Unidad 11: Interacción gravitatoria

Transcripción

1 Aoyo aa la eaación de los estudios de Ingenieía y Aquitectua Física (Peaación a la Univesidad) Unidad : Inteacción gavitatoia Univesidad Politécnica de Madid 6 de mazo de 00

2 Unidad : Inteacción gavitatoia Cuso de Física OCW-UPM Pof. D. Álvao G. Vitoes González (009) Motivación: - El descubimiento emíico de las Leyes del movimiento lanetaio de Kele emitió la obtención de una de las leyes más fundamentales de la natualeza, la Ley de Gavitación Univesal de Newton, lo cual da idea de la tascendencia históica del oceso ligado a ambas. - El desaollo del tema uede eesenta aa el alumno uno de los mejoes ejemlos de conexión ente emiismo y teoía. - Aboda este tema emite una gan ocasión aa que el alumno ueda aticia, de modo diecto y sencillo, en la obtención de una de las leyes más imotantes de la Física. - El estudio y desaollo del tema emite intoduci numeosos concetos físicos en los que se evela muy claamente la utilidad y alicación de los mismos (fueza cental, momento de una fueza, momento cinético y su consevación, conexión Geometía-Física, enegías cinética y otencial, consevación de la enegía total, etc.). Objetivos: Esta unidad se dedica fundamentalmente al estudio de la gavitación univesal. Si bien este asecto uede estudiase como secciones aticulaes de otos temas en el estudio de la consevación del momento cinético y de la consevación de la enegía total mecánica, dada la imotancia históica y científica del mismo, se ha etendido concedele el hono de se un tema oio. Paa ello, se hace una esentación de las tes leyes de Kele del movimiento lanetaio y, a ati de ellas, se llega a la ley de gavitación univesal de Newton, insistiendo en la tascendencia históica de tales logos. Con este tema se etende cubi los siguientes objetivos: Conoce el significado de las tes leyes de Kele del movimiento lanetaio y de la ley de gavitación univesal, así como la tascendencia históica y científica de todas ellas. Estudia el caso de la fueza gavitatoia como caso esecialmente imotante de las fuezas centales. Conoce la natualeza de las fuezas consevativas y alica la consevación de la enegía al estudio de las óbitas de lanetas y satélites.

3 Desaollo: A ati del análisis de los datos astonómicos del danés Tycho Bahe (546-60), el alemán Johannes Kele (57-630) estableció sus tes leyes del movimiento lanetaio que constituyen una descición cinemática del mismo. Kele no udo, sin embago, aveigua la causa física dinámica de tales esultados. Fue a ati de estas tes leyes del movimiento lanetaio (3LMP) de Kele como el inglés Isaac Newton (643-77) udo deduci su Ley de Gavitación Univesal (LGU). Pues bien, intoducido el oblema en su desaollo históico, ocedeemos imeo a esenta las 3LMP de Kele y a analiza sus consecuencias y alicaciones; desués, obtendemos la LGU a ati de las 3LMP y analizaemos la imotancia de dicha ley fundamental. A continuación, tas intoduci la oiedad de consevatividad que cumlen algunas fuezas, aovechaemos el caácte consevativo de la fueza gavitatoia aa alicalo, mediante consideaciones enegéticas, a las óbitas de naves esaciales.. Leyes de Kele del movimiento lanetaio. Cuando, desde los inicios de la humanidad, los imeos homínidos contemlaon cómo las estellas aecían gia en el cielo a lo lago de la noche, se asumió como obvio que ea el cielo, como una gan esfea, el que otaba alededo de nosotos. Con ello, en los imeos modelos del Univeso, la Tiea estaba en el cento y todos los astos, incluido el Sol (cuya osición de salida y ocaso aecía además deslazase a lo lago del año en el cielo), giaban a su alededo (modelo geocéntico). Si bien el modelo lanetaio geocéntico ouesto en el s. II o el astónomo geco-egicio Claudio Ptolomeo en su Colección Matemática luego conocida como Almagesto ea caaz de edeci las osiciones de los lanetas con la suficiente ecisión aa los astónomos del s. XVI, equeía aa ello de la comlejidad geomética de tene que ecui a eiciclos, esto es, cada laneta ealizaía una tayectoia cicula alededo de un cento que, a su vez, se deslazaía sobe ota cicunfeencia centada en la Tiea. Junto a dicha comlejidad, se fueon añadieon otos obstáculos a la teoía tolemaica: o un lado, aecía inveosímil que toda la gigantesca esfea celeste giaa alededo de la equeña Tiea, cuando seía más lógico lo contaio; y, o oto, los dos descubimientos del italiano Galileo Galilei (564-64), uno el de las fases de Venus (inexlicables si Venus giaba alededo de la Tiea) y el oto, el de que había astos (lunas) giando alededo de Júite (como un sistema sola en miniatua, lo que confimaba la ealidad de que había ues objetos de movimientos no geocénticos). Todo esto hizo elantease oto modelo en que todos los lanetas, incluso el nuesto, giaan alededo del Sol, que ocuaía el cento del Univeso (modelo heliocéntico). Po todo ello, el antiguo modelo geocéntico fue uesto definitivamente en entedicho en el s. XVI con la llegada de la teoía heliocéntica del astónomo olaco Nicolás Coénico ( ) en 543. En ealidad, el oio Ptolomeo había

4 llegado a considea un modelo heliocéntico, eo lo descató finalmente debido a que la idea del movimiento violento de la Tiea aecía contaia a la obsevación (todavía hoy consevamos ate de esta eminiscencia intuitiva al afima que es el Sol el que se mueve, sale y se one en el cielo al deslazase alededo de la Tiea). Peo el modelo coenicano esultó censuado o la Iglesia ya que, en él, la Tiea quedaba elegada a la categoía de un laneta cicunsola más, en luga de segui siendo consideada como el cento del Univeso. Así, el texto coenicano De Revolutionibus, ublicado en 543, emaneció en la lista eclesiástica de libos ohibidos desde 66 hasta 835, si bien sabemos que la labo de los censoes esultó insuficiente, ya que en el mismo s. XVI existían muchas coias sin coegi. También es cieto que aa evitase oblemas, los editoes, obablemente sin el conocimiento el oio Coénico, añadieon un efacio en que se afimaba que la oba ea un meo ejecicio matemático más que una descición de la ealidad. Seía en los s. XVI y XVII cuando se libaa la lucha vital ente ambos modelos lanetaios. Así, en 600, el italiano Giodano Buno ( ) fue quemado vivo en la hoguea o su defensa de la teoía coenicana y o la amenaza que suonía su gan ode esonal de comunicación; en 60, el descubimiento de Galileo Galilei de cuato satélites alededo de Júite, ublicado en su oba Sideeus Nuncius (de la que Kele ecibió un ejemla enviado o el oio Galileo) contibuía a demosta que no todos los astos giaban en tono a la Tiea; y en 633, el oio Galileo fue obligado a etactase y abjua de sus ideas heliocénticas, siendo finalmente confinado en su villa en lo que hoy llamaíamos aesto domiciliaio. Debe decise que, como ya entendió el oio Galileo, Coénico no había sido el invento, sino el estauado y confimado de una hiótesis heliocéntica que ya había sido ideada o el giego Aistaco de Samos (hacia 30 a.c. - hacia 30 a.c.) unos 800 años antes. Peo fue el alemán Johannes Kele el vedadeo unto culminante y definitivo de la victoia heliocéntica. Así, dominado o su obsesión de conoce a Dios, y basándose en la idea de que el conjunto de la ceación no ea más que una exesión de las amonías esentes en la mente del Ceado, en medio de una de sus abuidas clases (en su segundo año como ofeso ya no le quedaba ningún alumno), le vino a la mente que la elación ente el númeo de sólidos itagóicos egulaes y el númeo de lanetas conocidos seía oba del Gan Geómeta, Dios. Según su visión, exesada junto a su defensa heliocéntica en su oba Mysteium Cosmogahicum (595), los cinco sólidos egulaes (tetaedo, octaedo, icosaedo, cubo y dodecaedo) sostendían, intecaladas ente ellos, las seis esfeas de movimiento de los lanetas entonces conocidos (las distancias elativas ente los seis lanetas conocidos se coesondían, dento de la ecisión de la éoca, con las oociones ente los adios de las seis esfeas concénticas que ueden constuise inscitas y cicunscitas a los cinco sólidos egulaes). Peo al constui su modelo (al solicita una ayuda a la investigación aa hace su modelo tidimensional con lata y iedas eciosas, se le aconsejó que lo hiciea imeo de ael), las obsevaciones no encajaban; contactó o ello con el danés Tycho Bahe, el oseedo de los mejoes instumentos astonómicos y, con ello, de las obsevaciones lanetaias más exactas de la éoca, y acabó visitándole en 600 en su obsevatoio, situado ceca de Paga. Peo Kele, el mejo teóico, y Bahe, el mejo obsevado, no consiguieon tabaja en efecta amonía, si bien aquél se convetiía 3

5 finalmente en el ayudante de obsevación de éste; así, Kele no consiguió los datos de Bahe hasta la muete del danés (un esonaje vanidoso y excéntico que otaba una ótesis nasal de oo y lata al habe edido la naiz en un duelo estudiantil ovocado o una disuta con oto comañeo sobe quién ea mejo matemático), al que sucedió como matemático imeial en 60. Las obsevaciones de Bahe (quien defendía un modelo mixto en el que el Sol giaba alededo de la Tiea, eo con el esto de los lanetas giando alededo del Sol), una vez conseguidas o Kele, seguían sin encaja con su modelo de sólidos itagóicos con óbitas ciculaes sobe sueficies esféicas imbicadas. El oio Tycho había ecomendado a Kele que estudiaa la óbita del laneta Mate en aticula, ya que ea la más alejada del suuesto movimiento cicula. Puesto que tanto Galileo como Bahe y Coénico ceían en las óbitas lanetaias efectamente ciculaes, Kele intentó al inciio exlica las obsevaciones obitales de Mate en base a una cicunfeencia; si bien ceyó habe ajustado los datos a una cicunfeencia excéntica, al comoba que dos de las obsevaciones de Bahe se alejaban de ese modelo en sólo 8 minutos de aco (aoximadamente la cuata ate del ángulo subtendido o el disco de la Luna tal y como lo vemos desde la Tiea), decidió que debía segui evisando su hiótesis cicula. Kele inaugua aquí una nueva foma de hace ciencia al asa de una éoca en la que la belleza de las teoías se imonía sobe los datos, a ota en la que la confianza en los datos emíicos debe obliga a elantease las teoías, o muy bellas que sean. Así, en sus nuevos intentos de ajusta las obsevaciones de Bahe a un tio geomético de óbita, Kele acabó viendo, sin embago, que éstas aecían ajusta mejo con una línea ceada ovalada. Pobó entonces con vaias cuvas ovales y, tas comete algunos eoes aitméticos que le aataon al inciio de la solución eal, obtuvo la concodancia de los datos con la elise. Debe destacase aquí que si Bahe le hubiea aconsejado a Kele el estudio de oto laneta, o ejemlo Venus, en vez de Mate, el alemán nunca hubiea encontado la foma vedadea de las óbitas, dada la baja excenticidad ε de las tayectoias elíticas del esto de lanetas conocidos entonces (así ε 0,093 aa Mate, eo sólo 0,007 aa Venus; aunque ε 0,05 aa Mecuio, éste ea de difícil obsevación, dado que su escasa seaación angula del Sol dificulta su visión). Cuiosidad. También ligado a la excenticidad, cabe mencionase que, conta la ceencia oula muy extendida, la difeencia de temeatua teeste ente veano e invieno no se debe a la vaiación de distancia de la Tiea al Sol (así, aa la Tiea ε 0,07, lo cual hace que las vaiaciones de su distancia al Sol esecto de su valo medio sean sólo del %, valo demasiado equeño aa que influya en las estaciones de hecho, cuando la Tiea está más óxima al Sol es en invieno, el de Eneo ), sino que es causada o la inclinación de 3,5º del eje de otación de la Tiea esecto a la eendicula al lano de su óbita. 4

6 Con todo ello, tas el éxito de su último ajuste de los datos, Kele consiguió, o fin, enuncia su imea ley lanetaia (LK): Los lanetas ecoen óbitas elíticas teniendo al Sol en uno de sus focos Planeta Sol Peo aa un astónomo lanetaio, no basta con conoce la tayectoia de un laneta, sino que es ecisa además su descición cinemática, esto es, conoce la osición del mismo en cada instante. Así, gacias al fechado de las obsevaciones de Bahe, Kele descubió también que los lanetas no ecoen acos iguales en tiemos iguales (como haían en un movimiento cicula unifome), sino áeas iguales en tiemos iguales. Este es el contenido de su segunda ley lanetaia (LK): El adio vecto que une el Sol y el laneta bae áeas iguales en tiemos iguales Planeta Sol 5

7 Como consecuencia de ello, cuando el laneta está más ceca del Sol (a la deecha en la figua anteio), debe movese a mayo velocidad que cuando está más lejos del mismo (a la izquieda en la figua anteio), aa consegui así que, en el mismo tiemo, las dos áeas tiangulaes baidas sean iguales (velocidad aeola cte). Descubietas ya sus dos imeas leyes, ublicadas en su Astonomia Nova (609), y que hacen efeencia al movimiento de cada laneta dado, Kele investigó una tecea ley que elacionaa el movimiento de los distintos lanetas. Así, en su oba De Hamonice Mundi (69), de acuedo con su idea mística de enconta una ley amoniosa del mundo que exlicaa lo obsevado (amonía en el sentido de elaciones matemáticas como las de las oociones en las cuedas de los instumentos que genean los sonidos musicales y que llevaía a los lanetas a movese ítmicamente como si entonaan canciones en homenaje al Dios ceado algo ya ouesto o Pitágoas en el s. VI a.c., siendo estas sintonías no audibles o el oído, sino sólo o el intelecto), exesa su tecea ley lanetaia (LK3): Los cuadados de los eíodos de los lanetas son oocionales a los cubos de sus distancias medias al Sol Planeta T cte a 3 a Sol En esta ley, el eíodo obital T se efiee al tiemo que tada un laneta en comleta su óbita elítica alededo del Sol, y la distancia media al Sol (la obtenida al omedia la distancia vaiable ente el laneta y el Sol a lo lago del tiemo que dua toda la óbita entea) coincide con el semieje mayo a de dicha elise. Nota imotante. Aunque las tes leyes de Kele fueon o él obtenidas aa el movimiento de los lanetas alededo del Sol, con la osteio genealización de Newton, dichas leyes también valen aa cualquie movimiento bajo la acción de la gavedad, o ejemlo, también las veifican los satélites (natuales o lunas y los atificiales) obitando alededo de un laneta. 6

8 Actividad nº : La tecea ley de Kele uede se fácilmente comobable hoy o el alumno, tal y como la estableciea el alemán hace cuato siglos, sin más que ati de los datos modenos de los seis lanetas conocidos en la éoca de Kele (exesando las distancias medias, a, al Sol en unidades astonómicas U.A. es la distancia media de la Tiea al Sol y equivale a 49,59787 millones de km y los eíodos de evolución, T, en años teestes). Paa ello, en la tabla siguiente, siguiendo el ejemlo del ime laneta, calcule los valoes de a 3 y de T y comuebe que la azón T /a 3 tiene sieme el mismo valo (aoximadamente, en estas unidades) aa todos los lanteas que aaecen en ella: Planeta a (U.A.) T (años) a 3 (UA 3 ) T (años ) T /a 3 (años /UA 3 ) Mecuio 0,387 0,4 0,058 0,058,000 Venus 0,73 0,65 Tiea,000,000 Mate,54,88 Júite 5,03,86 Satuno 9,56 9,458 Soluc.: T /a 3 sale aoximadamente en todos los casos. Al comleta esta tabla, se obseva entonces que, en efecto, T /a 3 cte, luego T K a 3, con la constante K en estas unidades elegidas así aa mayo comodidad. Nota. La ligea desviación esecto al exacto en la azón T /a 3 obtenida aa los dos últimos lanetas de la tabla se debe a que existe una fuete etubación ente Júite y Satuno que aleja algo el esultado eal esecto al ideal que se tendía si cada laneta inteaccionaa sólo con el Sol y no, además, con oto laneta vecino. Tas el descubimiento de las tes leyes de movimiento lanetaio, Kele intentó busca la causa del mismo. Puesto que los lanetas se aceleaban al acecase al Sol y educían su velocidad al alejase del mismo (como indica la segunda ley keleiana), el astónomo alemán ensó que la causa estaba en la esencia del asto cental y, como el magnetismo actuaba a distancia, sugiió que la fueza magnética seía la vedadea causa del movimiento lanetaio (no en vano, el inglés Gilbet acababa de descubi en 600, en su oba De Magnete, que la Tiea ea un gigantesco imán, intentando quizá justifica las óbitas lanetaias mediante una fueza de atacción magnética). 7

9 Lo imotante es que, aunque Kele no acetaa al oone la fueza magnética como causa eal del movimiento lanetaio, sí intodujo dos novedades imotantes en la ciencia: - Una imea, al lantease que el movimiento de los lanetas odía tene una causa física (una fueza o vis debida a oto objeto, aunque aa él la fueza oducía una velocidad oocional a ella, en luga de la fueza newtoniana, que oduce una aceleación oocional a ella). - Y una segunda, al oone que las leyes obsevadas en la Tiea (aa él el magnetismo) ean válidas en los cielos, acabando también con una laga éoca de exlicaciones más místicas que científicas. No en vano, el famoso astónomo modeno noteameicano Cal Sagan (980), ecodando que Kele se vio en la necesidad de hace edicciones astológicas aa la ealeza o azones de subsistencia, se efeía a éste diciendo: El último astólogo científico fue el ime astofísico. Lo cieto es que el gan Kele muió en 630 sin conoce la vedadea causa del movimiento lanetaio, causa que comenzaía a se vislumbada o Newton 35 años desués cuando éste se lanteaa la osibilidad de extende la fueza gavitatoia obsevada en la sueficie teeste hasta la óbita de la Luna. Ejemlo nº : Si el adio medio de la óbita de Satuno alededo del Sol es 9,5 veces el teeste, calcula el eíodo obital de dicho laneta exesado en años teestes. Según la tecea ley de Kele, T a Sat 3 Sat T a Tie 3 Tie T Sat T Tie a a Sat Tie 3 (9,5) 3 86,8 T Sat 9,37 años teestes. Ley de Gavitación Univesal de Newton. Aunque el físico y matemático inglés Isaac Newton muy eacio sieme a ublica sus esultados (lo cual le ceó fecuentes olémicas de autoía de ideas, esecialmente con Leibniz) no diea a conoce su enunciado de la ley de inecia hasta la ublicación de sus Pinciia en 687 (en ate edactados o la insistencia de Halley ante Newton aa que diea a conoce sus logos), lo cieto es que la idea de que la tendencia de un objeto en movimiento a continua en línea ecta si nada influye sobe él (en sus oias alabas: Todos los cueos esevean en su estado de eoso o de 8

10 movimiento unifome en línea ecta, salvo que se vean fozados a cambia ese estado o fuezas imesas ) estaba ya muy aaigada en su mente. En ealidad, esta idea del inciio de inecia ya había sido anticiada ealmente o el italiano Galileo aa un movimiento en lano hoizontal en sus famosos Discosi (638), y o el fancés René Descates en sus Pinciia (644), e incluso había sido vislumbada, en ate, ya mucho antes o Juan Filóono de Alejandía (s. VI) y o el áabe Avicena (s. XI), sin olvida algunos udimentaios atisbos de dicho inciio en la filosofía de los giegos Demócito (s. V a.c.) y Aistóteles (s. IV a.c.). Pues bien, en base a esa idea de ley de inecia, Newton comenzó a ensa en 665 que si la Luna no salía desedida tangencialmente de su óbita cicula (su excenticidad es de sólo 0,055) seía debido a la existencia de una fueza que la emujaba continuamente hacia la Tiea convitiendo ues su tayectoia en una cicunfeencia (todavía hoy, en muchos alumnos se obseva la dificultad de entende que la Luna, que está en movimiento, no se caiga sobe la Tiea ese a que ésta atae a aquélla, imutándolo a un falso equilibio ente la fueza centíeta eal y una falsa fueza centífuga que sólo es futo de una descición desde un sistema no inecial, o sea, aceleado). Newton genealizó el nombe de gavedad a esa fueza que actuaba a distancias astonómicas. Además, a ati de la tecea Ley de Kele, dedujo la foma matemática de la ley de gavitación lanetaia de cuadado inveso (aunque en sus Pinciia Newton no econoce esta deuda con Kele, sí se lo confesó a Halley en una cata aticula) y demostó que esa fueza lanetaia ea la misma fueza que la que hacía cae una manzana sobe la Tiea (caácte univesal de la Ley). Todavía hoy es un oblema de investigación vivo llega a conoce cómo Newton estableció su Ley de Gavitación Univesal (LGU). Paa el exeto newtoniano I. B. Cohen, de la Univesidad de Havad (98), había sido el inglés Robet Hooke en 680 quien había intoducido a Newton en la idea de una fueza centíeta en un movimiento cicula, fente al conceto conocido o éste de fueza centífuga (nombe y conceto intoducido o el holandés Huygens y defendido también o Descates); esta distinción uede aece oco imotante, eo con ello se asaba a atende al cueo cental y no al que da vueltas, algo que seía fundamental aa el conceto de gavitación. Hooke ensaba que la fueza centíeta diigida hacia el Sol dececeía con la distancia al mismo en la foma / aa exlica que la velocidad obital de un laneta decece al aumenta la distancia al Sol (como se deduce de la Segunda Ley de Kele, aa que a más distancia el áea baida o el adio vecto en el mismo tiemo sea la misma que cuando se encuenta a menos distancia). Peo debido a que la ley de las áeas keleiana no gozaba o entonces de demasiada acetación (en ate oque omía la belleza de una óbita efecta cicula y unifome), Hooke menoseció la imotancia de esta ley, lo cual, unido a su educida habilidad matemática, hizo que no llegaa a lo que sí udo llega Newton. Posiblemente ues a sugeencia de Hooke, Newton demostó matemáticamente, o comlejos azonamientos geométicos, que un cueo bajo una fueza atactiva en la foma / descibiía una óbita elítica, y así se lo comunicó a Halley, muy inteesado en el conocimiento de la astonomía lanetaia (la foma / de la ley no aaece como conceto exlícito en los Pinciia, sino que 9

11 Newton sólo la demuesta matemáticamente, siendo la génesis de la idea más imutable ues a Hooke e incluso más a Gilbet, con contibuciones de Kele y del naolitano Boelli). Si bien no se conoce efectamente el oceso concetual inteno que siguió la mente de Newton aa elaboa su teoía de gavitación univesal, odía habe sido el siguiente: i) Patió de un modelo matemático: una masa untual moviéndose alededo de un cento de fuezas, siendo esa fueza de caácte sólo matemático (no físico, ues Newton eudiaba el conceto de fueza a distancia). Dado que el 99,86% de la masa total del Sistema Sola se encuenta en el Sol, y sólo el 0,35% en los lanetas, el 0,00004% en los satélites y el esto en cometas, asteoides, meteoitos y medio intelanetaio, el sistema lanetaio sí uede estudiase o tanto como un conjunto de masas untuales lanetaias giando en tono a un foco cental masivo. Po ello, el Sistema Sola esulta se el mejo laboatoio aa estudia la gavitación univesal, lejos de etubaciones extenas aeciables que uedan enmascaa la ealidad física. ii) Desaolló su modelo matemático: atió aa ello de su conocimiento de las tes leyes de Kele y las fue alicando (en todo lo que sigue utilizaemos, o sencillez, deducciones físicas, en luga de los comlejos azonamientos geométicos seguidos o Newton en sus Pinciia; la dinámica newtoniana no asaía de su elaboación geomética inicial hasta su tatamiento analítico modeno, mediante ecuaciones difeenciales, con el tabajo de Eule en 736). La LK afima que las óbitas lanetaias son elíticas; dado que su excenticidad es muy baja odemos, o sencillez exositiva, ati de que son aoximadamente ciculaes, es deci con la distancia laneta-sol cte (aa la óbita de la Tiea, los adios máximo y mínimo difieen en sólo un,7% esecto a su valo medio, e incluso aa la excéntica óbita de Mate esta difeencia es sólo del 9%). Como además la LK afima que el laneta bae áeas iguales en tiemos iguales (da/dt cte), entonces consideando el áea del tiángulo da como (base ds x altua )/ se tiene: da ds da dt cte ds / cte dt v cte y como cte, entonces v cte 0

12 luego el movimiento seá cicula unifome, con lo que la fueza sólo odá se adial centíeta. Es deci, el simle uso de la LK con la LK emite sabe que la fueza causante es centíeta, de modo que, usando la segunda ley de Newton aa la masa m del laneta y el conceto de velocidad unifome esacio de una óbita cicula/ tiemo de la óbita o eíodo T se tiene que: F mv m (π / T ) 4π m () T y, si se intoduce ahoa la LK3 (T cte 3 ) en el denominado, queda finalmente que la fueza sobe el laneta es: 4 m km F π () 3 cte En suma, usa la LK emite ostula una fueza centíeta, y la LK3 emite además ya medila bajo la foma /. iii) iv) Modificó el modelo matemático: cambió el cento de fuezas de caácte matemático o una masa untual M, la masa del Sol. Intodujo la fundamental idea de atacción mutua, yendo con ello más allá de la ouesta de Hooke (a ati de la ley de acción-eacción, Newton intodujo que esa inteacción no sólo deendía de la masa m del laneta, sino también de la masa M del foco, el Sol), es deci como la fueza del foco (S) sobe el laneta (P) de masa m ea según (): km F SP (3) de la misma manea, como cualquie fueza es oocional a la masa que la sufe, la fueza del laneta sobe el foco (S) de masa M seá: F PS k' M y, como según la tecea ley de Newton o ley de acción-eacción, F SP F PS, entonces k k' km k' M, cte G, k GM M m (e igualmente, si se hace con otos lanetas, se va obteniendo k/m k /m k /m cte) que, sustituida, en (3) convieta a ésta en

13 GMm F (4) que más tade se convetiá en la conocida como Ley de Gavitación Univesal (LGU). v) Genealizó su esultado aseguando que esa fueza, así deivada matemáticamente, ea la gavitación univesal yendo de nuevo más allá de la idea de Hooke y comobó su modelo: En oinión de algunos investigadoes modenos (Cohen, Dake y Heivel), quizá fuea el asecto de un diagama de los Diálogos de Galileo (630) lo que insió a Newton a elaciona la caída de la manzana con la óbita luna (y o ende con las óbitas lanetaias) y llega finalmente a la LGU. Así, en la figua siguiente se obseva que la Luna, en su óbita alededo de la Tiea, no se mueve ealmente de P a P, sino de P a P, es deci como si hubiea caído desde P a P (aunque udo insia a Newton, ealmente la figua de Galileo no tenía nada que ve con la Luna, sino que la había dibujado aa exlica o qué un cueo esado en eoso no salía desedido tangencialmente ese a la violenta otación de la Tiea). P P P h O quizá Newton se insiaa en un asaje de los Diálogos de Galileo en el que Salviati se diige a un anticoenicano: Y si él me asegua qué mueve a uno de esos cueos móviles (lanetas), ometo que yo sabé decile qué hace move a la Tiea (alededo del Sol). Más haé lo mismo si me uede mosta qué es lo que en la Tiea hace descende a las cosas. Y en la misma línea, en cuanto al conceto de gavedad, sigue exesando Salviati al diigise a Simlicio: Peo, en ealidad, no sabemos más qué inciio o fueza hace cae a las iedas que lo que sabemos de lo que las hace subi una vez atidas de la mano del lanzado, o qué hace gia a la Luna. En suma, aa veifica su hiótesis (comobación del modelo) de univesalidad de la gavitación, Newton, tomando la ley de inecia ya conocida o Descates, azonó que si la Luna no seguía en línea ecta ea oque alguna fueza cuvaba su tayectoia. Sin ecui al azonamiento geomético que él utilizó, odemos ataca el oblema más áidamente de la siguiente manea:

14 Sabiendo que la distancia de la Luna a la Tiea es 3,84 x 0 8 m (medida o el método del ángulo de aalaje desde dos untos distintos de la Tiea seaados o una distancia conocida) y que el eíodo de su óbita alededo de nuesto laneta es de T,36 x 0 6 s (7,3 días), el valo de la aceleación centíeta de la Luna en su óbita de adio seá a L v (π / T ) 4π T,7 0 3 m / s (luego en s, la Luna caeía, esecto a su tendencia ectilínea, un esacio h a L t /,36 mm, utilizando la exesión del movimiento ectilíneo unifomemente aceleado que había sido ya descubieta o Galileo), de modo que su elación con la aceleación de la gavedad que sufe la manzana en la sueficie teeste (g 9,8 m/s ) seá g a L 360 (60) y, de acuedo a su suosición de que la aceleación (como la fueza) tiene la foma de /, se tiene que la elación ente distancias al cento de la Tiea desde la Luna y desde la manzana situada en la sueficie de la Tiea (cuyo adio es R T 6,37 x 0 6 m, y que se conocía o el tamaño de las sombas ceadas o dos estacas colocadas en dos untos alejados en la sueficie teeste) seá R T 360 (60) es deci, la lena coincidencia numéica de ambas azones indicaba que la azón ente aceleaciones ea invesa a la azón ente los cuadados de la distancias, tanto en el cielo como en la sueficie teeste g/a L (/R T ), luego g /R T, a L / y, en geneal, cualquie aceleación gavitatoia iá como / de modo que la ley de gavitación adquiee caácte univesal. Este fue el gan acieto de Newton: ensa que la fueza que hacía cae una manzana en la Tiea ea la misma que la que hacía cae a la Luna hacia la Tiea, manteniéndola en óbita alededo de ésta. Recuiendo a la famosa anécdota de la caída de la manzana desde un ábol (que quizá no fuea más que un ejemlo inventado a osteioi aa exlica mejo las ideas de Newton), odíamos deci que ésta cae en s una altua de s gt / 4,9 m, mientas que la Luna, al esta 60 veces mas lejos que la manzana del cento de la Tiea ( km fente a los 6370 km del adio de la sueficie teeste), debeía cae en cada segundo, si la ley / fuea coecta, una distancia de 4,9/(60),36 mm aa segui una óbita cicula, edicción que comobó a ati del valo de a L obsevado (medido a tavés de y T). Dicho de ota manea, Newton había demostado que la Luna se movía como si fuea ataída hacia la Tiea con una fueza que ea /3600 de la fueza 3

15 de la gavedad con la que nuesto laneta tiaba de los objetos ceca de su sueficie. Y uesto que la Luna está 60 veces más lejos del cento de la Tiea que los objetos colocados sobe o ceca de su sueficie, el facto /3600 concodaba con la deducción de que la gavedad de la Tiea se extiende a la Luna y disminuye con el cuadado de la distancia. En esumen, Newton había visto que la caída hacia la Tiea (desde P a P ) se oducía al itmo que debeía esease si la gavedad teeste se extiende desde la sueficie de la Tiea hasta alcanza la Luna, dececiendo como /, y o qué no a todos los lanetas (genealización univesal). En suma, la LGU adquiee la foma de GMm F en el año 685, si bien se da a conoce con la ublicación de los Pinciia en 687. En foma vectoial, la LGU quedaía GMm u (5) F donde u eesenta un vecto unitaio en la diección que une los objetos y el signo menos indica que la fueza gavitatoia sobe un objeto es de sentido atactivo hacia el oto. M m u F F El enunciado de dicha LGU exesa ues que: La fueza de atacción ente dos cueos de masas M y m es diectamente oocional al oducto de las masas e invesamente oocional al cuadado de la distancia ente ellas y actúa a lo lago de la línea que une ambos cueos. Newton ocede luego a genealiza su ley de gavitación aa todos los cueos celestes (idea osiblemente coiada de un texto de Hooke escito en 674) e incluso aa todos los cueos: así en la Poosición IV del Libo III ( Sistema del mundo ) exesa que la fueza o la que la Luna es etenida en su óbita es, en la misma sueficie de la Tiea, igual a la fueza de la gavedad que obsevamos aquí en los cueos esados y, de acuedo con sus Reglas aa filosofa sobe lo simle que debe se la natualeza y sobe tende a asigna a los mismos efectos las mismas causas, 4

16 concluye que la fueza o la que la Luna es etenida en su óbita es ecisamente la misma fueza que comúnmente llamamos gavedad. Esta ley, de caácte fundamental en la teoía de la Mecánica, es ues una ley exeimental, en el sentido de que se deduce de las obsevaciones exeimentales de las osiciones lanetaias. Debe ecisase además que esta LGU está fomulada aa cueos untuales uesto que utiliza una distancia bien deteminada. Paa el caso de cueos homogéneos esféicos (que es, con bastante aoximación, la situación que se da ente lanetas y el Sol o ente un laneta y sus lunas), esa distancia se mide desde los centos de gavedad de las esfeas. Ejemlo nº : Con qué fueza se ataen el Sol y la Tiea? Según la LGU de Newton, y exesando todo en el S.I. de unidades, F 30 4 GMm (6,67 0 )( 0 ) (6 0 ) 3,56 0 (,5 0 ) N Cuiosidad. Una última obsevación sobe la LGU se efiee a que, de acuedo con la ley de acción-eacción, la fueza de atacción gavitatoia es mutua, es deci M atae a m con la misma fueza (eo de sentido ouesto) con la que m atae a M. Debe ecisase que las que son iguales son las fuezas sobe los objetos, no las aceleaciones de los mismos. Esto uede ilustase ecuiendo a la anécdota de la caída de la manzana sobe el suelo que udo hace ensa a Newton en que la caída de la Luna sobe nuesto laneta odía tene la misma causa que aquélla. Así, dado que, según la LGU, la Tiea T (M T 6 x 0 4 kg) atae a la manzana M (m M 0, kg) con la misma fueza que ésta atae a aquélla, o qué no vemos que cuando cae una manzana de un ábol la Tiea se eleve hacia el cielo? La azón estiba en que aunque las fuezas sí son iguales, no lo son sus aceleaciones (g aa la manzana y a T aa la Tiea): F TM F MT m M g M T a T, luego a T 3,7 x 0-5 m/s, es deci, que en los t 0,6 s que tada la manzana en cae al suelo con g 9,8 m/s, la Tiea aceleada con esa minúscula a T sólo ha odido deslazase un esacio x a T / 6 x 0-6 m, algo totalmente imecetible. El valo de la constante G de la LGU no seía deteminado hasta un siglo desués con el exeimento del inglés Cavendish (798) de la balanza de tosión (mediante la medida del a de gio ceado o la atacción gavitatoia de dos masas) con una inceíble ecisión de sólo un % de difeencia esecto al valo más modeno conocido (G 6,67 x 0 - Nm kg - ). Este valo tan equeño de G hace que, aa masas nomales y distancias nomales, la fueza de atacción gavitatoia sea tan débil que su valo sea difícil de medi con gan ecisión (o ejemlo, ente dos masas de kg seaadas m ente sí dicha fueza es sólo de 6,67 x 0 - N, es deci mil millones de veces meno que el eso de una homiga; aún así debe tenese en cuenta que cuando se 5

17 habla de la debilidad de la gavitación se hace de modo elativo, ya que si bien es cieto que la fueza gavitatoia ente dos otones es 0 36 veces meno que su fueza electostática, tamoco debe olvidase que la gavitación es suficiente aa que un laneta como Plutón se mantenga ataado o el Sol, sin odese escaa de su óbita lanetaia elítica, incluso cuando se encuenta alejado del asto a más de 7000 millones de km). De hecho, tas más de dos siglos de exeimentos, la constante G sigue siendo conocida con una imecisión elativamente alta comaada con la de otas constantes fundamentales. Así, las mejoes medidas obtenidas hasta la imea década del s. XXI dan el valo seguo de G (6,67±0,0) x 0 - Nm kg -, lo cual eesenta un eo elativo del 0,5%, aunque las más ecientes deteminaciones auntan a un valo más obable de G (6,6748±0,00067) x 0 - Nm kg -, lo cual educiía el eo elativo hasta el 0,0%. La necesidad de educi esta incetidumbe ha ovocado que, tan sólo en los últimos setenta y cinco años, se hayan ublicado vaios centenaes atículos sobe el valo de dicha constante; o el momento, los exeimentos más ecisos siguen estando basados aún en vaiantes modenas de la balanza de Cavendish o en medidas indiectas a tavés de la aceleación de caída libe g de objetos en la Tiea. Como alicación inmediata e inteesante, conoce el valo de G emite, o ejemlo, deduci la masa de la Tiea M T. Así, la segunda ley de Newton aa un objeto de masa m que cae ceca de la sueficie de la Tiea, F alicada m a obsevada, quedaía: Actividad nº : GM T m gr mg, M T R G T A ati de la ecuación anteio, sustituyendo en ella la aceleación de la gavedad en la sueficie teeste g 9,8 m/s, el adio de la Tiea R T 6370 km, y la constante G 6,67 x 0 - Nm kg -, obtenga el valo de la masa del laneta Tiea M T. Usando este esultado de la masa de la Tiea, y consideando la foma aoximadamente esféica de la misma, obtenga el valo de la densidad media de nuesto laneta. Soluc.: M T 5,97 x 0 4 kg; ρ T 5,5 x 0 3 kg/m 3. Nota. Con este último esultado aa la densidad media del laneta enteo, y dado que la densidad media de las ocas en la sueficie de la Tiea es sólo de,8 x 0 3 kg/m 3, se deduce que el inteio de la Tiea debe se más denso que su sueficie, lo cual es comobable mediante el estudio de la oagación de las ondas sísmicas en los teemotos. T Ota alicación inteesante de la ley de gavitación univesal es que emite obtene la foma de la constante de la tecea ley de Kele que éste no udo detemina. Así la segunda ley de Newton aa una óbita cicula unifome daía: 6

18 F m a GMm mv alicada obsevada v y sustituyendo v π/t aa una óbita cicula unifome queda GM π T GM T 4π GM 3 con lo que la constante de la tecea ley de Kele es cte 4π /GM (siendo M la masa del Sol, si éste es el foco cental; eo esta exesión es válida en geneal, de modo que si se estudia la óbita de un satélite alededo de la Tiea, M seía la masa de la Tiea). En esumen, el método newtoniano consistió ues en alica las matemáticas al mundo exteno tal como éste se manifiesta o la exeiencia y la obsevación cítica; se tataba de un i y veni ente un modelo matemático y la ealidad física. Finalmente, uesto que esa fueza matemática de atacción exlicaba las obsevaciones, Newton decidió que dicha fueza existía de vedad, o lo que emezó a eocuase o el oigen de los efectos de esa gavitación univesal. A este esecto, y si bien ensó, ente otas osibilidades, que esta fueza odía debese a una esecie de coiente de atículas que bombadeaba el objeto (sieme eudió la osibilidad de acción a distancia a tavés del vacío), acabó emaneciendo fiel a su idea de no imagina hiótesis. Qué avance eesenta ues Newton esecto a sus edecesoes? Resecto a Kele, cumlió el objetivo de éste de desaolla una teoía física basada en las causas. Resecto a Galileo, dado que éste no tató nunca con el conceto de fueza, sino con el de aceleación, al elaciona Newton aquélla con ésta a tavés de su segunda ley hizo de la aceleación una medida univesal de la fueza. Resecto a Hooke, éste había sugeido que la fueza ente el Sol y los lanetas tendía la foma /, eo la teoía de Newton incluye además el efecto de las masas de los cueos que se ataen. Y, o oto lado, oone una ley / aa óbita cicula no es lo mismo que llega a demosta que dicha ley vale también aa las óbitas elíticas (y cónicas en geneal) en que se cumle la ley de las áeas, algo que sí consiguió Newton. Finalmente, cabe mencionase aquí que la confimación definitiva de la LGU se consiguió con la edicción del etono del cometa Halley (758), cuya alagada óbita elítica de excenticidad 0,967 se eite cada 76 años (siendo sus asos más ecientes ceca de la Tiea en 90 y 986), así como con el descubimiento del laneta Netuno (845) cuya óbita tiene una excenticidad de 0,0096, estudiando la etubación que le ovocaba a Uano. La teoía de gavitación univesal de Newton sólo seía modificada con la llegada de la teoía de la Relatividad Geneal de Einstein (96) en la que la fueza gavitatoia a distancia se sustituye o una cuvatua del esacio-tiemo debida a la esencia de masa. 7

19 De izquieda a deecha: Coénico, Kele y Newton (fotogafías de dominio úblico) 3. Fuezas centales. Camos consevativos. El hecho de que la fueza gavitatoia sea cental, o sea que actúa en la línea que une la distancia ente las dos masas que inteaccionan (auntando sieme hacia un cento fijo: o ejemlo, sobe un laneta esa fueza aunta sieme hacia un unto cental situado en el Sol), tiene la inmediata consecuencia de que bajo ella se conseva el momento cinético. En efecto, el momento de la fueza esecto de un unto O vendá dado o M F F( ) u 0 uesto que y F son aalelos; es deci, como toda fueza cental, la fueza gavitatoia no oduce momento, y como, según el teoema del momento cinético d L M dt entonces, el momento cinético es un vecto constante: L mv cte (6) luego como debe se constante no sólo en módulo, sino como vecto con su oientación esacial, entonces, aa que aunte sieme hacia el mismo sitio, como L es eendicula al lano fomado o y v (o definición del oducto vectoial), este lano, que es del movimiento, debe también emanece fijo, lo que significa que la tayectoia de los objetos sometidos a esa fueza (lanetas, satélites, etc.) seá lana (elise, aábola o hiébola aa el caso de la gavitación univesal). 8

20 L O F v tayectoia m Este esultado es geneal en el sentido de que F cental L cte La constancia del momento cinético aa una fueza cental (o ejemlo, la gavitatoia) emite incluso obtene de una foma sencilla la segunda ley de Kele o ley de las áeas. Así, cuando el laneta P se mueve en un tiemo dt hasta P, avanzando un aco d, bae un ángulo dφ, de modo que el áea del tiángulo baido OPP seá: O tayectoia dφ P P d da d luego da d dt dt v mv m L m 9

21 y como vimos que L mv cte queda que da dt cte que no es más que la ley de las áeas o segunda ley de Kele. Oto asecto aún más inteesante de las fuezas centales es que si el módulo de la fueza, F, deende sólo del módulo de la distancia,, o sea F F(), es deci, F F( ) u, entonces la fueza es llamada consevativa (uesto que, como veemos, ello conlleva que la enegía total de la atícula sometida a ella se mantiene sieme constante). De modo geneal, se dice que una fueza es consevativa si el tabajo ealizado o ella, cuando la atícula que la sufe se mueve ente un unto inicial y oto final, se uede exesa como la difeencia de una magnitud escala, llamada enegía otencial E, función sólo de las coodenadas de osición de la atícula, ente el unto inicial y el unto final, es deci: W F. d s E ( ) E ( ) (7) Podemos ve entonces que cualquie fueza de la foma F F( ) u es, en efecto consevativa. Paa ello, en la figua siguiente se tiene una fueza cental en la diección adial OP (no imota si la fueza va de O a P eulsiva, como la fueza ente dos cagas elécticas del mismo signo o de P a O atactiva, como la gavitación o como la fueza ente dos cagas elécticas de signo ouesto, ues en ambos casos es cental). P P u φ d s F P tayectoia O 0

22 Entonces, el tabajo ealizado o la fueza a lo lago de un tozo difeencial de camino (el conceto de tabajo como oducto de fueza o deslazamiento fue intoducido o Poncelet y Coiolis en 86) seá dw F. d s F( ) u. d s F( ) ds cosφ F( ) d donde se ha llamado d a la oyección de ds sobe la diección adial. Y entonces, el tabajo ealizado o la fueza ente dos untos cualesquiea (P, P ) de la tayectoia seá: W F. d s F( ) d ϕ ( ) ϕ( ) E ( ) E ( ) donde se ha llamado E a la función φ cambiada de signo; de manea que, efectivamente toda fueza de la foma F F( ) u, como la de gavitación univesal (o la de inteacción electostática de Coulomb), es consevativa. Como consecuencia de ello, el tabajo ealizado o cualquie fueza consevativa ente dos untos del esacio no deende del camino seguido o la atícula, sino sólo de las osiciones inicial y final de la misma y si la tayectoia es ceada dicho tabajo seá ceo (uesto que el unto inicial y final coinciden). Ota foma equivalente de exesa la ecuación anteio es Fd - de, uesto que entonces integándola daía Fd de E ( ) E ( ) como indicaba la ecuación del tabajo W, de modo que de F (8) d y, si dividimos o la masa en ambos lados de la ecuación, queda F d( E / m) m d y, llamando intensidad de camo a EF/m y otencial a VE /m, queda la exesión dv E (9) d llamándose sueficies equiotenciales a las fomadas o la unión de todos los untos en los que se tiene el mismo valo del otencial, V cte.

23 4. Enegía otencial gavitatoia. A ati de la exesión (8), igualándola con la ley de gavitación univesal (5), odemos calcula la enegía otencial asociada a la fueza gavitatoia: de donde F GMm de d luego, integando, queda GMm d de GMm E + C y, si se elige el oigen de enegía otencial en el infinito, o sea E ( ) 0, la ecuación anteio queda GMm 0 + C C 0 luego, finalmente, la enegía otencial gavitatoia seá: E GMm (0) Nota. La exesión (0) es geneal aa cualquie distancia (medida desde el foco gavitatoio M hasta el objeto m; o ejemlo, desde el cento del Sol hasta el cento del laneta Tiea). Peo si se tabaja desde la sueficie de la Tiea, suele utilizase la exesión más sencilla E mgh, siendo h la altua a la que está el objeto m medida desde el suelo de la Tiea. Paa llega a ello basta iguala la exesión (8) con el eso e intega: F de d mg de mgd E mg + C y, si se elige ahoa o comodidad que E sea 0 justo en la sueficie de la Tiea (la elección del oigen o ceo de enegía otencial es sieme abitaia), o sea E (R) 0, la ecuación anteio da 0 mgr + C C mgr luego E mg mgr mg( R) mgh

24 donde h es la altua medida desde el suelo (distancia del cento de la Tiea al objeto m menos el adio de la Tiea R). Po oto lado, si se iguala la exesión de la ley de gavitación univesal de Newton con la fueza eso se tiene que: GMm GM F mg g que da la aceleación de la gavedad g en cualquie unto del esacio a distancia del foco de masa M (si en esta ecuación se sustituye M o la masa de la Tiea y o el adio de la misma, se obtiene el conocido valo de g 9,8 m/s aa la aceleación de la gavedad en la sueficie de nuesto laneta). 5. Consevación de la enegía total. La enegía total E de una atícula m (o ejemlo, un laneta) sometida a la inteacción gavitatoia con la masa M (o ejemlo, el Sol), seá la suma de las dos enegías que osea dicha masa m, es deci la cinética asociada a su velocidad y la otencial (0) asociada a la gavedad, o sea: E E k + E mv GMm () Veamos ahoa que cualquie fueza consevativa conseva la enegía total. Paa ello, sabemos que cualquie fueza (sea o no consevativa) cumle el teoema de las fuezas vivas o de la enegía cinética: W F. d s Fds cosθ Ftg ds matg ds donde se ha llamado F tg a la oyección de F sobe la tangente a la tayectoia en cada unto (Fcosθ, siendo θ el ángulo que foman los vectoes fueza y deslazamiento), y como ds/dt v queda W mv mvdv y, definiendo la enegía cinética como E k mv /, queda: mv m dv dt ds W E E k k Po tanto, aa cualquie fueza consevativa tenemos dos fomas de exesa el tabajo que ueden igualase ente sí: 3

25 W E E E E k k (atención a los signos: nótese que en la exesión del tabajo al i de un unto inicial a oto final en función de la enegía otencial aaece la difeencia de ésta ente la osición inicial y final, mientas que en función de la enegía cinética es al evés, la final menos la inicial ) de donde queda que E + E E + E k k que exesa que la enegía total de la atícula m es la misma en cualquie unto del esacio, es deci E total cte. Alicando este esultado a la ecuación () de la enegía total de una atícula bajo la acción gavitatoia queda que E E + E mv GMm k cte () Ejemlo nº 3: Si se disaa veticalmente hacia aiba un oyectil con velocidad inicial de 5 km/s desde la sueficie de la Tiea, hasta qué altua subiá? Alicando la consevación de la enegía ente los untos inicial (lanzamiento) y final (aada momentánea), se tiene mv inic GMm inic mv fin GMm y simlificando m (el esultado no deendeá ues de la masa del oyectil lanzado) y sustituyendo v inic 5000 m/s, inic R Tiea 6,37 x 0 6 m, v fin 0 m/s, M M Tiea 6 x0 4 kg y G 6,67 x 0 - Nm kg -, queda fin 7,95 x 0 6 m contados desde el cento de la Tiea, es deci el oyectil se aaá a una altua h 795 km 6370 km 58 km, contada desde la sueficie del laneta Nota imotante. Si se alicaa la ecuación cinemática v fin v inic gh, con v inic 5000 m/s, v fin 0 m/s y g 9,8 m/s, se obtendía h 74 km, lo cual es eóneo ues esta ecuación cinemática sólo uede alicase muy ceca de la sueficie de la Tiea, consideando g constante, cicunstancia que no se da en el oblema lanteado. fin 4

26 6. Velocidad de escae y velocidad obital. Como alicación de la exesión de la enegía total bajo camo gavitatoio odemos aboda el conceto de velocidad de escae ligado a la osibilidad de que un objeto lazado con una velocidad inicial y sin oulsión osteio oia ueda escaa de un camo gavitatoio. Así, se llama velocidad de escae v esc en un unto P del esacio a la velocidad mínima con la que había que lanza un objeto m en esencia de un foco masivo M aa que llegue justo al infinito escaando de la atacción de éste. Esta velocidad se uede obtene áidamente usando la consevación de la enegía () ente el unto inicial de lanzamiento P y el unto final en el infinito: GMm mv esc mv GMm y como v 0 ues se tata de llega justo al infinito, o sea sin velocidad sobante, entonces, de la ecuación anteio, queda GM v esc que no deende de la masa m del objeto a lanza, sino de la masa del objeto M del que se etende escaa y de la distancia desde la que se lance m. Actividad nº 3: A ati de la ecuación anteio, calcule la velocidad necesaia aa que un objeto escae de la atacción de la Tiea (M masa de la Tiea) si se lanza justo desde la sueficie de ésta ( adio de la Tiea). Exese el esultado en el S.I. de unidades y en km/h. Soluc.: 09 m/s 4035 km/h Nota. Con esta velocidad, el objeto escaaía de la atacción teeste, eo no de la del Sol. Como en la ecuación de enegías utilizada no aaece aa nada el ángulo de lanzamiento, la velocidad de escae es la misma indeendientemente de si se lanza el objeto m en vetical (con lo que se alejaá en vetical hasta aase en el infinito) o en hoizontal (con lo que se alejaá haciendo una tayectoia cuvada hasta aase en el infinito). Así, según la velocidad con la que se lance inicialmente el objeto m en la figua siguiente, se tienen distintas osibilidades en cuanto a la tayectoia que tazaá. Usando 5

27 la exesión de la enegía total E en un camo gavitatoio odemos obtene los esultados sobe la foma de la tayectoia; así, teniendo en cuenta que E k es sieme ositiva, de la ecuación E E k + E mv GMm se tienen las siguientes osibilidades en cuanto al signo de la enegía total E: E < 0 E k < E sieme, luego como E ( ) 0, quedaía E k ( ) < 0, lo cual es imosible, o sea, la atícula no uede llega al infinito, luego su tayectoia se ciea sobe sí misma (elise, siendo la cicunfeencia un caso aticula de excenticidad nula). Es o ello o lo que las óbitas con E < 0 se llaman ligadas, uesto que, en ellas, la atícula m no uede escaa de la atacción del foco M. E E k E 0 sieme, luego como E ( ) 0, queda E k ( ) 0, o sea, la atícula uede llega al infinito eo justo con velocidad nula (aábola), lo cual coesonde al caso lanteado en la velocidad de escae (o ello, a la velocidad de escae se le llama también velocidad aabólica). E E k > E > 0 sieme, luego como E ( ) 0, queda E k ( ) > 0, o sea, la atícula aún tiene velocidad en el infinito (hiébola). Nota: Paa la eulsión electostática coulombiana, como la enegía otencial es E Kqq /, al se las dos cagas del mismo signo, sólo uede habe E > 0, luego E > 0 y, entonces, sólo ueden dase tayectoias hiebólicas. Entonces, de ota manea, odemos deci que según la velocidad v con la que se lance un objeto m desde una distancia al objeto M del que quiee escaa, se tiene que: v < v esc el objeto m hace una elise y no escaa de la atacción de M. (si el objeto m se lanza veticalmente, vuelve a cae veticalmente sobe M; si se lanza inclinado desde una altua esecto de M, el objeto m queda ataado en una óbita elítica alededo de M; y si el objeto m se hubiea lanzado inclinado desde la oia sueficie de M, al cea la elise volveía a choca conta la sueficie de éste). v v esc el objeto m hace una aábola y está justo en el límite de escaa a la atacción de M, llegando justo al infinito a aase. v > v esc el objeto m hace una hiébola (como se ha obsevado ya que hacen vaios cometas), escaando a la atacción de M, llegando al infinito con velocidad no nula sobante. 6