Principio de Arquímedes

Transcripción

1 Principio de Arquímedes 1. Objetivo Comprender el Principio de Arquímedes, verificarlo y aplicarlo a la determinación de densidades de sólidos y líquidos. Aplicación a la flotabilidad de los barcos. 2. Introducción Los objetos tienen una propiedad intrínseca llamada masa (unidad S. I. kg) que relaciona la aceleración que adquiere un objeto con la fuerza que aplicamos sobre éste, de acuerdo con la segunda ley de Newton. Así, el peso de un objeto en la superficie de la Tierra, que es la fuerza que ejerce la Tierra sobre el objeto, es proporcional a su masa: P mg V g () I obj donde m es la masa del objeto y g es la aceleración de la gravedad (g = 9,81 m/s 2 ). ρ y V son la densidad y el volumen del objeto respectivamente. obj La masa es una propiedad intrínseca del objeto mientras que el peso depende de dónde se sitúe ese objeto. Por ejemplo, en la Luna la aceleración de la gravedad (gluna = 0.62 m/s 2 ) es menor y por lo tanto, el peso también. El peso puede medirse con la ayuda de un dinamómetro, que es un aparato que sirve para medir fuerzas (unidad S.I Newton). Sabemos por nuestra experiencia cotidiana que el peso de un objeto disminuye al sumergirlo en agua. Lo que ocurre es que el fluido ejerce una fuerza de empuje hacia arriba que hace que el peso aparente sea menor que el peso real. Por lo tanto, sobre cualquier objeto sumergido se ejercen dos fuerzas: su peso (descendente) y el empuje del fluido (ascendente). El peso medido tras sumergir al objeto en el fluido (peso aparente) será menor ya que se contrarresta con el empuje. P P B B P P () II ap ap 1

2 (Nota: Normalmente a la fuerza de empuje se la denomina B, a partir de la palabra inglesa buoyancy = flotabilidad). La magnitud de la fuerza de empuje fue deducida por Arquímedes (ver anexo) y queda expresada con el siguiente principio: Todo cuerpo, sumergido en un fluido (parcial o totalmente), experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del fluido desalojado. En realidad, más que un principio es un teorema que puede demostrarse fácilmente a partir de la aplicación de las leyes de Newton.. Por lo tanto, y según el principio de Arquímedes, el empuje que experimenta cualquier objeto sumergido, es igual al peso del fluido desalojado: B m g V g () III fluido fluido sum donde ρfluido es la densidad del fluido y Vsum es el volumen sumergido del objeto. Ojo! El volumen sumergido sólo es igual al volumen del objeto si éste está totalmente sumergido. Este principio es de aplicación tanto para líquidos como para gases. Sin embargo, la densidad de los gases es del orden de mil veces menor que la de los líquidos de modo que, según la expresión (III), sólo se consiguen empujes apreciables cuando el volumen de los objetos es considerable (por ejemplo, en los globos aerostáticos). Según las expresiones (I), (II) y (III), si la densidad del objeto es mayor que la del fluido, el peso es mayor que el empuje y el objeto se hunde totalmente (aunque el peso aparente será menor al peso real). Por el contrario, si la densidad del objeto es menor que la del fluido, el empuje es mayor que el peso y el cuerpo flota. En este caso, el objeto se sumerge parcialmente, en una porción de su volumen tal, que justamente contrarresta a su peso (Véase Figura 1). 2

3 obj P B objvobj g fluidovsum g Vsum Vobj () IV fluido Figura 1. ( a) ρobj > ρfluido, el objeto se hunde. El peso aparente es menor que el real según la ecuación (II). (b) ρ obj < ρfluido, el objeto flota. El objeto se hunde sólo hasta que el empuje compensa al peso según la ecuación (IV). La ecuación IV nos permite por lo tanto, calcular cual será el volumen sumergido de un objeto que flota sobre la superficie de un fluido. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, en el caso de los icebergs, donde la mayor parte de estos se encuentra sumergida. Si un objeto es hueco, su volumen es apreciable pero su densidad promedio será baja y flotará; este es el fundamento del funcionamiento de los barcos. Anexo: Cuenta la leyenda que un rey sospechaba de la pureza del oro utilizado para fabricar su corona. Pidió a Arquímedes que encontrara un modo de determinar si era realmente oro o no. En aquella época (siglo III a. C.) no existía el análisis químico por lo que el problema no era sencillo. Un día Arquímedes estaba pensando en este problema mientras se bañaba y se percató de que su cuerpo parecía pesar menos dentro de la bañera. Razonó que todos los cuerpos pierden un poco de peso al sumergirse en el agua y que cuanto más grandes (mayor volumen) mayor es la pérdida. De esta forma podría determinarse la densidad del metal midiendo el peso fuera y dentro del agua y 3

4 compararla con la densidad del oro puro. En ese momento Arquímedes exclamó Eureka (lo encontré) y salió corriendo para anunciar que había encontrado la solución. 3.-Parte experimental Material Pie trípode con varilla. Nuez con gancho. Dinamómetro de 1 N. Dos cilindros metálicos. Cilindro hueco de plástico. Disolución de sacarosa en agua. Procedimiento 1. Determinación de la densidad de un sólido a) Colgar uno de los cilindros del dinamómetro en el aire y medir su peso. A partir del peso medido calcular la masa del cilindro. b) Introducir el cilindro en agua y observar cómo cambia la medida en el dinamómetro (sumergir sólo el cilindro, no el gancho al que está sujeto). Al sumergir el cilindro en el líquido el peso (aparente) se hace menor o mayor? Por qué? c) Calcular el empuje que ejerce el líquido sobre el cilindro cuando está totalmente sumergido a partir de las medidas del peso y el peso aparente. Depende el empuje de la proporción de volumen del objeto que esté sumergido? d) A partir del valor de la densidad del agua ( ρagua(25ºc) = 997 kg/m 3 ) y el valor de g = 9.81 m/s 2 calcular el volumen del cilindro. e) Determinar la densidad del cilindro a partir de los valores estimados de masa y volumen. f) Repetir los pasos de a) a e) con el otro cilindro. 4

5 A partir de los resultados obtenidos y con ayuda de la siguiente tabla determinar de qué metal están hechos los cilindros (a tener en cuenta que la precisión es muy baja). Metal Fe Al Cu Zn Ti Pb Densidad (kg/m 3 ) Comprobación directa del principio de Arquímedes Según el Principio de Arquímedes, el empuje que ejerce un fluido sobre un objeto es igual al peso del agua que desaloja al sumergirse. En esta parte de la práctica vamos a comprobar directamente este principio. Para ello, usaremos el cilindro hueco cuyo volumen interno es igual al de los cilindros. El peso del agua que desaloja el cilindro al sumergirse en el fluido, se determina como la diferencia entre los pesos del cilindro hueco lleno de agua (llenar hasta el borde) y del cilindro hueco vacío. Este peso debe coincidir, dentro de la incertidumbre experimental, con el empuje calculado en la primera parte de la práctica. Deben ser parecidos los empujes obtenidos con los dos cilindros a pesar de ser de materiales, y por lo tanto de densidades, diferentes? Por qué? 3. Determinación de la densidad de un líquido problema En la introducción vimos cómo el empuje que ejerce un fluido sobre un objeto depende del volumen sumergido. La determinación de la densidad de un líquido desconocido o problema, aplicando el Principio de Arquímedes, puede realizarse fácilmente mediante dos experimentos consecutivos: (1) en el primero se emplea un líquido cuya densidad sea conocida y se mide el empuje del cilindro en este (es ta primera medida del empuje nos permite determinar el volumen del objeto, tal como hicimos en el apartado 1 de la práctica); (2) una vez que conocemos el volumen del objeto, si lo sumergimos en el líquido de densidad desconocida, a partir de la medida del nuevo empuje que ejerce sobre el objeto podemos determinar la densidad del líquido problema. 5

6 Procedimiento: Sumergir totalmente cualquiera de los cilindros en el líquido problema y medir su peso aparente. A continuación, calcular el empuje como la diferencia entre el peso aparente y el peso en el aire fuera del fluido (que ya se midió anteriormente). A partir de la expresión (III), obtener la densidad del líquido problema. Qué cilindro debemos usar para esta parte de la práctica? O es indiferente? 4. El barquito (aplicación a la flotabilidad de los barcos) En esta parte final haremos algunas consideraciones relacionadas con objetos que flotan en el agua; en particular, de su uso para la construcción de barcos. El cilindro hueco ocupa un volumen considerable (lo que origina un gran empuje al sumergirlo) y pesa poco (al estar hueco). Por lo tanto, el empuje ejercido por el fluido es mayor que el peso y el cilindro flota. Esta pieza puede transportar una cierta carga en su interior, al igual que lo haría un barco. La máxima carga que puede soportar es aquella que hace que el agua llegue hasta el borde superior de la pieza (justo antes de que se hunda). Justo en ese momento, el empuje contrarresta al peso del cilindro más el peso de la carga (peso total del sistema). El peso del cilindro hueco se puede medir, previamente, con el dinamómetro directamente en el aire. Cuánto vale el empuje para el cilindro hueco y completamente vacío de carga? En principio, sería posible medirlo (como en la primera parte de la práctica) con el dinamómetro, a partir de medidas de la pieza en el aire y completamente sumergida. Sin embargo, en este caso esta última medida está dificultada por el hecho de que el cilindro flota, y no es posible sumergirlo por completo cuando está vacío. Por lo tanto, realizaremos una medida indirecta, midiendo el peso con el dinamómetro, tanto dentro como fuera del agua, del cilindro hueco con uno de los dos cilindros metálicos en su interior, y de la diferencia entre ambas, obtendremos el empuje del cilindro hueco (debemos tener en cuenta que el empuje no depende de que el cilindro hueco esté lleno o vacío, sólo de su volumen). Una vez realizadas las dos medidas anteriores, el peso máximo estimado que el cilindro hueco es capaz de cargar en su interior sin hundirse, se calcula como la diferencia entre el empuje y el peso del cilindro hueco. 6

7 Una vez que tenemos una estimación del peso máximo de la carga que puede contener el cilindro hueco, se puede comprobar si este valor calculado es parecido o no al valor real, con ayuda de pequeñas piezas metálicas. Para ello, se introduce el cilindro hueco y vacío en el agua (sin que cuelgue del dinamómetro) sujetándolo por su asa superior, y se añaden poco a poco las piezas de metal hasta que flote en el agua sin necesidad de sujetarlo. Una vez que el cilindro esté flotando en el agua sin ayuda, continuamos añadiendo piezas metálicas hasta que esté a punto de hundirse. A continuación, el cilindro se saca del agua, se seca por su cara exterior, y sin vaciar las piezas metálicas, se suspende del dinamómetro, para determinar el peso del conjunto. De la diferencia entre este peso que se acaba de medir, y el peso del cilindro hueco vacío en el aire (que se midió en los apartados anteriores), se obtiene el peso de la carga, que debe ser parecido al que se estimó previamente. (Nota: Debido a la tensión superficial del agua, que opone resistencia a que la pieza se hunda, el valor estimado suele estar un poco por debajo del valor experimental). 7

8 NOMBRE: GRUPO DE PRÁCTICAS: GRUPO DE TEORÍA: Resultados: (IMPORTANTE: Escribir todas las magnitudes con sus unidades) 1. Determinación de la densidad de un sólido Cilindro gris Cilindro negro Peso Peso aparente Empuje Cilindro gris Cilindro negro Masa Volumen Densidad Metal 2. Comprobación directa del principio de Arquímedes Peso agua = Empuje = 3. Determinación de la densidad de un líquido problema Peso Peso aparente Empuje Volumen Densidad líquido 4. El barquito P(hueco) P(hueco+cil) Pap(hueco+cil) B Pcarga (estimado) Pmetal (medido) 8