ϑi C αi S ϑi S αi a i C ϑi A i 1 i (q i ) = A i 1 S ϑi C ϑi C αi C ϑi S αi a i S ϑi i Ai i 0 S αi C αi d i (6) / 42

25 Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH Obsérvese que la matriz de transformación del sistema i al sistema i 1 es una función únicamente de la variable articular q i, la cual es ϑ i para una articulación giratoria o d i para el caso de una articulación prismática. En resumen, la convención Denavit Hartenberg permite la construcción de la función de cinemática directa mediante la composición de transformaciones de coordenadas individuales como las dadas en (6), en una transformación homogénea como la dada en (3). El procedimiento DH, se puede aplicar a cualquier cadena cinemática abierta y puede ser reescrito en una forma operativamente fácil como sigue. 25 / 42

26 Paso 1: Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH Encontrar y numerar consecutivamente los ejes articulares; establecer las direcciones de los ejes z 0,..., z n 1. Paso 2: Elegir el sistema 0 localizando el origen en el eje z 0 ; los ejes x 0 y y 0 de modo tal que se obtenga un sistema dado por la regla de la mano derecha. De ser posible, vale la pena elegir el sistema 0 para que coincida con el sistema base. Nota: Ejecutar los pasos 3 al 5 para i = 1,..., n 1: 26 / 42

27 Paso 3: Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH Localizar el origen O i en la intersección de z i con la normal común a los ejes z i 1 y z i. Si los ejes z i 1 y z i son paralelos y la articulación i es giratoria, entonces localizar O i de modo tal que d i = 0; si la articulación i es prismática, localizar O i en una posición de referencia para el rango de la articulación, por ejemplo, un límite mecánico. Paso 4: Elegir el eje x i a lo largo de la normal común a los ejes z i 1 y z i con dirección de la articulación i a la articulación i + 1. Paso 5: Elegir el eje y i de modo tal que se obtenga un sistema regido por la regla de la mano derecha. 27 / 42

28 Convención de Denavit-Hartenberg Nota: Para terminar: Paso 6: Convención DH Elegir el sistema n; si la articulación es giratoria, entonces alinear z n con z n 1, si es prismática, entonces elegir z n en forma arbitraria. El eje x n se establece de acuerdo al paso 4. Paso 7: Para i = 1,..., n, construya la tabla de parámetros a i, d i, α i, ϑ i. Paso 8: Con base a los parámetros obtenidos en el paso 7, calcule las matrices de transformación homogéneas A i 1 i (q i ), para i = 1,..., n. 28 / 42

29 Convención de Denavit-Hartenberg Convención DH Paso 9: Calcular la transformación homogénea T 0 n(q) = A 0 1 (q 1)A 1 2 (q 2)... An n 1 (q n ), la cual produce la posición y orientación del sistema n con respecto al sistema 0. Paso 10: Dadas T b 0 y Tn e, calcular la función de cinemática directa como T b e(q) = T b 0 T0 nt n e, la cual produce la posición y orientación del sistema de referencia del sistema del efector final con respecto al sistema de referencia del sistema base. 29 / 42

30 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Estructuras típicas de manipuladores 1 Esta sección contiene varios ejemplos del cálculo de la función de cinemática directa para estructuras típicas de manipuladores que son encontradas con frecuencia en robots industriales. 2 Con referencia a la representación esquemática de la cadena cinemática, los manipuladores son ilustrados generalmente, en postures donde las variables articulares, definidas de acuerdo a la convención DH, son diferentes de cero; tales valores pueden diferir de las referencias nulas empleadas para la programación de robots manipuladores. 3 Por lo anterior, será necesario sumar contribuciones constantes (offset) a los valores de las variables articulares medidas por el sistema de sensores del robot, a fin de coincidir con las referencias. 30 / 42

31 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Robot planar de 3 eslabones Ejemplo 1: Robot planar de 3 eslabones 31 / 42

32 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Robot planar de 3 eslabones 1 Como todos los ejes giratorios son paralelos, la selección más simple se hace para todos los ejes x i a lo largo de la dirección de los eslabones relativos (la dirección de x 0 es arbitraria) y todo yaciendo en el plano (x 0, y 0 ). 2 De esta manera, todos los parámetros d i son nulos y los ángulos entre los ejes x i proporcionan directamente las variables articulares. 3 En la siguiente tabla se muestran los parámetros DH correspondientes. Parámetros DH para el robot planar de tres eslabones Eslabón a i α i d i ϑ i 1 a ϑ 1 2 a ϑ 2 3 a ϑ 3 32 / 42

33 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Continuación del ejemplo 1 Ya que todas las articulaciones son giratorias, la matriz de transformación definida en (6), tiene la misma estructura para cada articulación, es decir: C i S i 0 a i C i A i 1 i (ϑ i ) = S i C i 0 a i S i (7) donde en (7), i = 1, 2, 3. El cálculo de la función de cinemática directa como aquella dada en (3), está dada por: C 123 S a 1 C 1 + a 2 C 12 + a 3 C 123 T 0 3(q) = A 0 1A 1 2A 2 3 = S 123 C a 1 S 1 + a 2 S 12 + a 3 S (8) 33 / 42

34 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Continuación del ejemplo 1 donde en (8), q = [ ϑ 1 ϑ 2 ϑ 3 ] T. Obsérvese que el vector unitario z 0 3 del frame 3, está alineado con z 0 = [ ] T, en vista del hecho de que todas las articulaciones giratorias son paralelas al eje z 0. Obviamente, p z = 0, y las tres articulaciones concurrren para determinar la posición del efector final en el plano de la estructura. Vale la pena señalar que el frame 3 no coincide con el frame del efector final, ya que el vector unitario de aproximación resultante está alineado con x3 0 y no con z 0 3. Así, suponiendo que los 2 frames tienen el mismo origen, se requiere de la matriz de transformación constante (donde se ha tomado n alineado con z 0 ) T 3 e = (9) 34 / 42

35 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Brazo esférico Ejemplo 2: Brazo esférico 35 / 42

36 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Brazo esférico 1 Obsérvese que el origen del frame 0 está ubicado en la intersección de z 0 con z 1 de modo tal que d 1 = 0; en forma análoga, el origen del frame 2 se ubica en la intersección entre z 1 y z 2. 2 En la siguiente tabla se muestran los parámetros DH correspondientes. Parámetros DH para el robot esférico Eslabón a i α i d i ϑ i 1 0 π/2 0 ϑ π/2 d 2 ϑ d / 42

37 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Continuación del ejemplo 2 Las matrices de transformación homogéneas, dadas por (6), son: C 1 0 S 1 0 A 0 1(ϑ 1 ) = S 1 0 C A 1 2(ϑ 2 ) = A 2 3(d 3 ) = C 2 0 S 2 0 S 2 0 C d d / 42

38 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Continuación del ejemplo 2 El cálculo de la función de cinemática directa como aquella dada en (3), está dada por: C 1 C 2 S 1 C 1 S 2 C 1 S 2 d 3 S 1 d 2 T 0 3(q) = A 0 1A 1 2A 2 3 = S 1 C 2 C 1 S 1 S 2 S 1 S 2 d 3 + C 1 d 2 S 2 0 C 2 C 2 d (10) donde en (10), q = [ ϑ 1 ϑ 2 d 3 ] T. Obsérvese que la tercera articulación no influye obviamente en la matriz de rotación. Además la orientación del vector unitario y 0 3 es univocamente determinado por la primera articulación ya que el eje giratorio de la segunda articulación z 1 es paralelo al eje y 3. A diferencia del ejemplo anterior, en éste caso, el frame 3 puede representar un frame del efector final de vectores unitarios (n e, s e, a e ), es decir, T 3 e = I / 42

39 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Brazo antropomórfico Ejemplo 3: Brazo antropomórfico 39 / 42

40 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Brazo antropomórfico 1 Obsérvese que éste brazo corresponde a un robot planar de 2 eslabones con una rotación adicional alrededor de un eje del plano. Como en el ejemplo 2, el origen del frame 0 está ubicado en la intersección de z 0 con z 1 (d 1 = 0); además z 1 y z 2 son paralelos y la selección de los ejes x 1 y x 2, se hace como para el caso del robot planar de 2 eslabones. 2 En la siguiente tabla se muestran los parámetros DH correspondientes. Parámetros DH para el robot antropomórfico Eslabón a i α i d i ϑ i 1 0 π/2 0 ϑ 1 2 a ϑ 2 3 a ϑ 3 40 / 42

41 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Continuación del ejemplo 3 Las matrices de transformación homogéneas, dadas por (6), son: C 1 0 S 1 0 A 0 1(ϑ 1 ) = S 1 0 C A 1 2(ϑ 2 ) = A 2 3(d 3 ) = C 2 S 2 0 a 2 C 2 S 2 C 2 0 a 2 S C 3 S 3 0 a 3 C 3 S 3 C 3 0 a 3 S / 42

42 Cinemática de estructuras típicas de manipuladores Continuación del ejemplo 3 El cálculo de la función de cinemática directa como aquella dada en (3), está dada por: C 1 C 23 C 1 S 23 S 1 C 1 (a 2 C 2 + a 3 C 23 ) T 0 3(q) = A 0 1A 1 2A 2 3 = S 1 C 23 S 1 C 23 C 1 S 1 (a 2 C 2 + a 3 C 23 ) S 23 C 23 0 a 2 S 2 + a 3 S (11) donde en (11), q = [ ϑ 1 ϑ 2 ϑ 3 ] T. Ya que z2 está alineado con z 3, el frame 3 no coincide con un posible frame para el efector final y por ello se requiere una transformación contante apropiada. 42 / 42