Instructivo Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler con n = 3

Transcripción

1 Instructivo Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler con n = 3 Por: Jesús Evenson Pérez Arenas Indicador: Introducir el concepto de probabilidad realizando un número n de ensayos calculando las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas y su grafico de frecuencia relativa del experimento aleatorio las coincidencias de los sombreros de Euler, comprobando como se aproximan estos ultimos a los valores de la probabilidad tal como lo explica la ley de los grandes números. Situación Problema Tres señores, cada uno con su sombrero, van a la ópera y al entrar dejan los sombreros en el guardarropa. A la salida cada uno toma al azar un sombrero. Cuál es la probabilidad de que ninguno de los señores reciba su sombrero? Figura 1: Diseño final Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3

2 Es conveniente tener activados en Geogebra la vista algebraica, vista grafica y la barra de entrada. Paso 1: Abrir Geogebra escoges la opción del menú Archivo Guarda y le das el nombre de: Las coincidencias de los sombreros de Euler con n =3 Paso 2: Configurar la vista grafica: Debemos ubicar los ejes principales X e Y en el centro de la pantalla: Seleccionar la herramienta desplaza vista grafica con clic sostenido ubica los ejes en el centro de la vista gráfica. Clic derecho en vista grafica selecciona la opción vista grafica en la ventana que sale configurar: en Básico x Min = y x Max = 9.38, en y Min = e y Max = 1.01, en el Eje X selecciona solo la rama positiva y distancia 1, luego Eje Y selecciona solo la rama positiva y distancia 0.1, en cuadricula x=1 e y=0.1. Figura 2: Ventanas propiedades escala vista grafica Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3

3 Observación: Verifique que la configuración si tiene la presentación adecuada debe ser similar a los ejes del grafico diseño final. También puede organizar su propio pantallazo. Es conveniente volver a desactivar solo la rama positiva del eje de x con el propósito de ubicar mejor los objetos. Paso 3: Introducir texto Seleccionamos la casilla insertar texto hacemos clic vista grafica donde queramos introducir el texto en este caso parte central superior de la pantalla y escribimos en la ventana que se despliega : Los Sombreros de Euler n=3

4 Selecciona la casilla elige y mueve dar clic derecho al texto escoges la opción del menú propiedades y en preferencias de texto Sans Serif: Grande opción negrilla, Color: Negro o cualquier otro color según su preferencia. Paso 4: Construir un deslizador con las siguientes propiedades: Debes seleccionar la opción de barra de herramientas la opcion deslizador luego dar clic en la parte grafica donde va ubicar el deslizador en la ventana que se despliega introduces: nombre: nlanzamientos Deslizador/intervalo: Min: 0 Máx: Incremento: 1 En la pestaña deslizador escogemos Horizontal, Ancho: 200 Pulsar Aplica. (ver figura 74) Figura 3: Ventana propiedades deslizador Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3

5 Paso 5: Crear listas con los valores aleatorios. Introducimos en el campo de entrada: OrdenarSombreros=Secuencia[ElementoAleatorio[{123, 132, 213, 231, 312, 321}], n, 1, nlanzamientos] contiene los elementos del espacio muestral asignando a cada señor un número de sombrero en orden. Crear lista con el primer elemento de OrdenarSombreros Listaprimerelemento= {Cociente[Elemento[OrdenarSombreros, 1], 100], Cociente[Resto[Elemento[OrdenarSombreros, 1], 100], 10], Resto[Elemento[OrdenarSombreros, 1], 10]} Separa en una lista cada uno de los digitos del primer elemento de la lista OrdenarSombreros. La funcion Cociente devuelve el cociente entre la división de dos enteros y la función Resto devuelve el residuo de la division entre dos enteros. Esta lista es de gran ayuda para indicar en la simulación las coincidencias de los sombreros de Euler. Crear una lista con los valores de la frecuencia obtenida por los resultados de las coincidencias es decir de un número n de lanzamientos indica cuantos resultados salieron de cada elemento del espacio muestral guardados en la lista anterior. OrdenarSombreros. Escribimos en el campo de entrada:

6 En la columna A los números que indican el orden de los sombreros A1="Números", A2="123", A3="132", A4="213", A5="231", A6="312 ", A7="321", A8="Total". en la columna B Las frecuencias absolutas, indicando los elementos del espacio muestral es decir cuantos salen aleatoriamente de cada uno. B1= "Frecuencia Absoluta", B2 = CuentaSi[x ==123, OrdenarSombreros] B3 = CuentaSi[x ==132, OrdenarSombreros] B4 = CuentaSi[x ==213, OrdenarSombreros] B5= CuentaSi[x ==231, OrdenarSombreros] B6 = CuentaSi[x ==312, OrdenarSombreros] B7 = CuentaSi[x ==321, OrdenarSombreros] B8 = nlanzamientos. En la columna C las frecuencias Relativas C1= "Frecuencia Relativa", C2=B2/B8, C3=B3/B8, C4=B4/B8, C5=B5/B8, C6=B6/B8, C7=B7/B8, C8= Suma[C2:C7]. Redondear a 4 cifras decimales Para ver las frecuencias relativas con 4 decimales selecciona las celdad C2 hasta C7 con clic sostenido luego escoges la opción del menú: opciones/redondeo/4 cifras decimales. Esto para que los estudiantes puedan inferir la aproximación de los resultados cuando el número n de lanzamientos es muy alto por ejemplo

7 Figura 4: Ventana opción redondeo Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3 Crear lista con las frecuencias absolutas fsombreros = {B2, B3, B4, B5, B6, B7} Crear listas con frecuencias relativas FrSombreros= Secuencia[Elemento[fSombreros, i] / nlanzamientos, i, 1, Longitud[fSombreros]] Observación: Las listas anteriores son fundamentales para el objetivo final de la actividad. Es bueno que verifiques si estas obteniendo los resultados correctos verificando con un número pequeño de lanzamientos. Paso 6: Ahora vamos a resolver el número de las frecuencias absolutas y relativas de las coinicidencias de acuerdo a la situación problema de Euler.

8 Introducimos en el campo de entrada o en las celdas correspondientes: A10="Nro. Coincidencias", A11="0" A12="1", A13="2", A14="3", A11="Total" B10="F. Absoluta", B11=B5 + B6, B12 = B3 + B4 + B7, B13 =0, B14 = B2, B15= nlanzamientos Explicación: B11=B5 + B6 : Indica el número coincidencias = 0, es decir cuando en la lista aleatoria OrdenarSombreros son los elementos 231 y 312 no hay coincidencias. B12 = B3 + B4 + B7 : Indica el número coincidencias = 1, es decir cuendo en la lista aleatoria OrdenarSombreros son los elementos 132, 213, 321 hay una sola coincidencia. B13 =0 : cuando el arreglo son de 3 elementos no hay dos coincidencias. B14 = B2 : Indica el número coincidencias = 3, es decir cuando en la lista aleatoria OrdenarSombreros es el elemento 123 todos coinciden. Obtener las frecuencias relativas de las no coincidencias tomando como referencia la celda B15. C10 = "F. Relativa", C11= B11/B15, C12 = B12/B15, C13= B13/B15, C14 = B14/B15, C15= suma[c11:c15]. Crear lista de frecuencia relativa de coincidencias para graficar ingresar en el campo de entrada:

9 Frcoincidencias={C11,C12,C13,C14}. Nrocoincidencias={0,1,2,3} Paso 7: Insertar imágenes. Para esto es importante que se tengan las imágenes de cada elemento del espacio muestral en un archivo. Figura 5: Imagen Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3 Construir 9 puntos A, B, C,D,E,F,G,H,I donde vamos ubicar las imágenes de los sombreros. Seleccionar la opción de herramienta punto luego clic en la vista grafica. Figura 6: Insertar puntos Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3.

10 Seleccionar el icono insertar imagen y hacemos clic en vista grafica, en la ventana que sale buscamos el archivo que contiene las imágenes la seleccionamos y pulsamos abre (escoger la imagen con el número 1 o el sombrero del señor 1 ). Luego clic derecho sobre la imagen en propiedades/posición seleccionamos las esquinas donde vamos a ubicar la imagen Esquina 1: A Esquina 2: B Esquina 3: C Observación: Verifique que la imagen si quede en el plano conveniente. Continuamos en la pestaña avanzado. Condición para mostrar el objeto escribimos: Elemento[Listaprimerelemento, 1] ==1 para mostrar el sombrero 1 en la posicion 1. Figura 7: Ventana propiuedades imagenes Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3

11 Hacemos lo mismo para las imágenes 2 y 3 colocando en la pestaña avanzado. Condición para mostrar el objeto escribimos: Elemento[Listaprimerelemento, 1] ==2 para mostrar el sombrero 2 en la posicion 1. Elemento[Listaprimerelemento, 1] ==3 para mostrar el sombrero 3 en la posicion 1. Insertar imagen en las esquinas con los puntos D,E,F: Realizamos el paso anterior para ubicar las imagenes : Esquina 1: D Esquina 2:E Esquina 3: F Observación: Verifique que la imagen si quede en el plano conveniente. Continuamos en la pestaña avanzado. Condición para mostrar el objeto escribimos: Elemento[Listaprimerelemento, 2] ==1 para mostrar el sombrero 1 en la posicion 2. Elemento[Listaprimerelemento, 2] ==2 para mostrar el sombrero 2 en la posicion 2. Elemento[Listaprimerelemento, 2] ==3 para mostrar el sombrero 3 en la posicion 2. Insertar imagen en las esquinas con los puntos G,H,I: Realizamos los pasos anteriores para ubicar las imagenes : Esquina 1: G Esquina 2:H

12 Esquina 3: I Observación: Verifique que la imagen si quede en el plano conveniente. Continuamos en la pestaña avanzado. Condición para mostrar el objeto escribimos: Elemento[Listaprimerelemento, 3] ==1 para mostrar el sombrero 1 en la posicion 3. Elemento[Listaprimerelemento, 3] ==2 para mostrar el sombrero 2 en la posicion 3. Elemento[Listaprimerelemento, 3] ==3 para mostrar el sombrero 3 en la posicion 3. Observación: Las imagenes anteriores son fundamentales para el objetivo final de la actividad. Es bueno que verifiques si estas obteniendo los resultados correctos en las imágenes de los sombreros con el deslizador en nlanzamientos = 1, y tecleando f9. Paso 8: Inserta casilla de entrada seguido del deslizador en la ventana que aparece coloca el titulo de: Escriba el número de ensayos. clic en aplica (Hemos construido la casilla de entrada). Debemos organizar lo siguiente: clic derecho sobre la casilla de entrada en propiedades/basico/definición escribe: CasillaDeEntrada[nLanzamientos], en la misma ventana en la opción estilo/longitud de la caja de entrada escribe el número: 6, cerrar ventana. Observa que el deslizador y la casilla de entrada estan relacionadas con la misma variable. La casilla de entrada puede ser muy util cuando necesitemos realizar la

13 simulación de un número exacto de lanzamientos porque el deslizador es mas sensible. Figura 8: Ventana caja de entrada Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3 Paso 9: Inserta texto encima del deslizador nlanzamientos escribe: Mueva nlanzamientos para tomar el # de ensayos o escriba el número de ensayos en la caja de entrada. Paso 10: Inserta texto Debajo de la casilla de entrada escribe: Tecla F9 si va a repetir el experimento el mismo número de veces Paso 11: Insertar texto al lado de la imagen posición 3 para ver el primer resultado aleatorio del ensayo. Seleccionar texto clic parte grafica al lado de los sombreros. En la ventana que sale escoge el objeto: listaprimerelemento luego ok Clic derecho al texto en propiedades. Texto Grande y Negrilla, Color: Azul,

14 Observación: Verificar los resultados del ensayo esten en la misma posición. con el deslizador en nlanzamientos = 1, y tecleando f9. Paso12: Insertar texto seleccionando formula latex. Para las probabilidades clasicas Introducir el texto debajo de la imagen dados: Probabilidad= \frac {casos\; favorables}{casos\;posibles} Recuerde seleccionar la opción formula latex. Figura 9: Ventana propiedades texto Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3 Insertar texto debajo del texto anterior. NC: No coincidencias, # coincidencias cero. 1C: Una coincidencia

15 2C: Dos Coincidencias TC: Todos coincidens, # coincidencias 3 Insertar texto seleccionando formula latex. Debajo del texto anterior P(NC)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}= Insertar texto seleccionando formula latex. al lado del texto anterior. P(1C)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}= 0.5 Insertar texto seleccionando formula latex. Debajo del texto P(NC). P(2C)=\frac{0}{6}=0 Insertar texto seleccionando formula latex. al lado del texto anterior. P(TC)=\frac{1}{6}= Insertar texto debajo de las barras en: Debajo de 0: NC, Debajo de 1: 1C, Debajo de 2: 2C, Debajo de 3: TC. Paso 13: Construir la tabla de frecuencias de los resultados aleatorios de cada uno de los elementos del experimento aleatorio. Insertar texto propiedades texto en negrilla, mediano.

16 Figura 10: Ventana tabla de frecuencias Applet en Geogebra las coincidencias de los sombreros de Euler n=3 Recuerde: Para los resultados de las frecuencias absolutas y frecuencias relativas debes elegir la opción objetos correspondientes a cada número (elemento del espacio muestral). Por Ejemplo: El objeto se refiere a la celda de la hoja de calculo que contiene el valor de la frecuencia absoluta de número de coincidencias 3 al realizar n ensayos. Observación: Puedes darle el diseño a la vista grafica como lo quieras. Mover el texto, fondo de los textos. Ejemplo: en opcion vista grafica: clic derecho vista grafica en la ventana que sale vista grafica/basico y en miscelaneas color de fondo y escoges el color que desees. Paso 14: Insertar grafico de barras BarrasSombreros=Barras[Nrocoincidencias, Frcoincidencias, 0.7]

17 Paso 15: Insertar semirrectas dosc=semirrecta[(-0.2, ), (5, )] NC=Semirrecta[(-0.2, ), (5, )] UnaC=Semirrecta[(-0.2, 0.5), (5, 0.5)] Paso 16: Insertar texto para ver los números en los sombreros ver figura --- coincidencias sombreros De Euler. Observa que en cada posición se puede obtener un número aleatorio entre uno y tres. Insertar texto en el centro de la imagen posición uno escribe: 1, luego clic derecho en el número 1 escoge la opción propiedades en texto la opción muy grande en color rojo y en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe: Elemento[Listaprimerelemento, 1] = 1 Realiza el mismo proceso para el número 2 y 3 en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe: Elemento[Listaprimerelemento, 1] = 2 Elemento[Listaprimerelemento, 1] = 3 Insertar texto en el centro de la imagen posición dos siguiendo las instrucciones anteriores para los números 1, 2, y 3 en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe: Elemento[Listaprimerelemento, 2] = 1 Elemento[Listaprimerelemento, 2] = 2

18 Elemento[Listaprimerelemento, 2] = 3 Insertar texto en el centro de la imagen posición tres siguiendo las instrucciones anteriores para los números 1, 2, y 3 en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe: Elemento[Listaprimerelemento, 3] = 1 Elemento[Listaprimerelemento, 3] = 2 Elemento[Listaprimerelemento, 3] = 3 Observación: Estas instrucciones pueden ser eliminadas si anteriormente cada imagen tiene un número asignado. Paso 17: Insertar texto para las coincidencias. Figura 11: Ventana texto una coincidencia Applet en Geogebra Coincidencias Sombreros de Euler n=3 Insertar texto debajo de la imagen uno escribe: Una Coincidencia luego clic derecho en el texto Una Coincidencia escoge la opción propiedades en texto la opción pequeño en la opción color azuly en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe: Elemento[Listaprimerelemento, 1] = 1, Realiza lo mismo para insertar el texto Una

19 Coincidencia de los sombreros en la posición 2 y 3. Recuerde en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe: Elemento[Listaprimerelemento, 2] = 2 Elemento[Listaprimerelemento, 3] = 3 Insertar texto al lado de la imagen 3 escribe: Coinciden luego clic derecho en el texto Coinciden escoge la opción propiedades en texto la opción pequeño en la opción color azul y en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe: Elemento[OrdenarSombreros, 1] = 123 Insertar texto al lado de la imagen 3 escribe: No coincidencias luego clic derecho en el texto No coincidencias escoge la opción propiedades en texto la opción pequeño en la opción color azul y en la pestaña avanzado condición para mostrar el objeto escribe: Elemento[OrdenarSombreros, 1] = 231, realiza la misma instrucción anterior de insertar texto No coincidencias cuando el resultado aleatorio es 312. En condición para mostrar objeto escribe: Elemento[OrdenarSombreros, 1] ==312 Paso 18: Insertar elipses para señalar cuando hay una coincidencia Inserta 3 elipses de tal manera que encierren las imágenes de los sombreros y en propiedades del objeto en la pestaña avanzado en condición para mostrar objeto escribe: Elemento[OrdenarSombreros, 1] ==1 muestra la elipse si imagen de la posición uno es uno

20 Elemento[OrdenarSombreros, 2] ==2 Elemento[OrdenarSombreros, 3] == Guía para estudiantes Applet en Geogebra experimento aleatorio las coincidencias de los sombreros de Euler n=3. Applet construido en Geogebra, dirección de internet: Recuerde utilizar f9 para repetir el mismo número de lanzamientos. P1: De cuántas maneras posibles se pueden permutar los tres sombreros? P2: En cuántas de ellas hay una coincidencia? Y dos? P3: En cuántas de ellas no hay ninguna coincidencia? P4: Cuál es la probabilidad de que ninguno de los señores reciba su sombrero? P5: El espacio muestral asociado a las coincidencias de los sombreros de Euler es: P6: Escriba las probabilidades asociadas al experimento aleatorio. Observación: Si hay una diferencia muy notable entre las barras de cada uno de los eventos y muy separadas por encima o por debajo de las semirrectas asociadas a cada probabilidad se dice que hay mucha variabilidad de los resultados y si las barras son muy próximas a las semirrectas asociadas a cada probabilidad se dice que se presenta estabilidad de los resultados obtenidos de las frecuencias relativas.

21 P7: haz la simulación con 10 lanzamientos en 5 repeticiones. Escriba los resultados en una tabla de frecuencias. Hay estabilidad o variabilidad de los resultados. Explique P8: haz la simulación con 100 lanzamientos en 5 repeticiones observa la tabla de frecuencias y el grafico de barras en cada simulación. Hay estabilidad o variabilidad de los resultados. Explique P9: haz la simulación con 1000 lanzamientos en 5 repeticiones observa la tabla de frecuencias y el grafico de barras en cada simulación. Hay estabilidad o variabilidad de los resultados. Explique P10: haz la simulación con lanzamientos en 5 repeticiones observa la tabla de frecuencias y el grafico de barras en cada simulación. Hay estabilidad o variabilidad de los resultados. Explique P11: haz la simulación con lanzamientos en 5 repeticiones observa la tabla de frecuencias y el grafico de barras en cada simulación. Hay estabilidad o variabilidad de los resultados. Explique P12: con lanzamientos como son las frecuencias relativas y las frecuencias absolutas de los resultados. Las frecuencias relativas se aproximan a la probabilidad (Explique) Regresar página: "Ley de los grandes números": s_applets_ley_de_los_grandes_n%c3%bameros