OPTICA FISICA CAPITULO 4

Transcripción

1 128 CAPITULO 4 OPTICA FISICA El principio de propagación rectilínea de la luz ha sido fundamental para la descripción de los fenómenos analizados en el capítulo anterior dedicado a la óptica geometrica; gracias a ese principio hemos podido reemplazar las ondas luminosas con los rayos que representan las direcciones de propagación de los frentes de onda y hemos podido obtener relaciones sencillas que dan cuenta, con buena aproximación, del comportamiento de algunos sistemas ópticos. Sin embargo, ya desde el siglo XVIIº Grimaldi había observado que la luz tenía la capacidad de bordear obstáculos de la misma forma como lo hacen las ondas que se propagan sobre la superficie de un estanque; este hecho contradecía el principio de propagación rectilínea y reforzaba la teoría acerca de la naturaleza ondulatoria de la luz. Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en el cual la luz procedente de una fuente puntual se hace incidir sobre una pantalla en la cual se haya abierto una ranura. Mientras la ranura sea bastante amplia, sobre otra pantalla paralela a la primera se formará una franja iluminada que puede correctamente interpretarse como la proyección geométrica de la ranura (Figura 4.1); también podrá observarse que dicha franja iluminada varía su anchura según la ranura se haga más amplia o más estrecha. Ocurre sin embargo que si la ranura se hace muy estrecha entonces la zona de iluminación en la pantalla se amplía evidenciando así que, en este caso, la luz no se propaga en forma rectilínea; este fenómeno llamado difracción se presenta cuando una onda (cualquiera que sea su naturaleza) se encuentra con obstáculos cuyas dimensiones son comparables con la longitud de onda. Fenómenos como el descrito y otros que analizaremos en este capítulo solamente pueden describirse utilizando un tratamiento ondulatorio; con relación a los fenómenos conexos con la luz éstos conforman esa parte de la física que normalmente se llama óptica física u ondulatoria. 128

2 129 Queda entonces claro que el fenómeno de la difracción establece el límite de aplicabilidad de las leyes de la óptica geométrica porque ésta se basa en el principio de propagación rectilínea que es el que precisamente falla cuando los obstáculos y/o rendijas que se interponen al paso de la luz tienen dimensiones comparables con su longitud de onda. 4.1 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS RENDIJAS Thomas Young, en el año 1800, realizó el primer experimento típicamente ondulatorio al producir interferencia entre las ondas generadas en dos rendijas. El aparato experimental, representado en la Figura 4.2, consistía de una fuente de luz al frente de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas S1, S2; la superposición de las dos ondas luminosas generadas en las dos rendijas producían una serie de franjas brillantes y oscuras (patrón de interferencia) sobre una pantalla paralela a las dos rendijas. El resultado del experimento de Young puede analizarse mediante un tratamiento ondulatorio y teniendo en cuenta el principio de Huygens, el cual establece que: "Cualquier punto sobre el cual llega una perturbación ondulatoria se vuelve fuente secundaria de ondas". 129

3 130 Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vuelve fuente secundaria de una onda luminosa y cuando esta onda llega a las rendijas S, S, éstas a su vez generan 1 2 las ondas que se superponen dando lugar al patrón de interferencia sobre la pantalla. Si las distancias SS 1 y SS 2 son iguales, las dos ondas cuando se generan en S, S, 1 2 están en fase entre sí de manera que, cuando se superpongan, darán lugar a una franja oscura o brillante dependiendo de la diferencia de fase que ellas presenten en cada punto de la pantalla; esta diferencia de fase dependerá, entonces, únicamente de la diferencia entre los recorridos de las dos ondas. Con relación a la Figura 4.3, supongamos que la pantalla sobre la cual se forma el patrón de interferencia esté lo suficientemente alejada de las dos rendijas para que pueda pensarse que las dos ondas que se superponen en el genérico punto P tengan líneas de propagación paralelas entre sí, nuestro problema consiste en determinar las condiciones de iluminación de un punto P cualquiera situado a la distancia x del centro 0 de la pantalla, donde 0 es el punto de intersección del eje del segmento SS 1 2 (eje óptico del sistema) con la pantalla. 130

4 131 Si los recorridos de las dos ondas generadas en las rendijas para llegar sobre el punto P son respectivamente r1, r2, entonces, en el punto P, las dos ondas podrán escribirse así: ( ) = sen ( ω + ϕ ) y p a k r t 1 1 ( ) = sen ( ω + ϕ ) y p a k r t 2 2 (4.1) donde hemos supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial ϕ y la misma amplitud a ; esto último es cierto si las dos rendijas S, S tienen el mismo ancho. 1 2 La perturbación resultante en el punto P será: ( ) = ( ) + ( ) = sen ( ω + ϕ ) + sen ( ω + ϕ ) y p y p y p a k r t a k r t De acuerdo con lo que hemos dicho, en el segundo capítulo, acerca de la superposición de dos ondas armónicas de la misma frecuencia, la perturbación resultante es una onda armónica de la misma frecuencia de las dos ondas componentes cuya amplitud está dada por: A = 4a cos δ 2 (4.2) siendo δ la diferencia de fase entre las dos ondas que se superponen en el punto P, o sea: ( kr t ) ( kr t ) kr ( r) δ = 2 ω + ϕ 1 ω + ϕ = 2 1 (4.3) 131

5 132 Teniendo en cuenta que la intensidad de iluminación es proporcional al cuadrado de la amplitud, obtenemos: I( P) 2 = 4 i.cos δ 2 (4.4) relación que nos dice que la iluminación en cualquier punto P de la pantalla es cuatro veces la iluminación producida por una sola de las rendijas multiplicada por cos 2 δ 2 ; este último término implica que la iluminación de la pantalla no es uniforme sino que varía de punto a punto de acuerdo con el valor del desfase δ entre las dos ondas componentes. Por supuesto que en promedio la iluminación es 2i. La Figura 4.4 ilustra la variación de la iluminación con los valores de δ. Evidentemente habrá máxima iluminación, es decir interferencia constructiva, en los puntos en los que resulte cos 2 δ 2= 1 o sea δ = 2n π, mientras habrá mínima iluminación (en este caso I( P ) = 0 ), o sea interferencia destructiva, en los puntos para los cuales cos 2 δ 2= 0 o sea δ = ( 2n + 1) π, en ambos casos con n = 012,,... Teniendo en cuenta la ecuación (4.3) vemos que: 132

6 133 a) En los puntos en los cuales las dos ondas llegan con una diferencia de recorrido r2 r1 = nλ (4.5) n = 012,,... habrá interferencia constructiva. b) En los puntos en los cuales las dos ondas llegan con una diferencia de recorrido λ r2 r1 = ( 2n+ 1) 2 (4.6) n = 012,,... habrá interferencia destructiva. Las relaciones (4.5), (4.6) nos permiten entonces hacer previsiones acerca de las condiciones de iluminación de cualquier punto de la pantalla cuando para cada uno de esos puntos determinemos la diferencia de recorrido entre las dos ondas componentes. Podemos hacer ese cálculo con algunas aproximaciones; con relación a la Figura 4.3, habiendo supuesto la pantalla muy alejada de las dos rendijas y por lo tanto la trayectoria de las dos ondas paralelas entre sí, la diferencia de recorrido entre las dos ondas que llegan al punto P, identificado a través de su distancia con respecto al centro 0 de la pantalla o a través del ángulo θ entre el eje óptico del sistema y la dirección FP paralela a las trayectorias de las dos ondas, está dada por: r2 r1 = S2M = d senθ donde d es la distancia entre las rendijas S, S. Dado que la distancia D entre las 1 2 rendijas y la pantalla es muy grande, el ángulo θ es pequeño y por lo tanto: senθ tan θ = x D 133

7 134 de manera que: r r d x 2 1 =. (4.7) D Teniendo en cuenta las relaciones (4.5), (4.6) podemos concluir, de acuerdo con nuestras aproximaciones, que las franjas brillantes estarán localizadas, en la pantalla, a las distancias del centro: D xn B = nλ ; n = 012,,... (4.8) d mientras las franjas oscuras estarán localizadas (con respecto a 0 ) a las distancias: λ D xn 0 = ( 2n+ 1) ; n = 012,,... (4.9) 2 d De lo anterior se deduce que en el centro 0 de la pantalla estará localizada la franja brillante central mientras las demás franjas brillantes estarán separadas entre sí por la distancia D xb = λ ; entre dos franjas brillantes consecutivas estarán localizadas las franjas oscuras, d D también separadas por la distancia x0 = λ d. La Figura 4.5 ilustra estos resultados y resuelve el problema propuesto que consistía en la determinación de las condiciones de iluminación en cualquier punto de una pantalla dispuesta paralelamente a las dos rendijas S1, S2. 134

8 Superficies nodales y ventrales. Las ecuaciones (4.5), (4.6) que expresan las condiciones de interferencia constructiva o destructiva y que hemos utilizado para encontrar, con aproximaciones, la iluminación en los diferentes puntos de una pantalla lejana, pueden ahora utilizarse para determinar las condiciones de iluminación en cualquier punto del espacio en el cual las dos ondas generadas en las dos rendijas (que vamos ahora a suponer puntuales) se superponen. De hecho la ecuación (4.5) nos dice (por ejemplo!) que, para saber si un punto P cualquiera del espacio estará iluminado, basta calcular las distancias r1, r2 de este punto a las dos fuentes puntuales S1, S2 y verificar que la diferencia entre estas dos distancias r2 r1 sea un múltiplo entero de la longitud de onda de la luz empleada. Lo anterior sugiere que hay un conjunto de puntos, en el espacio, en los cuales las dos ondas interfieren constructivamente; este conjunto está determinado por la condición: r2 r1 = nλ ; n= 012,,,... (4.10) 135

9 136 Estos puntos de máxima iluminación son aquellos que están distribuidos sobre las superficies de los hiperbolóides pertenecientes a la familia descrita por la ecuación (4.10); evidentemente hay un hiperboloide para cada valor de n siendo el primero un hiperbolóide degenerado, en el sentido que para n = 0 se obtiene r2 r1 = 0 que corresponde a un plano perpendicular al segmento SS 1 2 y que pase por el punto medio F. Los demás hiperbolóides corresponden a los diferentes valores de n y corresponden a las superficies cuyos puntos están a las distancias r1, r2 de las dos fuentes puntuales S1, S2 cuya diferencia está dada por: r r =λ para n = r2 r1 = 2λ para n = 2 r2 r1 = 3λ para n = 3 y así sucesivamente. El valor de n que identifica cada uno de los hiperbolóides se llama orden de interferencia y los hiperbolóides sobre cuyas superficies están distribuidos los puntos en los cuales se produce la interferencia constructiva (es decir se presenta la máxima iluminación) constituyen las llamadas superficies ventrales. La Figura 4.6. muestra algunas de esas superficies ventrales y el corte de ellas con un plano que contenga las fuentes S1, S2; sobre ese plano pueden identificarse unas hipérbolas que unen los puntos en los cuales se produce interferencia constructiva y constituyen por lo tanto las líneas ventrales. De igual manera la (4.6) corresponde al lugar geométrico de los puntos del espacio en los cuales las dos ondas interfieren destructivamente; se trata de otra familia de hiperbolóides cada uno de los cuales se identifica por medio del valor de n, el primero de los cuales tiene ecuación: r r = λ para n =

10 137 luego están los otros: r2 r1 = 3 2 para n = 1 r2 r1 = 3 2 para n = 2 y así sucesivamente. Estos hiperbolóides intercalados a los que contienen los puntos de interferencia constructiva constituyen las llamadas superficies nodales, el corte de estas superficies con un plano que contenga las fuentes puntuales S1, S2 genera unas hipérbolas que unen los puntos de interferencia destructiva o sea las líneas nodales. 137

11 Coherencia espacial y temporal. Las ecuaciones (4.5), (4.6) que definen las condiciones de interferencia en cada punto del espacio en el cual se superponen las dos ondas luminosas generadas en las fuentes puntuales S 1 y S 2 nos dicen que la interferencia es constructiva o destructiva según la diferencia de recorrido de las dos ondas sea un múltiplo de la longitud de onda λ, o un múltiplo impar de la semilongitud de onda. Sin embargo, cuál es la longitud de onda que debe considerarse?. Como se ha visto en el Capítulo 3, aunque la luz visible constituya una pequeña porción del espectro electromagnético, a esta porción apartienen en todas las ondas e.m. que tengan longitudes de onda (en el vacío) comprendidas en el intervalo Å Å, asociando a cada longitud de onda un diferente color. Un haz de luz que contenga todas las longitudes de onda de la región del visible se define como un haz de luz blanca y puede separarse en sus colores componentes, p.e. a través de un prisma. Si bien la interferencia en luz blanca puede observarse, el patrón que se obtiene 138

12 139 resulta algo difuso y presenta coloraciones en todas las franjas excepto en la franja brillante central, la cual aparece perfectamente blanca. Para la mejor observación de un patrón de interferencia es preferible, por lo tanto, utilizar una fuente monocromática o sea una fuente que emita una sola longitud de onda y por lo tanto luz de un solo color. ( 1 ) De esta manera se evita que en cierto punto de espacio en el cual una determinada longitud de onda interfiera destructivamente haya otra longitud de onda que interfiera constructivamente y otras que produzcan condiciones intermedias de iluminación, situación ésta que obviamente dificulta el análisis del patrón de interferencia. Una fuente de luz estrictamente monocromática se dice entonces que presenta las características de coherencia espacial. Una fuente apta para realizar experimentos de interferencia debe además satisfacer otra condición fundamental que es la de coherencia temporal. En el análisis del experimento de doble rendija de Young hemos supuesto que las ondas secundarias que se generan en S1, S2 tenían la misma fase inicial (situación que se logra cuando las distancias SS 1 y SS 2 son iguales y el medio de propagación es isótropo) y que, por lo tanto, la diferencia de fase entre las dos ondas, en un punto P cualquiera, dependiera únicamente de la diferencia de recorridos. La condición de igualdad de las fases iniciales no es necesaria pero, para que la interferencia sea observable, sí es necesario que la diferencia de fase entre las dos ondas componentes sea estable en el tiempo. Si la diferencia de fase entre las dos ondas, que se superponen en un punto P, es variable en el tiempo, ocurre que las condiciones de iluminación en ese punto varían también en el tiempo lo que implica un desplazamiento de todo el sistema de franjas oscuras y brillantes que conforman el patrón de interferencia y si esta variación de las condiciones de iluminación es ( 1 ) Existen varios metodos para obtener luz monocromática, el más sencillo de los cuales consiste en colocar al frente de una fuente de luz blanca un filtro que transmite únicamente luz de un solo color (una sola longitud de onda). 139

13 140 rápida (más de 10 veces por segundo) nuestros ojos no alcanzan a percibir las condiciones de interferencia instantáneas sino que percibiremos la iluminación promedio. Esto es precisamente lo que ocurre cuando en una habitación encendemos dos bombillos; las ondas luminosas emitidas por los dos bombillos se superponen produciendo franjas de interferencia, sin embargo, debido a la rápida variación de las fases de las dos ondas, las condiciones de iluminación varían muy rápidamente en cada punto de la habitación haciendo imposible la detección de las franjas de interferencia. Se dice que en este caso la interferencia no es observable; por esta razón, si se utilizan fuentes convencionales, la interferencia es observable si, y sólo si, se desdobla una sola fuente. Dos fuentes que emitan ondas que presenten entre sí una diferencia de fase constante y que por lo tanto pueden producir interferencia observable, se dice que presentan, entre sí, coherencia temporal. 4.2 INTERFERENCIA EN PELICULAS DELGADAS Otro método para obtener dos fuentes coherentes desdoblando una sola fuente y producir interferencia observable consiste en hacer reflejar un haz de luz sobre las dos caras de una película delgada. Supongamos tres medios de índices de refracción n n n 1 2 3,, separados por superficies planas y supongamos que el medio de índice de refracción n 2 tenga un espesor e pequeño. 140

14 141 Los haces 1 y 2 reflejados por la película de índice de refracción n 2 son paralelos entre sí (Figura 4.8), por lo tanto, si a partir del punto C trazamos la perpendicular a su común dirección, podemos suponer que en adelante ellos tienen el mismo recorrido, de manera que la diferencia de fase que presentarán dependerá únicamente del hecho que mientras el haz 2 recorre la trayectoria AB+ BC en el medio de índice de refracción n 2 el haz 1 recorre la trayectoria AH en el medio de índice de refracción n 1. Dado que estas trayectorias se recorren en medios diferentes, debemos reducirlas (para compararlas) a las correspondientes trayectorias en el vacío, es decir a caminos ópticos. La diferencia de camino óptico entre los dos haces será entonces: ( ) = n2 AB+ BC n1 AH (4.11) Si prolongamos el rayo BC hacia el medio de índice de refracción n 3 hasta que cruce en D la normal a las superficies en la película pasante por A encontramos fácilmente que AB = BD= BC y también AG = GD= e de manera que: AB + BC = DB+ BC = DC (4.12) 141

15 142 Si a partir de A trazamos la perpendicular a la dirección DC y llamamos F al pie de esa perpendicular, obtenemos: DC = DF + FC = AB+ BC (4.13) y reemplazando en la (4.11): = n. DF + n. FC n. AH (4.14) Ahora bien, en los triángulos rectángulos ACH y ACF podemos establecer las siguientes relaciones: AH.senθ 1 = AC FC.senθ 2 = AC lo que implica que: AH.sen θ = FC.senθ (4.15) 1 2 Escribimos la Ley de Snell para la refracción que se produce en el punto A: n1 senθ 1= n2 senθ 2 y comparamos con la ecuación (4.15): FC AH n = 2 n1 o sea n1 FC = n2 AH (4.16) reemplazamos esta última relación en la (4.14) y obtenemos: = n2. DF (4.17) Analizando el triángulo rectángulo ADF : DF = AD.cos θ 2, es decir: DF = 2 e.cos θ 2, y por lo tanto: = 2 n 2. e.cosθ 2 (4.18) Esta es entonces la diferencia de camino óptico entre las dos ondas reflejadas por las dos caras de la película delgada. 142

16 143 Las condiciones de interferencia entre estas dos ondas pueden determinarse teniendo en cuenta que debe sumarse a la diferencia de fase producida por la diferencia de camino óptico aquella que puede presentarse en las reflexiones en los puntos A y B, de acuerdo con lo dicho en la sección Así por ejemplo, la onda 1 presenta desfase con respecto a la onda incidente si n onda 2 presenta desfase π con respecto a la onda incidente si n desfase entre las ondas 1 y 2 reflejadas está dado por: > n y la > n2; esto implica que el δ = k. + 0 si ninguna de las ondas 1 y 2 (o ambas) presenta desfase por reflexión. π Si una de las dos ondas 1 y 2 presenta desfase π por reflexión. Si suponemos que la onda incidente sea aproximadamente normal a la superficie o sea θ 1 0, tendremos también θ 2 0 lo que implica cos θ 2 1 y las condiciones de interferencia pueden escribirse así: 2π 2 2 2Nπ interferencia constructiva λ..ne+ eventual desfase π por reflexión = ( 2N + 1) π interferencia destructiva con N = 0123,,,... Esta relación nos permite calcular para cuales espesores de la película delgada se presenta interferencia constructiva o destructiva. Por ejemplo, si no debe sumarse el desfase π por reflexión porque ninguna de las dos ondas reflejadas (o ambas) presenta desfase tendremos: Nλ Espesores e NB de interferencia constructiva: en B = ; N = 012,,,... (4.19) 2 n 2 143

17 144 Espesores e N0 de interferencia destructiva: ( N + ) 2 1 λ en 0 = ; N = 012,,... (4.20) 4 n 2 Si solamente una de las dos ondas reflejadas presenta desfase π tendremos: Espesores e NB de interferencia constructiva: e ( N ) λ N B = ; N = 012,,,... (4.21) 4 n Nλ Espesores e N0 de interferencia destructiva: en 0 = ; N = 012,,... (4.22) 2 n2 2 Dado que en estas relaciones aparece la longitud de onda λ, para cada longitud de onda se tendrá una gama de espesores de la película para los cuales se presenta máxima iluminación u oscuridad. Si utilizamos, por ejemplo, una luz de longitud de onda λ, la película mirada en luz reflejada aparecerá del color asociado a esa longitud de onda en las zonas en las que su espesor sea uno de los que satisfacen la relación (4.19) o (4.21), según el caso. 4.3 ANILLOS DE NEWTON El fenómeno de la interferencia en películas delgadas es de frecuente observación en la vida cotidiana; los brillantes colores de las burbujas de jabón o los colores que presentan las manchas de aceite que flotan sobre un charco de agua son los ejemplos más comunes de este tipo de interferencia. Sin embargo efectuar experimentos cuantitativos, en estos casos, presenta alguna dificultad que puede resolverse utilizando un aparato de anillos de Newton ( 1 ) en el cual el espesor de la película puede determinarse en cada punto a través de una simple relación matemática. ( 1 ) Este aparato diseñado por Newton permitió determinar los espesores para los cuales se presentaban los diferentes colores analizando luz reflejada y luz transmitida; estos resultados le obligaron a asignar propiedades periódicas (longitudes de accesos de fácil reflexión o transmisión) a los corpúsculos luminosos que, según su teoría, constituían el haz de luz. 144

18 145 El aparato de anillos de Newton está constituido por una lente plano-convexa puesta sobre una lámina plana; la película en la cual ocurre la interferencia está constituida (en este caso) por el aire u otra sustancia que queda atrapada entre la superficie esférica de la lente y la superficie plana de la lámina.. Debido a la forma geométrica del aparato, el espesor de la película atrapada entre la lente y la lámina plana aumenta con la distancia r con respecto al punto de contacto central 0 y puede calcularse fácilmente en cada punto de la película cuando se conozca el radio de curvatura R de la superficie esférica de la lente plano-convexa. 145

19 146 Con relación a la Figura 4.10: CK + KP = CP ( ) R e + r = R de donde, desechando el término e 2, que es un infinitesimo del segundo orden: e = 2 r 2R (4.23) Evidentemente en todos los puntos situados a la misma distancia r con respecto al punto de contacto 0, la película tendrá el mismo espesor; de manera que los lugares geométricos de los puntos en los cuales la película tiene el mismo espesor serán círculos con centro en 0. Dado que, como hemos visto, las condiciones de interferencia dependen del espesor de la película, las franjas de interferencia constructiva y destructiva serán circulares con centro en 0. Consideremos entonces una película de una sustancia de índice de refracción n atrapada entre la lente y la lámina que supondremos de vidrio de índice de refracción n v. 146

20 147 La luz incidente genera dos ondas reflejadas en los puntos A y B situados en las interfases entre la lente y la película y entre la película y la lámina plana; supongamos sea e el espesor de la película, podemos determinar las condiciones de interferencia teniendo en cuenta que, cualquiera que sea el valor de n, entre las dos ondas reflejadas se presenta un desfase π por reflexión. ( 1 ) Esto quiere decir que, en ese punto de la película, habrá interferencia constructiva si el espesor satisface la condición (4.21): λ e = ( 2N + 1) ; N = 0123,,,... (4.24) 4 n ( 1 ) Las dos ondas reflejadas presentan entre sí siempre un desfase π dado que si n< n ν la onda 2 se desfasa con respecto a la onda incidente cuando se refleja en B, mientras la onda 1 no sufre desfase por reflexión; viceversa si n> n ν la onda 1 se desfasa con respecto a la onda incidente cuando se refleja en A mientras la onda 2 no sufre desfase por reflexión. 147

21 148 mientras se presentará interferencia destructiva si: λ e = N ; N = 0123,,,... (4.25) 2 n Lo anterior implica que, para cada longitud de onda λ hay aun conjunto de espesores que satisfacen las relaciones (4.24), (4.25) y por lo tan to un conjunto de círculos brillantes separados por círculos oscuros. Los radios de estos círculos brillantes u oscuros pueden calcularse fácilmente combinando la relación (4.23) con las (4.24), (4.25); así los círculos brillantes tendrán radios dados por: r N B = R. ( 2N + 1) 2n λ ; N = 012,,,... (4.26) mientras los radios de los círculos oscuros serán: RN.. λ rn 0 = ; N = 0123,,,... n (4.27) 4.4 DIFRACCION DE FRAUNHOFER POR UNA RENDIJA Hemos dicho, en la introducción de este capítulo, que el principio de propagación rectilínea de la luz se cumple mientras los obstáculos o las aberturas que se oponen a su propagación sean grandes en comparación con la longitud de onda, cuando esto no ocurre se produce el fenómeno de la difracción o sea la desviación de la luz de su propagación rectilínea. Un sencillo, pero muy diciente, experimento que puede realizarse para ilustrar este fenómeno, consiste en interponer una rendija estrecha al paso de la luz proveniente de una fuente puntual y analizar luego la luz que esta abertura proyecta sobre una pantalla. 148

22 149 Con un aparato como el ilustrado en la Figura 4.11 podrá observarse sobre la pantalla un conjunto de franjas brillantes y oscuras, que conforman el llamado patrón de difracción producido por una rendija. El patrón de difracción presenta una franja central relativamente ancha y brillante y, a ambos lados, otras franjas brillantes de intensidad decreciente (ver Figura 4.13): 149

23 150 Con relación a la Figura 4.13 es preciso aclarar que existen dos clases de difracción producidas por una rendija: a) Difracción de Fresnel que se presenta cuando las distancias D 1 y/o D 2 son finitas. b) Difracción de Fraunhofer que se presenta cuando las distancias D 1 y D 2 son infinitas. Analizaremos aquí únicamente la difracción de Fraunhofer, teniendo en cuenta que éste puede obtenerse con aparatos de dimensiones finitas utilizando oportunamente las propiedades focales de las lentes que se han expuesto en el capítulo anterior; para tal fin, como se ilustra en la Figura 4.14, basta colocar una lente convergente entre la fuente puntual y la rendija de manera que la fuente esté en el foco de la lente y otra lente convergente entre la rendija y la pantalla de manera que ésta coincida con el plano focal de la lente. 150

24 151 El análisis de la difracción de Fraunhofer se realiza suponiendo que cada punto, al interior de la rendija, sobre el cual llega la perturbación se convierte en fuente secundaria de la perturbación, de manera que las condiciones de iluminación en cada punto de la pantalla queden determinadas por la superposición de las ondas elementales generadas por los diferentes puntos de la rendija. Supongamos entonces que la rendija de ancho b se divida en infinitas rendijas de ancho infinitésimo dx en cada una de las cuales se genera una onda secundaria que se propaga hacia el punto P genérico de la pantalla. Dado que la distancia a la pantalla es infinita, en el punto P llegan infinitas ondas cuyas direcciones de propagación son paralelas entre sí y cuyas amplitud son todas iguales porque todas las rendijas tienen el mismo ancho infinitésimo dx. Si indicamos con da la amplitud infinitésima de cada una de las ondas generadas en las rendijas de ancho infinitésimo dx y con r 1, r 2, r 3... r n,... los recorridos de estas ondas para llegar al punto P de la pantalla, podemos escribir esas perturbaciones (en el punto P ) de la siguiente manera: 151

25 152 ( ) = ω ) ( ) =.sen( ω ) ( ) =.sen( ω ) y1 P da k r1 t y2 P da k r2 t y3 P da k r3 t M M M y P da k r t n ( ) =.sen( ω ) n r2 = r1 + dx.senθ r3 = r1 + 2dx.sen θθ r4 = r1 + 3dx.sen M M M rn = r1 + ( n 1). dx.senθ M M M Poniendo kdx..senθ = δ podemos escribir las ecuaciones de las ondas que se superponen en el punto P así: ( ) = ω ) ( ) =.sen( ω + ( ) =.sen( ω + 2δ) ( ) =.sen( ω + 3δ) M ( ) = ω + ( 1) y1 P da k r1 t y2 P da k r1 t y3 P da k r1 t y4 P da k r1 t M yn P da.sen k r t n. M M M [ 1 δ ] de manera que la perturbación resultante, en el punto P, será: ( ) ( ) ( ) ( ) y P = y1 P + y2 P +... yn P +... = = n da k r t + n 1 [ 1 ( 1) ].sen ω δ (4.28) Esta relación muestra que la perturbación resultante es la suma de infinitas ondas de amplitudes infinitésimas, cada una de las cuales presenta un desfase δ con respecto a la anterior. 152

26 153 Si utilizamos el método de fasores para determinar la resultante, debemos entonces representar infinitos vectores de módulo infinitésimo cada uno formando un ángulo δ con el anterior (Figura 4.16). El conjunto de estos vectores infinitésimos conforma evidentemente un arco de circunferencia DE y la amplitud de la onda resultante A p será igual a la longitud de la cuerda DE. Si C es el centro de la circunferencia a la que pertenece el arco DE y ρ su radio, podemos calcular la longitud de la cuerda DE teniendo en cuenta que el ángulo al centro α que se abre sobre el arco DE es igual al ángulo entre el primero y el último de los vectores que conforman el arco, es decir, es igual a la diferencia de fase entre las ondas emitidas en el extremo superior A y en el extremo inferior B de la rendija. Es obvio, por lo tanto, que α = kb..sen θ. Con relación a la Figura 4.16, obtenemos: Ap = DE = 2 DF = 2. ρ.senα (4.29) 2 Por otra parte: DE: α = 2π ρ : 2 π, de manera que: 153

27 154 ρ = DE (4.30) α En el centro 0 de la pantalla todas las ondas elementales que se generan en las infinitas rendijas infinitésimas de ancho dx llegan recorriendo exactamente la misma trayectoria, de manera que, en el punto 0, todas esas ondas llegan en fase y la amplitud de la onda resultante tendrá su máximo valor A 0 que es evidentemente igual a la suma de las amplitudes de las ondas componentes o sea A 0 tiene módulo igual a la longitud del arco DE. Reemplazando en la (4.30) y luego en la (4.29): A Ap = = α 2.sen α A0. sen (4.31) α α 2 Esta ecuación nos dice que la amplitud de la perturbación resultante en cualquier punto P de la pantalla es igual a la amplitud en el centro 0 multiplicada por sen α 2 α 2, donde π α = 2. b senθ. λ α π Si ponemos u= = bsen θ, la ecuación (4.31) puede escribirse: 2 λ u Ap = A0. sen (4.32) u o elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud, podemos obtener la iluminación en cualquier punto P de la pantalla en función de la iluminación en el punto central: I p = I 0 sen u. u 2 (4.33) los máximos de iluminación corresponden, evidentemente, a los máximos y mínimos para la amplitud y estos pueden determinarse bajo la condición: 154

28 155 dap A u cos u sen u = 0 = 0 du 2 u que se satisface cuando ucos u sen u= 0 o sea cuando: u = tanu (4.34) Esta última es una ecuación trascendente cuyas soluciones podemos determinar, con buena aproximación, por vía gráfica mediante las intersecciones de la recta y = u con la gráfica de la función y = tanu. 155

29 156 La Figura 4.17 reporta las gráficas de la amplitud A p de la perturbación resultante y de la intensidad de iluminación I p para cualquier punto P de la pantalla; el análisis comparativo de las Figuras 4.17, 4.13 demuestra como la relación 4.33 describe satisfactoriamente los resultados experimentales. 156

30 157 Cabe anotar que en el punto central de la pantalla se presenta la máxima iluminación ( 1 ). y que las intensidades de las franjas brillantes laterales va disminuyendo a medida que nos alejamos del centro de la pantalla. Las franjas oscuras que separan las franjas brillantes están localizadas, evidentemente, en las posiciones en las cuales A p = 0 ; de acuerdo con la 4.32 los mínimos de difracción están dados por la condición: sen u = 0, es decir: u= nπ ; n= 123,,,... (4.35) y teniendo en cuenta la expresión explícita de u : λ sen θ n= n ; n =123,,,... (4.36) b ecuación que permite calcular los ángulos θ n bajo los cuales se verían las franjas oscuras situándose en el punto central M de la rendija de difracción. ( 1 ) Esto ocurre porque para el punto central de la pantalla θ = 0 de manera que π sen u u= b senθ = 0 y por lo tanto = 1, lo que implica Ip I λ u = 0. Desde el punto de vista fenomenológico este resultado es obvio, dado que, en el punto central de la pantalla, todas las ondas secundarias, emitidas por las infinitas rendijas de ancho infinitésimo dx mediante las cuales se ha dividido la rendija de ancho b, llegan habiendo recorrido trayectorias de igual longitud y por lo tanto están todas en fase entre sí, dando así lugar a la máxima amplitud para la perturbación resultante. 157