Árboles B y B ) 20. Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 63

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Josefina Palma Blázquez
hace 6 años
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1 y B y B+! Problema de los ABB cuando se usa almacenamiento secundario:! la búsqueda de un elemento requeriría muchos accesos a disco (un acceso a disco es extremadamente lento si lo comparamos con un acceso a memoria)! Ej.: para un millón de elementos Nº accesos a disco = O(h) = O(log ) 20! Solución: conseguir mayor grado de ramificación para así tener menor altura en el árbol. La altura de un árbol M-ario (multicamino) completo es O(log M N)! Ej.: para un millón de elementos y M = 10 Nº accesos a disco = O(h) = O(log ) = 6 Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 62 y B +! Almacenar más datos en cada nodo del árbol, sin que el incremento suponga un trabajo extra de localización de un elemento en el nodo. Este nodo se llamará página p 0 k 1 p 1 k 2 p 2...k i-1 p i-1 k i k m-1 p m-1 " Una página es un nodo donde los k i son elementos tales que k i-1 < k i, donde 0 < i < m, y p i, donde 0 i < m, son apuntadores a subárboles " i =1..m-2, p i apunta a una página cuyas claves son mayores o iguales que k i y menores que k i+1 " p 0 apunta a una página cuyas claves son menores que k 1 " p m-1 apunta a una página cuyas claves son mayores o iguales que k m-1 " A cada página se accede en bloque Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 63

2 3.8.1! Caso especial de árboles equilibrados, cuyos nodos pueden tener más de dos hijos y cuyas ramas están ordenadas a modo de árbol binario de búsqueda! Propuesto por Bayer y McCreight! Su principal utilidad se encuentra en la gestión de los índices en bases de datos! Formalmente: a) Cada página, excepto la página raíz y las páginas hojas, tienen entre m/2 y m hijos, donde m es el orden del árbol b) Cada página, excepto la raíz, contiene entre m/2-1 y m - 1 elementos c) La página raíz, o es una hoja o tiene entre 2 y m hijos d) Las páginas hojas están todas al mismo nivel Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 64! Ej. de árbol B de orden 5:! Cada nodo, excepto la raíz, puede tener entre 3 y 5 hijos! Cada página, excepto la raíz, contiene entre entre 2 y 4 elementos! La página raíz tiene 2 hijos Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 65

3 Operación de búsqueda! Generalización del proceso de búsqueda en ABB! La página sobre la cual vamos a buscar debe estar en memoria principal! Sea x el elemento buscado! Pasos: 1. Si n (número de elementos de la página) es suficientemente grande, se puede utilizar la búsqueda binaria. En caso contrario, una búsqueda secuencial será suficiente 2. Si la búsqueda es infructuosa se estará en una de las siguientes situaciones: a. k i-1 < x < k i para 1 < i n. La búsqueda continúa en la página apuntada por p i-1 b. k n < x. La búsqueda continúa en la página apuntada por p n c. x < k 1. La búsqueda continúa en la página apuntada por p 0 3. Si en algún caso el apuntador p i es nulo, es decir, si no hay página hijo, entonces no hay ningún elemento x en todo el árbol y se acaba la búsqueda Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 66 Operación de inserción! Pasos:! Se busca la clave a insertar en el árbol siguiendo el algoritmo anterior! Si la clave no está en el árbol, la búsqueda termina en un nodo hoja! Si el nodo hoja no está lleno (n < m 1), la inserción es posible en dicho nodo y el proceso termina Ej: inserción del 45 Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 67

4 Operación de inserción! Pasos:! Si la hoja está llena (n = m 1), se divide el nodo (incluyendo virtualmente la nueva clave) en dos nodos. La clave central sube en el árbol por el camino de búsqueda para ser insertada en el nodo antecedente. En esta ascensión puede ocurrir que se llegue al nodo raíz y éste se encuentre lleno. En ese caso, aumenta en 1 la altura del árbol Ej: inserción del 70 Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 68! Casos:! El elemento a borrar se encuentra en una página hoja se suprime! La clave a borrar no se encuentra en una página hoja, entonces debe sustituirse por la clave que se encuentra más a la izquierda en el subárbol derecho o por la clave que se encuentra más a la derecha en el subárbol izquierdo! Debe verificarse el valor de n después de la eliminación:! Si n m/2 1 entonces se trasladan las claves hacia la izquierda y termina la operación de borrado! En caso contrario, se exploran las hojas hermanas adyacentes. Si en alguna de ellas, n > m/2 1, uno de los elementos sube al nodo padre para que descienda de éste otra clave al nodo que se quiere restaurar Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 69

5 ! Ej: eliminación del 39 Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 70! Debe verificarse el valor de n después de la eliminación:! Si en las hojas hermanas contiguas n = m/2 1, se fusiona con una de sus hermanas adyacentes, incluyendo en el nuevo nodo el elemento del padre situado entre ambas páginas. Esta fusión puede dejar al padre con un número de elementos por debajo del mínimo el proceso se propaga hacia la raíz. Si se utiliza el último elemento de la raíz, la altura del árbol disminuye en una unidad Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 71

6 ! Ej: eliminación del Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 72! Ej: eliminación del Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 73

7 ! Los árboles-b + se han convertido en la técnica más utilizada para la organización de archivos indexados! Todas las claves se encuentran en las hojas (a diferencia de los árboles-b, en que las claves podían estar en las páginas intermedias) y por lo tanto cualquier camino desde la raíz hasta alguna de las claves tienen la misma longitud! Formalmente: a) Cada página, excepto la raíz, tiene entre m/2 y m descendientes b) Cada página, excepto la raíz, contiene entre m/2 1 y m 1 elementos c) La página raíz, o es hoja o tiene al menos 2 hijos d) Las páginas hojas están todas al mismo nivel e) Todas las claves se encuentran en las páginas hojas f) Las claves de las páginas raíz e interiores se utilizan como índices g) Las hojas están enlazadas Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 74 +! Observaciones:! La aparición de una clave en un nodo interior no garantiza su existencia en un nodo hoja! Al buscar un elemento, si éste se encuentra en una página raíz o interior, debe continuarse la búsqueda por la rama derecha de dicha clave, hasta llegar a una hoja! Ej. de árbol B + de orden 5: Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. en Informática de Gestión/Sistemas Universidad de Huelva 75

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