Estructuras de Datos. Montículos. Montículos. Montículos. Tema 3. Montículos. Definiciones básicas: Definiciones básicas:

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1 Estructuras de Datos Tema. 1. Definiciones básicas 2. Implementación. Operaciones con montículos 4. Definiciones básicas: En un árbol binario completo todos los niveles del árbol (excepto tal vez el último) están completos y en el último nivel todos los hijos están acumulados del mismo lado (por ejemplo a la izquierda) El elemento (uno de los) de mayor valor del montículo se denomina raíz del montículo Definiciones básicas: Un árbol binario satisface la condición de montículo si cada padre es mayor que sus hijos A diferencia de los árboles binarios ordenados, no hay ninguna condición que relacione a los hijos de un mismo padre Un árbol binario es un montículo si satisface la condición de montículo y, además, es un árbol binario completo no satisface la condición de montículo 8 8 es un montículo 8 no es completo 1 2

2 Utilización: Problemas que requieran que los datos estén siempre ordenados para tener acceso al elemento: Mayor: montículo de máximos Menor: montículo de mínimos Al estado de orden del montículo se le denomina propiedad de montículo Cada vez que se modifica la estructura se debe restaurar la propiedad de montículo Implementación: Si el array es de 0.. N-1: Los nodos de profundidad k del árbol se almacenan leídos de izda. a dcha en: T[2 k -1], T[2 k ], T[2 k+1-2] Los hijos del nodo T[i] son respectivamente: T[2i+1] y T[2i+2] El padre de T[i] está en la posición: (i-1) div 2 Implementación: Al ser árboles binarios completos se implementan mediante un array Si el array es de 1.. N: Los nodos de profundidad k del árbol se almacenan leídos de izda. a dcha en: T[2 k ], T[2 k +1], T[2 k+1-1] Los hijos del nodo T[i] son respectivamente: T[2i] y T[2i+1] El padre de T[i] está en la posición: i div 2 Operaciones: Hay dos operaciones principales: Crear un montículo Eliminar la raíz de un montículo restaurando la propiedad del montículo 4

3 Creación de un montículo a partir de los elementos:,,,, (1) (2) () (4) Se inserta un nuevo elemento al final del montículo (primera posición libre) Si se mantiene la propiedad del montículo no hay que hacer ninguna operación Si no se mantiene la propiedad del montículo hay que restaurarla Se restaura la propiedad del montículo intercambiando el nuevo elemento con su padre cuantas veces sea necesario, a esta operación de subir en el montículo se la denomina flotar un elemento El nuevo elemento sube en el montículo (flota) y sus padres bajan en el montículo (se hunden) A la operación de bajar en un montículo se la denomina hundir Creación de un montículo a partir de los elementos:,,,, () Número de operaciones en el peor de los casos para crear un montículo con N elementos: Al insertar el K-ésimo elemento, éste puede subir un máximo de log 2 k niveles El número máximo de veces que tendríamos que intercambiar dos elementos al construir un montículo es log log log 2 N, que es O(N log 2 N) = O(N log N)

4 (1) () (4) () (2) Se elimina la raíz del montículo y como esa posición no debe quedar vacía se reemplaza por el último elemento del montículo Si no se mantiene la propiedad del montículo hay que restaurarla Para restaurarla se intercambia la nueva raíz con el mayor de sus hijos cuantas veces sea necesario En cada paso la nueva raíz va bajando (hundiéndose) y el mayor de sus hijos va subiendo (flotando) hasta que la nueva raíz no sea menor que ninguno de sus hijos 7 8

5 Número de operaciones en el peor de los casos para eliminar los N elementos de un montículo: Al eliminar el K-ésima raíz la nueva puede bajar un máximo de log 2 (N-k-1) niveles El número máximo de veces que tendríamos que intercambiar dos elementos al destruir un montículo es log 2 (N-1) + log 2 (N- 2) log 2 2, que es O(N log 2 N) = O(N log N) Creación fun montículovacío(v: array) dev m:montículo; Devuelve un montículo vacío. Ejemplo: montiejemplo montículovacío(); Ordenar un array por medio de un montículo Si se tiene un array de tamaño N se crea un montículo y luego se destruye se obtiene un array ordenado Este algoritmo de ordenamiento se denomina ordenamiento por montículo El coste de este algoritmo es de O(N log N) en el peor de los casos: igual que otros conocidos basados en intercambios Modificación: hundir fun hundir(i:índice, m:montículo) dev m:montículo Restaura la propiedad de montículo perdida por ser T[i] menor que alguno de sus hijos. Ejemplo: montiejemplo hundir(i, montiejemplo);

6 Modificación: flotar fun flotar(i:índice, m:montículo) dev m:montículo Modificación: borrar raíz fun borrarraiz(m:montículo) dev m:montículo Restaura la propiedad de montículo perdida por ser T[i] mayor que su padre. Ejemplo: Elimina la raíz del montículo y restaura la propiedad de montículo. Ejemplo: montiejemplo flotar(i, montiejemplo); montiejemplo borrarraiz(montiejemplo); Modificación: añadir nodo fun anadirnodo(e:elemento, m:montículo) dev m:montículo Añade el valor e y flota este valor hasta restaurar la propiedad de montículo. Ejemplo: Consulta: vacío fun vacio(m:montículo) dev b:booleano Comprueba si en el montículo hay algún elemento. Ejemplo: montiejemplo anadirnodo(e, montiejemplo); varbooleana vacio(montiejemplo); 11

7 Consulta: raíz fun raiz(m:montículo) dev e:elemento Devuelve elemento de mayor valor del montículo sin borrarlo. Ejemplo: elemento raiz(montiejemplo);. Coste Funciones montículovacío hundir flotar anadirnodo borrarraiz vacio raiz Coste Cte Cte Cte 1