Prof. Jesús Torres Hoyer

Transcripción

1 Prof. Jesús Torres Hoyer Agua en el Suelo

2 Contenido de la Presentación Aguaenlaestructuradelsuelo Agua capilar. Agua libre. Agua Retenida Presiones Total, Neutra y efectiva. Altura, gradiente y potencial hidráulico. LeydeDarcy. Permeabilidad. Factores que la afectan. Determinación de la permeabilidad en el laboratorio. Determinación de la permeabilidad en el campo. Redesdeflujo. Permeabilidad en suelos estratificados y anisótropos.

3 Introducción agua en la masa de suelo Agua Libre Agua Retenida se mueve a través de la masa de suelo bajo la influencia de la gravedad no se mueve libremente o lo hace bajo fuerzas diferentes Agua estructural Agua retenida Agua adherida Agua capilar

4 Introducción Agua estructural agua en la estructura del cristal. Sólo puede ser removida rompiendo la estructura del mismo considerada parte integral de la partícula del suelo Agua adherida dipolo moléculas de agua adyacentes a las partículas de suelo son fuertemente atraídas, formándose capas perimetrales de agua altamente viscosa

5 Introducción Agua capilar agua retenida o que se mueve en los intersticios de la masa de suelo debido a fuerzas capilares. Nivel Freático Es la superficie del agua en la cual la presión es igual a la atmosférica Por debajo de él, el suelo estará saturado La presión atmosférica se asume cero Estudiaremos principalmenteel movimiento del agua en el suelo, los fenómenos que este ocasiona, los esfuerzos que se generan en la masa de suelo y los efectos que tiene el fluido en los mismos

6 Tensión Superficial Cuando se altera la forma de la superficie de un líquido, de manera que el área aumente, se requiere realizar un trabajo. El trabajo necesario para aumentar el área es proporcional a ese aumento: dw TsdA El factor de proporcionalidad se denomina tensión superficial (Ts) y se mide en unidades de trabajo por unidad de área. Ts representa la fuerza por unidad de longitud en cualquier línea sobre la superficie.

7 Tensión Superficial La superficie curva que presenta un líquido al aire se denomina menisco. Lado cóncavo Se genera en la superficie curva un desnivel de presiones, de modo que la presión en el lado cóncavo siempre es mayor que en el lado convexo.

8 Tensión Superficial Si se coloca un tubo de pequeño diámetro sobre La superficie de un líquido y se inyecta aire a presión, se forma un menisco(semiesfera). P A P P A P A Se provoca un aumento en la superficie del líquido que encierra el tubo. El trabajo necesario para lograrlo viene dado por dw Ts4πRdR

9 Tensión Superficial Ahora, en el lado cóncavo existe la presión P y en el convexo P A presión atmosférica. Por lo que si se considera la fuerza neta que actúa en toda el área, se tiene: dw Como las ecuaciones son iguales, se obtiene 2 ( P P ) 2πR dr P PA 2Ts R Quedando demostrado que la presión en el lado cóncavo essiempremayorqueenelconvexo. A P A P P A P A

10 Tensión Superficial Ángulo de contacto En la inmediata vecindad de la pared sólida, las moléculas del líquido están sometidas o solicitadas por dos fuerzas: Cohesión y Adhesión. Dominan las fuerzas de adhesión Menisco cóncavo Dominan las fuerzas de cohesión Menisco convexo

11 Tensión Superficial Ascensión Capilar Consideraremos un tubo capilar con agua colocada al ras, pero con un menisco formado. P A P A P 1 P A P 2 Ya sabemos que la presión P 1 del lado cóncavo es mayor quep 2 delladoconvexosiendosudiferencia P1 P2 2Ts R

12 Tensión Superficial Ascensión Capilar P 1 Sieltuboestáabiertoalaire: P 1 P A y P 2 < P A P 2 Pero inmediatamente debajo del menisco la presión es la atmosférica (mayor que P 2 ), por lo que el sistema cerca del menisco no está en equilibrio, teniendo una presión neta hacia arriba igual a P A P 2 Porefectodeestadiferenciadepresión,elaguasube en el tubo hasta formar una columna que equilibre esa diferencia de presión. P A P A

13 Tensión Superficial Ascensión Capilar R r cosα h c r R α α P2 PA 2Ts R 2Tscosα P2 PA r P A P 2 + h c γ A Fórmula que permite calcular el ascenso del agua en un tubocapilarderadior. Experimentalmente Ts0.074 g/cm., y α 0 h c 2Tscosα rγ

14 Distribución de Esfuerzos de un Líquido La distribución de esfuerzos en el líquido bajo su nivel de agua superficial ley hidrostática según Es lineal la cual crece con la profundidad U z Uzγ u zγ Este efecto es el mismo que se presenta en un suelo por debajo del nivel freático

15 Distribución de Esfuerzos de un Líquido Vimos que si se coloca un tubo capilar Existe un ascenso en la columna de agua producto de las diferencias de presiones en el menisco h c 2Tscosα rγ Por lo cual, también existirá una presión por encima del NAL Por arriba del NAL el agua se encuentra en tensión presión menor que la atmosférica (-) h c γ h c U z zγ

16 Distribución de Esfuerzos de un Líquido Los poros interconectados en el suelo actúan como tubos capilares, permitiendo que el aguasubaporencimadelniveldeaguaslibres.

17 Distribución de Esfuerzos de un Líquido Entonces, la presión de poros por encima del nivel freático es negativa debido al efecto de la capilaridad. Elascensoporcapilaridadesmayorcuandoel diámetro del tubo es más pequeño.

18 Distribución de Esfuerzos de un Líquido Sat/cap La tensión capilar tiene un efecto de importancia vital en el proceso de contracción de los suelos finos. La reducción de volumen que se va generando por retracción de los meniscos al irse evaporando el aguaesdebidoaella.

19 Esfuerzos en el interior de una masa de Suelo. Estos pueden ser: Esfuerzos Totales Presión de Poro, Neutral o Hidráulica Esfuerzos Efectivos

20 Esfuerzo Total (σ) Eselesfuerzoalcualestásometidounamasade suelo producto del peso de los materiales que tiene encima. Se calcula como la profundidad por el peso específico de la masa de suelo considerada.

21 Presión de Poro (u) Es aquella que se mide o se calcula en el agua quellenalosporosdelamasadesuelo. La presión hidráulica puede medirse en el campo por medio de piezómetros. Unpiezómetroesuntuboverticalencuya parte inferior tiene perforaciones para que el agua fluya dentro de él. A la parte perforada se le coloca un filtro para evitar el arrastre de material fino y su obstrucción.

22 Presión de Poro (u) h c γ h c U z zγ

23 Esfuerzo Efectivo (σ ) Es la presión transmitida de partícula a partícula, a través de los contactos firmes que estas presentan. Tal presión es efectiva en la disminución de la relación de vacíos y en la movilización de la resistencia al esfuerzo cortante de una masa de suelo. En otros términos, se denomina presión efectiva porque al cambiar ésta, se originan deformaciones y cambios estructurales en el suelo. El esfuerzo efectivo está íntimamente ligado con todos los procesos esfuerzo-deformación y en general, con todos los problemas relacionados con el comportamiento estructural del subsuelo.

24 Relación entre el Esfuerzo Efectivo y la Presión Hidráulica s s s s Vs u W u W W u W W W W W γ Z s V Vs W W V W γ γ γ + + Pero S100% VVv s s AZ W W AZ V V W W γ γ + + A

25 Relación entre el Esfuerzo Efectivo y la Presión Hidráulica A Z Dividiendo entre el área para obtener esfuerzos: W A Ws + A AZγ A σ σ +u σ σ u

26 Peso Sumergido y Altura de Agua 1 Z1 σ σ A z1 γ SAT + 1γ u A ( z +1 1 ) γ A z1γ SAT + γ z1γ γ σ ( γ γ ) z A z1 SAT 1γ 50 Z1 σ A z1 γ SAT + 50γ u A ( z ) γ A z1γ SAT + 50γ z1γ γ σ 50 σ ( γ γ ) z A z1 SAT 1γ

27 Perfiles de Presiones Totales, de Poros y Efectivas Ya hemos visto como calcular los esfuerzos totales, de poros y efectivos en una masa de suelo. En mecánica de suelos se acostumbra a representar estos valores en una serie de perfiles. Consideremos una masa de suelo homogénea y el agua en las condiciones siguientes:

28 Perfiles de Presiones Totales, de Poros y Efectivas σ u σ γ Agua z 1 z 1* γ z 1* γ γ SAT Suelo z 2 z 2 γ z 2* γ SAT z z 1* γ +z 2* γ SAT (z 1 +z 2 )γ 2 (γ sat -γ ) z 1* γ +z 2* γ SAT -(z 1 +z 2 )γ γ sat -γ γ

29 Perfiles de Presiones Totales, de Poros y Efectivas σ u σ γ h Suelo Húmedo z 1 z 1* γ h z 1* γ h γ SAT Suelo Saturado z 2 z 2* γ SAT z 1* γ h +z 2* γ SAT z 2 γ z 1* 1 γ h +z 2* γ γ SAT -z 2 γ

30 Perfiles de Presiones Totales, de Poros y Efectivas σ u σ γ h Húmedo z 1 z 1*γ h -z 2*γ z z 1*γ 1* γ h +z 2* γ h γ SAT Sat/cap z 2 z 1* γ h +z 2* γ SAT z 1* γ h +z 2* γ SAT γ SAT Saturado z 3 z 1* γ h +(z 2 +z 3 ) * γ SAT z 3 γ z 1* γ h +z 2* γ SAT +z 3 γ

31 Perfiles de Presiones Totales, de Poros y Efectivas σ u σ γ h1 γ Sat1/ capilaridad z 1 z 2 z 1* γ h1 z 1* γ h1 +z 2* γ Sat1 z 1* γ h1 z 1* γ h1 + z 2* γ z 1* γ h1 +z 2* γ Sat1 γ Sat1 z 3 z 1* γ h1+(z 2+z 3 ) * γ Sat1 z 1* γ h1+(z 2+z 3 ) * γ Sat1-z 3*γ γ Sat2 z 4 z 1* γ h1 +(z 2 +z 3 ) * γ Sat1 + z 4* γ Sat2 z 1* γ h1 +z 2 *γ Sat1 +z 3 *γ 1+z 4 *γ 2 γ Sat3 z 5 z 1* γ h1 +(z 2 +z 3 ) * zγ 1* Sat1 γ h1 + +z z 4* 2 *γ γ Sat2 Sat1 + +zz 5* 3 *γ 1+z γ Sat3 4 *γ 2+z 5 *γ 3 n i 1 z i γ i h γ

32 Altura Hidráulica Total Recordemos de Bernoulli, que la energía está dada por: φ z u + γ v g En una masa de suelo la velocidad es muy pequeña en comparación con la altura de posición y altura piezométrica. Por lo que este término es despreciable. Siendo así, la altura (carga) hidráulica total en cualquier punto será igual a la suma de la carga de presión y carga potencial. Puede ser denominado también potencial hidráulico(φ).

33 Altura Hidráulica Total Considere el siguiente esquema: h u γ Ha ha hb Hb Ha ha hb Hb zb zb za za

34 Condición Hidrostática En una masa de suelo se puede detectar esta condición cuando al colocar piezómetros en diferentes puntos y profundidades de la misma todos alcanzan el mismo nivel piezométrico. La condición hidrostática se caracteriza porque no hay flujo en ninguna dirección. Las presiones de poros se incrementan linealmente con la profundidad, por debajo del nivel freático. Ha ha za hb zb Hb

35 Condición Hidrodinámica Cuando piezómetros colocados a diferentes profundidades y en diferentes puntos no alcanzan el mismo nivel piezométrico. Hayflujodeagua. Ha ha za hb zb Hb

36 Flujo Subterráneo En unacondiciónhidrostática, el nivel en el piezómetro ascenderá hasta el mismo lugar. No hay flujo subterráneo. Elaguafluirádel puntoaalpuntobsihayuna diferencia entre los niveles de agua en los piezómetros(condición hidrodinámica)

37 Gradiente Hidráulico La pérdida o disipación de altura hidráulica por unidaddedistanciadeflujo en que la misma ocurre, se denomina gradiente hidráulico, i: i i h L dh dl

38 Ley de Darcy Trabajando con filtros de arena, Darcy demostró que para velocidades pequeñas, el gasto es proporcional al gradiente hidráulico y a la sección transversal del flujo.

39 Ley de Darcy h h a H a h b H b z a z b ParalafiguramostradalaleydeDarcypuedeser escrita como: Q KiA

40 Ley de Darcy Donde Q es el caudal, A es el área de la sección transversal donde ocurre el flujo, i es el gradiente hidráulico y K es el coeficiente de permeabilidad del suelo. El coeficiente de permeabilidad indica la mayor o menor facilidad con que el agua fluye a través del suelo estando sujeta a un gradiente hidráulico dado. NOTA: la carga total ( h) disminuye en dirección del flujo.

41 Coeficiente de Permeabilidad El coeficiente de permeabilidad (K) tiene unidades de velocidad:[long/t]. Depende principalmente de: Eltamañoyformadelaspartículassólidasdesuelo. La estructura del Suelo. La viscosidad del fluido. En general, mientras menor sea el tamaño del poro, menor es el valor de la permeabilidad. Para un suelo dado, K es función de la relación de vacios. Si un suelo es estratificado, K es mayor para el flujo paralelo a las capas que perpendicular a las mismas.

42 Permeabilidad Intrínseca La permeabilidad intrínseca (k) de un suelo depende solo de las características del suelo. No es afectado por factores que influyen en el coeficiente de permeabilidad(k). Las unidades de la permeabilidad intrínseca (k) sonunidadesdeárea(long 2 ) El coeficiente de permeabilidad (K) está relacionado con la permeabilidad intrínseca (k) a través de la siguiente ecuación: K k Donde η es la viscosidad dinámica del fluido γ η

43 Valores Típicos de Permeabilidad Coeficiente de Permeabilidad (cm/s) Condición Tipo de Suelo K(cm/s) Impermeables Poco Permeables Permeables Muy Permeables Arcillas Arcillas limosas <10-6 Limos arcillosos 10-6 Limos 10-4 a 10-6 Arenas muy finas 10-3 Arena fina Arena media Arena gruesa Arenas limpias Gravas limpias >1 Valores referenciales, NO SUSTITUTIVOS DE ENSAYOS Gravas limpias Arenas limpias. Gravas arenosas Arcillas fisuradas Arenas muy finas. Limos y limosarcillosos laminados Arcillas masivas Arcillas limosas

44 Velocidad de Flujo La ley de Darcy frecuentemente es expresada en términos de la velocidad Q V A Ki Donde V (llamémosla V d ) es conocida como la velocidad de Darcy (velocidad aparente) y es calculada dividiendo el caudal entre el área total.

45 Velocidad de Flujo Peroenlarealidad: A Av (Vacios) e As (Sólidos) 1 Lavelocidadrealesaquellaqueconsideraque el fluido únicamente pasa a través de los vacíos. Consideremos la ecuación de continuidad: AV d AV v r AV d A v V r

46 Velocidad de Flujo Real Si consideramos una muestra de espesor unitario, se tiene que: e e n A A A Porlotanto e n A A A v v ( ) e e V n V V d d r + 1

47 Determinación de la Permeabilidad Métodos Directos: Carga Constante Carga Variable Prueba directa en campo. Métodos Indirectos: Cálculo a partir de la curva granulométrica. Cálculoapartirdelacurvadeconsolidación. Calculo a partir de la prueba horizontal de capilaridad.

48 Determinación de la Permeabilidad en el Laboratorio Ensayo de Carga Constante Se aplica sólo para suelos gruesos (gravas y arenas conpermeabilidadesentre10 2 y10-3 cm/s). En este tipo de prueba, el suministro de agua se ajusta de manera que la diferencia de carga entre la entrada y la salida permanezca constante durante el período de prueba. Después que se ha establecido unatasaconstantedeflujo,elaguaesrecolectadaen una probeta graduada durante cierto tiempo.

49 Determinación de la Permeabilidad en el Laboratorio Ensayo de Carga Constante Q Vol t K K i Vol Q t h i L K h L Vol t h L A A A h Área Piedra porosa Suelo L

50 Determinación de la Permeabilidad en el Laboratorio Ensayo de Carga Variable Se aplica en suelos finos, poco permeables, mezclas de arenas, limos y arcillas o arcillas. Elaparatoconsisteenqueelaguadeunabureta (A 1 )fluye através del suelo(a 2 ). Lacarga inicial h 1, en el tiempo t0, es registrada y se permite que el aguafluya a través de lamuestrade suelo de manera que la carga final en el tiempo tt 2 seah 2.

51 Determinación de la Permeabilidad en el Laboratorio h A i K Q A L h K Q A h K V L A L K t t A L h K V Estimando un dt, la cantidad de agua que atraviesa la muestra será: dt A L h K dv

52 Determinación de la Permeabilidad en el Laboratorio h L El tubo de carga habrá tenido un descenso de carga dh (que significa una pérdida de volumen) dv a dh Como el volumen que pasa a través de la muestra y el que pierde el tubo de carga son iguales: a dh h h 2 1 dh h dh h K h L K A a L K a A L A dt dt t 0 dt

53 Determinación de la Permeabilidad en el Laboratorio h De allí se obtiene: L K a L h 1 ln A t h 2

54 γ d γh 1 + V s γ d s s V Ws G + γ

55 Determinación de la Permeabilidad en el campo Se describe sólo la técnica de los pozos de bombeo (Hidrogeología). Se denomina acuífero a toda formación geológica de la que puede ser extraída cantidad significativa de agua. Unacuíferolibreesaquelenquelasuperficielibredelagua pertenece a él, por tanto, las elevaciones o descensos del nivel freático se deben a cambios en el volumen de almacenamiento ynoacambiosdepresiónenelagua. Unacuíferoconfinadoesaquelenqueelaguadelsubsuelo está confinada a presión, entre estratos impermeables o semipermeables de tal manera que la superficie libre del agua está por arriba de la frontera superior del acuífero.

56 Determinación de la Permeabilidad en el campo FlujoRadialEstablecidoenPozosdeBombeoen Acuífero confinado, con Penetración Total. Considérese el caso de un acuífero confinado de espesor D, constante, según se ilustra r 1 r 2 h H 2 H 1 H H 0 D r 0 R

57 Determinación de la Permeabilidad en el campo Se construye un pozo de bombeo de manera que penetre totalmente el acuífero confinado. En el pozo se efectúa un bombeo extrayendo un gasto constante, q. Cuando elflujo de agua sehaestablecido, elniveldelagua en el pozo permanece ya constante y la superficie piezométrica original se abate como se muestra en la figura. Conformándose un cono de depresión de la superficie piezométrica. Como el flujo hacia el pozo es horizontal en todo punto del acuífero, el gradiente hidráulico está dado por la tangente de la superficie piezométrica en la sección que se considere, siendo i dh dr

58 Determinación de la Permeabilidad en el campo Considerando aplicable la ley de Darcy, se tiene que el gasto extraídoatravésdeuncilindroderadiores: dh q KiA K 2πrD dr Dedonde dr q 2πKDdh r Los dos pozos de observación nos definen condiciones de frontera precisas, integrando r2 H2 dr q 2πKD dh r r 1 r qln r πkd H 1 ( H H ) 1 2

59 Determinación de la Permeabilidad en el campo Dedonde K q r ln 2 π D r ( H1 H2 ) 2 1 ConociendoR,radiodeinfluencia,paraelcualladeflexiónde la superficie piezométrica es prácticamente nula (hh) y estimandoquepararr 0,radiodelpozodebombeo,laaltura delaguaeshh 0,setendría: q K 2 π D ( H Ho ) o Se observa, de esta manera, que es posible determinar el coeficiente de permeabilidad del acuífero. ln R r

60 Determinación de la Permeabilidad en el campo Flujo Radial Establecido en Pozo de Bombeo en Acuífero Libre con Penetración total. Consideremos el acuífero de la figura, homogéneo, isótropo y con una frontera impermeable y horizontal. r 1 r 2 H 2 h H 1 H H 0 r 0 R

61 Determinación de la Permeabilidad en el campo Se construye un pozo de bombeo de manera que penetre totalmente el acuífero libre y dos pozos de observación. En el pozo se efectúa un bombeo, extrayendo un gasto constante, q. Cuando se llegue a la condición de equilibrio, esto es, la de flujo establecido, se puede relacionar el gasto extraído con el abatimiento del agua en el pozo de bombeo. Aplicando la ley dedarcyauncilindroderadioryalturah,sepuedeescribir q KiA K dh dr 2πrh Separando variables: q dr r 2πKhdh

62 Determinación de la Permeabilidad en el campo Los dos pozos de observación nos definen condiciones de frontera precisas, integrando: r2 H2 dr q πk 2hdh r qln Dedonde: K r 1 r r 1 2 π πk H 1 ( ) 2 2 H1 H2 ( ) 2 2 H H 2 1 q SiseconoceR,paraelcualhHyconsiderandoquepara rr 0,h H 0,entonces: q R K ln 2 2 π H H r 2 ln r r ( ) 0 0 1

63 Determinación de la Permeabilidad en el campo En los dos casos anteriores es perfectamente posible valuar K si de puedemedirhyrenunpozodeobservaciónyh 0 yr 0 enelpozode bombeo. Una aplicación importante de los pozos de bombeo consiste en el abatimiento del nivel de agua libre en excavaciones. Las obras de ingeniería alcanzan profundidades para su desplante frecuentemente superiores a la del nivel de agua superficial. La presencia del agua, además de dificultar la excavación, generan situaciones de eminente peligro por inestabilidad del área excavada. Sielmaterialaexcavarseesarenosoelflujodeaguanosoloanegala excavación sino que además las fuerzas de filtración generan arrastre de partículas, con la posibilidad de producirse derrumbes. Es recomendable bajar el nivel de agua libre a una profundidad mayor que la del fondo de la excavación a realizarse, para trabajar en forma cómoda, eficiente y más segura.

64 Determinación de la Permeabilidad en el campo Si el material a excavarse es una arcilla compresible e impermeable los tiempos de excavación producen cambios en las propiedades de la arcilla, alterando sus condiciones naturales con las imprevisibles consecuencias sobre los taludes y propiciando expansiones por la presencia del agua y la liberación de presiones. El problema ya no solo pudiera ser el de bajar el nivel de agua libre sino además controlar el flujo de agua hacia la excavación.

65 Factores que influyen en la Permeabilidad de los suelos La permeabilidad de los suelos depende de: Tipo de Suelo (Distribución granulométrica). Tamaño de la partícula. Viscosidad del fluido (temperatura). Densidad del suelo. Relación de vacíos. Forma y disposición de los granos. Grado de saturación. En suelos arcillosos también influye: La estructura. Espesor de las capas de agua adheridas a las partículas.

66 Infiltración - Flujo Subterráneo Los problemas fundamentales del flujo de agua a través de la masa de suelo los podríamos sintetizar como sigue: Determinación del gasto de infiltración a través de lazonadeflujo. Análisis de las modificaciones del estado de esfuerzosenlamasadesuelo. Análisis de las posibilidades de arrastre de partículas finas: Fenómeno de tubificación, dragado o socavación.

67 Flujo Unidimensional Recordemos que el flujo de agua se presenta únicamente cuando existe una diferencia en la carga total entre dos puntos. Ha ha za hb zb Hb

68 Flujo Unidimensional Hoyo Z h B A h A A σ A u Suelo h γ A γ A h A σ A 0 B B B A H S σ B h γ A + Hsγ SAT u h γ h γ + H S γ ( γ γ ) H σ H γ B S SAT S

69 Flujo Unidimensional Abatimos el NF fuera de la excavación mediante bombeo Flujo de agua de A ab h h A A h B H S B σ A h γ A ua h γ A σ A 0 σ B h γ + Hs γ A ub h γ B h h + H h B u σ B B A S h γ + HSγ A H γ + hγ S SAT hγ Presión de Filtración

70 Flujo Unidimensional Abatimos el NF dentro de la excavación h B A B h A Flujo de agua de B a A h H S σ A h γ A ua h γ A σ A 0 σ B h γ + A ub h γ B h h + H B u σ B B A S H γ h γ + HSγ A H γ hγ S s SAT + h + hγ Presión de Filtración Si σ B 0 CONDICIÓN DE ARENA MOVEDIZA

71 Presión de Filtración La presión que ejerce el agua a través de los poros por donde fluye se denomina presión de filtración. Esta presión se debe a la resistencia que ofrece el suelo o la trabazón estructural del mismo al paso del agua y actúa en la dirección del flujo. Dependiendodeladireccióndelflujo, la presión de filtración aumentará o disminuirá el esfuerzo efectivo.

72 Flujo Bidimensional. Ecuación de Laplace Considere un elemento bidimensional de suelo. Se asume que el suelo es homogéneo e isótropo respecto a la permeabilidad. El fluido es incompresible. La ecuación diferencial que gobierna el flujo subterráneo es conocida como la ecuación de Laplace. 2 h 2 x + 2 h 2 z 0

73 Ecuación de Laplace LaecuacióndeLaplaceesunaecuaciónmuyimportanteenla Ingeniería. Ella representa la pérdida de energía a través de un medio resistivo: Flujoatravésdeunmedioporoso(suelo). Flujodeelectronesatravésdeunconductor. Flujodecaloratravésdeunmaterialconductivo. Flujodepersonasentrandoysaliendodeunhospital Soluciones exactas de la ecuación de Laplace en dos dimensiones pueden ser obtenidas en casos con condiciones de borde muy simples. Para la mayoría de problemas geotécnicos, es más sencillo resolver esta ecuación gráficamente dibujando las redes de flujo

74 Redes de Flujo Una red de flujo consiste en dos familias de curvas (equipotenciales y de corriente) que se interceptan a 90º. A lo largo de una equipotencial la carga total es constante. Unpardelíneas decorrienteadyacentes definenun canal de flujo, a través del cual el caudal es constante. La perdida de carga entre dos líneas equipotenciales sucesivas es llamado caída equipotencial

75 Redes de Flujo

76 Redes de Flujo: Reglas para su construcción Las líneas de flujo cortan las equipotenciales en ángulo recto. Por definiciónnohayflujoalo largodeunaequipotencial y por lo tanto todo el flujo debe ser perpendicular a ella. Una línea de flujo no puede cortar otras líneas de flujo: dos moléculas no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo. Una línea equipotencial no puede cortar otras equipotenciales: un punto no puede tener dos valores de carga total.

77 Redes de Flujo: Reglas para su construcción Fronteras impermeables y líneas de simetríasonlíneasdeflujo:comoelaguano puede atravesarlas el flujo debe ser paralelo a ellas. Por ejemplo EF y FG en la figura son líneas de flujo.

78 Redes de Flujo: Reglas para su construcción Cuerpos de agua son equipotenciales. Por ejemplo: AB es una equipotencial. Aunque se puede dibujar un numero infinito de líneas de flujo y equipotenciales, tres o cuatro canales de flujo suelen ser suficientes.

79 Redes de Flujo: Reglas para su construcción Lareddeflujodebeserconstruidadeformaque cada elemento sea un cuadrado curvilíneo. Un cuadrado curvilíneo es una figura(con líneas Un cuadrado curvilíneo es una figura(con líneas que pueden ser curvas) que debe tener unas proporciones de ancho y largo tal que pueda inscribirse una circunferencia y que la misma sea tangente a los cuatro lados.

80 Redes de Flujo: Reglas para su construcción

81

82 Redes de Flujo Típicas

83 Cálculo de Caudal utilizando redes de flujo Considere el flujo subterráneo a lo largo de un solo elemento mostrado en la figura. El caudal a través de este elemento(q) está dado por: q Si el elemento es un cuadrado curvilíneo b l, la ecuación se reduce a: KiA q K h l KiA b( espesor) K h

84 Cálculo de Caudal utilizando redes de flujo Para N F numero de canales de flujo y N e numero de caídas equipotenciales y una pérdida de carga total h: Q q& F h Por lo tanto, la expresión del caudal por unidad de longitud Q puede ser obtenido como: & Q Kh & F e h & e

85 Calculo de Presión de Poros usando redes de flujo Una red de flujo puede ser utilizada para el calculo de lapresióndeporos en cualquier punto dentro deldominiodelareddeflujo. La carga total (o potencial hidráulico) en un punto dado es: φ H h n h Donde: H es la carga Total N d numero total de caídas equipotenciales n numero de caídas en el punto dado Φ es el potencial hidráulico o carga total. n & d H

86 Calculo de Presión de poros usando redes de flujo Entonces la carga de elevación (z) en el punto dado respecto al datum es determinada por la geometría del problema (la red de flujo debe estaraescala). Lacargadepresión(h )ylapresióndeporos(u) enunpuntodadopuedesercalculadacomo: h φ z u h γ

87 Determinación de la presión de filtración usando redes de flujo La presión hidrodinámica que ejerce el agua sobre las partículas de suelo en la sección b del cuadrado, considerando un ancho unitario, se calcula como: Pf h i γ Donde hi es la carga hidráulica que moviliza el agua en la masa de suelo. Esta presión genera un empuje hidrodinámico que es: Esta fuerza puede expresarse por unidad de volumen, teniendo para el cuadrado considerado: F h iγ f iγ b

88 Factores de Seguridad Tubificación Por erosión Por levantamiento Por erosión (arenas movedizas) FS i salida i c i i c salida h l γ γ Del último campo (más pequeño)

89 Factores de Seguridad Por levantamiento La erosión ocasionada por la infiltración de agua debajo y aguas debajo de elementos de retención, conduce a la formación de túneles o cavernas por arrastre de finos, que generan inestabilidad, pudiendo conducir a la rotura de estas estructuras. Aguas abajo y en las cercanías del elemento estructural, el agua tiene un movimiento casi verticalquetiendealevantarlamasadesueloquelo soporta. El levantamiento sólo se produce cuando la presión de filtración del agua que circula hacia arriba en el suelo situado al pie de la estructura es mayor que la presión efectiva del suelo.

90 Factores de Seguridad Para entender mejor esto veamos la siguiente situación:

91 Factores de Seguridad Según Terzaghi el levantamiento ocurre D/2 de la tablestaca. La falla por lo tanto se genera en un prisma que tieneunaprofundidaddyunanchod/2. Al momento de la falla el esfuerzo efectivo en cualquier sección horizontal del prisma es igual a cero. Por lo tanto, la tubificación se origina tan pronto como la sobrepresión hidrostática (o presión de filtración) en la base del prisma es igual al esfuerzo efectivo del punto.

92 Factores de Seguridad Por levantamiento D D/2 h prom Pf FS σ Pf ' D D h γ ( h + h ) ab ( h + h ) Donde ha, hb y hc son la carga hidráulica que moviliza el agua en la masa de suelo en los puntos del prisma. a D 2 b prom + ac b 2 c bc

93 Redes de Flujo en Suelos Anisótropos Hasta ahora hemos estudiado las redes de flujo para suelos isótropos. Pero quehacemossiestonoesasí? Si el suelo es anisótropo, con permeabilidades k x distinta a k z, la ecuación diferencial que gobierna el flujo, no es laplaciana, sino que adopta la siguiente forma k x 2 h 2 x + k z 2 h 2 z 0

94 Redes de Flujo en Suelos Anisótropos La ecuación anterior puede reducirse a una Laplaciana con el siguiente cambio de variable: k z α k x X αxα Derivando, sustituyendo y manipulando la ecuación, se puede reescribir como: 1/ 2 2 h 2 X + 2 h 2 z 0

95 Redes de Flujo en Suelos Anisótropos 2 h X h 2 z 0 Que es la ecuación de Laplace en el sistema (X,z). Estopermitedibujarlareddeflujoenelsistema coordenado (X,z) y así resolver el problema como vimos en el caso anterior.

96 Redes de Flujo en Suelos Anisótropos Generalmente, k x es mayor que k z y por lo tanto el cambio de sistema coordenado [de (x,z) a (X,z)] conlleva a una compresión de la escala horizontal como se muestra en la figura

97 Redes de Flujo en Suelos Anisótropos El caudal de una sección transformada se calcula usando una permeabilidad efectiva de la sección transformada. Donde k t k x k z

98 Flujo en Suelos Heterogéneos Lafiguramuestra dos capas de sueloisótropas depermeabilidadesk 1 yk 2,yespesoresH 1 yh 2. H 1, k 1 H 2, k 2 Elcontactoentrelasdoscapaseshorizontal. Si las capas sonanisótropas k 1 y k 2 representan permeabilidades efectivas.

99 Flujo en Suelos Heterogéneos Las dos capas pueden ser consideradas como una capa homogénea de espesor H 1 + H 2 con permeabilidad k x en la dirección x y k z en la dirección z. k z H 1, k 1 k x H 2, k 2 H 1 +H 2

100 Suelos Estratificados: Permeabilidad Promedio Q KiA H 1, K 1 Q Q 1 + Q 2 Kx H 2, K Si h 1 y h 2 representan la carga total en cualquier punto en las dos capas, entonces para un punto común (en el contacto) h 1 h 2. Por lo tanto, los gradientes hidráulicos en las dos capas y en la capa equivalente son igualesysedenotanpori x. H H 1 +H 2

101 Suelos Estratificados: Permeabilidad Promedio H 1, K 1 H 2, K 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i K H H K i K H H i K H H K i i K H H Q x x x x x x x x i i i x H H K K H H 1 +H 2 Kx H H K H H K K x + +

102 Flujo en Suelos Heterogéneos Para flujo unidimensional en la dirección vertical la velocidad o el caudal debe ser igual, para satisfacer la ecuación de continuidad. Así: vz kziz ki1 1 k2i2 Donde i z es el gradiente hidráulico promedio de laprofundidadh 1 +H 2.Porlotanto: i k z iz i 1 k z 2 i z 1 k2 k

103 Suelos Estratificados: Permeabilidad Promedio Para flujo unidimensional en la dirección vertical la velocidad o el caudal debe ser igual, para satisfacer la ecuación de continuidad. Así: H k y v y H 1, k 1 H 2, k 2 H 3, k 3 Q KiA Q Q 1 Q2 Q3 Q4 Como el área no cambia (A1A2 A). Y recordemos Q/AV V Ki i V K V V 1 V2 V3 V4 H 4, k 4 h h 1 + h2 + h3 + h4

104 Suelos Estratificados: Permeabilidad Promedio H 1, k 1 v y H i H i H i H i H i prom il h L h i H 2, k 2 H 3, k 3 H 4, k 4 k y H prom H K V H K V H K V H K V H K V z i i i z K H H K