El reloj astronómico de Ferguson

Transcripción

1 El reloj astronómico de Ferguson Ejemplo de engranajes epicicloidales o diferenciales. Figura 1 Para estudiar un caso complejo vamos a detenernos en el reloj astronómico que construyó, en madera, James Ferguson en 1747, que ha quedado descrito en el maravilloso libro de su vida, Life of James Ferguson, ampliado y editado por Henderson, en los Select mechanical Exercises y en su Tables and tracts del propio James Ferguson. Este reloj se puede ver también en el Hand Book de Britten y en la página web del constructor de estos prodigios Pieter. Quiero agradecer, desde este libro, a este 1

2 constructor, los consejos y las respuestas a mis dudas, que sin ellos no hubiera podido avanzar en la comprensión de estos mecanismos. Si nos fijamos en la esfera, esta no está en el mismo plano, sino en tres diferentes alturas. La esfera exterior es fija y contiene las 24 horas del día. Cada hora está dividida en 12 partes y cada parte corresponde a 5 minutos. La anilla media corresponde a los días de la luna con respecto al sol (lo que se llama año solar lunar o lunación, por lo que está dividido en 29 días y medio correspondientes a los días que tarda la luna en su traslación por la tierra con respecto al sol.) La numeración va de derecha a izquierda. Este círculo lleva una flor de lis y el sol anexo y da una vuelta en 24 horas. La esfera interior corresponde a la placa sideral. Interiormente aparecen los meses del año, los signos del zodiaco, los grados de la eclíptica. Alrededor del centro aparecen las estrellas de primera (8 puntos), segunda (6 puntos) y tercera magnitud (5 puntos), según su declinación y ascensión recta (latitud y longitud) que se ven en el cielo de Londres. Este plato da una vuelta en 23 horas, 56 minutos, 4 segundos y 6 fracciones de segundo que es la medida del día sideral. Esto produce en un año 366 revoluciones sidéreas en el mismo tiempo en el que el Sol realiza 365, lo que se denomina año solar. Esta diferencia hace que funcione el reloj como un calendario señalando el mes y el día. En el centro hay una placa fija E que corresponde a la Tierra En torno a ella gira el Sol en 24 horas, la Luna en 24horas y 50,5 minutos y las estrellas en 23 horas, 56 minutos, 4 segundos y 6 fracciones. El Sol S es movido por una aguja A que está fija en la anilla media del año lunar con una flor de Lis. La Luna M es movida por la aguja B que está fija al brazo de la luna Figura 4, y que es movida por el engranaje de luna en color magenta. El globo lunar rota, dando lugar a las distintas fases de Luna consecuencia del engranaje diferencial secundario. Sobre estas esferas hay un cristal fijo en que está grabada una elipse H que representa el horizonte del lugar, y corta este horizonte una línea que representa el meridiano eed, o línea Norte Sur. El punto E, situado en la mitad de la línea, es el cenit, o situación del observador. El Polo norte Celeste se situaría en el centro de la Tierra. Si no me equivoco e es el Sur y d el Norte, y a diferencia de un planisferio que debemos situarlo encima de nuestras cabezas, en este reloj el cielo lo vemos desde arriba, con el Este a la izquierda y el Oeste a la derecha. Pero todo lo demás es igual a un planisferio. Está dibujada en la esfera interior y se mueve con ella el círculo de la eclíptica que es la línea del movimiento del Sol. Cerca de esta Línea se mueve la Luna (tiene una pequeña diferencia angular y los planetas). 2

3 Todas las estrellas visibles están dentro del horizonte mientras que las que aparecen por debajo no son visibles en ese momento. Las estrellas se mueven de izquierda a derecha, de este a oeste como se puede ver por la noche a esta latitud. Aparecen por la izquierda suben, pasan por el meridiano y se meten por la derecha. Cuando la aguja del Sol A corta la intersección de la eclíptica con el horizonte Este tenemos el orto o salida del Sol para cualquier día del año. Sabremos la hora solar exacta de cada salida del Sol en cualquier momento del año (hablamos del la hora solar local, no la oficial). Si la aguja A del Sol corta la intersección de la eclíptica con el horizonte Oeste, obtenemos la hora del ocaso. Si contamos las horas desde el orto al ocaso tenemos la duración del día, y el resto hasta completar 24 horas la duración de la noche. De la misma forma sabremos cuando sale y se pone La Luna en cualquier día del año con la aguja B. Cuando el Sol cruza el meridiano (al mediodía) podemos calcular a ojo la altura del astro en el cielo, para cualquier día del año, solo con calcular la distancia desde el cenit hasta la intersección de la eclíptica con el meridiano (a las 12 horas solares). Desde el cenit E hasta el punto e hay 90 grados hacia el Sur y otros 90 hacia el Norte y la proyección de los planisferios es acimutal equidistante, los paralelos mantienen la escala. Hacemos una regla de tres simple para calcular los grados z que van desde el cenit hasta la intersección de la eclíptica y se los restamos a 90. Nos dará la altura h sobre el horizonte. h = 90 z Más fácil sería poniendo una escala en el meridiano ded. La aguja de la Luna B se desplaza a su ritmo anual de 29 días y medio aproximadamente que podemos observar en el anillo interior movido por el brazo de 24 horas. Como delimita el año lunar o el periodo de traslación sobre la Tierra pero con respecto al Sol, por eso el Sol está unido a este anillo de interior de Luna, esta se traslada entre el Sol y Sol de nuevo en 29 días, 12 horas y 45 minutos. La aguja del Sol da 365 vueltas en 1 año y la placa sideral, en el que están grabados los meses y los días, da 366 vueltas en un año. Esto quiere decir que cada en cada revolución se mueve un día en la placa sideral. Por este motivo funciona también como un excelente calendario perpetuo, sin mayor mecanismo que la diferencia de velocidades de dos trenes de engranaje. Además la aguja del Sol y también la de la Luna, nos muestra su relación con los signos del Zodiaco. Cuando la placa sideral de una vuelta completa con respecto al Sol ( este movimiento es relativo entre dos elementos ya que da aproximadamente una vuelta absoluta al día), la aguja A del Sol habrá dado el equivalente a 365 días, 3

4 5 horas, 48 minutos y 58 segundos, que es el año solar, el tiempo necesario para dar una vuelta completa a la eclíptica. Y la Luna, con respecto a su movimiento con la eclíptica (placa sideral) necesitará 27 días, 7 horas y 43 minutos para dar una vuelta completa a esta, pero debido a las diferencias de velocidad del Sol y de la Luna, necesitará 29 días 12 horas y 45 minutos entre una conjunción del Sol y de la Luna y la siguiente. La Luna se representa como un globo con la mitad pintada en blanco y la mitad en negro. La velocidad de su eje es de 29 días, 12 horas y 45 minutos. Como la velocidad del brazo del Luna es relativamente la misma, se observa para cada día la fase de Luna que corresponde. Cuando el Sol y la Luna están en conjunción se nos aparece el lado negro de la Luna, representado la Luna nueva, ya que la Luna tapa el Sol. Cuando la Luna está opuesta al Sol, es lo que llamamos Luna llena. Si aparece a 90 grados vemos los cuartos, sea creciente o menguante. Figura 2 Los esquemas 2,3 y 4 representan la parte astronómica de reloj en planta y en sección. Lo importante para entender este rodaje es que es tiene tres trenes 4

5 de rodaje (Sol, Luna y astros) con una relación diferencial principal para el movimiento del Sol, la Luna y los astros y una relación diferencial secundaria para el movimiento del globo de la Luna que nos marcará las fases. Figura 3 Figura 4 5

6 1. Movimiento diferencial principal Si nos fijamos en la figura 4, que está basado en el prototipo de Ferguson de la figura 3. Las partes que componen los trenes de rodaje son: El sistema fijo. En rojo. En la parte central de pletina roja, que está fija en la pletina frontal del reloj, hay un piñón fijo A de 8 alas, que en el engranaje diferencial hace de sol ( no confundir con el Sol astro). También está situada la esfera exterior, donde están marcadas las 24 horas del día. El sistema de horas solares. En verde. Este piñón rojo de 8 alas es hueco y es atravesado por un eje que une el brazo de 24 horas y enlaza con una rueda de 24 horas con el movimiento de una máquina de reloj normal. El brazo de 24 horas mueve la jaula o placa D de 24 horas, que por arriba lleva la anilla media de los meses lunares junto con la aguja del Sol con su flor de Lis. Este sistema tiene tres funciones. Nos da la hora, mueve epicicloidal o diferencialmente el sistema lunar y la placa sideral, además será el centro para el movimiento del globo de Luna. El sistema lunar. Este tren de rodaje en color magenta tiene dos funciones. La primera será marcar con la manecilla de la Luna sobre el anilla intermedia del año lunar los días de la Luna. Por otro lado nos permitirá hacer la rotación del globo Lunar, para que nos de las fases de Luna para cada momento del calendario. Este tren de rodaje lo forma el piñón A de 8 alas, la rueda B de 35 dientes que lleva un piñón E solidario de 8 alas y enlaza con una rueda central F de 54 alas. Figura 4. Este sistema mueve la manecilla de la Luna que hará de brazo del diferencial secundario. Como vimos en el capítulo de los engranajes diferenciales aplicamos la fórmula de Willis que nos dice que la relación de transmisión aparente es iguala a la velocidad angular del eje final ω 0 menos la velocidad angular del brazo ω 2, partido por la velocidad angular del eje inicial ω 1 menos la velocidad angular del brazo ω 2. Z 1 Z 1 Z 3 Z 1 = ω 0 ω 2 Primero buscamos el signo de la relación de transmisión aparente. Cada engranaje exterior recordar que es negativo debido a que cambia el sentido de giro de una rueda a otra. Como hay dos engranajes exteriores el signo es igual a: = + 6

7 = ω 0 ω 2 El piñón de 8 alas central es fijo por lo que ω 1 = 0 y queremos saber el número de horas que dará para una vuelta del brazo de 24 horas (1 vuelta = 1 día), ω 2 = = ω ; 64 = (1890 ω 0) 1890 ω 0 = 1826 = + 0, Cuando el brazo de 1 vuelta (24 horas) la Luna habrá dado 0, de vuelta en el mismo sentido (el signo del resultado es positivo). Si queremos saber cuántas horas dará en una vuelta podemos hacer una regla de tres. 24 = 24, , horas, (0, ) 50 minutos, ( 0, ) 28 segundos y 15,8 fracciones de segundo, que es el tiempo que necesita la Luna para dar una vuelta. Podríamos haberlo hecho calculando ω 2 dando al eje ω 0 = = 1 ω 2 = ( 64 ω 0 ω 2 ) = 1890 ( 1890 ω 2 ) 2 ( 1890 ω 2 ) ( 64 ω 2 ) = 1890 ω 2 = 1890 = + 1, Para conocer las horas lo multiplicamos por 24 y nos da lo mismo que antes 24, La placa sideral, En azul nos posiciona los meses, los signos del Zodiaco y las estrellas con respecto al horizonte y su intersección con la eclíptica. Vamos a calcular su movimiento. Utilizamos como en el anterior ejemplo la fórmula de Willis. Este tren de rodaje lo forma el piñón A de 8 alas que engrana con la rueda C de 50 dientes que tiene un piñón G de 14, que engrana con una rueda H de 69 que lleva un piñón I de 7 y engrana con una rueda central K de 83 que mueve la placa sideral.. Figura

8 Z 1 Z 3 Z 5 Z 2 Z 4 Z 6 = ω 0 ω 2 Primero buscamos el signo de la relación de transmisión aparente (no el real, que será el resultado). Cada engranaje exterior recordar que es negativo debido a que cambia el sentido de giro de una rueda a otra. Como hay tres engranajes es igual a: = = ω 0 ω 2 Calculamos el número de vueltas del brazo de 24 horas ω 2 siendo ω 1 = 0, ya que el piñón A de 8 alas es fijo y ω 0 = 1 vuelta = 1 ω 2 0 ω 2 ; ( ω 2 ) = 784 ω = 784 ω ω 2 ω 2 = = 0, Para conocer el número de horas lo multiplicamos por 24 y nos da 23, horas. Que es igual a: 23 horas, 56 minutos, 4 segundos y 5,4 fracciones de segundo. Tenemos tres movimientos principales. El más rápido es el de la placa sideral que da una vuelta en 23, horas. El segundo es la hora solar que da una vuelta en 24 horas y el tercero es el movimiento lunar que da una vuelta en 24, horas. 2. Movimiento diferencial secundario. El globo Lunar. Las fases. Hay un cuarto movimiento que consiste en la rotación del globo lunar que nos dará las fases. En el gráfico 4 podemos ver que el brazo de Luna tiene una velocidad angular de entrada igual a 0, vueltas por cada vuelta del sistema de 24 horas. Para este caso vamos a tener tres ejes de libertad ya que vamos a tener movimiento en los tres. 8 ω 2 = 0, ; ω 1 = 1 ; ω 0 =?

9 No podemos utilizar la fórmula de Willis como la conocemos ya que el engranaje es cónico y la velocidad del brazo varía como vamos a ver: La velocidad tangencial (o lineal) en el punto P es igual al producto del radio r por su velocidad angular en radianes/segundo. Figura 5. Figura 5 Vp = r ω Figura 6 En el primer caso, es el que hemos estudiado hasta ahora, la velocidad tangencial del punto VB, con centro en O (el brazo) es igual al radio (r 1 + r 2 ) por la velocidad tangencial ω. Figura 6. V B = (r 1 + r 2 ) ω La velocidad del punto A se puede mostrar desde el satélite y el brazo porta satélite. 9

10 V A = V B + (r 2 ω p ) V A = (r 1 + r 2 ) ω + (r 2 ω p ) Y también desde el sol V A = r 1 ω s Igualamos (r 1 + r 2 ) ω + (r 2 ω p ) = r 1 ω s r 1 y r 2 los cambiamos por el número de dientes Z 1 y Z 2 y nos da la fórmula de Willis ± Z 1 Z 2 = ω 0 ω 2 Pero en el segundo caso. Figura 6. La velocidad tangencial del punto VB es igual a: V B = r 1 ω Ya que el radio no es igual a (r 1 + r 2 ) sino solo a r 1 Ver Figura 6. V A = V B + (r 2 ω p ) ; V A = r 1 ω + (r 2 ω p ) V A = r 1 ω s r 1 ω + r 2 ω p = r 1 ω s ; r 1 ω r 1 ω s = r 2 ω p r 1 (ω ω s ) = r 2 ω p ; ± Z 1 Z 2 = ω p Esta sería la fórmula de Willis modificada para un engranaje cónico. Lo aplicamos a nuestro reloj de Luna y tenemos: = ω 0 1 0, ; 1 = ω 0 1 0, ; 1 + 0, = ω 0 ; ω 0 = 0, Cada día el globo lunar gira = 0, de vuelta (en sentido contrario). Si lo dividimos entre 1 nos dirá las vueltas del Sol (días) que se necesitan para dar una vuelta completa con todas sus fases. 1 0, = 29,

11 Que son 29 días 12 horas, 45 minutos. Figura 7 Pongo la figura 7 para aclararnos el funcionamiento del mecanismo pero no es el mismo sistema aunque es muy parecido. También desarrollado por Ferguson. 3. Errores: En el tren de rodaje de la Luna: Datos reales sacados de la Wikipedia.: Revolución sinódica: es el intervalo de tiempo necesario para que la Luna vuelva a tener una posición análoga con respecto al Sol y a la Tierra. Su duración es de 29 d 12 h 44 min 2,78 s. También se le denomina lunación o mes lunar. Revolución sideral: es el intervalo de tiempo que le toma a la Luna volver a tener una posición análoga con respecto a las estrellas. Su duración es de 27 d 7 h 43 min 11,5 s. Datos calculados: Revolución sinódica: 29 días 12 horas, 45 minutos. Error aproximado de 57 segundos al año lunar y casi 12 minutos al año solar. Este error se podría corregir utilizando otras fracciones que se aproximen más a la cifra que buscamos. En el tren de rodaje de la placa sideral: Datos reales sacados de la Wikipedia.: Día sidéreo, cuya duración es de 23 horas 56 minutos y 4 segundos y 5,496 fracciones Datos calculados 23 horas, 56 minutos, 4 segundos y 5,4379 fracciones de segundo. Al año la desviación es de 21 fracciones de segundo. 11