ESTADO DEL ARTE DEL FLUJO DE CARGAS PROBABILÍSTICO

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1 UNIVERSIDAD DE SEVILLA ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ESTADO DEL ARTE DEL FLUJO DE CARGAS PROBABILÍSTICO Trabajo Fin de Máster Autora: Cristina Carmona Delgado Tutores: Jesús M. Riquelme Santos y Esther Romero Ramos Sevilla, marzo de 2009

2 Índice general 1. Introducción 2 2. Formulación del Problema del Flujo de Cargas 3 3. Métodos de Resolución del Flujo de Cargas Determinista Método de Newton-Raphson Método Desacoplado Rápido Métodos de Resolución del Flujo de Cargas Probabilístico Métodos Numéricos Generación y Reducción de escenarios Métodos Analíticos Linealización de las ecuaciones Mejora de las técnicas del Flujo de Cargas Probabilístico Métodos Combinados Bondad del Flujo de Cargas Probabilístico Índices de Adecuación Otros aspectos Conclusiones y líneas futuras 45 1

3 Capítulo 1 Introducción El flujo de cargas es, indudablemente, el algoritmo fundamental en el diseño y operación de los sistemas de potencia. Esta herramienta permite conocer, a partir de los datos de entrada (potencias consumidas e inyectadas en los nudos), las tensiones complejas en todos los nudos y los flujos por todas las líneas (y transformadores) de la red, así como cualquier variable eléctrica del sistema en régimen permanente. El algoritmo calcula así el comportamiento y respuesta del sistema ante un estado de la red. El flujo de cargas consta de dos etapas. Prácticamente todo el esfuerzo de investigación relacionado con este algoritmo se ha concentrado en resolver de la forma más eficiente posible la primera de ellas: cálculo de las variables de estado, que suelen ser las tensiones complejas en los nudos. El problema de esta etapa radica en que las condiciones de contorno se especifican en términos de potencias, lo que implica un sistema no lineal de ecuaciones, cuya resolución requiere de un algoritmo que aproxime el problema usando técnicas iterativas. En este sentido, los algoritmos de los que se disponen actualmente ofrecen soluciones muy fiables [1] [2]. La resolución de la segunda etapa, que implica el cálculo de otras magnitudes de interés, es inmediata, dado que ya se conocen las variables de estado del problema. Uno de los grandes inconvenientes del flujo de cargas convencional es que es un algoritmo determinista, puesto que considera unos datos de entrada fijos. En la realidad, sin embargo, no suelen conocerse los valores exactos de todos los datos necesarios, es decir, a priori no se conocen los valores concretos de generación y/o consumo, habiendo una incertidumbre asociada a ambos. Por ejemplo, suelen conocerse patrones de demanda, pero no valores exactos. En cuanto a la generación convencional, aun siendo más determinista que la demanda, pueden darse averías. Además, la generación distribuida contribuye al aumento de la incertidumbre. La aproximación determinista no es, por tanto, suficiente para el análisis de los sistemas de potencia modernos, al no ofrecer resultados realistas. Con el fin de considerar tales incertidumbres, se plantea la necesidad de formular un algoritmo que reconozca la naturaleza probabilística del problema: Flujo de Cargas Probabilístico. Los datos de entrada del flujo de cargas probabilístico son funciones de densidad de probabilidad en lugar de datos concretos, y como consecuencia, los datos de salida también vendrán dados en forma de funciones de densidad de probabilidad. En este texto se plantean los inconvenientes típicos que presenta el citado flujo de cargas probabilístico. Para ello este documento se desarrolla como sigue: en el segundo capítulo se presenta la formulación, en el tercero y cuarto se muestran las técnicas que resuelven el flujo de cargas determinista y probabilístico respectivamente, y finalmente en el capítulo sexto se resumen las conclusiones. 2

4 Capítulo 2 Formulación del Problema del Flujo de Cargas Las ecuaciones de nudos expresan las corrientes por las ramas de la red en estudio en función de las tensiones en los nudos y la disposición topológica de las admitancias. Para una red de n nudos se tiene: I i = n Y ij U j i = 1,..., n (2.1) j=1 U j = fasor de tensión en el nudo j. I i = fasor de intensidad inyectada en el nudo i. Y ij = término de la matriz de admitancias que relaciona los nudos i y j. Por otro lado, la potencia compleja neta inyectada en cada nudo se obtiene: S Gi = potencia generada en el nudo i. S Ci = potencia consumida en el nudo i. S i = S Gi S Ci = U i I i i = 1,..., n (2.2) Si se combinan las ecuaciones (2.1) y (2.2) por eliminación de las intensidades complejas, y se hace uso de las coordenadas cartesianas, resulta el siguiente sistema no lineal de n ecuaciones complejas: P i = Re(S i ) Q i = Im(S i ) G ij = Re(Y ij ) B ij = Im(Y ij ) P i + jq i = U i n j=1 [G ij B ij ] U j i = 1,..., n (2.3) así pues: S i = P i + jq i Y ij = G ij + jb ij 3

5 La ecuación (2.3) suele aparecer en la literatura como dos ecuaciones reales en coordenadas polares: V i = U i θ i = ang(u i ) θ ij = θ i θ j P i = V i Q i = V i n j=1 n j=1 V j (G ij cos θ ij + B ij sin θ ij ) i = 1,..., n (2.4) V j (G ij sin θ ij B ij cos θ ij ) i = 1,..., n (2.5) En cada nudo se tienen dos ecuaciones, (2.4) y (2.5), y cuatro incógnitas, V i, θ i, P i y Q i. Para que el sistema sea determinado se deben aportar dos restricciones adicionales por nudo, y precisamente la clasificación de los nudos del sistema atiende a dichas restricciones: Slack: Nudo de referencia, del que se conoce la tensión y cuyo ángulo se toma como origen de fases. Por tanto, la tensión compleja de este nudo no es una incógnita del sistema de ecuaciones. PQ: Nudos de los que se conoce la potencia inyectada, real e imaginaria. Las incógnitas son, pues, el módulo y el ángulo de la tensión. PV: Nudos de los que se conoce la potencia activa inyectada y el módulo de la tensión. La única incógnita referente a la tensión compleja es el ángulo, razón por la cual estos nudos solamente formarán parte del sistema de ecuaciones reales. El sistema de ecuaciones anterior queda reducido a 2n n G 1 ecuaciones, donde n G es el número de nudos PV, incluyendo el Slack: P i = V i Q i = V i n j=1 n j=1 V j (G ij cos θ ij + B ij sin θ ij ) i = 1,..., n 1 (2.6) V j (G ij sin θ ij B ij cos θ ij ) i = 1,..., n n G (2.7) U i = V θi i θ ij = θ i θ j cuyas incógnitas son los ángulos de las tensiones, θ i, i = 1,..., n 1, y los módulos de las mismas, V i, i = 1,..., n n G. Una vez se conocen las tensiones complejas en todos los nudos de la red, queda finalizada la primera etapa del algoritmo. En la segunda etapa se calculan el resto de magnitudes que puedan interesar al usuario, como los flujos por las líneas y los transformadores, la potencia generada por el Slack, la potencia reactiva generada en los nudos PV, etc. En el siguiente capítulo se plantean los algoritmos descritos en la literatura para resolver el problema aquí planteado. 4

6 Capítulo 3 Métodos de Resolución del Flujo de Cargas Determinista 3.1. Método de Newton-Raphson El método de Newton-Raphson trata de resolver sistemas de ecuaciones no lineales haciendo uso del desarrollo en serie de Taylor, de forma que se prescinde de los términos de orden superior o igual a dos. De este modo, una función no lineal, f(x) = 0, puede ser aproximada de la siguiente forma: así pues: f (x) = f ( x k) + F ( x k) (x k+1 x k) = 0 (3.1) f ( x k) = F ( x k) (x k+1 x k) (3.2) F ( x k) = f x es el jacobiano de f(x) en la iteración k. x k es el vector de variables de estado en la iteración k. El sistema matricial equivalente sería: f 1 f 1 x 1 f 2 f 2 x 1 f 1 x n f 2 x n x 2... x f m x 1 f m x 2... f m x n k x 1 x 2... x n = f 1 (x) f 2 (x)... f m (x) k (3.3) x = [ x 1 x 2... x n ] t es el vector de variables de estado. n = número de variables de estado. m = número de funciones no lineales a evaluar. 5

7 El procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Se supone un valor inicial del vector de variables, x Se calculan todos los términos del jacobiano y del término independiente, sustituyendo los valores del vector de estado de la iteración actual, k. 3. Se obtienen, resolviendo el sistema lineal de ecuaciones, los términos incrementales: x = x k+1 x k. 4. A partir de tales incrementos, se consigue una nueva aproximación del vector de variables, x k Este proceso se repite (sin incluir el primer paso) hasta que los incrementos de las componentes del vector del término independiente sean lo suficientemente pequeños. Esto es lo mismo que decir que el proceso iterativo se detiene cuando las potencias calculadas en los nudos son prácticamente iguales que las potencias especificadas (se detalla más adelante): ε = número tan pequeño como se quiera. máx P k < ε máx Q k < ε (3.4) En el caso concreto del flujo de cargas, el vector de estado se corresponde con las tensiones complejas de los nudos de la red: El valor inicial del vector de estado estará compuesto por unos en el caso de los módulos de las tensiones y ceros para los desfases, o en su caso, los resultados conocidos de anteriores repartos de carga. El sistema a resolver en cada iteración es: [ ] k [ H N M L ] [ θ P V = /V Q ] k (3.5) donde los términos del jacobiano se obtienen de su propia definición: H ij = P i/ θj (3.6) N ij = V j P i / Vj (3.7) M ij = Q i/ θj (3.8) L ij = V j Q i / Vj (3.9) y donde los elementos del término independiente son: P i = P esp i Q i = Q esp i V i V i n V j (G ij cos θ ij + B ij sin θ ij ) (3.10) j=1 n V j (G ij sin θ ij B ij cos θ ij ) (3.11) j=1 6

8 En cada iteración se obtienen las nuevas tensiones complejas y se repite el proceso tantas veces como sea necesario hasta que se consiga la convergencia esperada. El método de Newton-Raphson destaca por su alta fiabilidad y robustez. En cambio, es un método que requiere muchos recursos computacionales (en cada iteración ha de calcularse el jacobiano completo), aspecto que limitaba el cálculo de los análisis en tiempo real [1], aunque hoy en día, teniendo en cuenta el desarrollo tecnológico de los ordenadores, esto no supone un gran problema Método Desacoplado Rápido Este algoritmo surge como una simplificación del método de Newton-Raphson. Las simplificaciones se realizan en base al fuerte acoplamiento que existe entre potencias activas y desfases por un lado (P, θ), y potencias reactivas y módulos de tensiones por otro (Q, V ) [2]. Esto no significa que no exista acoplamiento entre los problemas activo y reactivo, lo que ocurre es que en la redes de transporte, donde el valor de las reactancias de las líneas es mucho mayor que el de las resistencias, este acoplamiento es de varios órdenes de magnitud menor que el de las variables (P, θ) por un lado y (Q, V ) por otro. Todo lo anterior se traduce en valores numéricamente pequeños para las submatrices N y M del jacobiano del algoritmo de Newton-Raphson, que en este caso se desprecian, dando lugar a un sistema de ecuaciones más reducido. De esta forma, quedan dos sistemas internos de ecuaciones desacopladas que pueden resolverse de forma independiente. Éstas son las ecuaciones (3.12) y (3.13): P = H θ (3.12) Q = L V V (3.13) Pero las suposiciones del algoritmo Desacoplado Rápido no terminan aquí. Se deben realizar una serie de suposiciones adicionales para llegar al sistema de ecuaciones final por el que es conocido el método. De entre ellas se pueden destacar las siguientes: Los cosenos de los desfases se pueden aproximar a la unidad, debido a que las diferencias angulares de las tensiones nodales de nudos interconectados suelen ser valores muy pequeños. Los senos de los desfases, por la misma razón, son muy pequeños y pueden despreciarse. No se consideran las reactancias en derivación ni transformadores con tomas distintas de la nominal en el problema activo. Se desprecian las resistencias en serie, ya que en las redes de transporte el valor de las reactancias de las líneas es mucho mayor que el de las resistencias, también en el problema activo. Desarrollando convenientemente las ecuaciones (3.12) y (3.13) y añadiendo todas las consideraciones comentadas, se obtienen las expresiones que se muestran a continuación: 7

9 P = B θ (3.14) Q = B V V (3.15) Las matrices B y B están compuestas por parámetros constantes y, por lo tanto, sólo hay que calcularlas una vez. Esto unido a la división del sistema de ecuaciones en dos sistemas desacoplados, hace que la reducción de tiempo de cómputo sea importante. A pesar de las ventajas, en cuanto a velocidad de ejecución y menor coste computacional, este método no se puede aplicar de forma general a cualquier red, como sería el caso, por ejemplo, de las redes de distribución, porque en este nivel de tensión no se cumple la suposición de que los problemas activo y reactivo estén tan desacoplados (ratios R/X más elevados). Si la red cumple con todas las suposiciones requeridas se podrá usar el método Desacoplado Rápido para obtener los beneficios de tiempo y recursos. En el supuesto de que las condiciones concretas no sean idóneas para aplicarlo, siempre se puede acudir al método de Newton-Raphson. Como se puede observar, los métodos de resolución del problema se basan en el conocimiento certero de tales consumos y generaciones de potencia activa (excepto el Slack) y de todos los consumos de reactiva de los consumidores. Sin embargo, normalmente no se conocen los datos exactos de las potencias en los nudos, no se tiene certeza de la configuración de la red en el momento del cálculo, no se conocen las condiciones atmosféricas que determinarán la potencia inyectada por la generación distribuida, etc. El inconveniente en este caso no es la precisión de las técnicas de resolución, sino de los datos de entrada. Cualquier variación en dichos datos puede causar cambios muy significativos en la solución definitiva del flujo de cargas. A causa de esta incertidumbre, el problema deja de ser un flujo de cargas determinista para pasar a ser un problema probabilístico. En el flujo de cargas probabilístico se conocen las mismas variables que en el flujo de cargas determinista, pero éstas vienen dadas como funciones de densidad de probabilidad, con las numerosas dificultades de resolución que eso conlleva. En los siguientes apartados se desarrollan las técnicas más populares descritas en la literatura para abordar este tipo de problemas. 8

10 Capítulo 4 Métodos de Resolución del Flujo de Cargas Probabilístico El flujo de cargas probabilístico (PFL) puede resolverse atendiendo a dos grupos de técnicas: las técnicas numéricas y las técnicas analíticas. Un tercer grupo sería el que combina las dos anteriores. La técnica numérica más usada en este campo es, sin duda, la Simulación de Monte Carlo (SMC), y de entre las analíticas se podrían destacar las que usan convolución. En los sucesivos apartados se analizarán ambas, así como posibles combinaciones de ellas, de manera que se puedan enumerar las ventajas y los inconvenientes que presentan Métodos Numéricos La aproximación numérica consiste en adaptar el método de Monte Carlo al análisis del flujo de cargas probabilístico. La manera de proceder sería la siguiente: Tomar las curvas de densidad de probabilidad de todas las variables de entrada (cada una definida por su valor estimado y su desviación estándar). Elegir una combinación pseudo-aleatoria de tales datos de entrada (datos que se encuentren dentro del rango de incertidumbre definido por la desviación típica). La combinación será denominada escenario. Calcular el flujo de cargas determinista asociado al escenario en cuestión. Repetir este proceso cuantas más veces mejor, cambiando en cada iteración los números aleatorios de partida, es decir, el escenario, de manera que se calcule un flujo de cargas determinista para las máximas combinaciones posibles. El método Monte Carlo, a priori, no tiene restricciones: Usa las ecuaciones no lineales del flujo de cargas ((2.6) y (2.7)) sin hacerles ningún tipo de simplificación. Considera implícitamente la dependencia estadística entre las potencias de los nudos (incluyendo la contribución de la generación distribuida). Incluso puede tener en cuenta las distintas configuraciones de la red. 9

11 A cambio, la SMC implica un gran esfuerzo computacional y mucho tiempo de simulación, ya que se requiere una gran cantidad de ensayos para que se asegure cierta precisión en los resultados. Dada la exactitud de los resultados obtenidos con la SMC, puede entenderse que estos se tomen como referencia a la hora de evaluar la adecuación de otros algoritmos nuevos. Estos algoritmos surgen con el fin de mejorar la eficiencia computacional de la SMC, pero hay que tener en cuenta que si bien mejorarán el tiempo y el esfuerzo de cómputo requerido, también implicarán pérdida de precisión en los resultados Generación y Reducción de escenarios En este apartado se pretende describir, en primer lugar, cómo generar todos los escenarios posibles y, en segundo lugar, llevar a cabo un filtrado o reducción del número de escenarios, de forma que disminuya el tiempo de simulación y el esfuerzo computacional propios de la Simulación de Monte Carlo, sin la necesidad de acudir a otro método menos eficiente. Para la mayoría de los casos prácticos, la resolución de todos los posibles escenarios es demasiado trabajo. Debido a este motivo, existe un gran potencial de mejora en la etapa previa a la propia ejecución de la SMC, y a menudo se aproxima a un modelo que involucra un número de escenarios mucho menor. La reducción propuesta determina un subgrupo de escenarios a partir del conjunto original generado y asigna nuevas probabilidades a los escenarios que han persistido la criba que supone dicha reducción. Pero antes de reducir el número de escenarios, estos han de ser generados. Generación de escenarios A. Introducción Una de las decisiones más importantes a la hora de realizar una simulación por el método de Monte Carlo es la elección de las distribuciones de probabilidad de las variables de entrada. Previamente a la ejecución del método de Monte Carlo es necesario generar los escenarios que serán la base de la simulación; cada escenario corresponde a un conjunto de variables que representarán, en este caso, las potencias nodales. Dichas potencias son caracterizadas mediante una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad puede ser obtenida por los siguientes métodos [44]: Simulación. Convolución. Es el método empleado para casos concretos de distribución estadística, tanto si estos son linealmente dependientes, como si son linealmente independientes. Aplicando el Teorema Central del Límite. Puede ser empleado cuando en un nudo el número de cargas es relativamente grande, ya que en este caso, la carga del nudo puede aproximarse por una distribución normal (esto es válido en la mayoría de los casos). Al generar las variables aleatorias es necesario considerar la correlación que pueda haber entre ellas. Por ejemplo, un grupo de cargas existentes en el mismo área tenderá a crecer o decrecer por causa de factores ambientales o sociales de la misma forma, de tal manera que las diferencias entre los valores esperados tendrán la misma tendencia, existiendo por tanto, un cierto grado de dependencia entre ellos. 10

12 B. Distribución Gaussiana La generación de cualquier variable aleatoria se basa en la generación previa de una distribución gaussiana de media nula y desviación típica σ. Si lo que se pretende es generar un vector de variables aleatorias relacionadas, primero se comienza con un vector de variables no correlacionadas entre sí, y todas ellas con la misma varianza σ 2. Se quiere determinar la fdp (función de densidad de probabilidad) de un vector aleatorio: X = [X 1,..., X N ] T cuyas componentes están correlacionadas y son gaussianas, de media nula y matriz de covarianza C x. Para ello se define un vector previo Z de N variables gaussianas independientes idénticamente distribuidas Z 1,..., Z N, con matriz de covarianza C Z = I N σ 2. La fdp de la variable z i es: z 2 i 2σ 2 f Z (z i ) = e siendo i = 1,..., N (4.1) 2πσ Dado que las componentes de Z son independientes, la fdp conjunta del vector Z es el producto de las fdp individuales: f Z (z) = N 1 f Z (z i ) = (2π) N/2 σ e Σ N i=1 z2 i=1 N i=1 2σ 2 = 1 (2π) N/2 σ e z 2 2σ 2 (4.2) N Con el fin de realizar la transformación del vector Z en el vector X se define una matriz A R N N tal que X = AZ. La matriz de covarianza de X (C x ) está relacionada con la mencionada matriz A de la siguiente manera: C x = E(XX T ) = E(AZZ T A T ) = A E(ZZ T )A T = AC Z A T = σ 2 AA T (4.3) Por tanto, dada la matriz de covarianza C x positiva por definición), la matriz de transformación es: A = C1/2 X σ. (una matriz de covarianza es definida Por otro lado, la fdp del vector X se obtiene mediante la transformación [45]: En esta transformación: f X (x) = f Z(z(x)) det( dx dz ) (4.4) det ( ) dx = det (A) = det dz dx dz = A ( C 1/2 X σ ) = 1 σ N det (C X) 1/2 (4.5) Por último se desarrolla el término z 2 : z 2 = z T z = (A 1 x) T A 1 x = x T (A T ) 1 A 1 x = x T (AA T ) 1 x = σ 2 x T C 1 x x (4.6) 11

13 La función de densidad de probabilidad del vector de variables aleatorias distribuidas de diferente manera, medias nulas y correlacionadas entre sí, X, queda de la siguiente manera: f X (x) = 1 (2π) N/2 det (C X ) 1/2 e 1 2 xt C 1 X x (4.7) donde C X es la matriz de covarianza, que en el caso bidimensional, X = [x 1, x 2 ] T, tendría la siguiente estructura: [ C X = σ1 2 ρσ 1 σ 2 ρσ 1 σ 2 σ2 2 ] σ 2 1 = varianza de X 1 σ 2 2 = varianza de X 2 ρ = coeficiente de correlación entre X 1 y X 2 C. Generación de Variables Aleatorias No Gaussianas C.1. Introducción En este apartado se describen los distintos métodos existentes para obtener variables aleatorias cuya distribución no es gaussiana, lo cual es fundamental para nudos en los que no sea posible caracterizar las potencias inyectadas mediante una distribución normal al no ser aplicable el Teorema Central de Límite. Se van a esbozar los métodos que permitan obtener valores de variables aleatorias que sigan determinadas distribuciones de probabilidad a partir de números aleatorios generados previamente a partir de una distribución normal estandarizada N(0,1). Existen varios algoritmos que pueden ser utilizados para generar valores de una determinada distribución, y diferentes factores que se pueden considerar para determinar qué algoritmo utilizar en un caso particular. Generalmente dichos factores suelen entrar en conflicto unos con otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso. Alguno de estos factores son: Exactitud: se han de obtener valores de una variable con una precisión dada. A veces se tiene suficiente con obtener un nivel dado de aproximación y otras se requiere mayor precisión. Eficiencia: el algoritmo que implementa el método de generación tiene asociado un tiempo de ejecución y un gasto de memoria. Se elegirá un método que sea eficiente en cuando al tiempo y a la cantidad de memoria requeridos. Este punto será de gran importancia ya que será necesario generar un alto número de escenarios. Complejidad: se buscan métodos que supongan la mínima complejidad matemática posible, tal que simplifiquen la comprensión y la implementación, siempre y cuando se garantice cierta exactitud. Robustez: el método ha de ser eficiente para cualquier valor que tomen los parámetros de la distribución que siga la variable aleatoria, de forma que se garantice la convergencia en el mínimo número de iteraciones posible. 12

14 C.2. Métodos de generación La mayoría de las técnicas utilizadas para la generación se pueden agrupar en: Método de la transformada inversa. Método de aceptación-rechazo. Método de composición. Método de convolución. Método de la Transformada Inversa. La función de distribución, F (x), de una variable aleatoria X es definida para cada número real x como sigue: F(x) = P(X x) para < x < (4.8) donde P (X x) es la probabilidad asociada al suceso {X x}. Así F (x) es la probabilidad, cuando se ha realizado el experimento, de que la variable X tome un valor menor o igual que x. Una función de distribución F (x) tiene las siguientes propiedades: 1. 0 F (x) 1 x 2. F (x) es creciente (es decir, si x1 < x2, entonces F (x 1 ) < F (x2)). 3. lím F (x) = 1 y lím F (x) = 0. x x El método de la transformada inversa se fundamenta en las propiedades de la función de distribución para obtener un valor de la variable aleatoria a partir de un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo (0, 1). El algoritmo de generación se compone de los siguientes pasos: 1. Generar aleatoriamente X de N(0, 1) 2. Determinar Z: F 1 (X) Z Cuantas más variables Z se calculen a partir de las X, más detalle se tendrá sobre cómo se distribuye Z. Es un método sencillo de aplicar, siempre y cuando la función de distribución no tenga una expresión compleja y sea fácil de determinar, puesto que F 1 (x) ha de obtenerse de forma explícita. Método de Aceptación Rechazo. Los métodos de inversión, composición y convolución son métodos de generación directos, en el sentido en que tratan directamente con las funciones de probabilidad. El método de aceptación-rechazo es menos directo en su aproximación. En este caso se tiene la función de densidad f(x) de la variable que se pretende determinar y se precisa una función t(x) que la acote, es decir: t(x) f(x) x (4.9) 13

15 Hay que apreciar que t(x) no es, en general, una función de densidad: c = + t(x)dx + f(x)dx = 1 (4.10) Sin embargo, la función r(x) = t(x)/c, sí es una función de densidad. Entonces se puede generar un valor de la variable aleatoria que siga a la función r(x). El algoritmo general queda como sigue: 1. Generar una variable aleatoria x a partir de la distribución r(x) 2. Generar otra variable aleatoria u, independiente de x, a partir de una distribución normal N(0, 1) 3. Si u f(x) t(x), entonces x es una variable aleatoria válida para la fdp que se quiere construir. Si no volver a 1 y seguir probando. Con este algoritmo se consigue generar variables aleatorias (con función de densidad de probabilidad f(x)) a partir de dos generadores de números aleatorios, como son r(x) y N(0, 1). Con el fin de que sean rechazados el menor número de puntos posibles, la función t(x) debe ser la mínima función que acote a f(x). Método de Composición Este método puede ser aplicado en casos en los que la función de densidad sea compuesta a trozos, n f(x) = t i (x) (4.11) i=1 siendo n el número de trozos en los que se ha dividido la función. Cada uno de los fragmentos puede ser expresado como producto de una función de distribución y un peso: y la función de distribución global puede ser obtenida como: t i = f i (x)w i (4.12) n f(x) = w i f i (x) i=1 donde n w i = 1 (4.13) i=1 El método consiste en generar dos números aleatorios, uno para seleccionar un trozo y el otro es usado para generar un valor de una variable que sigue la distribución de dicho trozo. El valor de la variable obtenida es el valor buscado. El algoritmo general queda como sigue: 1. Generar u 1, u 2 N(0, 1) 2. Si u 1 w 1 entonces generar x f 1 (x) 3. Si no. Si u 1 w 1 + w 2 entonces generar x f 2 (x) El número aleatorio u 1 selecciona el trozo de la función que se va a generar. El u 2 sería el correspondiente al número aleatorio del paso 2 o del método de Aceptación Rechazo. 14

16 Método de convolución Muchas variables aleatorias incluyendo la normal, binomial, poisson, gamma, erlang, etc, se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias. Puede hacerse uso del método de convolución siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias: x = b 1 x 1 + b 2 x b k x k (4.14) En este método es preciso generar k números aleatorios (u 1, u 2,..., u k ) para generar (x 1, x 2,..., x k ) variables aleatorias como resultado de alguno de los métodos anteriores y así poder obtener un valor de la variable que se pretende obtener por convolución. Reducción de escenarios La reducción de escenarios se va a presentar de la forma más general posible, incorporando la variable tiempo al planteamiento. Puesto que el flujo de cargas que aquí se plantea se centra en un instante de tiempo t dado, esta reducción de escenarios tan generalista se acabará particularizando para el caso de un t fijo. Se parte de la suposición de que se ha generado un gran número finito de escenarios que varían a lo largo de cada unidad temporal. Para ello se va a suponer que son escenarios de toma de decisión dinámica bajo incertidumbre, es decir, que el proceso es determinista en el primer periodo temporal (único periodo del que se conocen los valores de entrada con certeza), de manera que el abanico de posibles escenarios se va abriendo conforme transcurren los subsiguientes periodos temporales. La condición mencionada se denomina en la literatura nonanticipative, y significa que los datos aleatorios de cualquier periodo temporal no dependen de lo que pase en el futuro. Todo esto implica que el grupo finito de escenarios tenga una forma especial llamada estructura en árbol. Un árbol de escenarios se puede representar por un número finito de nodos y ramas. Los nodos representan el estado del modelo en un instante de tiempo. El árbol comienza con el nodo-raíz en el primer periodo y de él van saliendo ramas hacia otros nodos que pertenecen al segundo periodo, y así sucesivamente. Cada nodo tiene sólo un predecesor y puede tener varios sucesores. Las ramas se extienden de nodo a nodo hasta el periodo final. El número de nodos que haya en el último periodo es igual al número de escenarios del árbol; estos nodos también se denominan hojas del árbol (Figura 4.1). En el caso particular de escenarios para un solo instante de tiempo, se pasaría a trabajar únicamente con dichas hojas del árbol, y el resto del árbol no sería de utilidad. El tamaño del árbol de escenarios obtenido con el proceso de generación de escenarios es habitualmente muy grande, resultando así un modelo de optimización prácticamente intratable. Para reducir el tamaño del problema, se acude a la mencionada reducción de escenarios, de forma que la solución óptima del problema esté muy próxima a la solución del problema original. En definitiva, lo que se quiere conseguir es que el número de hojas del árbol se reduzca considerablemente. 15

17 Figura 4.1: Ejemplo de árbol de escenarios A. Nomenclatura } T ξ, {ξ t } T t=1 y ξ, { ξt son procesos estocásticos n-dimensionales con grupo de t=1 parámetros {1,..., T } ξ i, ξ j escenarios (ejemplos extraídos de ξ y ξ respectivamente) p i, q j probabilidad de los escenarios, es decir, p i 0, q j 0, i p i = j p j = 1 P, Q distribuciones de probabilidad de los procesos ξ y ξ respectivamente S número de escenarios del grupo inicial de escenarios J conjunto de índices de los escenarios borrados #J cardinal del conjunto de índices J, es decir, número de escenarios borrados s = S #J número de escenarios preservados ε tolerancia para la reducción c t (ξ i, ξ j ) distancia entre los escenarios { ξ i} t y { ξ j} t r=1 r=1 En el caso particular de considerar los escenarios en un único instante, los procesos estocásticos ξ y ξ no dependen de la variable tiempo. En este caso, c t (ξ i, ξ j ) se definiría como la distancia entre los escenarios ξ i y ξ j, en vez de { ξ i} t y { ξ j} t. r=1 r=1 B. Antecedentes teóricos Suponer que la distribución de probabilidad, P, del proceso de datos estocásticos n-dimensional ξ = {ξ t } T t=1 viene dada por un número finito de escenarios ξ i = { } ξt i T t=1, i = 1,..., S y sus probabilidades p i, S i=1 p i = 1. El algoritmo de reducción de escenarios más común y más conocido determina un subgrupo de escenarios (atendiendo a un número máximo de escenarios o a una precisión máxima predeterminada) y asigna nuevas probabilidades a los escenarios que persisten, de manera que la distribución de probabilidad reducida correspondiente, Q, sea la más cercana a la original, P, en términos de distancia de probabilidad [49] [50]. La distancia de probabilidad gestiona, pues, las probabilidades de los escenarios y las distancias de probabilidad entre ellos. En el contexto de los modelos de gestión de potencia eléctrica consumida, se usa la distancia de Kantorovich, D k [51]. 16

18 Considérese, en otro contexto, que Q es la distribución de probabilidad de otro proceso estocástico distinto n-dimensional ξ con escenarios ξ j nt y probabilidades q j, j = 1,..., S. Entonces, la distancia de Kantorovich se define como: S D k (P, Q) = ínf S i=1 j=1 η ij C T (ξ i, ξ j) : η ij 0, S η ij = q j, i=1 S j=1 η ij = p i, i, j (4.15) S es el número inicial de escenarios del proceso estocástico con distribución de probabilidad Q. inf es el símbolo matemático para hacer referencia al término infimum. En matemáticas, el infimun de un subconjunto de un conjunto es el elemento más grande del conjunto que cumple ser menor o igual que todos los elementos del nombrado subconjunto. El infimum también se denomina comúnmente greatest lower bound. η ij es una variable auxiliar usada para el cálculo de la distancia de Kantorovich entre dos distribuciones de probabilidad. ( C T ξ i, ξ ) j = t r=1 ξr i ξ r j, t = 1,..., T y. denota algún tipo de norma que cumpla pertenecer al conjunto de los números reales, es decir, C T mide la distancia entre ( escenarios en el horizonte temporal {1,..., T }. Considerando sólo un instante, sería: C T ξ i, ξ ) j = ξr i ξ r j. Puede demostrarse que esta formulación puede ser simplificada en el caso concreto de que P sea la distribución de probabilidad del conjunto de escenarios original, y Q sea la distribución de probabilidad de un conjunto de escenarios reducido de éste. O dicho de otra forma, la formulación se simplifica en el caso en que Q corresponda con los escenarios ξ j para j {1,..., S} exceptuando el conjunto J, donde J denota el índice de los escenarios borrados. La distribución de probabilidad Q del grupo de escenarios reducido { ξ j} j / J que tiene una distancia de Kantorovich mínima a la distribución de probabilidad P del grupo original, puede calcularse explícitamente, y de forma mucho más sencilla, según la ecuación (4.16): D k (P, Q) = i J p i mín C ( T ξ i, ξ j) (4.16) j / J La probabilidad q j de los escenarios de Q (ξ j para j / J, es decir, los que han persisitido la criba), viene dada por la regla de redistribución óptima: q j = p j + p i (4.17) i J(j) La interpretación de la regla de redistribución óptima (ecuación (4.17)) es la siguiente: la nueva probabilidad de un escenario preservado, q j, es igual a la suma de su probabilidad anterior, p j, y de todas las probabilidades de los escenarios borrados que están lo más cerca de éste según mín C ( T ξ i, ξ j). Todos los escenarios borrados pasan a tener probabilidad j / J cero. 17

19 La elección óptima del grupo de índices de escenarios a borrar o descartar, J, viene dada por la solución del problema de reducción óptimo: { mín p i mín C ( T ξ i, ξ j)} (4.18) j / J J {1,..., S} s = S #J > 0 es el número de escenarios preservados. i J Por otro lado, es bien sabido que (4.18) representa un grupo de problemas que convergen. De (4.16) y (4.18) se deduce la estrategia de máxima reducción para determinar una distribución de probabilidad reducida, Q de ξ tal que el grupo de escenarios reducido tiene un número máximo, #J, y tal que la distancia de Kantorovich entre la distribución de probabilidad original y la reducida sea menor que la tolerancia fijada, D k (P, Q) < ε, es decir, Q está cerca de la distribución original, P, con una precisión ε > 0. Estrategia de máxima reducción: p i mín C ( T ξ i, ξ j) ε (4.19) j / J i J La ecuación (4.17) ofrece las nuevas probabilidades de los escenarios preservados. C. Algoritmos En primer lugar se va a proceder a la resolución de (4.18) para los casos más sencillos: Caso en el que se tiene un conjunto de escenarios y se quiere borrar un solo escenario. Esta manera de proceder es la que se ha venido tratando intuitivamente durante todo este apartado del documento. Caso en el que se tiene un conjunto de escenarios y se quiere seleccionar uno de ellos solamente. Esta es otra forma de ver el mismo problema. En este caso, todos los escenarios a excepción del seleccionado estarían descartados de momento. Esta opción se suele usar cuando el número de escenarios que se quiere tener finalmente es muy pequeño. CASO SENCILLO 1: Borrado de un solo escenario #J = 1 mín p l mín C ( T ξ l, ξ j) l {1,...,S} j l Si se alcanza el mínimo en l {1,..., S}, el escenario ξ l es borrado, y la regla de distribución (4.17) genera la distribución de probabilidad reducida Q. Si j es el índice que absorbe la probabilidad del escenario borrado l, entonces q j = p j + p l y q l = p l para l / {l, j }. 18

20 CASO SENCILLO 2: Selección óptima de un solo escenario #J = S 1 mín u {1,...,S} i=1 S ( p i C T ξ i, ξ u) Si se alcanza el mínimo en u {1,..., S}, sólo el escenario ξ u distribución (4.17) queda: q u = p u + p i = 1. i u persiste, y la regla de CASO GENERAL Se podría alcanzar el número de escenarios borrados óptimo repitiendo recursivamente el borrado de un solo escenario (caso sencillo 1) hasta conseguir borrar el número de escenarios deseado (S s). Esta estrategia se denomina reducción hacia atrás (backward reduction) [50]. Si lo que se pretende es que el número de escenarios preservados sea pequeño, la selección óptima de un solo escenario puede repetirse recursivamente (caso sencillo 2) hasta conseguir el número de escenarios deseado. Esta otra estrategia se denomina selección hacia delante (forward selection) [50]. Se ha demostrado que estos dos algoritmos ofrecen mejores resultados del problema de optimización (4.18) que otras variantes. No obstante, en este documento sólo se va a detallar el algoritmo de reducción hacia atrás, pues es el más usado en la práctica. ALGORITMO DE REDUCCIÓN HACIA ATRÁS SIMULTÁNEA (Simultaneous Backward Reduction) 1. Paso 0. Calcular las distancias entre parejas de escenarios: C kj = C T ( ξ k, ξ j) tal que k, j = 1,...S. 2. Paso i C [i] kl = z [i] l = mín j / J [i 1] {l} k J [i 1] {l} C kj tal que l / J [i 1] y k J [i 1] {l} p k C [i] kl tal que l / J [i 1] l i corresponderá con mín z [i] l / J [i 1] l J [i] = J [i 1] {l i } 3. Paso S-s+1 J = J [S s] es el conjunto final de índices de escenarios borrados. Usar la ecuación (4.17) para calcular las probabilidades óptimas de los escenarios que quedan (Figura 4.2). 19

21 Figura 4.2: Construcción de un árbol de escenarios con sucesivas reducciones Al final, sea cual fuere el algoritmo utilizado, se tiene un número de escenarios igual al número de hojas del árbol. Estos escenarios seleccionados serán las entradas de la SMC, de modo que se realice el consiguiente flujo de cargas probabilístico Métodos Analíticos La idea básica es resolver el problema matemático y no recurrir a la simulación, de forma que se eviten las desventajas de las sucesivas repeticiones que requieren los métodos numéricos. En concreto, la técnica de convolución, según la teoría de la probabilidad, es un procedimiento para determinar la función de probabilidad de dos variables aleatorias independientes. Sin embargo, existen algunas dificultades a la hora de resolver las ecuaciones del flujo de cargas probabilístico por convolución, razón por la cual se suelen hacer una serie de suposiciones que limitan la bondad de los resultados de los métodos analíticos. Las más relevantes son las siguientes: Linealización de las ecuaciones (2.6) y (2.7). Independencia total de las potencias en los nudos. Configuración y parámetros de la red constantes. Distribución normal y discreta de las variables de potencia de generación y carga (esta suposición no es obligatoria, pero sí muy usual) Linealización de las ecuaciones El primer paso a dar por los métodos analíticos es la linealización de las ecuaciones (2.6) y (2.7), puesto que el objetivo es reducir la dificultad matemática del problema. Esta linealización se hace alrededor de la media estimada del vector de estados del sistema, con lo cual, antes de llevar a cabo la propia linealización, debe calcularse tal valor estimado. Es importante tener en cuenta que el proceso de linealización sólo debe hacerse si la incertidumbre de los datos del estado de entrada, alrededor del valor estimado, no es muy grande. 20

22 Las ecuaciones estándar de un flujo de cargas se pueden expresar, de forma general, de la siguiente manera: Y = f(x) (4.20) Y =vector aleatorio de entradas. X=vector aleatorio de estado. Z=vector aleatorio de salidas. f, g=funciones de flujo de carga. Z = g(x) (4.21) El vector aleatorio de entradas, Y, contiene las potencias inyectadas o consumidas en los nudos, el vector aleatorio de estado, X, contiene los ángulos y los módulos de las tensiones en los nudos, y el vector aleatorio de salidas, Z, contiene las magnitudes que interese conocer, como por ejemplo, los flujos por las líneas. Pero cada una de las componentes de los vectores anteriores son variables aleatorias, difíciles de tratar, con lo cual, lo que se hace, en primer lugar, es tomar el valor esperado del vector aleatorio de entradas, Y, y se calcula, a partir de él, el flujo de cargas determinista correspondiente, de manera que se obtienen los valores aproximados de los valores esperados de los vectores aleatorios de estado y de salida, X y Ẑ: Y = f( X) (4.22) Ẑ = g( X) (4.23) Obsérvese que X y Ẑ son las aproximaciones de los valores esperados, y no los propios valores esperados, X y Z; esto se debe a que el flujo de cargas determinista se resuelve por métodos iterativos que aproximan los resultados. El siguiente paso consiste en realizar la linealización de las ecuaciones (4.20) y (4.21) alrededor de los puntos ( X, Y ) y ( X, Ẑ), obtenidos del resultado de aplicar las ecuaciones (4.22) y (4.23). La linealización se lleva a cabo según el polinomio de Taylor de primer orden: X = X + A Y (4.24) Z = Ẑ + B Y (4.25) ( δf 1 A = δx X= X) (4.26) ( ) δg B = A δx (4.27) X= X Y = Y Y (4.28) 21

23 Las ecuaciones (4.24) y (4.25), por su parte, llevan convolución implícita, puesto que cada elemento aleatorio de los vectores X y Z se está calculando como una suma ponderada de los elementos aleatorios del vector Y (cuyos pesos son los coeficientes de sensibilidad), que hemos supuesto independientes entre sí. Es decir, como las componentes de Y son variables aleatorias independientes, la función de densidad de probabilidad de la suma de tales componentes vendrá dada por la convolución de las funciones de densidad de probabilidad de las componentes individuales: f(x i ) = f(y 1) f(y 2)... f(y n) (4.29) f =función de densidad de probabilidad del flujo de cargas. Y k = ( ) Y k Y k aik a ik =elemento de la matriz A. El vector aleatorio Y se representa, según se ha supuesto, con distribuciones normales discretas que representan las variaciones aleatorias de las cargas y la generación. Todas estas distribuciones normales discretas se pueden agrupar fácilmente en una única distribución normal continua equivalente, para lo cual únicamente se requieren el valor esperado y la desviación estándar. Por lo tanto, la ecuación (4.29) contiene todas las normales discretas y, además, la normal equivalente. Las ecuaciones del flujo de cargas probabilístico linealizadas han demostrado ofrecer resultados razonables en un gran rango de dispersión de las variables de entrada. Para ilustrar este punto, considérese el sistema de 14 nudos del IEEE, junto con los datos probabilísticos añadidos publicados en las referencias [9] y [4]. La Figura 4.3 muestra el error medio introducido en el valor esperado (µ) y en la desviación estándar (σ) de doce flujos de potencia activa. El caso reactivo, el cual no se representa, presenta errores algo mayores, puesto que el grado de no linealidad de las ecuaciones reactivas es mayor. Obviamente, los datos de entrada con un alto grado de incertidumbre, serán transformados de manera menos precisa por este modelo lineal, particularmente en las zonas de los extremos, que suelen estar más lejanas al punto de linealización. Los resultados demuestran, por el contrario, que no es probable que el error sea significativo, para una gran mayoría de datos realistas. Figura 4.3: Error ( %) versus factor de escala de varianza de entrada (ρ) 22

24 El siguiente problema que se plantea es la evaluación de la ecuación (4.29), que puede hacerse de diferentes formas, de entre las que destaca la transformación de las ecuaciones al dominio de la frecuencia usando la Transformada Rápida de Fourier. Método de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) Con el algoritmo FFT se obtienen unos resultados en el dominio de la frecuencia rápidos y precisos. En este apartado se muestran los pasos a seguir para aplicar dicho método [9]. Paso 1 o Discretizar la normal equivalente de cada componente aleatoria del vector de entrada, Y Cada distribución normal continua equivalente se trunca por los dos extremos, tal que el intervalo de la función se reduce a T i. El valor que, generalmente, los autores suelen tomar para este propósito es de µ ± 3σ. Se toman una serie de puntos, α k, que dividirán el intervalo T i (el número concreto de puntos se discutirá más adelante). Todos los cálculos se realizarán a partir de ahora sin considerar el área despreciada al truncar, ɛ, de manera que se asegure que el área bajo el intervalo T i, (1 ɛ), sea igual a la unidad para evitar así errores numéricos. Paso 2 o Realizar convoluciones intermedias Definir las convoluciones intermedias de las funciones de densidad, representadas por dos variables aleatorias y i e y j : y i = a i(y i y i ) f ij = f(y i) f(y j) (4.30) Se usan las discretizaciones realizadas de las dos funciones para realizar la convolución discreta, que es la misma idea conceptual que la convolución continua, pero se sustituye la integral por un sumatorio (ecuación 4.31). τ =desplazamiento. f (y i ) [t] f (y j) [t] = n (f (y i ) [τ] f (y j) [t τ] ) (4.31) El intervalo T ij, en el que existe la función resultante, f ij, se puede definir en general como una combinación lineal de los intervalos de las funciones de las que parte: T ij = a i T i + a j T j (4.32) El intervalo T ij se dividirá en N ij puntos. La mayoría de los algoritmos FFT requieren un número de puntos N ij que satisfagan la relación N ij = 2 M, donde M es un número entero. 23

25 Paso 3 o Método de ordenación óptima dinámica aproximado Se tienen P funciones que van a ser objeto de convoluciones. Cada una tiene un intervalo o dominio, T 1, T 2,... T i,... T j,... T P, que representan las funciones discretas individuales. El intervalo de la función discreta equivalente viene dado por: T ij = P T i (4.33) Como ya se ha comentado anteriormente, se considera que se requieren N ij = 2 M puntos para representar la función final, de periodo T ij. El proceso de convolución se lleva a cabo de dos en dos funciones usando el método FFT. Matemáticamente, se pueden realizar las convoluciones de estas funciones en cualquier orden. Considerar el caso de la convolución de las funciones f i y f j, cuyos intervalos son T i y T j respectivamente. El periodo de la función que resulta sería T ij = T i + T j, y el número de puntos, N ij, requeridos para dividir el intervalo se podría deducir del número de puntos, N, de la función final de la siguiente manera: i=1 ( N ij = log 2 2 N T ) ij T (4.34) N ij = integer(n ij) + 1 (4.35) Como se puede ver en la ecuación (4.35), el número de puntos que se necesitan para representar la convolución de las funciones f i y f j, es un valor que decrece conforme decrecen los intervalos respectivos, T i y T j. La eficiencia aumenta y el tiempo de ejecución disminuye conforme el número de puntos usados en el algoritmo FFT decrece. Es, por tanto, mucho más eficiente hacer la convolución de las funciones en orden ascendente de intervalos, T i, y usar un proceso dinámico, tal que el número de puntos usados para representar cada paso del proceso de convolución aumente según la ecuación (4.35). Comparación numérica Se va a realizar una comparación del tiempo de ejecución y exactitud del método de la Transformada Rápida de Fourier con un método basado en la Transformada de Laplace, también llamado Método Convencional [3]. En este texto no se va a detallar la forma de proceder del método de la Transformada de Laplace, que si bien era uno de los que ofrecía mejores resultados antes de conocer las ventajas del método de la Transformada Rápida de Fourier, actualmente ha quedado un tanto eclipsado por éste último. Sólo se van a comentar algunos aspectos generales, para luego proceder a la comparación de ambos. El método de la Transformada de Laplace calcula la distribución normal continua equivalente de la función de densidad de probabilidad del flujo de cargas, del mismo modo que se hace en el método FFT, pero además calcula la normal discreta equivalente, para finalmente realizar la convolución entre estas dos funciones. Uno de los grandes inconvenientes consiste en que la función discreta equivalente se calcula a partir de las 24

26 normales discretas de las componentes, debido a que una función discreta representada por r impulsos, unida a otra representada por s impulsos, tendrá r s impulsos. Este proceso se complica enormemente cuando se tienen muchas funciones discretas individuales, dado que el número de impulsos finales puede ser muy difícil de gestionar. El ejemplo escogido para llevar a cabo la comparación de los resultados de ambos métodos, hace uso de dos sistemas de potencia: uno de 14 nudos, que tiene 12 distribuciones normales y otras 12 discretas; el otro es un sistema de 32 nudos, con 56 distribuciones normales y 7 discretas [9]. La Figura 4.4 muestra la evolución del tiempo de ejecución que tiene cada método, aplicado al sistema de 14 nudos. El número de puntos, n, es el número de puntos usados para representar las funciones de densidad en la convolución discreta. Figura 4.4: Tiempo proceso versus número puntos de la discretización de la función final Para el caso en que se tengan muy pocos puntos, el método convencional es algo más rápido que el método FFT, pero cuando n aumenta un poco, el tiempo requerido por el método convencional crece rápidamente. Hay que tener en cuenta que en la región en la que el método convencional es más eficiente, no es necesariamente más preciso. El número de puntos que dictan la intersección de las dos curvas depende del número de funciones discretas que se tenga, del tipo de funciones que sean, del nivel de discretización al que sean sometidas, de la eficiencia de la programación y, en última instancia, de la potencia del ordenador que realice los cálculos. La Figura 4.5 indica simultáneamente la relación entre el máximo error relativo de la desviación estándar, la media del tiempo de ejecución y el número de puntos para los dos métodos de convolución. El límite del error relativo máximo usando el método FFT, en este caso, es mucho menor que el que proporciona el método convencional. Se vuelve a comprobar en esta gráfica que hay una región en la que el método convencional es más rápido que el método FFT para un número pequeño de puntos, pero el método FFT es más rápido un número de puntos mayor. Además, para el mismo tiempo de ejecución, el método FFT ofrece mayor precisión, de manera que si el número de puntos aumenta, cada vez existe una mayor diferencia de errores entre los métodos; en concreto, el mínimo error máximo para el método FFT es 25