EJERCICIOS APLICACIONES ECONÓMICAS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL TEMA 5 (curso )

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Elisa Nieves Cano Caballero
hace 6 años
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1 1. Continuidad. Estudiar en función del valor del parámetro la continuidad de la función: x ( xy, ) (0,0) 3 3 f ( x, y) x y 0 ( xy, ) (0,0). Continuidad. Llamemos C(x) el coste por semana que una empresa gasta en el contrato de un empleado que trabaja x horas por semana. El sueldo de un empleado consta de (1) un costo fijo de 0 u.m., () un sueldo de 6 u.m. por hora durante las 35 primeras horas, (3) un salario extra de 9 u.m. la hora por horas trabajadas más allá de las 35 horas pero sin sobrepasar las 45 y (4) un salario extraordinario de 1 u.m. por horas trabajadas sobrepasando las 45. a) Defina la función que exprese el coste semanal de un empleado en función de las horas trabajadas por semanac(x). b) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función C(x) y dibuje su gráfica. 3. Función compuesta. El coste de producir x unidades de un producto A e y unidades de un producto B viene dado por la función C ( x, y) x y xy xy 00, dónde C(x,y) viene expresado en. Ambas variables, x e y dependen del número u de oficiales de primera y del número v de oficiales de segunda, que trabajan en la fábrica, según las siguientes expresiones: x 6 u v e y. Calcúlese cómo varía el coste de u v producción respecto del número de oficiales de primera y de segunda clase, cuando el número de aquellos (u) es de 9 y de estos (v), 5. Página 1 de 6

2 4. Funciones implícitas. La función de utilidad de un consumidor mide la satisfacción que experimenta el individuo por consumir un bien determinado. Consideremos la función de utilidad: U( q, q ) 3q q q q Donde q1 es la cantidad consumida del bien I y q del bien II. es la cantidad consumida El consumidor habitualmente adquiere 6 unidades del bien I y 3 unidades del bien II. a) Si este consumidor decide consumir 4 unidades del bien II, qué cantidad del bien I deberá adquirir si desea mantener el mismo nivel de utilidad?. b) Calcule las utilidades marginales e interprete los resultados para q1 6 y q 3. c) Si p1 50, p 70 y el consumidor sólo dispone de 55 unidades monetarias, es posible que consuma 6 unidades del bien I y 3 unidades del bien II?. 5. Derivadas y homogeneidad. Conocida la función de producción de una empresa: Q f ( F, F ) 100 F F Donde Q es la producción de la misma y F 1 y F los factores productivos. a) Diga cómo son los rendimientos de escala. b) Cómo variará la producción si se duplican los factores productivos F 1 y F? c) Calcule las productividades marginales si F1 1 y F 1. Interprete el resultado. Página de 6

3 6. Diferencial. Una empresa puede producir P unidades de su producto al utilizar L unidades de mano de obra y K unidades de capital, con P( L, K) 100L K a) Calcule la producción total cuando L=81 y K=16. b) Aproxime el efecto de reducir L a 80 e incrementar K a Diferencial. La producción de una empresa viene dada en función de los factores productivos x e y por la expresión: Q f ( x, y) Ln x y Actualmente la empresa trabaja con 0 unidades del factor x y 1 unidad del factor y y se está planteando modificar la cantidad utilizada de ambos factores, de forma que pretende disminuir 10 unidades la cantidad de x y aumentar 30 unidades la cantidad utilizada del factor y. Antes de tomar la decisión final desea conocer la variación aproximada que este cambio provocaría en su producción. x 8. Análisis marginal. Derivadas parciales. La función de costes de una empresa que produce dos bienes es: C( q, q ) 0 q q q q Calcule las funciones de coste marginal, evalúelas en q1 5 y q e interprete el resultado. Página 3 de 6

4 9. Marginalidad y elasticidad. Sea total de un determinado producto. 3 C x x 10x 5x 10 la función de coste Donde x>0 representa el número de unidades producidas del mismo. Determinar: a) Para x=10, el coste total. b) La función coste medio. Para x=10 el coste medio. c) La función coste marginal. Para x=10 el coste marginal e interpretar el resultado. d) La función elasticidad del coste respecto a x. Para x=10 la elasticidad del coste respecto a x e interpretar el resultado. e) Para qué valores de x el coste marginal disminuye. 10. Derivadas parciales. Análisis Marginal. Una empresa lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas x se define como una función del tiempo t y de la cantidad A gastada en la campaña publicitaria. Si, con t medido en meses y A en euros, 0,00 A t x 00 5 e 1 e Calcule x x y t A. Evalúe estas derivadas cuando t, A 1,400 interprételas. 11. Productividad marginal. La función de producción de cierta empresa está dada por: P( K, L) 5L L 3LK 8K 3K En donde L es el insumo mano de obra medido en miles de horashombre por semana, K es el capital invertido medido en miles de euros por semana y P es la producción semanal en miles de artículos. Determine las productividades marginales cuando L=5 y K=1 e interprete el resultado. Página 4 de 6

5 1. Elasticidad. La demanda del bien X viene dada por la función x 00 4 Hallar: p. a) La función elasticidad de x con respecto a p, de la demanda respecto al precio. b) Para qué precio la elasticidad es unitaria. c) Para qué precios la demanda es elástica e inelástica. d) Para qué precios la demanda es nula. 13. Elasticidades cruzadas. Dos productos A y B tienen demandas dadas por: x f p, p 0 p 0, p A A B A B x f p, p 50 p 5p B A B A B a) Los productos son complementarios o competitivos (sustitutivos)? b) Cuando pa 5 y pb 5. Calcule la elasticidad del producto A con respecto a su propio precio y su elasticidad cruzada con respecto al precio de B. 14. Elasticidades cruzadas. La función de demanda del producto A está dada por:, 50 0,3 5 x f p p p p A A B B A Determine la elasticidad de la demanda de A respecto al precio de A y respecto al precio de B (cruzada), cuando pa 6 y pb 50. x 15. Crecimiento. Compruebe si la función u x cumple las condiciones teóricas de la función de utilidad total y en qué intervalos. Página 5 de 6

6 16. Crecimiento y Análisis Marginal. La ecuación de demanda de un cierto artículo es: p 0,1x 80 ( x p), siendo x la cantidad demandada de un artículo y p su precio. El coste de cada unidad de dicho artículo es de 0 u.m., y la empresa que lo fabrica tiene unos costes fijos de fabricación de 5000 unidades monetarias. a) Calcula el beneficio marginal de la empresa b) Evalúa el beneficio marginal en el caso de que se produzcan y se vendan 150 udes de producto. Evalúa también el beneficio marginal si se producen y venden 400 udes. c) Estudia e interpreta el crecimiento del beneficio marginal. d) Estudia e interpreta el crecimiento del beneficio. 17. Derivada y Crecimiento. La función: 3 C( x) 0,001 x 0,3 x 40x 1000 expresa el coste de fabricar x unidades de producto. a) Determine el coste marginal como una función de x. Evalúe el coste marginal para x=50, x=100 y x=150. b) Calcular para qué valores de la producción el coste marginal es creciente y cuándo es decreciente. Página 6 de 6

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