Sistemas Dinámicos (Grado) Física No Lineal (Licenciatura)

Transcripción

1 Sistemas Dinámicos (Grado) Física No Lineal (Licenciatura) Profesor: Oreste Piro Dictado: Preferentemente Primer Semestre Esta asignatura persigue enseñarte a estudiar bajo un marco común, los diversos posibles comportamientos de cualquier sistema que evolucione en el tiempo siguiendo leyes deterministas, o describibles mediante modelos deterministas. Agrupamos a esos sistemas bajo la denominación común de Sistemas Dinámicos. Tales sistemas puede provenir de cualquiera de las ramas convencionales de la Física, la Astronomía y las ingenierías, pero también pueden pertenecer a otros campos tan disimiles como Química, Biología, Ciencias Económicas y Sociales, por lo cual debemos considerar a la teoría y la práctica del estudio de sistemas dinámicos, como una amplia generalización del concepto de dinámica aprendido en los cursos de Mecánica. Entre los diversos comportamientos comunes mencionados, debemos remarcar el conocido bajo el nombre de Caos. Uno de los engaños a los que nos suele conducir nuestra intuición es que la evolución temporal compleja de ciertos sistemas (el clima, la meteorología, la turbulencia, las arritmias cardiacas, la evolución del precio de las acciones, etc.) está inherentemente ligada a la complejidad propia de dichos sistemas, y, en particular, al enorme número variables dinámicas o grados de libertad que presentan. En este curso, sin embargo, aprenderás que sistemas muy simples con apenas tres variables dinámicas son capaces de mostrar complejos comportamientos temporales que ya contienen todas las características de aquellos, intrínsecamente más complicados. Esta práctica te ayudará e inspirará, eventualmente, para desarrollar inteligentemente modelos simples cuando te enfrentes a fenómenos propios de sistemas muy complejos en cualquier actividad que desarrolles en el futuro. Primitivamente, el aparato matemático común a estos sistemas dinámicos fueron las ecuaciones diferenciales ordinarias, que surgen cuando la evolución del sistema en cuestión está íntimamente relacionada con el carácter continuo del tiempo. Sin embargo, para muchos sistemas dinámicos, el tiempo aparece naturalmente como una variable discreta. La evolución de la población de ciertas especies, por ejemplo, sigue leyes deterministas o casi deterministas, entre sucesivas generaciones, la evolución de un capital depositado en una cuenta remunerada, evoluciona de manera discreta en el tiempo, según sea el período de capitalización, que como muy corto nunca suele ser menor que un día. Para esos sistemas, que no son pocos, es menester incluir el estudio de ecuaciones a diferencias discretas, o, como suele decirse en este campo, aplicaciones (o mapas) iterados. En este curso, aprenderás a analizar ambos tipos de sistemas bajo una óptica común. Otra palabra clave en este curso es el Análisis Cualitativo. Tanto sea que los sistemas bajo estudio estén descritos por ecuaciones diferenciales o por mapas iterados, el análisis cualitativo es un método RIGUROSO (no dejarse confundir por el término cualitativo ) para extraer información directamente desde la forma de las ecuaciones, sin necesidad de resolverlas explícitamente. Este procedimiento es muy potente y útil, como puede advertirse del hecho de que la resolución efectiva de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales es, en general, imposible, por métodos analíticos tradicionales.

2 Complementando al análisis cualitativo, el estudio de los sistemas dinámicos se apoya fuertemente, también, en la experimentación numérica basada ya sea en la iteración del mapa, en el caso discreto, o en la obtención de soluciones numéricas aproximadas de las ecuaciones diferenciales ordinarias, en el caso continuo. En este curso aprenderás a hacer un uso inteligente de esta herramienta. Por último y no menos importante, durante el estudio de sistemas dinámicos se recurre a al uso del sentido visual para comprender o al menos formar representaciones alternativas a las meramente analíticas de muchas propiedades matemáticas de su comportamiento. Este procedimiento conduce a menudo a la aparición de imágenes de cierto sugerente contenido estético. (a) (b) Las figuras (a) y (b), son ejemplos de estas representaciones relacionadas con sistemas dinámicos investigados en esta universidad. En (a) se representa en codigo de colores el tiempo de residencia de una particula de sustancia contaminante que se pretende eliminar mediante la colocación de un filtro purificador en una región de un habitáculo cúbic. El negro corresponde a las regiones mas rapidamente purificadas, mientras el rojo corresponde a las regiones donde la impureza pertenece por mas tiempo, o incluso por siempre (el cuadro es una de las secciones transversales de dicho habitáculo). En (b) se muestra una figura que fue utilizada como portada de la revista Physical Review Letters, donde se publicaron la correspondiente investigación, y representa la densidad de partículas de tamaño finito y flotabilidad neutra sumergidas en un flujo aparentemente muy caótico, pero que revela una cierta estructura escondida. Esta figura en cambio, se ha obtenido de la realizacion de un experimento que forma parte de esta asignatura optativa. Se trata de una fotografía de los patrones formados en un plato de Petri por una reacción prototipica de la química fuera del equilibrio, en las que distintos estados de oxidación reducción se alternan en forma oscilatoria tanto temporal como espacialmente. Dichos estados son revelados por el color que adopta un indicador apropiado.

3 Desde el punto de vista metodológico, en esta asignatura se promueve la forma activa de aprendizaje basada en la realización de trabajos sobre una aplicación concreta de interés particular para el alumno, en la cual se apliquen y desarrollen los conceptos y métodos que forman parte del curso. Con estas tareas, se pretende además aproximar al estudiante a temas de investigación de interés actual. Así el alumno puede elegir entre la realización de un trabajo de esta índole para su evaluación, como alternativa a exámenes y pruebas convencionales. A continuación puedes ver la descripción tentativa del temario a desarrollar en el curso que se dictará, preferentemente, en el PRIMER SEMESTRE. Sistemas Dinámicos (Grado) Física No Lineal (Licenciatura) Asignatura optativa semestral de Grado y de la Licenciatura en Física PROFESSORAT RESPONSABLE: Oreste Piro TUTORIES HORARI: Flexible. Se adecuará a las necesidades de los alumnos y en compatibilidad con las tareas docentes, de investigación y de gestión del profesor. LLOC: Despacho 4 del tercer piso del Departamento de Física, edificio Mateu Orfila i Rotger. DESCRIPTORS AMPLIADOS Análisis cualitativo de Ecuaciones diferenciales. Estabilidad de trayectorias. Comportamiento caótico, caos temporal en sistemas disipativos. Geometría fractal. Universalidad y rutas hacia el caos. Caos en sistemas hamiltonianos. Aplicaciones a Mecánica, Mecánica de Fluidos, Transporte en el Océano y la Atmósfera, Astronomia, Física del Espacio, Biologia y biofísica, Reacciones Químicas, Fisica del Laser, Electrónica, etc. CRÈDITS TEÒRICS (4 crèdits): OBJECTIUS El objetivo de esta asignatura es ofrecer una introducción a la teoría de sistemas dinámicos y sus aplicaciones al estudio de modelos de diversos campos de la ciencia. Tales aplicaciones incluyen temas que van desde los procesos que originaron las galaxias junto a las órbitas de planetas, asteroides y satélites hasta el diseño de modernos dispositivos de microfluidica y laboratorios miniaturizados, donde la mezcla de fluidos a bajos números de Reynolds es importante. A escalas intermedias, los conceptos impartidos en este curso se aplican a la comprensión de las limitaciones del pronóstico meteorológico, y la estructura de las corrientes oceánicas, y, a escalas de laboratorio, todo tipo de fenómenos dinámicos complejos que ocurren en circuitos electrónicos, en laseres, en reacciones quimicas fuera del equilibrio y en creciente

4 medida en sistemas biológicos, económicos y sociales. En el curso se introducen, ademas un grupo de técnicas para analizar y caracterizar series temporales caóticas provenientes tanto de modelos como de experimentos en el marco de ese tipo de aplicaciones. METODOLOGIA Durante el curso se impartirán clases magistrales de guía con abundante ayuda de medios audiovisuales y simulaciones por ordenador. Sin embargo, se propenderá y fomentará la adquisición activa de los conocimientos por parte de los alumnos tanto mediante la resolución de problemas como, fundamentalmente través de la realización de proyectos con cierto grado de originalidad que requieran el dominio los puntos del temario para su desarrollo. Con estas actividades se pretende que el alumno visite el estado actual de la frontera de este campo y entre en contacto con la actividad de investigación y desarrollo moderna en este contexto, ejercitando a la vez la exposición publica de sus resultados en clase. DESCRIPCIÓ DELS CONTINGUTS 1.- Introducción. - Fenómenos no lineales en la naturaleza y en el laboratorio. - Tres paradigmas: caos, solitones y 'patterns'. - Tipos de modelos: Ecuaciones diferenciales, en diferencias y autómatas. 2.- Elementos de la teoría de sistemas dinámicos: sistemas de 1 y 2 ecuaciones diferenciales - Retrato de fase, estabilidad y disipación. - Análisis cualitativo de sistemas de una variable. - Reacciones químicas y sistemas ópticos. - Introducción a la teoría de bifurcaciones. - Análisis cualitativo de sistemas de dos variables. - Osciladores libres, amortiguados, forzados, activos, y paramétricos. - Osciladores electrónicos. 3.- Caracterización de regímenes dinámicos. - Análisis de Fourier. Señales periódicas, cuasiperiódicas y aperiódicas. - La sección de Poincaré. El mapa estroboscópico. 4.- Comportamiento caótico en mapas unidimensionales. - El mapa cuadrático. - El desplazamiento de Bernouilli. - Caracterísiticas generales de sistemas caóticos. - Exponentes de Lyapunov. - Geometría fractal. Dimensiones fractales. 5.- Caos temporal en sistemas disipativos. - El modelo de Lorenz. Atractores extraños. - El atractor de Hénon y el de herradura. - Realizaciones experimentales: Convección en fluidos. La reacción de Belousov-Zabotinsky. Generalidades sobre las técnicas de embedding.

5 6.- Universalidad y las rutas hacia el caos. - El escenario de Ruelle-Takens-Newhouse. Relación con la teoría de Landau. - La cascada subarmónica. Leyes de escala. - Intermitencia. Relación con turbulencia en fluidos. - Realizaciones experimentales. 7.- Sincronización de osciladores y la ruta cuasiperiódica. - Introducción. El mapa del círculo. - Ruta cuasiperiódica al caos. - Realizaciones experimentales. 8.- Caos en sistemas hamiltonianos. - Sistemas integrables. - Teoremas de Poincaré-Birkoff y de KAM. Difusión de Arnold. - Ejemplos y aplicaciones. CRÈDITS PRÀCTICS (2 crèdits): OBJECTIUS 1. Aplicacar las herramientas teóricas descritas en el curso a problemas específicos. 2. Establecer contacto con varias situaciones experimentales que han tenido un papel importante en el desarrollo de conceptos claves de la fisica no lineal, así como de otras que actualmente estan sujetas a intensos estudios. METODOLOGIA Problemas: Se destinarán sesiones especiales para la resolución de problemas con la participación activa de los alumnos. Laboratorio: Cuatro sesiones de dos horas de prácticas en laboratorio con asistencia obligatoria. Los alumnos realizaran las prácticas con la ayuda de una guía distribuida previamente y la supervisión del profesor. DESCRIPCIÓ DELS CONTINGUTS Problemas: Se incluirá una selección de problemas donde se apliquen las herramientas de la teoría de sistemas dinámicos a diversos campos (Mecánica, láseres, reacciones químicas, dinámica de poblaciones, dinámica de fluidos, etc.) Experimentos: 1. Convección térmica: el experimento de Bénard-Marangoni. 2. La reacción de Belousov-Zabotinsky. 3. La máquina de catástrofes de Zeeman. 4. Bifurcación de Hopf en un oscilador activo: un circuito electrónico con resistencia negativa. 5. Transición al caos en un oscilador pasivo forzado: el circuito RLD serie.

6 BIBLIOGRAFIA BÀSICA - E.A. Jackson, Perspectives of nonlinear dynamics, Vols. I y II. Cambridge ( ). - E. Ott, Chaos in dynamical systems, Cambridge (2003). BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTÀRIA - P. Bergé, Y. Pomeau, Ch. Vidal, Order within chaos, Wiley (1984). - H. G. Schuster, Deterministic chaos, an introduction, VCH (1988). - J. Gleick, Caos, la creación de una ciencia, Seix Barral (1988); traducción de Chaos, making a new science, Viking (1987). - H. G. Solari, M. A. Natiello, G. B. Mindlin, Nonlinear dynamics, a two way trip from physics to math. Institute of Physics Publishers, S. H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos. Addison-Wesley ELEMENTS D AVALUACIÓ i pes específic de cada element en l avaluació final El alumno podrá optar entre ser evaluado mediante un exámen teórico-práctico convencional o mediante la realización y exposición pública de un trabajo individual. RECOMANACIONS QUANT A CONEIXEMENTS PREVIS Aunque el curso es autocontenido, es recomendable tener conocimientos previos básicos de mecánica y de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias ALTRA INFORMACIÓ