Laboratorio 1: Los Satélites Terrestres y la Tercera Ley de Kepler.

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1 Laboratorio 1: Los Satélites Terrestres y la Tercera Ley de Kepler. Introducción. Uno de los problemas fundamentales que ha intrigado al hombre desde los albores de la civilización ha sido el movimiento de los cuerpos celestes y, en particular, el movimiento planetario, a simple vista extremadamente complicado. Quizás uno de los procesos más interesantes en la historia de la ciencia ha sido la evolución de nuestra comprensión de este problema. Los griegos, que consideraban al hombre como el centro del universo, supusieron que la Tierra era el centro geométrico del movimiento de los astros celestes. Los cuerpos celestes conocidos en aquel tiempo fueron agrupados de acuerdo con la distancia promedio a la Tierra: la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno. Las primeras hipótesis relacionadas con el movimiento planetario consistieron en suponer que los planetas describían círculos concéntricos, teniendo a la Tierra en su centro. Esta suposición, sin embargo, no explicaba el movimiento observado de estos cuerpos con respecto a la Tierra, y la geometría tendiente a explicarlo se hizo más y más compleja. En el siglo II de la era cristiana el astrónomo Ptolemeo de Alejandría desarrolló la teoría de las epicicloides para explicar el movimiento de los planetas. En forma sencilla, se suponía que cada planeta describía, con movimiento uniforme, un ciclo denominado epiciclo, cuyo centro a su vez se desplazaba en un círculo mayor concéntrico a la Tierra y llamado deferente. La trayectoria resultante del planeta es así una epicicloide. En algunos casos era necesaria una disposición más compleja para describir los movimientos planetarios. En nuestro lenguaje actual, lo que hicieron los griegos fue describir el movimiento planetario con respecto a un sistema de referencia situado en la Tierra. La descripción anterior fue aceptada hasta el siglo XVI, cuando el monje polaco Nicolás Copérnico ( ), que buscaba una solución más simple al problema. Propuso describir el movimiento de todos los planetas (inclusive la Tierra) con respecto al Sol, el cual estaría en reposo en el centro. La idea no era nueva: había sido propuesta por primera vez por el astrónomo griego Aristarco alrededor del siglo III antes de Cristo. De acuerdo a Copérnico, el orden de las órbitas de los planetas con respecto al Sol era el siguiente: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno, la Luna girando alrededor de la Tierra. Lo que Copérnico propuso esencialmente fue otro sistema de referencia situado en el Sol, respecto al cual el movimiento de los planetas tenía una descripción más sencilla. El Sol, el cuerpo más grande de nuestro sistema planetario, coincide prácticamente con el centro de masa del sistema y se mueve más lentamente que los planetas. Esto justifica el haberlo elegido como sistema de referencia ya que, en términos modernos, es (en muy buena aproximación) un sistema inercial. Copérnico había basado su teoría de que los planetas describían órbitas circulares en datos poco exactos, muchos de los cuales databan de la época de Ptolomeo. Johannes Kepler ( ), quién durante cierto tiempo trabajo con el astrónomo danés Tycho Brahe ( ) y heredó sus voluminosos cuadernos de anotaciones (en los cuales registró con sumo detalle miles de mediciones muy precisas y exactas de las posiciones planetarias usando el mejor equipo disponible en su tiempo, mucho del cual fue diseñado y construido por él mismo), trató de encajar los datos a órbitas circulares, pero no encontró solución para la órbita de Marte. Este fracaso fue el 1

2 que lo guió a la elaboración de las tres leyes que describen el movimiento planetario, ahora conocidas como Leyes de Kepler. Luego de muchos años de laboriosos cálculos, Kepler decidió finalmente abandonar la hipótesis de las órbitas circulares y propuso lo que hoy se conoce como la Primera Ley de Kepler: Cada planeta se mueve en una órbita elíptica, con el Sol en uno de los focos de la elipse. La figura muestra la geometría de la elipse. La dimensión más larga es el eje mayor, siendo a la mitad de su longitud; esta distancia se denomina semieje mayor. La suma de las distancias de S a P y de S a P es la misma para todos los puntos de la curva (esta regla es lo que define a una elipse). S y S son los focos. El Sol está en S, y el planeta está en P, consideramos a ambos como puntos porque su tamaño es muy pequeño en comparación con la distancia entre ellos. No hay nada en el otro foco S. La distancia de cada foco al centro de la elipse es ea, donde e es un número adimensional entre 0 y 1 llamado excentricidad. Si e=0, la elipse es un círculo. Las órbitas reales de los planetas son casi circulares; sus excentricidades varían entre para Venus y para Mercurio. (La órbita de la Tierra tiene e=0.017.) El punto de la órbita más cercano al Sol es el perihelio; y el más lejano, el afelio (se denomina perigeo al punto de la órbita elíptica que recorre un cuerpo natural o artificial alrededor de la Tierra, en el cual dicho cuerpo se halla más cerca del centro de la misma. El punto opuesto, el más lejano al centro de la Tierra, se llama apogeo). Newton pudo demostrar posteriormente que, para un cuerpo sobre el que actúa una fuerza de atracción proporcional a 1/r 2 las únicas órbitas cerradas posibles son un círculo o una elipse. También demostró que las órbitas abiertas deben ser parábolas o hipérbolas. Estos resultados pueden deducirse aplicando directamente las leyes de Newton y la ley de la gravitación, junto con ecuaciones diferenciales más complejas que exceden nuestro interés. Quedaba por responder la pregunta de qué originaba el movimiento de los planetas. Al contrario del punto de vista de sus predecesores, Kepler creía que el anima motrix que guiaba a los planetas por sus órbitas no residía en los planetas sino en el Sol. Observó que cuando cada uno de los planetas viajaba por su órbita se movía más rápidamente cuando estaba cerca del Sol y con más lentitud si se encontraba en su punto más alejado. Análisis posteriores lo condujeron a su segunda ley: Una línea del Sol a un planeta dado barre áreas iguales en tiempos iguales. 2

3 Esta ley implica que el momento angular es constante. Por último, Kepler observó que no sólo la rapidez del movimiento de cada planeta variaba al moverse en su órbita sino que los planetas más alejados del Sol se movían más lentamente que los cercanos. Esto también coincidía con su punto de vista de que la la fuente del anima motrix era el Sol. Kepler llegó a su tercera ley mediante prueba y error : El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del eje mayor de su órbita. Hay que tener en cuenta que estas tres leyes del movimiento planetario fueron reglas empíricas. Kepler no pudo explicar por qué los planeteas se comportan como lo hacen. Esta explicación tuvo que aguardar al genio de Sir Isaac Newton ( ). Newton se valió de las observaciones de Galileo acerca de los movimientos de los cuerpos celestes para desarrollar su teoría general de la dinámica. La conjunción de esta teoría con las leyes empíricas de Kepler lo guió hacia la formulación de la Ley de Gravitación Universal. Esta ley, formulada por Newton en el año 1666, fue publicada en 1687 cuando apareció como uno de los capítulos de su trabajo philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Laboratorio. El objetivo es realizar una serie de actividades relacionadas con la tercera Ley de Kepler usando información disponible en Internet sobre planetas y satélites artificiales. Actividad 1: Buscar información sobre las órbitas planetarias (excentricidad, semiejes, período de revolución) y verificar la Tercera Ley de Kepler. Poner especial enfásis en la bibliografía y como citar a la misma. Actividad 2: Diversos sitios de internet brindan información actualizada de varios de los miles de satélites que orbitan alrededor de nuestro planeta. Estos sitios han sido propuestos para realizar actividades didácticas sobre las leyes de Kepler [1]. Para verificar la validez de la tercera ley de Kepler usaremos datos satelitales el sitio: Este sitio provee información de más de satélites ordenados en más de 30 categorías: Geoestacionarios, Climáticos, TV, Educación, Militares, GPS, entre otras. Seleccionando Geostationary, por ejemplo, aparecen la lista de los más de 800 satélites con sus períodos de revolución (del orden de minutos para la mayoría). Los datos particulares correspondiente a cada uno de ellos se obtienen seleccionando Track it en la última columna Action. Otra categoría, Radar Calibration, informa sobre satélites con períodos del orden de 100 minutod (por ejemplo, TEMPSAT1, lanzado el 13/8/1965, circunvala la Tierra en 108 m, a una altura de unos 1100 km. El carácter elíptico o circular de su órbita queda determinado conociendo el perigeo y apogeo). Eligiendo por ejemplo la opción GPS satellites aparece un listado de todos los satélites GPS [2] que están por encima de 20º sobre el horizonte de la posición real del usuario. Pulsando sobre el nombre del satélite aparecen datos permanentes del mismo (categoría, identificadores, perigeo, apogeo, período, semieje mayor, fecha de puesta en servicio, historia, etc.), además de un mapa indicando su posición respecto a la superficie de la 3

4 Tierra y una tabla con datos instantáneos del satélite (latitud, longitud, altitud y velocidad). Siguiendo el link Track [NOMBRE DEL SATÉLITE] now! se accede a un mapa más detallado con alguna información adicional del satélite como también la posición geográfica del observador. Como datos del observador aparecen: latitud, longitud [3], declinación magnética, además de la dirección IP de la PC usada para conectarse. De un análisis detallado de los diferentes tipos de satélites registrados en este sitio se observa que la mayoría de los satélites que orbitan alrededor de la Tierra pertenecen a alguno de los siguientes tres tipos: órbitas bajas, como el TEMPSAT1 o el mismo telescopio espacial Hubble (HST, T=1,5h), GPS ( T=12 h) y geoestacionarios (T=24 h). Otros satélites se apartan de esta tendencia, tal el caso de CXO, IBEX y otros, pertenecientes a la categoría Space and Earth Science. Otro satélite de este grupo, SPEKTR-R, que orbita en alrededor de 9 días, tiene su órbita perturbada por la presencia de la Luna y se aparta entonces de la elipse esperada. La actividad propuesta consiste en seleccionar al menos 10 satélites de de al menos 3 tipos, registrar los datos satelitales (perigeo, apogeo, período de revolución, semieje mayor, etc) y datos instantáneos (la altitud, por ejemplo) y calcular T 2 /L 3, donde L es el semieje mayor de la órbita que se calcula tomando para el radio de la Tierra el valor R T = 6.371x10 6 m. Realizar el análisis estadístico de los resultados (promedios, desvíos estándar, etc.) agrupándolos por tipo de satélite. Determinar si el cociente calculado resulta independiente de la órbita o del satélite considerado. Representar gráficamente los promedios T 2 vs L 3, realizar un ajuste lineal de los datos y reportar los parámetros del ajuste. 4

5 Finalmente, y como como complemento, partiendo del modelo gravitatorio asumiendo órbitas circulares, determinar la masa de la Tierra. Actividad 3: Satélites con órbitas elípticas. Muchos de los satélites precedentes tienen órbitas circulares. Hay otros cuya excentricidad es importante. Por ejemplo, el TEAMSAT de la categoría Engineering tiene perigeo de km y apogeo de km, con un período de minutos. Seleccionar entre 3 y 5 satélites con órbitas de gran excentricidad, registrar los datos pertinentes (perigeo, apogeo y período), determinar la excentricidad de cada órbita y verificar que se satisface la tercera ley de Kepler. Actividad 4: El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alargada alrededor del Sol. En el perihelio, el cometa está a 8.75x10 7 km del Sol; en el afelio, está a 5.26x10 9 km del Sol. Calcule el semieje mayor, la excentricidad y el periodo de la órbita. APÉNDICE: 1. Un satélite interesante: el Observatorio SWIFT El Explorador de Ráfagas de Rayos Gamma SWIFT (Gamma Ray Bursts explorer, GRB) es un observatorio de tres telescopios espaciales para estudiar explosiones de rayos Gamma y monitorear el posterior brillo (afterglow, en inglés) de rayos X y luz ultravioleta y visible (UV/Vis) en la posición de la explosión [4]. La tasa de detección se esperaba que fuera mayor que 100 por año, con una sensibilidad del orden de tres veces mayor que la del detector BATSE a bordo del Observatorio Compton de Rayos Gamma (CGRO, 5/4/1991 4/6/2000). La misión SWIFT tenía una vida nominal de 2 años. Sin embargo, fue instalado el 20/11/2004 y sigue en funcionamiento. El Observatorio SWIFT ha permitido detectar el objeto más alejado del universo hasta ahora: una explosión a millones de años luz. 2. Satélites como Observatorios de Rayos X. La astronomía de rayos-x es una rama de la astronomía que estudia la emisión de rayos-x de los objetos celestes. La radiación de rayos-x es absorbida por la atmósfera, así que los instrumentos para captar rayos-x deben estar a gran altitud y en el pasado se utilizaban en globos y cohetes sonda. En la actualidad la astronomía de rayos- X es parte de la investigación espacial y los observatorios de rayos-x se instalan en satélites. 5

6 El Observatorio de rayos-x Chandra es un satélite artificial lanzado por la NASA el 23 de julio de Fue llamado así en honor del físico indio Subrahmanyan Chandrasekhar, uno de los fundadores de la astrofísica, quien determinó la masa límite a la que las enanas blancas se convierten en una estrella de neutrones. Fue puesto en una órbita elíptica con la que alcanza la tercera parte de la distancia a la Luna. Si bien esto eliminó la posibilidad de ser reparado por el trasbordador espacial, colocaba al observatorio fuera de la influencia de los cinturones de radiación de la Tierra la mayor parte de su órbita. Por otra parte, el XMM-Newton (X-ray Multi-mirror Mission - Newton) es un observatorio espacial de rayos X nombrado en honor de Isaac Newton. Con el nombre preliminar de High Throughput X-ray Spectroscopy Mission fue lanzado por la ESA el 10 de diciembre de 1999 desde Kourou por un Ariane 5. Fue colocado en una órbita muy excéntrica, cuyo apogeo está a unos km de la Tierra, mientras que el perigeo se encuentra a solo 7000 km, tardando unas 48 horas en completar una vuelta a la tierra. Al alejarse de la atmósfera terrestre se evita el bloqueo de los rayos X que ésta produce, pudiendo observarse fenómenos de muy altas energías que ocurren en el Universo. El satélite es el mayor satélite científico construido en Europa hasta el momento, pesa 3800 kg, mide 10 m de largo y unos 16 de ancho con los paneles solares desplegados. 3. Registro de satélites terrestres con órbitas circulares (e=0) con diferentes períodos y con órbitas con excentricidad significativa (e=0.928, MERIDIAN 1). 6

7 4. Algunas propiedades de la elipse. Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características (r 1 es la distancia más cercana al foco, θ=0 y r 2 es la distancia más alejada del foco, θ=π): Semieje mayor a=(r 2 +r 1 )/2 Semieje menor b Semidistancia focal c=(r 2 -r 1 )/2 La relación entre los semiejes es a 2 =b 2 +c 2 La excentricidad se define como el cociente e=c/a=(r 2 -r 1 )/(r 2 +r 1 ) Referencias. 1. Lynch, J.J., Kepler s Third Law Activity using the NASA J-SAT website to collect data, Phys. Teach., 44, 191 (2006). 2. El GPS (Global Positioning System: sistema de posicionamiento global) o NAVSTAR-GPS es un sistema global de navegación por satélite (GNSS) que permite determinar en todo el mundo la posición de un objeto, una persona o un vehículo con una precisión hasta de centímetros (si se utiliza GPS diferencial), aunque lo habitual son unos pocos metros de precisión. El sistema fue desarrollado, instalado y actualmente operado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos. El GPS funciona mediante una red de 24 satélites en órbita sobre el globo, a km, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra. 3. Las coordenadas geográficas de los puntos extremos de La Plata son: latitud 34º 50' y 35º 30' S y longitud 57º 45' y 58º 20' O. 4. Estas son las explosiones más intensas que ha habido en el Universo desde el Big Bang. Ocurre aproximadamente una por día y son flashes breves, pero intensos de radiación gamma. Provienen de diferentes direcciones del cielo y duran desde unos pocos milisegundos a unos pocos cientos de segundos. De origen desconocido, se supone que puedan señalar el nacimiento de un agujero negro en una explosión estelar masiva, que puedan deberse al producto de la colisión de dos estrellas de neutrones o algún otro fenómeno desconocido. (Comentario extraído del sitio: swift.gsfc.nasa.gov/docs/swift/swiftsc.html) 7