NTC Y AYUDAS DE DISEÑO DIGITALIZADAS PARA EL DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO RESUMEN ABSTRACT INTRODUCCIÓN

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1 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural NTC Y AYUDAS DE DISEÑO DIGITALIZADAS PARA EL DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO Diego Miramontes De León 1, J. Antonio Garamendi H., Gerardo Márquez C., C. Alberto Ávalos López y Gabriel A. Pimentel T. 2 RESUMEN Este trabajo se presenta como una ayuda pedagógica en el diseño de elementos estructurales de concreto cuyo objetivo es facilitar la consulta y aplicación de las Normas Técnicas Complementarias. El trabajo original contiene una presentación de la propuesta de las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto del 2001 (NTC-2001) como página web, la cual al tener enlazados en su totalidad los artículos que la componen, hace que su uso sea más eficiente, rápido y cómodo; incluye también ayudas para el diseño de varios elementos estructurales basadas en dicha propuesta y ejemplos realizados siguiendo dichas ayudas. ABSTRACT This work represents an educational aid in the design of reinforced concrete structural members, which the main objective is to facilitate the consultation and applicability of the Normas Técnicas Complementarias (NTC). It contains a web presentation of the NTC for the design and construction of reinforced concrete structures according to the 2001 proposal. In this web page all the articles of the code are linked, resulting in a useful, fast and comfortable code application. Several recommendations for the design of some structural members according to the NTC and several examples solved with these recommendations are included. INTRODUCCIÓN Este es un trabajo de tesis realizado en la Unidad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Zacatecas, su objetivo es facilitar el uso de las NTC, proporcionando para ello algunas herramientas como son : una presentación de la propuesta de las Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto del 2001 (NTC-2001) como página web, ayudas de diseño de varios elementos estructurales basadas en dicha propuesta y ejemplos realizados siguiendo dichas ayudas. En la figura 1 se muestra el aspecto de esta sección de Introducción en el trabajo original. INSTRUCCIONES DE USO Este trabajo funciona como una página web. En la pantalla se tienen tres campos, arriba se encuentra el menú principal, el cual da acceso a las secciones del trabajo (Introducción, NTC, Procedimientos, Ejemplos y Conclusiones) y siempre está presente para que el usuario pueda elegir ingresar a cualquier sección en el momento que lo desee; a la izquierda se tiene el menú secundario que ahora se encuentra vacío, éste menú cambia según la sección en la que se encuentre el usuario y sirve para navegar dentro de ella; la mayor parte de la pantalla es ocupada por el campo en el que se alojan los textos y figuras, ver figura Profesor-Investigador, Universidad Autónoma de Zacatecas, Av. López Velarde No. 801, 98000, Zacatecas, Zac.; dmiram@cantera.reduaz.mx Alumnos del programa de Ingeniería Civil, Universidad Autónoma de Zacatecas, Av. López Velarde No. 801, 98000, Zacatecas, Zac. 1

2 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 Figura 1. Aspecto de la sección de Introducción. Figura 2. Marcar los menús principal y secundario 2

3 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Para ingresar a cada una de las secciones del trabajo se hace clic en los botones del menú principal, dichas secciones se describen a continuación: 1. Introducción El botón INTRODUCCIÓN abre éste documento en el campo de texto, para dar al usuario una descripción del trabajo, las instrucciones de uso y sus autores. 2. NTC Dando clic al botón NTC se entra a la sección que contiene íntegramente la propuesta de las NTC-2001 para el Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto, ahí se puede consultar la presentación electrónica de la propuesta en formato HTML o la versión original en formato PDF. 3. Procedimientos En esta sección se encuentran los procedimientos o ayudas de diseño de varios elementos estructurales comunes: vigas, columnas, losas, zapatas y ménsulas. Estos procedimientos se basan en el contenido de la propuesta de las NTC-2001 y se pretende que en cada uno de sus pasos se cumpla con ellas. No se incluye diseño por sismo. 4. Ejemplos En esta sección se presenta un ejemplo de cada uno de los procedimientos de diseño siguiendo la misma secuencia y estructura de éstos. En este trabajo sólo se muestra un ejemplo. 5. Conclusiones Al dar clic a este botón se muestra un documento con las conclusiones de este trabajo. Es importante que al ingresar a cualquier sección el usuario lea detenidamente el texto que aparece ya que contiene información importante sobre ella. Ahora que se han detallado las Instrucciones de Uso, se explica el contenido de la sección que contiene la propuesta de las NTC del menú principal. PROPUESTA DE LAS NTC-2001 El diseño de miembros y sistemas estructurales requiere de un proceso preciso en el que se involucran requisitos normativos y experiencia. Las Normas Técnicas Complementarias representan un requisito mínimo para garantizar un diseño y comportamiento adecuado de las estructuras de concreto reforzado, sin embargo, su seguimiento puede dificultarse debido falta de experiencia o a los diferentes saltos y referencias existentes entre uno y otro artículo. Esta sección contiene la propuesta de las NTC-2001 para el Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto. Se puede escoger entre dos versiones para su consulta: PDF o la presentación electrónica HTML, se puede acceder a cada una pulsando los botones del menú de la izquierda, ver figura 3. Es muy importante señalar que éste trabajo está basado en la propuesta de Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto (NTC) del año 2001, la cual puede tener algunas diferencias respecto a la versión definitiva. 3

4 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 Figura 3. Opción de presentación de las NTC, PDF o HTML A continuación se muestra lo que aparece al presionar el botón de la presentación electrónica de las NTC, no se muestra la presentación en PDF porque es una simple liga a un archivo en Acrobat Reader. PRESENTACIÓN ELECTRÓNICA DE LA PROPUESTA DE LAS NTC-2001 Esta es la presentación electrónica de la propuesta de las NTC-2001 para el Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto, el menú de la izquierda sirve para entrar a cualquiera de los capítulos. Al pasar el puntero sobre cualquier botón sin presionarlo, aparece arriba el nombre del capítulo correspondiente, ver figura 4. 4

5 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Figura 4. Capítulos de las NTC en formato HTML Presionando cualquier botón del menú de la izquierda se muestra el índice del capítulo en el campo de texto, desde donde se puede ingresar a cualquier artículo de ese capítulo. Muchos artículos hacen referencia a otros, lo que puede hacer que su consulta se vuelva complicada, esta presentación electrónica tiene un hipervínculo en cada referencia para hacer más fácil y rápido su uso. PROCEDIMIENTOS O AYUDAS DE DISEÑO Estos procedimientos o ayudas de diseño están basados en la propuesta NTC-2001, con ellos se pretende que en el diseño de los elementos abordados sea más sencillo cumplir con las Normas Técnicas Complementarias, ya que se ayuda recurrir a ellas, por mdeio de ligas, en cada paso que se realiza, lo que de lo contrario, en ocasiones puede ser tardado o incluso complicado si no se tiene la suficiente experiencia en su manejo. La presentación en formato HTML de este trabajo incluye las ayudas de diseño para los siguientes elementos: Vigas. Columnas. Losas. o Losas planas. o Losas perimetrales. Zapatas. o Zapatas aisladas. o Zapatas continuas. 5

6 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 Ménsulas. En este trabajo no se incluyen procedimientos de diseño por sismo. En la sección de Lineamientos se muestran algunas consideraciones básicas sobre el concreto reforzado que se aplican a todos los elementos. En el menú de la izquierda se elige el procedimiento que quiere revisarse, enseguida dicho menú cambia para mostrar los pasos que lo forman. Como ejemplo del trabajo solamente se incluye el procedimiento para vigas, el resto de ellos aparecen en la versión completa HTML. LINEAMIENTOS GENERALES En esta sección se muestran algunas consideraciones básicas sobre el concreto reforzado que se aplican a todos los elementos. Los artículos extraídos de la propuesta NTC-2001 se muestran como ejemplo. Debe observarse que la numeración corresponde a la presentada en las mismas normas. 2.1 HIPÓTESIS PARA LA OBTENCIÓN DE RESISTENCIAS DE DISEÑO A FLEXIÓN, CARGA AXIAL Y FLEXOCOMPRESIÓN La determinación de resistencias de secciones de cualquier forma sujetas a flexión, carga axial o una combinación de ambas, se efectuará a partir de las condiciones de equilibrio y de las siguientes hipótesis: Donde: a) La distribución de deformaciones unitarias longitudinales en la sección transversal de un elemento es plana. b) Existente adherencia entre el concreto y el acero de tal manera que la deformación unitaria del acero es igual a la del concreto adyacente. c) El concreto no resiste esfuerzos de tensión. d) La deformación unitaria del concreto en compresión cuando se alcanza la resistencia de la sección es y e) La distribución de esfuerzos de compresión en el concreto, cuando se alcanza la resistencia de la sección, es uniforme con un valor f c igual a 0.85f*c hasta una profundidad de la zona de compresión igual a β 1 c β =0.85; 1 * si f c 280 kg / cm 2 * f β c 1 * 2 = 1.05 ; 1400 si f c > 280kg / cm c profundidad del eje neutro medida desde la fibra extrema en compresión. El diagrama esfuerzo deformación unitaria del acero de refuerzo ordinario, aunque sea torcido en frío, puede idealizarse por medio de una recta que pase por el origen, con pendiente igual a Es y una recta horizontal que pase por la ordenada correspondiente al esfuerzo de fluencia del acero, fy. En aceros que no presenten fluencia bien definida, la recta horizontal pasará por el esfuerzo convencional de fluencia. El esfuerzo convencional de fluencia se define por la intersección del diagrama esfuerzo deformación unitaria con una recta paralela al tramo elástico, cuya abscisa al origen es Pueden utilizarse otras idealizaciones 6

7 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural razonables, o bien la gráfica del acero empleado obtenida experimentalmente. En cálculos de elementos de concreto presforzado deben usarse los diagramas esfuerzo deformación unitaria del acero utilizado, obtenidos experimentalmente. La resistencia determinada con estas hipótesis, multiplicada por el factor FR correspondiente, da la resistencia de diseño. 1.6 FACTORES DE RESISTENCIA De acuerdo con las Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones, las resistencias deben afectarse por un factor de reducción, FR. Con las excepciones indicadas en el texto de estas Normas, los factores de resistencia tendrán los valores siguientes: a) FR=0.9 para flexión. b) FR=0.8 para cortante y torsión. c) FR=0.7 para transmisión de flexión y cortante en losas o zapatas. d) Flexocompresión: FR=0.8 cuando el núcleo esté confinado con refuerzo transversal circular que cumpla con los requisitos de la sección 6.2.4, o con estribos que cumplan con los requisitos del inciso b; FR=0.8 cuando el elemento falle en tensión; FR=0.7 si el núcleo no está confinado y la falla es en compresión; y e) FR=0.7 para aplastamiento. Estas resistencias reducidas (resistencias de diseño) son las que, al dimensionar, se comparan con las fuerzas internas de diseño que se obtienen multiplicando las debidas a las cargas especificadas en Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones, por los factores de carga ahí prescritos RESISTENCIA A COMPRESIÓN Los concretos clase 1 tendrán una resistencia especificada, f c, igual o mayor que 250 kg/cm² (25 MPa). La resistencia especificada de los concretos clase 2 será inferior a 250 kg/cm² (25 MPa) pero no menor que 200 kg/cm² (20 MPa). En ambos casos deberá comprobarse que el nivel de resistencia del concreto estructural de toda construcción cumpla con la resistencia especificada. Se admitirá que un concreto cumple con la resistencia especificada si satisface los requisitos prescritos en la sección El Corresponsable en Seguridad Estructural o el Director Responsable de Obra, cuando el trabajo no requiera de Corresponsable, podrá autorizar el uso de resistencias, f c, distintas de las antes mencionadas. Todo concreto estructural debe mezclarse por medios mecánicos. El de clase 1 debe proporcionarse por peso; el de clase 2 puede proporcionarse por volumen. Para diseñar se usará el valor nominal, f* c, determinado con la expresión siguiente: f = * c ' 0.8 f c El valor f* c es, en parte, una medida de la resistencia del concreto en la estructura. Para que sea válida la ec deben cumplirse los requisitos de transporte, colocación, compactación y curado prescritos en las secciones , y , respectivamente. Se hace hincapié en que el proporcionamiento de un 7

8 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 concreto debe hacerse para una resistencia media, f c, mayor que la especificada, f c, y que dicha resistencia media es función del grado de control que se tenga al fabricar el concreto. Para determinar la magnitud del bloque equivalente de esfuerzos del concreto de compresión f c, se calcula así: MÓDULO DE ELASTICIDAD f = '' c * 0.85 f c Para concretos clase 1, el módulo de elasticidad, Ec, se supondrá igual a: Y para concreto clase 2 se supondrán igual a: ' f c, en kg / cm ' f c, en kg / cm Pueden usarse otros valores de Ec que estén suficientemente respaldados por resultados de laboratorio. En problemas de revisión estructural de construcciones existentes, puede aplicarse el módulo de elasticidad determinado en corazones de concreto extraídos de la estructura, que formen una muestra representativa de ella. En todos los casos a que se refiere este párrafo, Ec se determinará según la norma NMX-C-128. Los corazones se extraerán de acuerdo con la norma NMX-C-169. PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DE VIGAS Se presentará el procedimiento para el diseño de vigas más comunes en las estructuras de concreto reforzado, tanto rectangulares simple y doblemente armadas como las vigas T. Se incluye el diseño por flexión, cortante, la revisión del anclaje de las barras, la deflexión que presentará la viga, así como el refuerzo para el cambio volumétrico. Se intenta que este documento abarque todo lo que involucra el diseño de las vigas en condiciones más comunes, por lo tanto no se incluye la revisión de sismos, el preesfuerzo ni articulaciones plásticas, entre otras condiciones que no se presentan en todas las ocasiones. Aunque este apartado trate sólo el diseño del elemento, se presentan algunas consideraciones que se deben tomar en cuenta para realizar el análisis de la estructura, ya que al iniciar con este procedimiento se deben tener las reacciones y cargas que se presentan en la viga. El claro se contará a partir del centro del apoyo, siempre que el ancho de éste no sea mayor que el peralte efectivo de la viga; en caso contrario, el claro se contará a partir de la sección que se halla a medio peralte efectivo del paño interior del apoyo. Cuando no se tienen restricciones para elegir el peralte que tendrá la viga se puede utilizar las recomendaciones de la tabla 1. Tabla 1 Peralte efectivo recomendado Condiciones de apoyo Peralte efectivo libremente apoyada L 20 un extremo continuo L 18.5 ambos extremos continuos L 21 voladizo L 8 L : claro de la viga. 8

9 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Estos valores se aplican para concreto de peso normal y acero con f y =4200kg/cm 2. Para otros valores de f y multiplíquese los valores de esta tabla por el siguiente factor: (1) En el dimensionamiento de vigas continuas monolíticas con sus apoyos puede usarse el momento en el paño del apoyo. Para calcular momentos flexionantes en vigas que soporten losas de tableros rectangulares, se puede tomar la carga tributaria de la losa como si estuviera uniformemente repartida a lo largo de la viga. Deben analizarse los efectos de pandeo lateral cuando la separación entre apoyos laterales sea mayor que 35 veces el ancho de la viga o el ancho del patín a compresión. REFUERZO POR FLEXIÓN Según la cantidad de acero longitudinal en tensión con que esta reforzada la viga, este puede fluir antes de que se alcance la carga máxima. Cuando el acero en tensión es relativamente poco, éste fluye, por lo que el comportamiento de la viga es dúctil, es decir, se producen deflexiones considerables antes del colapso final, en este caso se dice que la viga es subreforzada. Por otra parte, si la cantidad de refuerzo en tensión es grande, éste no fluye antes del aplastamiento del concreto, ocasionando que la viga tenga una falla frágil, se dice que la viga es sobrerreforzada. Por procesos constructivos es recomendable, en la medida de lo posible, que las vigas se diseñen como simplemente armadas y por razones de seguridad que sean subreforzadas, para que presenten una falla dúctil. Viga Rectangular Simplemente Armada La viga simplemente armada es la que sólo tienen refuerzo en la zona de tensión, en la figura 5 se muestra un esquema general de ella. d h As r b Figura 5 Viga rectangular simplemente armada 9

10 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 Revisión de la Sección Para iniciar el cálculo se deberá revisar que la sección sea adecuada para una viga simplemente armada, utilizando la siguiente expresión: (2) M u : momento flexionante de diseño. b : ancho de la viga. d : peralte efectivo de la viga, es la distancia del centroide del acero en tensión hasta la fibra extrema en compresión. Si esta expresión no se cumple la sección es insuficiente, por lo que se deberá modificar la sección, aumentar la resistencia del concreto, o bien diseñarla como doblemente armada. En caso de cumplirse la condición, se continúa con el cálculo de los preliminares. Determinación de preliminares a. Dimensiones de Diseño Para calcular resistencias se harán reducciones de 20 mm en las siguientes dimensiones: Peralte efectivo correspondiente al refuerzo de lecho superior de elementos horizontales o inclinados. Ancho de vigas. Estas reducciones no son necesarias en dimensiones mayores de 200 mm, ni en elementos donde se tomen precauciones que garanticen que las dimensiones resistentes no serán menores que las de cálculo y que dichas precauciones se consignen en los planos estructurales. b. Refuerzo Mínimo El refuerzo mínimo de tensión será el requerido para que el momento resistente de la sección sea por lo menos 1.5 veces el momento de agrietamiento de la sección transformada no agrietada. El momento de agrietamiento es el debido al par momento provocado por las fuerzas de compresión y de tensión cuando éstas son iguales. Sin embargo, no es necesario que el refuerzo mínimo sea mayor que 1.33 veces el requerido por el análisis. Para referirse al refuerzo se utiliza el término de porcentaje de refuerzo, que es la proporción del área de acero con respecto a la del concreto. El porcentaje de refuerzo mínimo se calcula con la siguiente expresión: (3) p min : porcentaje de refuerzo mínimo. 10

11 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural c. Falla Balanceada La falla balanceada ocurre cuando simultáneamente el acero llega a su esfuerzo de fluencia y el concreto alcanza su deformación unitaria máxima de en compresión. Este criterio es general y se aplica a secciones de cualquier forma sin acero de compresión o con él. El porcentaje de acero balanceado para vigas rectangulares simplemente armadas se calcula con la siguiente expresión: (4) p b : porcentaje de refuerzo balanceado. d. Refuerzo Máximo El área máxima de acero de tensión en secciones de concreto reforzado que no deban resistir fuerzas sísmicas será el 90 por ciento de la que corresponde a la falla balanceada de la sección considerada. O sea: (5) p max : porcentaje de refuerzo máximo. En elementos a flexión que formen parte de sistemas que deban resistir fuerzas sísmicas, el área máxima de acero de tensión será 75 por ciento de la correspondiente a falla balanceada. Este último límite rige también en zonas afectadas por articulaciones plásticas. (6) CÁLCULO DEL ÁREA DE ACERO a. Índice de Refuerzo Es la relación entre la capacidad en tensión y la capacidad en compresión que tiene la viga, éste se calcula con la siguiente fórmula: (7) q : índice de refuerzo. 11

12 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 b. Porcentaje de Refuerzo (8) p : porcentaje de refuerzo. Se deberá revisar que el valor obtenido con esta expresión no sea mayor que el porcentaje máximo de refuerzo, o sea: (9) Si esta condición no se cumple la sección es insuficiente y se deberá de modificar la sección, aumentar la resistencia del concreto, o bien diseñarla como doblemente armada. En caso de que se cumpla la condición, se continúa revisando que el valor del porcentaje de refuerzo obtenido no sea menor que el porcentaje mínimo de refuerzo, es decir: (10) Si no se cumple esta condición se utilizará el valor del porcentaje mínimo de refuerzo para el cálculo del área de acero. Si se cumple se utilizará el valor obtenido del porcentaje de refuerzo. c. Área de Acero El área de acero se calcula con la siguiente expresión: (11) A s : área de refuerzo longitudinal por flexión. Ya calculada el área de acero, sólo se debe revisar la manera del acomodo de las barras, dividiendo el área total de acero entre el área de la barra a utilizar se obtiene el número de barras que se utilizarán. Se debe tener cuidado de que las barras quepan de manera que permitan que el concreto pase entre ellas y no se tenga problemas con el acomodo del mismo. En caso de que no quepan las barras en el ancho de la viga, se podrán colocar en varios lechos, o bien colocarlas en paquetes. Si las barras se colocan en varios lechos es recomendable revisar que el momento resistente sea igual o mayor que el momento último, ya que el acero generalmente se calcula suponiendo que se colocará en un solo nivel, al colocarlo en varios se disminuye el peralte efectivo, ya que ahora se encuentra en el centroide de todo el acero, no en el centro de las barras inferiores como se muestra en la figura 6. En seguida se presenta la manera de revisar el momento de la viga. 12

13 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural h d d h b b a. en un lecho b. en dos lechos Figura 6 variación del peralte efectivo MOMENTO RESISTENTE Para revisar el momento resistente de una sección rectangular simplemente armada se procede como se indica en seguida. a. Porcentaje de Refuerzo (12) b. Índice de Refuerzo (13) c. Momento Resistente (14) VIGA RECTANGULAR DOBLEMENTE ARMADA En ocasiones una sección simplemente armada puede ser insuficiente para resistir un determinado momento flexionante y por razones de espacio o arquitectónicas no es posible modificar la sección transversal, y no es posible o no se desea aumentar la calidad del concreto. En este caso se suele recurrir al uso del refuerzo en la zona de compresión para incrementar de esta manera la capacidad resistente de la viga. Al aumentar la cantidad de acero en tensión puede hacer que la viga sea sobrerreforzada, sin embargo el acero que se le proporciona en la zona de compresión ayuda a que la viga tenga un comportamiento dúctil. En la figura 7 se muestra un esquema general de una viga doblemente armada. 13

14 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 A's d' d h As r b Figura 7 Viga rectangular doblemente armada La viga doblemente armada se considera que se separa en dos vigas, una consiste en la viga simplemente armada con un porcentaje de refuerzo máximo y una viga complementaria que consiste en acero en tensión y acero en compresión, que resistirán la parte del momento flexionante último que no resiste la viga simplemente armada, como se muestra en la figura 8. Figura 8 Separación de una viga doblemente armada 14

15 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Se presentará el procedimiento para diseñar vigas doblemente armadas, tratando que se presente fluencia tanto en el acero de compresión como en el acero de tensión, aunque se podrá presentar el caso de que no fluya alguno de ellos o ninguno. CÁLCULO DEL REFUERZO Primero se diseña la viga simplemente armada utilizando la cuantía de acero máxima. Se verificará cuál es su momento resistente máximo, debiendo ser menor que el momento último para poder diseñarla como viga doblemente armada. (15) si la estructura no debe resistir sismos (16) si la estructura debe resistir sismos (17) (18) A s1 : acero en tensión de la viga simplemente armada con p max Como el momento último debe ser resistido por la viga simplemente armada y la viga complementaria, por diferencia de momentos se puede conocer el momento que deberá resistir la viga complementaria: (19) (20) (21) M u : momento que debe resistir la viga doblemente armada. M u1 : momento resistente de la viga 1 de la figura 4.b M u2 : momento que debe resistir la viga 2 de la figura 4.c Conocido el momento que deberá resistir la viga complementaria M u2, se puede conocer la fuerza de compresión que tendrá el acero dividiendo dicho momento entre el brazo de palanca, que es la distancia entre los centroides del acero de compresión y el acero de tensión, como se muestra en la figura 4.c. (22) 15

16 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 C s : fuerza de compresión en el acero d : recubrimiento del acero en la zona de compresión. Dividiendo esta fuerza entre el esfuerzo que tendrá el acero se obtendrá el área de acero que se deberá suministrar para obtener la fuerza C s. Como pretendemos que el acero de compresión fluya, el esfuerzo que se debe de utilizar es el de fluencia f y. (23) A s : acero a compresión. Siendo esta el área de acero en compresión que se deberá suministrar a la viga. El área de acero en tensión será la suma del área de acero de la viga simplemente armada agregándole acero en la misma cantidad que el calculado para el acero en compresión, esto es: (24) Ya calculada el área de acero, sólo se debe revisar la manera del acomodo de las barras, dividiendo el área total de acero entre el área de la barra a utilizar se obtiene el número de barras que se utilizarán. Se debe tener cuidado de que las barras quepan de manera que permitan que el concreto pase entre ellas y no se tenga problemas con el acomodo del mismo. En caso de que no quepan las barras en el ancho de la viga, se podrán colocar en varios lechos, o bien colocarlas en paquetes. Si las barras se colocan en varios lechos es recomendable revisar que el momento resistente sea igual o mayor que el momento último, ya que el acero se calcula suponiendo que se colocará en un solo nivel, al colocarlo en varios se disminuye el peralte efectivo, ya que ahora se encuentra en el centroide de todo el acero, no en el centro de las barras inferiores, como se muestra en la figura 9. En seguida se presenta la manera de revisar el momento de la viga. h d d h b b a. en un lecho b. en dos lechos 16

17 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural MOMENTO RESISTENTE Figura 9. Variación del peralte efectivo Los pasos a seguir para determinar la resistencia a flexión en forma general son los mismos que para una viga simplemente armada, con la diferencia de que la fuerza total de compresión es la suma de la fuerza de compresión en el concreto C c y la fuerza de compresión en el acero C s. Para determinar la fuerza de compresión en el acero es necesario calcular la deformación al nivel del acero de compresión ε s, y obtener a partir de dicha deformación el esfuerzo en el acero f s. Este esfuerzo puede ser menor o igual al de fluencia. Se debe establecer un estado de deformaciones tal que la sección se encuentre en equilibrio, o sea que la suma de fuerzas de compresión que actúan en una sección transversal, sea igual a la suma de las fuerzas de tensión. Una vez establecido dicho estado de equilibrio se calcula el momento de todas las fuerzas internas respecto a un eje cualquiera. Este momento es la resistencia a flexión de la sección. Se considera que una viga doblemente armada equivale a tener una viga simplemente armada aumentándole una viga complementaria, consistente en acero en compresión y tensión para obtener un par momento que aumente la resistencia de la viga sin necesidad de modificar su sección. Primeramente se debe revisar si fluye o no el acero de compresión, esto lo obtenemos con el porcentaje máximo de refuerzo p-p, con la siguiente expresión: 6000β1 d' f p p' 6000 f d f y '' c y (25) porcentaje de acero a tensión (26) porcentaje de acero a compresión (27) Si se cumple esta condición, el acero a compresión está fluyendo, por lo que se resuelve el problema con las ecuaciones del inciso , si no se cumple se resuelve según el inciso Cálculo del Momento Resistente Cuando el Acero de Compresión está Fluyendo Se pueden presentar dos condiciones: que el acero de tensión fluya o que no fluya. Se tiene que revisar en cuál de las dos condiciones se encuentra nuestro problema: a. Con fluencia en el acero de tensión Se inicia calculando la posición del eje neutro, suponiendo que el acero en compresión y tensión están fluyendo, con la siguiente expresión: 17

18 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 (28) Aunque ya se revisó el porcentaje de refuerzo balanceado se debe revisar que el acero de compresión esté fluyendo, esto se hace calculando la deformación unitaria del acero en compresión: (29) ε s : deformación unitaria del acero a compresión. Si el valor obtenido con esta expresión es menor que el acero de compresión no fluye, por lo que se calculará el momento resistente con las expresiones del inciso En caso de que el valor sea mayor o igual que se continúa con la revisión de la fluencia del acero en tensión con la siguiente expresión: (30) ε s : deformación unitaria del acero a tensión. Si el valor de la deformación unitaria del acero en tensión ε s es menor que se calcula el momento resistente con las expresiones del inciso b. Ya conocidas las deformaciones unitarias del acero, y habiendo revisado que tanto el acero de tensión como el de compresión fluyen, el momento resistente se calcula con la siguiente expresión: (31) (32) a : profundidad del bloque equivalente de esfuerzos M R : momento resistente de la viga. b. Sin fluencia en el acero de tensión Calculamos la profundidad del eje neutro, suponiendo que al acero de compresión fluye y el de tensión no fluye, con la siguiente expresión: (33) 18

19 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural A continuación se revisa que el acero en compresión realmente fluya y se calcula la deformación unitaria del acero de tensión con las siguientes expresiones: Para el acero a compresión: (34) Si no se cumple esta condición, se procede con las ecuaciones del inciso Para el acero a tensión: (35) Si no se cumple la condición anterior, nos remitimos al inciso a. Ya conocidas las deformaciones unitarias del acero, y habiendo revisado que el acero de tensión no fluye y el de compresión sí, el momento resistente se calcula con la siguiente expresión: (36) Cálculo del Momento Resistente Cuando el Acero de Compresión no está Fluyendo Al igual que en el inciso se pueden presentar dos condiciones: que fluya el acero de tensión o que no. a. Con fluencia del acero de tensión Calculamos la posición del eje neutro, suponiendo que el acero de compresión no fluye y el de tensión sí, con la siguiente expresión: (37) Se deberá revisar la fluencia del acero en tensión, y que no fluya el acero en compresión: Para el acero a compresión: (38) En caso de no cumplirse esta condición, se deberá revisar conforme inciso Para el acero a tensión: 19

20 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 (39) En caso de que no se cumpla con la anterior expresión, se utilizan las ecuaciones del inciso b. El momento resistente se calcula con la siguiente expresión: (40) (41) b. Sin fluencia en el acero de tensión Se calcula la posición del eje neutro, suponiendo que no fluye ni el acero de tensión ni el de compresión, con la siguiente expresión: (42) Obtenida la posición del eje neutro se calculan las deformaciones unitarias y se revisa que se cumplan las condiciones de fluencia: Para el acero a tensión: (43) En caso de no cumplirse esta condición se deberá seguir lo indicado en el inciso Para el acero a compresión: (44) Cuando no se cumpla este valor máximo deberá seguirse el inciso a. El valor del momento resistente se calcula, ya conocidas las deformaciones unitarias, con la siguiente expresión: (45) 20

21 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural (46) VIGA T Estas se presentan generalmente en las losas que se cuelan monolíticamente con las vigas, tomando las nervaduras como el alma de la viga y el concreto a compresión como el patín. En la figura 10 se muestra un esquema general de una viga T. b t h d r b' Figura 10 Viga T Para diseñar una viga T, lo primero que se debe hacer es definir el ancho b efectivo de la sección T. ANCHO EFECTIVO El ancho del patín que se considere trabajando a compresión en secciones T a cada lado del alma será el menor de los tres valores siguientes: a) La octava parte del claro menos la mitad del ancho del alma; b) La mitad de la distancia al paño del alma del miembro más cercano; y c) Ocho veces el espesor del patín. REVISIÓN DE LA SECCIÓN Una vez que se ha definido la sección se revisa que la viga trabaje realmente como una viga T, para esto se calcula la profundidad del eje neutro, de la siguiente forma: Se calcula el índice de refuerzo como si se tuviera una viga rectangular de ancho b: (47) De este modo se obtiene el valor de a, con la siguiente fórmula: 21

22 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 (48) Si el valor obtenido de a es menor que el valor de t en realidad la sección no trabaja como viga T, por lo que se diseña como una viga rectangular de ancho b, como se indica en el inciso 2.1 para simplemente armadas o en el inciso 2.2 para doblemente armada; si el valor de a es mayor que el de t la sección sí trabaja como viga T. DISEÑO DEL REFUERZO Se comprobará que el área del refuerzo transversal que se suministre en el patín, incluyendo el del lecho inferior, no sea menor que 10/f y veces el área transversal del patín. La longitud de este refuerzo debe comprender el ancho efectivo del patín y a cada lado de los paños del alma. La viga T se considera dividida en dos vigas: una formada por el alma y una parte del acero y la otra formada por el patín y otra parte del acero, como se muestra en la figura 11. Figura 11 Separación de viga T 22

23 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Víga Patín El acero de refuerzo de la viga patín se calcula con la siguiente expresión: (49) A sp : acero a tensión en la viga patín. Teniendo la cantidad de acero de la viga patín se puede obtener el momento resistente de ésta, con la siguiente fórmula: (50) M p : momento resistente de la viga patín. Víga Alma El momento resistente de la viga T completa M R =M u será la suma de los momentos resistentes de las vigas patín y alma M u =M p +M a, por lo que se puede conocer el momento que debe resistir la viga alma, ya que se conocen los otros dos momentos. El momento que debe resistir la viga alma es: (51) M a : momento que debe resistir la viga alma. Al conocer el momento que debe resistir la viga alma se puede diseñar ésta, esto se hace como una viga rectangular con un ancho igual a b, como se describe en el punto 2.1, ya que precisamente eso es. En caso de que no sea suficiente el armado simple en la viga alma se puede diseñar como doblemente armada, como se describe en el punto 2.2. Momento Resistente Víga T Simplemente Armada Primero se debe saber si la sección realmente está trabajando como viga T, para esto se calcula la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos, con la siguiente fórmula: (52) 23

24 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 Si el valor de a es menor a t, la sección realmente no es una viga T, sino una viga rectangular de ancho b, en este caso el momento resistente se calculará como se muestra en el punto Si la sección está trabajando como viga T, el momento resistente se calcula con la siguiente ecuación: (53) Víga T Doblemente Armada Primero se debe saber si la sección realmente está trabajando como viga T, para esto se calcula q como si fuera una viga rectangular de ancho b con las ecuaciones 54 y 55, con esto se calcula la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos con la fórmula 56: (54) (55) (56) Si el valor de a es menor a t, la sección realmente no es una viga T, sino una viga rectangular de ancho b, en este caso el momento resistente se calculará como se muestra en el punto Si la sección está trabajando como viga T, el momento resistente se calcula por separado el momento resistente de la viga patín y de la viga alma. a. Víga patín Para calcular el momento resistente de la viga patín primero debemos calcular el área de acero que le corresponde a la compresión del patín, esto se calcula con la ecuación 57: (57) Ahora el momento resistente se calcula multiplicando el área de acero por su brazo de palanca, esto se muestra en la ecuación 58: (58) b. Víga alma El momento resistente de la viga alma se calcula como el de una viga rectangular doblemente armada, como se describe en el inciso 2.2.2, ya que eso es precisamente. 24

25 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural c. Momento resistente total El momento resistente de la viga T total es la suma de los momentos parciales del patín y del alma, tal como se muestra en la ecuación 59: (59) Refuerzo por Cortante Este refuerzo debe estar formado por estribos cerrados perpendiculares u oblicuos al eje de la pieza, barras dobladas o una combinación de estos elementos. También puede usarse malla de alambre soldado. Los estribos deben rematar en una esquina con dobleces de 135 grados, seguidos de tramos rectos de no menos de seis diámetros de la barra ni menos de 80 mm de largo. En cada esquina del estribo debe quedar por lo menos una barra longitudinal. El radio interior de un doblez no será menor que: (56) R d : radio interior de doblez. d b : diámetro de la barra. a menos que dicha barra quede doblada alrededor de otra de diámetro no menor que el de ella, o se confine adecuadamente el concreto, por ejemplo mediante refuerzo perpendicular al plano de la barra. No se usará acero de f y mayor que 4200 kg/cm². Para dimensionar, el esfuerzo de fluencia de la malla no se tomará mayor que 4200 kg/cm². No se tendrán en cuenta estribos que formen un ángulo con el eje de la pieza menor de 45 grados, ni barras dobladas en que dicho ángulo sea menor de 30 grados. Resistencia del concreto al cortante El valor del cortante que resistirá el concreto será igual a: (61) (62) V CR : fuerza cortante de diseño que toma el concreto P : porcentaje de refuerzo por flexión en la sección donde se está calculando el V CR. Estas ecuaciones son válidas para vigas con relación L/h 5 y h 700mm, en caso de que no cumplan con estas condiciones, el valor calculado de V CR se multiplicará por el factor correspondiente de la tabla 2. Tabla 2 Factores que afectan al cortante que resiste el concreto 25

26 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 Condición Si h > 700mm Factor ( h ) Si L/h < 4 y las cargas y reacciones confinan directamente las caras 2.5 superior e inferior M 3.5 > 1 Vd V 1.5F bd f * pero CR R c Si L/h < 4 pero las cargas y reacciones no comprimen directamente las caras superior e inferior 1 h: peralte total de la viga. Para valores de 5 L/h 4 se hará variar linealmente V CR de las ecuaciones. Valor Máximo de V U Se tomará como cortante último el valor que se encuentre a una distancia igual al peralte efectivo d a partir del paño del apoyo. No se permitirá que el cortante sea mayor que: (63) V u : fuerza cortante de diseño. En caso de que esto no se cumpla, se deberá modificar la sección. Revisar si: (64) Si no se cumple esta condición no se requiere refuerzo transversal (estribos) para resistir la fuerza cortante actuante, y sólo se le colocará el área mínima de refuerzo. En caso de cumplirse la condición se deberá colocar refuerzo transversal. Cálculo del Refuerzo Transversal Separación Necesaria de los Estribos (65) A v : área transversal del refuerzo por tensión diagonal comprendida en una distancia s. θ : ángulo que dicho refuerzo forma con el eje de la pieza. 26

27 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Restricciones para la Separación La separación no debe exceder el menor de estos valores: (66) (67) Área Mínima de Refuerzo En vigas debe suministrarse un refuerzo mínimo por tensión diagonal cuando la fuerza cortante de diseño sea menor que V cr. Este refuerzo estará formado por estribos verticales de diámetro no menor de 7.9 mm (número 2.5), cuya separación no excederá de medio peralte efectivo. El área de refuerzo mínimo para vigas será la calculada con la siguiente expresión: (68) A vmin : área mínima de refuerzo transversal comprendido en una distancia s. s : separación del refuerzo transversal. REFUERZO POR CAMBIOS VOLUMÉTRICOS En las paredes de vigas con peraltes superiores a 750 mm debe proporcionarse refuerzo longitudinal por cambios volumétricos de acuerdo a lo siguiente: En toda dirección en que la dimensión de un elemento estructural sea mayor que 1.5m, el área de acero que se suministre no será menor que: (69) a s1 área transversal del refuerzo colocado en la dirección que se considera por unidad de ancho de la pieza. El ancho mencionado se mide perpendicularmente a dicha dirección y a x 1 x 1 dimensión mínima del miembro medida perpendicularmente al refuerzo. Si x 1 no excede de 150mm, el refuerzo puede colocarse en una sola capa. Si x 1 es mayor que 150mm el refuerzo se colocará en dos capas próximas a las caras del elemento. En elementos estructurales expuestos directamente a la intemperie o en contacto con el terreno el refuerzo no será menor de 1.5a s1. 27

28 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 Por sencillez, en vez de emplear la fórmula anterior puede suministrarse un refuerzo mínimo con cuantía igual a en elementos estructurales protegidos de la intemperie y en los expuestos a ella o que estén en contacto con el terreno. La separación del refuerzo por cambios volumétricos no excederá de 500mm ni de 3.5x 1. Puede prescindirse del refuerzo por cambios volumétricos en elementos donde, desde el punto de vista de resistencia y aspecto, se justifique. Se puede tener en cuenta este refuerzo en los cálculos de resistencia si se determina la contribución del acero por medio de un estudio de compatibilidad de deformaciones según las hipótesis básicas que se mencionan al principio. DEFLEXIONES Las dimensiones de elementos de concreto reforzado deben ser tales que las deflexiones que puedan sufrir bajo condiciones de servicio o trabajo no dañen otros elementos. Además se debe cuidar que las deflexiones no se presenten de tal forma que presenten mal aspecto, o mal funcionamiento, dañando la estética. Deflexión inmediata Las deflexiones que ocurren inmediatamente al aplicar la carga se calcularán con los métodos o fórmulas usuales para determinar deflexiones elásticas, a menos que se utilice un análisis más racional o que se disponga de datos experimentales. Las deflexiones de elementos de concreto de peso normal se calcularán con el momento de inercia efectivo, calculado con las siguientes ecuaciones: para concretos clase 1 f f ' = 2 f c (70) para concretos clase 2 f f ' = 1.4 f c (71) para viga rectangular 3 bh Ig = (72) 12 y = t h t ( ) 2 2 ' bt + b d t ' bt h + b h t ( ) (73) para viga T 28

29 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural ( b ) b t ' Ig = + + bh y + ( b b ) t y ' 3 ' bh ' h t (74) c At = (75) sy '' c 1 fb β h2 = d c (76) M ag f I f g = (77) h 2 n E E s = (78) c para vigas rectangulares simplemente armadas bc I na d c ag = + s ( ) (79) para vigas rectangulares doblemente armadas para vigas T simplemente armadas 3 bc 2 2 Iag = + nas ( d c) + ( n 1) As ( c d) (80) 3 3 ' 3 4bt b ( c t) 2 Iag = + btc bt c + + nas ( d c) (81) ' 3 4bt b ( c t) 2 ' 2 Iag = + btc bt c + + nas ( d c) + ( n 1) As ( c d ) (82) para vigas T doblemente armadas 3 3 M M I = I + 1 I I ag ag e g ag g Mmax Mmax (83) 29

30 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 f f : módulo de rotura. I g : momento de inercia centroidal de la sección bruta de concreto. M ag : momento de agrietamiento. h 2 : distancia entre el eje neutro y la fibra más esforzada a tensión. E s : módulo de elasticidad del acero. E c : módulo de elasticidad del concreto. I ag : momento de inercia de la sección transformada agrietada I e : momento de inercia efectivo. M max : momento flexionante máximo correspondiente al nivel de carga para el cual se estima la deflexión. En forma opcional, y como simplificación de la estimación anterior, se puede emplear el momento de inercia de la sección transformada agrietada (I ag ) en vez del momento de inercia efectivo. En claros continuos, el momento de inercia que se utilice será un valor promedio calculado en la forma siguiente: para vigas con los dos extremos continuos (84) para vigas con un sólo extremo continuo (85) donde I 1, I 2 : momentos de inercia de las secciones extremas del claro I 3 : momento de inercia de la sección central Luego de calcular el momento de inercia que se utilizará para el cálculo de las deflexiones, se debe seleccionar la fórmula adecuada para las deflexiones, dependiendo de las condiciones de apoyo de la viga. En la tabla 3 se presenta la fórmula para algunas de las vigas más comunes. 30

31 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural Tabla 3 Deflexiones inmediatas para algunas condiciones de apoyo w a P L L (86) (87) w a P b L L (88) (89) w a b P L (90) L (91) a P b a P b L L (92) (93) Deflexión diferida La deflexión adicional que ocurra a largo plazo en miembros de concreto normal, sujetos a flexión, se obtendrá con la siguiente expresión: para elementos de concreto clase 1 31

32 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 (94) para elementos de concreto clase 2 (95) donde p : es la cuantía de acero a compresión (As /bd ). En elementos continuos se usará un promedio de p calculado con el mismo criterio aplicado para determinar el momento de inercia. Deflexión total La deflexión total que se presentará en la viga se calculará con la siguiente fórmula: (96) y t : deflexión total. Deflexión admisible (97) cuando la estructura no daña a otros elementos no estructurales (98) cuando la estructura puede dañar a otros elementos no estructurales Cuando la deflexión total que se puede presentar en la viga es mayor a la permisible, se puede contrarrestar con una contraflecha al momento de construir el elemento, sin embargo es más recomendable volver a diseñar la estructura para evitar que la flecha sea demasiado grande. ANCLAJE La fuerza de tensión o compresión que actúa en el acero de refuerzo en toda sección debe desarrollarse a cada lado de la sección considerada por medio de adherencia en una longitud suficiente de barra o de algún 32

33 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural dispositivo mecánico. La fuerza de tensión se valuará con el máximo momento flexionante de diseño que obra en la zona comprendida a un peralte efectivo a cada lado de la sección. Los requisitos a los que se refiere el anclaje y del párrafo anterior se cumplen para el acero a tensión, sí: Las barras que dejan de ser necesarias por flexión se cortan o se doblan a una distancia no menor que un peralte efectivo más allá del punto teórico donde, de acuerdo con el diagrama de momentos, ya no se requieren. En las secciones donde, según el diagrama de momentos flexionantes, teóricamente ya no se requiere el refuerzo que se corta o se dobla, la longitud que continúa de cada barra que no se corta ni se dobla es mayor o igual que L d + d. Este requisito no es necesario en las secciones teóricas de corte más próximas a los extremos de vigas libremente apoyadas. A cada lado de toda sección de momento máximo, la longitud de cada barra es mayor o igual que la longitud de desarrollo que se define en la longitud de desarrollo de barras a tensión, en el punto de este procedimiento. Cada barra para momento positivo que llega a un extremo libremente apoyado, se prolonga más allá del centro del apoyo y termina en un doblez de 90 ó 180 grados, seguido por un tramo recto de 12d b o 4d b respectivamente. El doblez debe cumplir con los requisitos mencionados en el punto de barras con dobleces, en el punto de este procedimiento. En caso de no contar con un espacio suficiente para alojar el doblez, se empleará un anclaje mecánico equivalente al doblez. Estos deben ser capaces de desarrollar la resistencia del refuerzo por anclar, sin que se dañe el concreto. Pueden ser, por ejemplo, placas soldadas a las barras, o dispositivos manufacturados para este fin. Los anclajes mecánicos deben diseñarse y en su caso comprobarse por medio de ensayes. Bajo cargas estáticas, se puede admitir que la resistencia de una barra anclada es la suma de la contribución del anclaje mecánico más la adherencia en la longitud de barra comprendida entre el anclaje mecánico y la sección crítica. Elementos típicos en los que pueden ser necesarios los anclajes mecánicos son las vigas diafragma y las ménsulas. En extremos libremente apoyados se prolongará, sin doblar, hasta dentro del apoyo, cuando menos la tercera parte del refuerzo de tensión para momento positivo máximo. En extremos continuos se prolongará la cuarta parte. Cuando la viga sea parte de un sistema destinado a resistir fuerzas laterales accidentales, el refuerzo positivo que se prolongue dentro del apoyo debe anclarse de modo que pueda alcanzar su esfuerzo de fluencia en la cara del apoyo. Al menos la tercera parte del refuerzo negativo que se tenga en la cara de un apoyo se prolongará más allá del punto de inflexión una longitud no menor que la menor de las siguientes distancias: 1. un peralte efectivo d b. 3. L/16 Longitud de Desarrollo Longitud de Desarrollo de Barras a Tensión Barras rectas Las disposiciones de esta sección son aplicables a barras de diámetro no mayor que 38.1 mm (número 12). La longitud de desarrollo en la cual se considera que una barra a tensión se ancla de modo que desarrolle su esfuerzo de fluencia, se obtendrá con las siguientes ecuaciones : 33