Tema 14: ÁRBOLES Algoritmos y estructuras de datos I - Tema 14 1
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- Veronica Santos Vera
- hace 7 años
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1 Tema 14: ÁRBOLES
2 Estructura Árbol Definición: Una estructura de árbol con tipo base Valor es: (i) Bien la estructura vacía. (ii) Un conjunto finito de uno o más nodos, tal que existe un nodo especial, llamado nodo raíz, y donde los restantes nodos están separados en n 0 conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales es a su vez un árbol (llamados subárboles del nodo raíz). La definición implica que cada nodo del árbol es raíz de algún subárbol contenido en el árbol principal.
3 Ejemplo de Árbol A B C D E F G H I J K L M
4 Ejemplo de Árbol A raíz B C D E F G H I J K L M
5 Ejemplo de Árbol A raíz B C D E F G H I J K L M
6 Ejemplo de Árbol (LIBRO) Libro Cap. 1 Cap. 2 Cap.3 Cap.4 Sec. 1.1 Sec. 1.2 Sec. 3.1 Sec. 3.2 Sec. 3.3 Subsec Subsec Subsec Subsec
7 Terminología Grado de un nodo: Número de subárboles que tienen como raíz ese nodo (el número de subárboles que "cuelgan" del nodo). Nodo terminal: Nodo con grado 0, no tiene subárboles. Grado de un árbol: Grado máximo de los nodos de un árbol. Hijos de un nodo: Nodos que dependen directamente de ese nodo, es decir, las raíces de sus subárboles. Padre de un nodo: Antecesor directo de un nodo, nodo del que depende directamente. Nodos hermanos: Nodos hijos del mismo nodo padre. Camino: Sucesión de nodos del árbol n 1, n 2,..., n k, tal que n i es el padre de n i+1.
8 Terminología (2) Antecesores de un nodo: Todos los nodos en el camino desde la raíz del árbol hasta ese nodo. Nivel de un nodo: Longitud del camino desde la raíz hasta el nodo. Profundidad de un nodo: Nivel de un nodo. Altura (profundidad) de un árbol: Nivel máximo de un nodo en el árbol. Altura de un nodo: Altura del árbol que lo tiene como raíz. Longitud de camino de un árbol: Suma de las longitudes de los caminos a todos sus componentes. Bosque: Conjunto de n>0 árboles disjuntos.
9 Árboles Binarios Árboles de grado 2. Definición: Un árbol binario es un conjunto finito de nodos que puede estar vacío o consistir en un nodo raíz y dos árboles binarios disjuntos, llamados subárbol izquierdo y subárbol derecho. A A B B C C
10 Ejemplo de Árbol Binario A B C D E F G H I
11 Propiedades de los Árboles Binarios 1. El número máximo de nodos en el nivel (profundidad) i de un árbol binario es 2 i-1, i 1, y el número máximo de nodos en un árbol binario de altura k es 2 k -1, k Para cualquier árbol binario no vacío, si n 0 es el número de nodos terminales y n 2 es el número de nodos de grado 2, entonces se cumple que n 0 = n 2 +1.
12 Definiciones Árbol binario lleno: Se dice que un árbol binario está lleno si es un árbol binario de altura k que tiene 2 k -1 nodos. A B C D E F G H I J K L M N O
13 Definiciones Árbol binario completo: Se dice que un árbol binario de altura k está completo si está lleno hasta altura k-1 y el último nivel esta ocupado de izquierda a derecha. A B C D E F G H I J
14 TAD Árbol Binario Operaciones: Axiomas:
15 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB Axiomas:
16 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Axiomas:
17 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor Axiomas:
18 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB Axiomas:
19 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB Axiomas:
20 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas:
21 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas: Sean p, r Є AB y d Є Valor, se cumple que:
22 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas: Sean p, r Є AB y d Є Valor, se cumple que: ArbolVacio ( IniciarArbol ( ) ) cierto
23 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas: Sean p, r Є AB y d Є Valor, se cumple que: ArbolVacio ( IniciarArbol ( ) ) cierto ArbolVacio ( HacerArbol ( p, d, r ) ) falso
24 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas: Sean p, r Є AB y d Є Valor, se cumple que: ArbolVacio ( IniciarArbol ( ) ) cierto ArbolVacio ( HacerArbol ( p, d, r ) ) falso HijoIzquierdo ( HacerArbol ( p, d, r ) ) p
25 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas: Sean p, r Є AB y d Є Valor, se cumple que: ArbolVacio ( IniciarArbol ( ) ) cierto ArbolVacio ( HacerArbol ( p, d, r ) ) falso HijoIzquierdo ( HacerArbol ( p, d, r ) ) p HijoIzquierdo ( IniciarArbol ( ) ) ERROR
26 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas: Sean p, r Є AB y d Є Valor, se cumple que: ArbolVacio ( IniciarArbol ( ) ) cierto ArbolVacio ( HacerArbol ( p, d, r ) ) falso HijoIzquierdo ( HacerArbol ( p, d, r ) ) p HijoIzquierdo ( IniciarArbol ( ) ) ERROR HijoDerecho ( HacerArbol ( p, d, r ) ) r
27 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas: Sean p, r Є AB y d Є Valor, se cumple que: ArbolVacio ( IniciarArbol ( ) ) cierto ArbolVacio ( HacerArbol ( p, d, r ) ) falso HijoIzquierdo ( HacerArbol ( p, d, r ) ) p HijoIzquierdo ( IniciarArbol ( ) ) ERROR HijoDerecho ( HacerArbol ( p, d, r ) ) r HijoDerecho ( IniciarArbol ( ) ) ERROR
28 TAD Árbol Binario Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas: Sean p, r Є AB y d Є Valor, se cumple que: ArbolVacio ( IniciarArbol ( ) ) cierto ArbolVacio ( HacerArbol ( p, d, r ) ) falso HijoIzquierdo ( HacerArbol ( p, d, r ) ) p HijoIzquierdo ( IniciarArbol ( ) ) ERROR HijoDerecho ( HacerArbol ( p, d, r ) ) r HijoDerecho ( IniciarArbol ( ) ) ERROR Informacion ( HacerArbol ( p, d, r ) ) d
29 TAD Árbol Binario (AB) Operaciones: IniciarArbol ( ) AB HacerArbol (AB, Valor, AB) AB Informacion (AB) Valor HijoIzquierdo (AB) AB HijoDerecho (AB) AB ArbolVacio (AB) Lógico Axiomas: Sean p, r Є AB y d Є Valor, se cumple que: ArbolVacio ( IniciarArbol ( ) ) cierto ArbolVacio ( HacerArbol ( p, d, r ) ) falso HijoIzquierdo ( HacerArbol ( p, d, r ) ) p HijoIzquierdo ( IniciarArbol ( ) ) ERROR HijoDerecho ( HacerArbol ( p, d, r ) ) r HijoDerecho ( IniciarArbol ( ) ) ERROR Informacion ( HacerArbol ( p, d, r ) ) d Informacion ( IniciarArbol ( ) ) ERROR
30 Clase Árbol Binario (AB) class AB { public: AB (); AB (const AB &); ~AB (); void HacerArbol (AB&, Valor, AB&); bool Informacion (Valor &); AB& HijoIzdo (); AB& HijoDcho (); bool ArbolVacio (); }; private:...
31 Árboles generales (grado k) Ejemplo k =3 Ejemplo k =
32 Árboles generales (grado k) 10 Ejemplo k =3 Ejemplo k = hijos info hermano
33 Árboles generales (grado k) hijos hijos = HijoIzq hermano = HijoDer
34 Árboles Binarios de Búsqueda Definición: Un árbol binario de búsqueda es un árbol binario, que puede estar vacío, y que si es no vacío cumple las siguientes propiedades: 1) Todos los nodos están identificados por una clave y no existen dos elementos con la misma clave. 2) Las claves de los nodos del subárbol izquierdo son menores que la clave del nodo raíz. 3) Las claves de los nodos del subárbol derecho son mayores que la clave del nodo raíz. 4) Los subárboles izquierdo y derecho son también árboles binarios de búsqueda.
35 Ejemplo: A.B. Búsqueda
36 Clase Árbol Binario de Búsqueda (ABB) class ABB { public: ABB (); ABB (const ABB &); ~ABB (); const ABB& operator= (const ABB&); bool Informacion (Valor &); ABB& HijoIzdo (); ABB& HijoDcho (); bool ABBVacio (); }; ABB& Buscar (Valor); bool Insertar (Valor); bool Eliminar (Valor); private:...
37 Montículos: Fundamentos El problema de la selección: Seleccionar de entre un conjunto extenso de valores un elemento extremo (máximo o mínimo). Aplicación: Colas de prioridad Montículos
38 Montículos binarios (de mínimos) Definición: Árbol binario completo. Para todo nodo x se cumple que el valor de x (prioridad) es menor o igual que los valores de sus nodos hijos.
39 Montículos: Ejemplo
40 Hacer Montículo un array Todo array se puede ver como un árbol binario completo
41 Hacer Montículo un array Convertir un array en un montículo consiste en organizar bien los datos (Subir o Bajar hasta su posición correcta) Los Los nodos nodos terminales son son montículos, puesto que que no no tienen tienen hijos. hijos.
42 Hacer Montículo un array Convertir un array en un montículo consiste en organizar bien los datos (Subir o Bajar hasta su posición correcta) Considerar montículo de máximos Bajar Bajar (3), (3), llevará a su su lugar lugar
43 Hacer Montículo un array Convertir un array en un montículo consiste en organizar bien los datos (Subir o Bajar hasta su posición correcta) Bajar Bajar (2), (2), llevará a su su lugar lugar
44 Hacer Montículo un array Convertir un array en un montículo consiste en organizar bien los datos (Subir o Bajar hasta su posición correcta) Bajar Bajar (1), (1), llevará 6 a su su lugar lugar
45 Hacer Montículo un array Convertir un array en un montículo consiste en organizar bien los datos (Subir o Bajar hasta su posición correcta) Bajar Bajar (0), (0), llevará a su su lugar lugar
46 Hacer Montículo un array Convertir un array en un montículo consiste en organizar bien los datos (Subir o Bajar hasta su posición correcta) El El array arrayya ya es es un un montículo La La reestructuración tiene tiene un un coste coste lineal, lineal, O (n) (n)
47 Ordenación mediante montículos Se pueden utilizar los montículos como método alternativo para ordenar vectores Método HeapSort El coste medio del algoritmo HeapSort es igual que el del método QuickSort O (n.lg n) El método consiste en: 1. Reestructurar el array para convertirlo en un montículo de máximos, según el esquema anterior. 2. Seleccionar el máximo (primer elemento) e intercambiarlo con el último elemento del vector. El máximo ocupa su posición final. 3. Considerar que el montículo tienen un elemento menos. 4. Aplicar Bajar(0) para colocar el elemento que está mal en el montículo.
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