Respuesta: La temperatura a 230 m de profundidad es de 12,3 ºC

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1 ESTRATEGIAS PROPUESTAS PARA LA RESOLUCIÓN DEL PRACTIQUEMOS DE LA FICHA N 5 COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADOR Matematiza Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, Usa modelos de variación referidos a la función lineal al plantear y resolver problemas. 1. En la excavación de un pozo un ingeniero se adentra para verificar el proceso y se da cuenta que la temperatura aumenta 1 C cada 100 m de profundidad. Teniendo en cuenta que la temperatura en la superficie es de 10 C, resuelve los siguientes problemas: a. Halla la fórmula de la función que relaciona la temperatura con la profundidad. b. Que temperatura habrá a 230 m de profundidad? c. Cuantos metros habrá que bajar para que la temperatura sea de 25 C? Solución a: Observamos que hay una relación entre dos magnitudes o variables: temperatura en grados Celsius y profundidad en metros. Elaboramos una tabla de valores: Metros de profundidad Temperatura ( C) La temperatura está en función de la profundidad y puede expresarse mediante la fórmula Si x= 0 t 0 = = ,01x0 = 10 ºC Si x=100 t 100 = = ,01x100 = 11 ºC Si x=200 t 200 = = ,01x200 = 12 ºC Si x=300 t 300 = = ,01x300 = 13 ºC Si x=400 t 400 = = ,01x400 = 14 ºC Generalizando: t x = ,01. x; donde «x» es la profundidad. Respuesta: La fórmula de la función que relaciona la temperatura con la profundidad es t (x) = ,01.x Solución b: Calculamos la temperatura a 230 m de profundidad: Utilizamos la fórmula que relaciona la temperatura con la profundidad: Si x= 230, entonces t (230) = 10 + (0,01)(230) = 10+2,3 = 12,3 ºC Respuesta: La temperatura a 230 m de profundidad es de 12,3 ºC Solución c: t (x) = ,01.x

2 Calculamos la cantidad de metros que habrá que bajar para que la temperatura sea de 25 C. Utilizamos la fórmula que relaciona la temperatura con la profundidad: t (x) = ,01.x Si t (x) = 25, entonces ,01.x = 25 0,01.x = ,01.x = 15 x = 15.(100) x = 1500 m Respuesta: Tendrá que bajar 1500 m para que la temperatura sea de 25 C. COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADOR Actúa y piensa Matematiza Usa modelos de variación matemáticamente en referidos a la función lineal situaciones de regularidad, al plantear y resolver problemas. 2. Una empresa interprovincial de buses lanza una oferta dirigida a estudiantes que desean viajar al sur de la capital. La oferta consiste en pagar una cuota fija de S/. 10 más S/. 0,02 por cada kilómetro recorrido. a. Halla la fórmula de la función que relaciona el costo del viaje con los kilómetros recorridos. b. Calcula el dinero que debe pagar un estudiante si quiere hacer un viaje cuyo recorrido es de 120 kilómetros. c. Teniendo en cuenta la pregunta anterior, si cada estudiante de un aula de segundo grado pago S/. 16 en un viaje, a cuantos kilómetros estuvo su destino? Solución a: Observamos que hay una relación entre dos magnitudes o variables: Costo de viaje y distancia recorrida en kilómetros. Elaboramos una tabla de valores: Distancia (km) Costo de viaje (S/.) El costo de viaje en nuevos soles está en función de la distancia y puede expresarse mediante la fórmula Si x= 0 t 0 = = ,02x0 = S/. 10 Si x=100 t 100 = = ,02x100 = S/. 12 Si x=200 t 200 = = ,02x200 = S/. 14 Si x=300 t 300 = = ,02x300 = S/. 16

3 Si x=400 t 400 = = ,02x400 = S/. 18 Generalizando: t x = ,02. x; donde «x» es la distancia recorrida. Respuesta: La fórmula de la función que relaciona el costo del viaje con los kilómetros recorridos es t (x) = ,02.x Solución b: Calculamos el dinero que debe pagar un estudiante si quiere hacer un viaje cuyo recorrido es de 120 kilómetros: Utilizamos la fórmula que relaciona la temperatura con la profundidad: t (x) = ,02.x Si x= 120, entonces t (120) = 10 + (0,02)(120) = 10+2,4 = S/. 12,4 Respuesta: El dinero que debe pagar un estudiante si quiere hacer un viaje cuyo recorrido es de 120 kilómetros es de S/. 12,4 Solución c: Calculamos la cantidad de kilómetros que habrá que recorrer para pagar S/. 16 Utilizamos la fórmula que relaciona Costo de viaje y distancia recorrida en kilómetros: t (x) = ,02.x Si t (x) = 16, entonces ,02.x = 16 0,02.x = ,02.x = 6 x = (6) (50) x = 300 Respuesta: Tendrá que recorrer 300 km para pagar S/. 16 COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa Comunica y Describe gráficos y tablas que matemáticamente representa expresan funciones lineales, afines en situaciones de ideas y constantes. regularidad, matemáticas Describe las características de la equivalencia y función lineal y la familia de ella de cambio. acuerdo a la variación de la pendiente.

4 3. Cuál de las siguientes gráficas es una función afín? Las funciones afines son aquellas funciones cuya grafica es una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas. Por lo tanto, la gráfica que cumple esta condición es la c. COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADOR Comunica y representa ideas matemáticas. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, ITEM: Describe gráficos y tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes a. AI, BII, CIII b. AIII, BII, CI c. AII,BIII, CI d. AII, BI, CIII Solución: Función constante: Una función f es constante si su regla de correspondencia es f (x) = b, para cualquier valor x y b que sean números reales. A = II II Función lineal: La representación de una función lineal es una línea recta que siempre intercepta al origen de coordenadas (0,0). B = III

5 Función lineal afín: Son aquellas funciones cuya grafica es una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es y = mx + n C = I Respuesta: AII BIII CI CLAVE: C COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADOR Actúa y piensa Usa modelos de variación matemáticamente en Matematiza referidos a la función lineal y situaciones de regularidad, lineal afín al plantear y resolver problemas. ITEM 5: La distancia que recorre un avión que viaja a una velocidad de 500 millas por hora (mph) es una función del tiempo de vuelo. Si S representa la distancia en millas y t es el tiempo en horas, entonces la función es: a. S (t) = t/500 b. S (t) = 500t c. S (t) = t d. S (t) = 500/t Solución: Del enunciado Identificamos los datos: Distancia: S Tiempo: t Velocidad: 500 mph Ahora sabemos que: la distancia que recorre un móvil es igual a la velocidad que aplica el móvil en un determinado tiempo. Respuesta: La función es: S(t) = 500t CLAVE: B

6 COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, Matematiza Usa modelos de variación referidos a la función lineal y lineal afín al plantear y resolver problemas. ITEM 6: El padre de familia de un estudiante de segundo grado le enseña a su hijo la factura de gas natural que llegó, y le pide que le ayude a averiguar el costo del fórmula para calcular el costo total del recibo en función de los de gas y la de gas consumido. a. 0,15; f (x) = 7,74 + 0,15x b. 15; f (x) = 7, x c. 0,15; f (x) = 0,15 + 7,74x d. 15; f (x) = ,74x Conceptos Cargo fijo S/. 7,74 Consumo (111 m ) S/. 16,65 Solución: Para averiguar el costo de un de gas, necesitamos saber: Total de consumo en soles : 16,65 Total de consumidos : 111 Así el costo unitario de m 3 El costo de cada de gas es S/. 0,15 o 15 céntimos Para expresar una fórmula que permita calcular el costo total en de gas consumido: Representaremos la cantidad de gas consumido con: x Entonces x = número de m 3 de gas La fórmula para calcular el costo total en de gas consumido es: f (x) = 7,74 + 0,15x CLAVE: A COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Comunica y representa ideas matemáticas Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. Describe gráficos y tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes.

7 ITEM 7. En muchas provincias del Perú, el agua corriente no es medida. Una familia paga siempre la misma tarifa, independientemente de la cantidad de agua que haya consumido. Una de estas tarifas es S/. 25,06. Consumo de agua (L) Costo (S/.) 25,06 25,06 25,06 25,06 Halla la fórmula de la función e indica cómo se llama la función encontrada. a. F(x)= 25, x; función lineal. b. F(x)= 25,06; función lineal. c. F(x)= 25,06; función constante. d. F(x)= 25,06x; función lineal afín. Resolución.- Observemos que la variable x nos representa el consumo de agua, asimismo la variable y representa el costo. Del cuadro observamos que conforme aumenta el consumo de agua, el costo se mantiene constante, no varía. Es decir que, aunque varíe la cantidad consumida de agua, el costo a pagar se mantiene. Por lo tanto podemos inferir que se trata de una función lineal constante de la forma: f(x)= b y su fórmula en este caso es: f(x)= 25,06 Rta: La fórmula dela función es F(x)= 25,06 y es una función constante. Alternativa c) COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADOR Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, ITEM 8. Comunica y representa ideas matemáticas Describe gráficos y tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes. La siguiente tabla muestra el costo y el número de fotocopias realizadas por algunos estudiantes. Carlos Juan Luz María Costo (S/.) 0,12 0,60 6 0,06 Cantidad de copias Cuál de las siguientes expresiones determina la situación dada? a. f(x)= 0,12x b. f(x)= 0,05x c. f(x)= 0,06x d. f(x)= 0,06

8 Costo (S/.) Carlos Juan Luz María 0,12 0,60 6 0,06 Cantidad de copias Observamos la tabla y deducimos que hay una constante entre los valores del costo y la cantidad de copias que en este caso viene hacer el precio a pagar por una copia que es 0,06. De lo expuesto anteriormente podemos deducir que el costo depende de la cantidad de copias, es decir que es una función lineal de la forma: f(x)= 0,06x, donde x es la cantidad de copias y f(x) el costo a pagar. Comprobando la expresión: f(x) = 0,06x F(2)= 0,06 (2)= 0,12 F(10)= 0,06 (10)= 0,60 F(100)= 0,06 (100)= 6 F(1)= 0,06 (1)= 0,06 Entonces la expresión algebraica que modela la situación dada es : f(x) = 0,06 x Rta: La expresión que determina la situación final es f(x)= 0,06x. Alternativa c) K = 0.06 COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADOR Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, ITEM Del siguiente gráfico: Comunica y representa ideas matemáticas f(x) 11 Describe gráficos y tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes x Calcula el valor numérico de E= ( ) ( ) ( ) ( ) a. 3 b. 4,5 c. 1,5 d. -3,6

9 A partir del grafico tenemos que: F(2) = 7 F(4) = 11 F(3) = 9 F(1) = 5 Remplazando los valores tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) Rta: El valor numérico de E es 4,5. Alternativa b) COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADOR Comunica y representa ideas matemáticas Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. ITEM 10: La siguiente tabla corresponde a una función afín: y = mx + n. Describe gráficos y tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes x y Completa la tabla y obtén su expresión algebraica hallando su pendiente y la ordenada en el origen. a. y = 2x + 3 b. y = 3x + 2 c. y = 2x 3 d. y = 3x 2 Resolución: 1 Antes de completar la tabla tenemos que encontrar los valores de m y n con los datos que me dan; utilizamos la función: y = mx + n reemplazando el primer par ordenado: (0 ; - 3) y = mx + n -3 = m ( 0 ) + n -3 = 0 + n -3 = n 2 Reemplazamos el valor de n en la función obteniendo y = mx - 3 ahora reemplazamos otro par ordenado de la tabla (20 ; 37): y = mx = m ( 20 ) = 20.m = 20.m 40 = 20.m m = 2 Así determinamos m que también es la pendiente de la función. 3 Ahora reemplazamos el valor de m = 2 en la regla de correspondencia obteniendo: y = 2.x - 3, que es la expresión algebraica solicitada. Podemos comprobar verificando para el otro par ordenado (50; 97), reemplacemos: 97 = 2 ( 50 ) = = 97

10 4 Ahora pasamos a completar la tabla, donde visualizamos los valores que puede tomar la primera componente x procediendo a hallar la segunda componente y empleando la regla de correspondencia encontrada; f(x) = 2x 3 y = 2 ( 10 ) - 3 y = 2 ( 30 ) - 3 y = 2 ( 40 ) - 3 y = 20-3 y = 60-3 y = 80-3 y = 17 y = 57 y = 77 x y Ahora leo la pregunta del problema: Sabemos que la expresión algebraica es la Regla de correspondencia: y = 2.x - 3 f(x) = 2.x También sabemos que la pendiente es igual a la Tangente del ángulo de inclinación de la recta, así veamos el gráfico de esta función: y x Tan = = 20 = Todo par ordenado tiene la forma: ( x; y ). Dónde: x es la abscisa e y es la ordenada. Por lo tanto: en el origen: Para x = 0 le corresponde un y = Respuesta: La tabla ya está completa, la expresión algebraica hallando su pendiente es: y = 2.x 3; y la ordenada en el origen es menos tres. Respuesta correcta alternativa c)

11 1 En el enunciado nos indica de que se trata de una función lineal por lo tanto su regla de correspondencia tendrá la siguiente forma: f(x) = mx 2 Sabemos por dato que f(2) = 8, es decir x= 2 y al reemplazar en la función: f(x) = mx f(2) = m(2) 8 = m (2) 8/2 = m 4 = m 3 Por lo tanto la función tiene la forma f(x) = 4x Respuesta: La regla de correspondencia de la función lineal donde f(2 ) = 8 es: y = 4x La alternativa correcta es la c OTRA FORMA: COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADOR Razona y Argumenta generando ideas matemáticas Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, 1 Otra forma de verificar si el valor numérico de f( 2 ) es ocho, sería POR EL METODO DEL TANTEO que es probar en cada una de las reglas de correspondencia. Así tenemos que: a) Y = 2.( 2 ) = 4 b) Y = 8.( 2 ) = 16 c) Y = 4.( 2 ) = 8 d) Y = 4.( 2 ) + 2 = 10 Justifica a partir de ejemplos, reconociendo la pendiente y la ordenada al origen el comportamiento de funciones lineales y lineales afín.. ITEM 11: Sea f una función lineal, tal que f (2) = 8. Determina su regla de correspondencia. a. y = 2x b. y = 8x c. y = 4x d. y = 4x + 2 Resolución: Respuesta: La regla de correspondencia de la función lineal donde f( 2 ) = 8 es: y = 4x La alternativa correcta es la c COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Matematiza. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y Usa modelos de variación referidos a la función lineal y lineales afín al plantear y

12 cambio. resolver problemas. ITEM 12: Un fabricante de ventanas cuadradas cobra a razón de S/. 15 por cada metro de marco y S/. 60 por el cristal, sean cuales sean las dimensiones. Encuentra la expresión que dé el precio de la ventana en función de las dimensiones y calcula el costo de una ventana de 2 m de lado. a. F(x) = x; 90 b. F(x) = x; 495 c. F(x) = x; 180 d. F(x) = x; Sea x el perímetro de la ventana. 2 Como el enunciado nos dice que cada metro lineal del marco de la ventana cuesta quince nuevos soles. Entonces el precio del marco de la ventana se representaría así: 15. Perímetro del cuadrado es 15.x 3 También en el enunciado nos indican que el cristal, independientemente de su área o dimensiones su precio es de sesenta nuevos soles. Por lo tanto si agregamos este costo al precio del marco de la ventana, EL PRECIO TOTAL DE LA VENTANA SERÍA: 15.x A partir de lo anterior ya tenemos la regla de correspondencia y = 15 x Calculamos el costo de una ventana de 2 metros de lado, pero primero debemos hallar su perímetro de la ventana, que sería igual a 4(2) = 8 reemplazamos este valor en la función. y = 15.x + 60 y = 15( 8 ) + 60 y = y = 180 Respuesta: La expresión que da el precio de la ventana en función a las dimensiones es y = 15.x + 60; y el costo de una ventana de dos metros de lado es 180 nuevos soles. Respuesta correcta: la alternativa d COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa Comunica y Describe gráficos y tablas que expresan matemáticamente en representa ideas funciones lineales, afines y constantes. situaciones de regularidad, matemáticas ITEM 13: Cuáles de las siguientes expresiones son funciones afines? I. f (x) = 3x 5 II. Y = 2x III. f (x) = 20 0,2x a. Solo I. b. Solo II. c. II y III. d. I y III.

13 Solución: 1 Comparación con la forma de una función afín: Función afín tiene la forma: f(x) = mx + b donde m es la pendiente de la recta. I. f (x) = 3x 5 ; donde m=3 ; b= -5 (función afín ya que la recta de la función no pasa por el origen) II. Y = 2x ; donde m=2 ; b=0 ( no es una función afín porque la recta pasa por el origen de coordenadas) III. f (x) = 20 0,2x ordenando sería f (x) = 0,2x + 20 donde m = -0,2 y b = 20 (función afín, la recta de la función no pasa por el origen de las coordenadas) Respuesta: Son funciones afines I y III. Alternativa d) COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa Comunica y Describe gráficos y tablas que expresan matemáticamente en representa ideas funciones lineales, afines y constantes. situaciones de regularidad, matemáticas ITEM 14: Cuáles de las siguientes situaciones son funciones lineales? I. El costo de una llamada por celular está dado por los segundos consumidos. II. Un electricista que da servicios a domicilio cobra S/. 20 por cada hora de trabajo más S/. 50 por la visita. III. El precio en soles que hay que pagar por un viaje de x km viene dado por la expresión y = 2x + 1,5.

14 a. II y III. b. Solo I. c. Solo II. d. Solo III. Solución: Analizando cada situación: I. El costo de una llamada por celular está dado por los segundos consumidos. Supongamos que no se realiza ninguna llamada, entonces no habrá cobro alguno, esto quiere decir que la recta pasa por el origen de coordenadas, por lo tanto es una función lineal. Su ecuación seria y= m x ; donde m = costo por segundo; x = la cantidad de segundos consumidos. Si x = 0, y =0 Su gráfica sería así: II.- Un electricista que da servicios a domicilio cobra S/. 20 por cada hora de trabajo más S/. 50 por la visita. En esta situación su expresión corresponde a una función lineal afín, ya que los S/.50 se paga por una sola vez en cambio los S/.20 soles variaría según las horas de trabajo. Su expresión algebraica seria: F(x) = 20x Además en una función lineal afín, la recta no pasa por el origen de coordenadas. III.- El precio en soles que hay que pagar por un viaje de x km viene dado por la expresión y = 2x + 1,5 Reemplazando en una tabla: X( km) Y(soles) 1,5 3,50 11,50 21,50 No es una función lineal porque cuando x = 0, y = 1,5 Esta expresión algebraica corresponde a una función lineal Afín. Respuesta: Es una función lineal solo I. Alternativa b)

15 COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, Matematiza Usa modelos de variación referidos a la función lineal y lineal afín al plantear y resolver problemas. ITEM 15: Midiendo la temperatura a diferentes alturas se han obtenido los datos de esta tabla: Obtén la expresión algebraica de la temperatura en función de la altura e indica cuál sería la temperatura a 3240 m de altura. a. f (x) = -x/ ; 18 C b. f (x) = -x/ ; -8 C c. f (x) = -180x + 10; 18 C d. f (x) = x/ ; 18 C Solución: 1) Observamos en la tabla, cuando la altura es 0 m. la temperatura es 10, por lo tanto la gráfica no pasa por el origen de coordenadas, entonces es una función lineal afín de la forma: f(x) = mx + b Ahora reemplacemos el primer par ordenado: (0; 10) en la expresión: f(x) = mx + b 10 = m(0) + b 10 = 0 + b 10 = b Reemplazando el valor de b=10, la nueva expresión sería: f(x) = mx + 10, pero aún nos falta hallar el valor de m (pendiente). Consideramos el par ordenado (360; 8) y lo reemplazamos en: f(x) = mx = m(360) = m(360) -2/360 = m

16 Simplificando: m = -1/180 Finalmente remplazamos en f(x) = mx + 10, obteniendo la expresión algebraica: f(x) = - x/ que es la regla de correspondencia de la función pedida. 2) Hallando la temperatura a 3240m de altura, que representa el valor de x, reemplazamos en: f(x) = - x/ f(x) = -(3240) / f(x) = f(x) = -8 C Respuesta: La temperatura a 3240 m de altura es de -8 C. Alternativa b)