Definición: La Óptica Física, estudia las propiedades ondulatorias de la Luz; dado que ella es la propagación de las ondas electromagnéticas.

Transcripción

1 Óptica Física

2 Definición: La Óptica Física, estudia las propiedades ondulatorias de la Luz; dado que ella es la propagación de las ondas electromagnéticas. Hay dos fenómenos más importantes que originanan de la naturalesa ondulatori de luz Difracción. Interferencia y

3 Interferencia Debido a que los campos electromagnéticos cumplen con el principio de superposición, es de esperar que la luz(como OEM) también lo haga. Como sus campos son vectoriales, la superposición de ellos en algún punto del espacio se obtendrá como una suma vectorial(para E y B por separado). Supongamos que f representa uno de los campos E o B. Lo anterior se escribiría como: f P = i Debido al carácter vectorial, hay que tomar siempre en cuenta la polarización de las ondas. El análisis se simplifica mucho si se consideran las mismas polarizaciones (Los E paralelos o antiparalelos), resultando solo en sumas algebraicas: f i f P = i f i

4 1 r 1 P f r ct f r ct r La onda resultante podría ser de amplitud mayor interferencia constructiva o menor interferencia destructiva que la de las ondas incidentes. Estudiar la interferencia de las dos o más ondas en el punto P es estudiar su suma en este punto

5 Dos Fuentes Armónicas Puntuales P S1 θ 1 d θ r 1 S θ r L fp ( t) Obs: Aquí r1 y r son distancias entre la fuente S1 con P y la S con P, respectivamente. fp ( t) E sin t kr E sin t kr... E cos k r = ω ω sin ωt kr = = 0 Amplitud Oscilación Identidad trigonométrica: sin A+ sinb= cos A B sin A+ B r r = r r ; r= 1 + r k= π λ 1,.

6 La amplitud tiene valores absolutos máximos y mínimos de acuerdo con las condiciones: Amplitud = Ecos k r 0 k r cos = 1 r = π n k cos k r = 0 r = π n 1 k + máximo mínimo n = 0,1,,...,

7 Cuando la pantalla esté lejos de las fuentes se tiene aproximadamente θ1 θ θ 1 sinθ θ r= dsinθ dθ S1 S d r r= π n k r= π n 1 + k θ 1 θ L d r 1 θ r θ = π kd θ min L max n, π = n 1 + kd Con esta aproximación se encuentran las posiciones angulares de máximos y mínimos. P f P ( t )

8 Intensidad luminosa en la pantalla La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de los campos: I θ A θ A kd θ = E cos θ 0 I ( θ ) = I cos kd 0 θ = Icos 0 πd θ λ El número de onda en términos de la longitud de onda: k = π λ 1 θ k = π λ Patrón de interferencia I = I θ = λ n 0 d Máximos: las franjas brillantes. I I = 0 = λ + 1 θ n d Mínimos: las franjas oscuras

9 Coherencia Las fuentes de luz no son tan ideales como el caso visto anteriormente. En particular las fuentes anteriores estaban en fase. Un caso más realista es cuando se encuentran desfasadas. Así para: ( t) ω k φ ( t) f = E sin ωt rk+ φ ; f = E sin t r se dirá que están en fase si ( ) ( ) ( ) (incluido el cero) y desfasadas en caso contrario. φ t = φ t φ t es un múltiplo entero de π 1

10 Coherencia ( t) ω k φ ( t) f = E sin ωt rk+ φ ; f = E sin t r Al hacer el experimento de las rendijas con estas fuentes, la señal en la pantalla será: φ ( t) φ ( t) + ω φ ( t) fp = f + f =... = E cos k r sin t kr φ = 1 r = r 1 ( t) + φ ( t) r ; r ; r = 1 + r ( t) = ( t) ( t) φ φ φ P S1 1 S d θ r r 1 L fp ( t)

11 ( t) fp f f... cos k r φ = + = = E sin ωt kr φ Amplitud ( t) La amplitud ahora es una función del tiempo: Amplitud cos k r φ A= E 0 + ( t) Los máximos y mínimos de intensidad ocurren en Con aproximación ( t) φ( t) k r φ + = nπ θ() t λ n máx = d π ( t) φ ( t) k r φ + = nπ + π θ() t λ n 1 mín = + d π I θ A θ r θd

12 (A) Si el desfase φ de las fuentes no depende del tiempo, se dice que las fuentes son coherentes, o sea, las franjas de interferencia se mantendrán en posiciones fijas. θmáx, θ mín = Fijos ( ) (B) En cambio, cuando el desfase φ t es una función aleatoria del tiempo (las fuentes incoherentes), ya no se mantendrán en posiciones fijas los máximos y mínimos de la intensidad, desapareciendo el patrón de interferencia. θ () t máx, mín Dos fuentes distintas de luz natural son incoherentes entre si.

13 Ejemplos de Fuentes Coherentes Rendijas en una pantalla Asin ωt kr Fuente R 1 f = Asin[ ωt ( R + r) k] = = Asin[ ωt rk + φ ] 1 1 r 1 R ( ) k, φ ( t) φ t = R = Rk 1 1 r f = Asin[ ωt ( R + r ) k] = = Asin[ ωt rk + φ ] P ( t) ( t) R1 R φ = φ φ = k No depende del tiempo Fuentes y ( ) 1 son coherentes

14 Ejemplos de Fuentes Coherentes Biprisma de Fresnel ϕ ( t) S1 Fuentes identicas ( t) ϕ S ϕ = 0 ϕ ( t) S

15 Ejemplos de Fuentes Coherentes: La fuente y su imagen en un espejo plano de Lloyd ϕ ( t) S Fuentes identicas Espejo plano ϕ ( t) + π S Imagen de S

16 Reflexión y refracción. Índice de refracción Rapidez de la luz en un medio: c c = medio n 0 n> 1 0 = > cmedio c c vacío Algunos valores: c vacío, m s n = 1; n aire = 1,009; n agua 1,33; n 1,50 vacío vidrio

17 Reflexión y refracción. Onda Incidente: k π λ ω = kc i = i i i i Onda Reflejada: k r = i r = i c k ω ω 0 ; i = φr = i Onda Transmitida: ω = ω t ( ) f r, t = Asinkr ω t i i i i ( ) c i c = n f r, t = A sink r ω t+ φ c 0, ni > n n π, n < n i k t r r r r r ( ) i t t, 0 i f r, t = Asinkr ω t t t t t ω ω c n = = = k c c c n i i i t i t i t i n λt = λi n i t fr i ( r, t) (, ) f r t f r = f i ni Reflexión Incidencia nt Transmisión t (, ) f r t

18 A Por qué la frecuencia de la onda transmitida y reflejada es la misma que la de la onda incidente? B A Veamos los tiempos de propagación de algunos pontos la onda: c r = c i c i B A c t (I) La onda reflejada tienen la misma rapidez que la incidente: ta S λ T i ; π = i= ω c i= T ( ) tb B = T r ; r= λ ω π c r= T i i i r i r ( ) i r = = ωi = ωr t A S t B B T T λ = λ A B n i S n t

19 Por qué la frecuencia de la onda transmitida y reflejada es la misma que la de la onda incidente? Veamos los tiempos de propagación de algunos pontos la onda: c i A B B A c r = c i A c t (II) La onda transmitida tiene la velocidad diferente de la de onda incidente λ tb t ( B ) Tt ; π = = ω c t= T ( ) ( ) t ta S = tb B T = T ω = ω t '' i t i t n i A S n t B λ λ c n n λ λ λ λ λ t = T i i t i t = Ti= c i= t= t t= i t c i ct ni n t

20 Interferencia por películas delgadas. r d n > { n, n } 1 3 f 1 f n 1 n n 3 fd = f + f = A kr ω π + A kr+ k d ωt 0 1 = A cos Máximos: sin t sin k d Mínimos: Amplitud en el detector π sin kr ωt+ π + kd 1 N kd = 0 = A cos { 0,1,,3,... } k d π ( N + 1) π ( N 1 ) d π d N π = + = k = 4 λ k = π λ kd π = Pπ d P π = λ P = { 0,1,,3,... } Mínimos: k = π k = π,, 1 λ λ 1 n λ = λ 1 1n Máximos:

21 En la realidad las películas tienen su espesor variable y hay partes de ellas que son más anchas que otras. Consecuencias: I. Cuando el espesor d en la película no es el mismo en toda la superficie, aparecen zonas de máximos y mínimos en intensidad. II. Para películas muy delgadas, se aparece un mínimo general de intensidad en toda la superficie. λ 0 λ = 0 d d P Lo que es un mínimo. III. Al iluminar con luz blanca, se aprecian una gama de colores sobre la superficie. La explicación consiste en considerar que cada color tiene distinta longitud de onda, por lo cual los máximos y mínimos de intensidad para cada color ocurrirán para espesores d distintos, los cuales se encuentran en diversas partes de la película.

22 Ejemplos Burbuja de jabón Lámina de aceite sobre agua

23 Interferencia de muchas fuentes(rejilla)

24 Interferencia de muchas fuentes(rejilla)

25 Interferencia de muchas fuentes(rejilla) Hay N fuentes coherentes en la pantalla 1, espaciadas entre si por d. Cuál es la señal en la pantalla? N N P = sin l = 0 ω l l= 1 l= 1 f f E t rk P ( ωt kr1 ) + ( ωt k( r1 r) ) ( ωt k[ r1 ( N 1) r] ) f = E E E sin sin sin Si la pantalla está lejos: r = r r dsinθ θd= r. l l+ 1 l...pero cómo calcular la suma?

26 Hay varios metodos. Utilizemos notación compleja (fasores * ). Sabemos que: sin φ = I m exp( iφ ) El truco será convertir la suma anterior en una serie de potencias complejas. La parte imaginaria de la suma será el resultado buscado: N 1 N 1 N 1 P = E0 sin ωt rk lk r E 1 0 Im exp i t rk lk r Im exp i t rk exp ilk r + = = = l= 0 l= 0 l 0 = f ω ω 0 N 1 ω exp l 1 l= 0 = E Im exp i t rk i k r Suprimamos el simbolo Im recordano su presencia. P N 1 N 1 exp 0 ( ω 1 ) exp l exp ω exp l r 0 1 l= 0 l= 0 f = E i t rk i k r = E i t rk i k Leer la derivación geométrica con fasores: R.A. Serway & R.J. Beichner: FÍSICA para ciencias e ingeniería (Tomo II); Sec p. 1193

27 f P 0 N 1 ω exp 1 l= 0 = E exp i t r k ilk r N 1 ( ω 1 ) ( ik r ) = E 0 exp i t rk exp l= 0 l Suma geométrica: N 1 n= 1 a n = N a 1 ; a 1 = E exp ink r 1 0exp i( ωt rk 1 ) exp ik r 1 exp( iα ) exp( iα ) sin α = ; i = Im E ( ω + k( N 1) r ) sin ( Nk r ) sin ( k r ) 0exp i t rk 1 sin ( Nk r ) P = 0 sin t rk 1 + k( N 1) r sin k r f E ω ( ) ( )

28 Finalmente tenemos para la señal en la pantalla de los N fuentes sin ( Nk r ) sin ( k r ) f = E sin ( ωt rk+ k( N 1) r ) P 0 Amplitud 1 Oscilación A Amplitud Nk r sin θ E = 0 sin k r sin Nk r θ α θ = = 0 sin k r I A I Intensidad r= dsinθ dθ I =αe 0 0 Intensidad de una fuente N=1

29 Patrón de Interferencia debida a muchas fuentes(rendijas): I θ I θ I θ 0 I N 0 I N d θ λ d θ λ d θ λ N =5 N =8 " " N muy grande = 0 sin ( ) sin kd N I I kd θ θ θ =

30 I N 0 I θ 0 I N I θ I θ Patrón de Interferencia debida a muchas fuentes(rendijas): Intensidad máxima: max N =5 d θ λ N =8 d θ λ N= " muy grande" d θ λ lim sin Nx lim Nx 0x 0 sin x 0x 0 x 0 I = I = I = I N Máximos: Numerador y denominador iguales a cero. kdθ = ± π m m = { 0,1,,3,... } θ máx =± λ m d Mínimos: Numerador = 0 y Denominador = 0 Nk dθ =± nπ kdθ =± π n N n= 1,,3,..., N 1, N + 1, N+,... n N I( θ) = I 0 sin N kd θ sin kd θ { } { 1,,3,... } θ n mín =± λ d N

31 Difracción. Es un fenómeno característico del movimiento ondulatorio, el cual consiste en la aparición de ondas en lugares donde debería estar la sombra geométrica de los obstáculos que se interponen en el camino de onda. La onda se extenderá alrededor del objeto distorsionando la forma de esta. El obsáculo puede ser tanto un cable, un disco, o una cajita, como también una abertura en una pantalla. Básicamente Difracción es una manifestación especial de la interferencia. Esto se hace más manifesto cuando la longitud de onda sea comparable a las dimensiones del obstáculo.?? Sombra geométrica DIFRACCIÓN. Difícilmente se define donde se separan ondas y sombras.??

32 luz Sombra geométrica Sombra geométrica difracción luz Sombra geométrica

33 Sombra de un objeto Apertura circular

34 Difracción por una sola rendija. Una rendija iluminada, por el lado trasero, puede representarse, por el otro lado[ab], como un conjunto continuo de fuentes puntuales. (El principio de Huygens, ). Consideremos que la rendija tiene un ancho finito a, el cual de todas maneras es mucho menor a la distancia L hacia la pantalla. θ a L

35 θ a La superfície imaginaria de la rendija iluminada presentamos por el conjunto de infinito número de las fuentes puntuales. Esperamos que aparezca un patron de interferencia producido por esas fuentes. La intensidad producida por fuentes es N N ( ) ( ) lim N N I I θ θ = 0 sin ( ) sin N k N I I k d d θ θ θ = d, a d N =

36 Derivación de la intensidad producida por la rendija de anch a en la pantalla lejana: En el límite N I N = I sin Nkθ d sin akθ 0 sin kθd I N θ I = 0 sin a kθ N d a = N 1 N θ θ akθ = = 0 N akθ sin N sin akθ θ ( I N = 0 ) akθ lim I I I sin lim N I I N N I (0) 0 N N I θ I sin akθ 1 = 0 akθ N I sin akθ θ I ( 0 = ) akθ

37 Patrón de Difracción. Distribución de la intensidad en una pantalla lejana, producida por una rendija. Mínimos : akθ =± πn θ = λ ; n= 1,,3,... a { } y I θ y = = I π x ( 0) sin ( π x) x = akθ = π a θ λ Ancho del máximo central: x = θ = a λ Por lo que la difracción (apertura del haz) se hace manifiesta cuando el ancho a de la rendija es pequeño: a λ

38 Poder de resolución. Los instrumentos ópticos consisten básicamente de una lente incrustada sobre una abertura en una pared logrando que una imagen se forma en la pantalla colocada a continuación. Ejemplos de ello son las cámaras fotográficas y el mismo ojo humano(donde la pupila es la abertura y la retina hace de pantalla). Cuando la luz proveniente desde la fuente atraviesa hasta la pantalla, su imagen sufrirá algún grado de difracción; dependiendo de cual sea la longitud de onda que tenga y el tamaño de la rendija. S1 I θ I1 S a

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44 Las imágenes de dos fuentes puntuales se puede distinguir si los máximos de las dos imágenes están separados entre sí θ = a λ θ = a λ θ Se puede resolver θ θ mín = a λ 1. Apertura circular θ El criterio de Rayleigh θ mín a λ No se puede resolver θ θ θ mín

45 Polarización La onda electromagnética no solo por la magnitud del campo eléctrico E y magnético B sino tambien por sus direcciones. Se denomina dirección de polarización a la dirección en que apunta el campo E. Al plano que contiene a E y a la dirección de propagación, se le llamará Plano de Polarización. Ondas linealmente or plana-polarizadas

46 Observación en un punto fijo sobre el eje x E gira con la frecuencia angular constante: Polarización Circular E y Onda circularmente polarizada a derechas (en el sentido de las agujas del reloj) z x = const E y Onda circularmente polarizada a izquierdas (en el sentido contrario al del gido de las agujas del reloj) z

47 La luz no polarizada Dirección de E es aleatoria Fuentes naturales

48 Polaroides Son artefactos ópticos. En ellos existe una dirección llamada Eje de Transmisión. Una OEM incidente, que tenga una polarización orientada en dirección del eje óptico, se transmitirá completamente hacia el otro lado(el polarizador es transparente para las OEM con polarización paralela a su eje óptico Por otro lado, una OEM incidente, con polarización perpendicular al eje óptico, será absorbida completamente por el polarizador. En esta situación el polarizador es opaco a la onda. Para situaciones intermedias se puede descomponer la onda incidente en una con polarización paralela al eje óptico más otra con polarización perpendicular al eje óptico.

49 La onda transmitida tendrá su polarización paralela al eje óptico. Su magnitud será igual a la de la componente paralela al eje óptico: E E = cos θ I E trans inc I = I cos θ transm incid Ley de Malus La otra componente de la onda incidente será completamente absorbida E sin inc θ

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54 Polarización por reflexión Haz incidente Haz reflejado parcialmente polarizado Haz incidente Haz reflejado completamente polarizado θ = p 90 o ángulo de Brewster θ Haz refractado Haz refractado tanθ p = n n 1 Ley de Brewster

55 Para la proxima clase (10 de Agosto) Leer, aprender y tratar de entender: R.A. Serway & R.J. Beichner: FÍSICA para ciencias e ingeniería (Tomo II); Capítulo 35 La naturaleza de la lus y las leyes de la Óptica Geométrica La naturaleza de la luz, 35.3 La aproximación de rayos en la óptica geométrica, 35.4 Reflexión, 35.5 Refracción, 35.8 Reflexión total interna, Capítulo 36 Óptica Geométrica Imágenes formadas por espejos planos, 36.3 Imágenes formadas por refracción, 36.4 Lentes delgados, 36.7 El ojo, 36.8 El amplificador simple, El telescopio.