DISEÑO DE METAHEURÍSTICOS HÍBRIDOS PARA PROBLEMAS DE RUTAS CON FLOTA HETEROGÉNEA (2 Parte) : GRASP Y CONCENTRACIÓN HEURÍSTICA

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1 DISEÑO DE METAHEURÍSTICOS HÍBRIDOS PARA PROBLEMAS DE RUTAS CON FLOTA HETEROGÉNEA (2 Parte) : GRASP Y CONCENTRACIÓN HEURÍSTICA Cristina R. Delgado Serna Departamento de ECONOMÍA (Área de Economía Aplicada) Facultad de C. EE y EE C/Francisco Vitoria s/n BURGOS Universidad de BURGOS Tf cdelgado@ubu.es Resumen.- En este trabajo se proponen tres algoritmos Metaheurísticos para el problema de rutas con ventanas de tiempo, carga y descarga simultánea y flota heterogénea. Los dos primeros algoritmos se basan respectivamente en procesos de tipo GRASP y Concentración Heurística, -un tipo de Metaheurístico dado a coocer muy recientemente por Rosing, (1.997) y Rosing y ReVelle, (1.997)-. El tercer algoritmo es una estrategía híbrida que combina las ideas de los anteriores. Este trabajo es la continuación de uno anterior reciente,- Pacheco y Delgado (1.998)-, en el que se proponían para este modelo Metaheurísticos basados en procesos de Temple Simulado y Búsqueda Tabú, así como un híbrido de estos dos. Se simulan una serie de problemas y se compara las soluciones con las obtenidas por cada una de las estratégias anteriormente mencionadas, así como las obtenidas por otros algoritmos adaptados a este modelo. Palabras Clave: Metaheurísticos Híbridos, GRASP, Concentración Heurística, Problemas de Ruta con Flotas Heterogéneas 1.- Introducción El Problema de Rutas de Vehículos con Ventanas de tiempo y con Carga y Descarga Simultánea o sencillamente VRPTW Mixto (Mixed VRPTW) con flota heterogénea puede ser descrito de la 1

2 forma siguiente: considérese un conjunto de puntos {2, 3,..., n1} donde hay que entregar unas determinadas cantidades de mercancía q(i), i=2,...,n1, en forma de palés, desde un origen 1; además considérese otro conjunto de puntos {n1+1,n1+2,...,n1+n2} donde hay que recoger otras cantidades de palés q(i), i = n1+1,..., n1+n2, y llevarlas al origen 1. Para cumplir estos requerimientos se dispone de una flota heterogénea con diferentes tipos de vehículos; cada tipo de vehículo tiene una capacidades de carga diferente; cada punto del problema lleva asociado un intervalo de tiempo de visita [e i, l i ], i=2,...,n1+n2, (si se llega a i antes del instante e i hay espera, y no puede visitar más tarde del instante l i ). Las distancias d ij y tiempos t ij entre cada par de puntos i, j Î {1,2,...,n1+n2} son conocidas. (A partir de ahora n = n1+n2). En este problema se ha de diseñar un conjunto de rutas verificando las siguientes restricciones: - Cada ruta comience y finalice en el punto 1; - Se lleve la mercancía correspondiente a cada uno de los puntos del conjunto {2,..,n1}, y se recoja de cada uno de los puntos del conjunto {n1+1,n1+2,...,n1+n2}; - El número de palés que en cada momento deba llevar cada vehículo no supere su capacidad; - Cada punto i, i = 2,..,n1+n2, sea visitado exactamente una vez: - Se respeten los intervalos de tiempo de visita. El coste total a minimizar se descompone en dos partes: - Una parte proporcional a la distancia total recorrida. - El coste fijo por cada vehículo (según su tipo) Existen muchos algoritmos de solución para el VRP y el VRPTW en la literatura. Se pueden encontrar recopilaciones de los principales en trabajos como los de Bodin y Golden (1.981), Desrochers y otros (1.988), Haouri y otros (1.990), y Laporte (1.992). En cuanto al VRP (o VRPTW) Mixto con flota homogénea existen referencias en los trabajos de Pacheco, (1.994), (1.997) y Pacheco y Delgado, (1995) y (1.996), (1.997a) y (1.997b). En un trabajo reciente, Pacheco y Delgado, (1.998), se abordó un modelo más general al contemplar flotas heterogéneas (como en el trabajo actual); concretamente se proponían Metaheurísticos basados en procesos de Temple Simulado y Búsqueda Tabú. 2

3 El actual trabajo supone una continuación de este último, y se proponen metaheurísticos de tipo GRASP y Concentración Heurística para este modelo. Como otros metaheurísticos suponen una modificación o generalización de los procedimeintos de búsqueda local. Para describir brevemente estas estrategias consideremos un problema de optimización combinatoria definido por el par (S, f) donde S es el conjunto de soluciones factibles y f la función objetivo a minimizar. Así considérese N(s) el conjunto de soluciones vecinas de s. Los algoritmos de búsqueda local actuan de la forma siguiente: Seleccionar una solución inicial s 0 S. Repetir Seleccionar s N(s 0 ) tal que f(s) < f(s 0 ) por un método preestablecido Reemplazar s 0 por s hasta que f(s) f(s 0 ), s N(s 0 ). Las formas mas usuales de seleccionar s N(s 0 ) es explorar en todo N(s 0 ) y tomar el correspondiente al menor valor de f, (mayor descenso), o buscar aleatoriamente y seleccionar el primero que mejora la solución actual, (descenso aleatorio). El inconveniente de esta estrategia siempre descendente es que en la mayoría de los casos se convergen a mínimos locales que no son globales. A continuación se describen brevemente los Metaheurísticos propuestos en este trabajo. 2.- GRASP GRASP son las iniciales en inglés de Procedimientos de Búqueda Avidos Aleatorios y Adaptativos (Greedy Randomize Adaptive Search Procedures), y aunque inicialmente se dieron a conocer en el trabajo de Feo y Resende, (1.989) han tenido un desarrollo mas reciente que los otros metaheurísticos. Una amplia descripción se puede encontrar en el trabajo de los mismos autores, (1.995). Una aplicación al VRPTW lo tenemos en el trabajo de Kantoravdis, (1.995). Basícamente actuan de la forma siguiente Algoritmo GRASP Repetir 3

4 Construir una solución Avida Aleatoria (Fase de Construcción) Aplicar Búsqueda local a la solución obtenida (Fase de mejora) hasta alcanzar una condición de parada En la Fase de construcción se va añadiendo en cada paso un elemento hasta obtener la solución completa. La selección de cada elemento que se añade se realiza de forma aleatoria entre los mejores candidatos (Lista Restringida de Candidatos) según una función ávida o vóraz que valore en cada paso su inclusión en la solución teniendo en cuenta la función objetivo. Esto supone un equilibrio entre calidad y variabilidad de las soluciones obtenidas en la Fase de Construcción. La elección de cada elemento y por consiguiente la solución obtenida no es totalmente aleatoria ni totalmente determinística. Se espera obtener buenas soluciones iniciales de forma rápida que son mejoradas con procedimientos de búsqueda local. En nuestro caso la condición de parada se produce cuando trascurren 100 iteraciones sin mejora en las soluciones encontradas. Por otra parte la Lista Restringida de Candidatos estará fórmada por los elementos que se alejen menos del 40% del mejor candidato según la función voraz. 3.- Concentración Heurística Esta es la más reciente de las estrategias metaheurísticas y el objeto principal de este trabajo. Ha sido propuesta en los trabajos de Rossing, (1.997a), (1.997b) y (1.998) aplicándola al problema de las p-medianas. Consta de las dos fases siguiente: Algoritmo Concentración Heurística Fase I : Repetir Generar una solución aleatoria y aplicar Búsqueda local durante varias iteraciones Registrar las m mejores diferentes soluciones obtenidas (donde m es un parámetro preestablecido) Fase II : Definir CS (Conjunto de Concentración) como el conjunto de elementos que aparecen en alguna de dichas soluciones 4

5 Aplicar un método (exacto o heurístico) al problema original pero restringiendo la selección de elementos a CS Según el propio Rossing, (1.997b), 'cada óptimo local puede ser considerado como una fuente de información acerca de la estructura de una parte de la solución óptima. Se espera que un conjunto de aquellos den información sobre todas las partes de esta.' Por otra parte el Conjunto de Concentración (CS) se espera que sea bastante más reducido que el conjunto de elementos original, con lo cual la aplicación de un algoritmo exacto en el último paso puede no requerir un tiempo de computación excesivo. En este sentido Rossing, (1.997b) y (1.998) propone una variante consistente en descomponer CS en dos subconjuntos CS 0 (abierto) y CS f (libre); CS 0 es el conjunto de elementos que aparecen en todos los m óptimos locales seleccionados y CS f el conjunto de elementos que aparecen en alguno de ellos pero no en todos; posteriormente se resuelve el problema dejando fijos los elementos de CS 0 en la solución y seleccionando los elementos que quedan en CS f. De esta forma el tamaño del problema se reduce aún más. En nuestro caso vamos a considerar el número de iteraciones realizadas en la primera fase igual a 200, y el número de mejores óptimos locales considerados para obtener CS, m = Algoritmo híbrido Además se ha diseñado una estrategia híbrida consistente en utilizar en la primera Fase de la Concentración Heurística la estrategia GRASP para obtener óptimos locales, que se espera mejores que los obtenidos por soluciones iniciales totalmente aleatorias. Algoritmo Híbrido Fase I : Repetir Generar una solución Avida y aleatoria Aplicar Búsqueda local durante varias iteraciones Registrar las m mejores diferentes soluciones obtenidas Fase II : Determinar CS (Conjunto de Concentración) 5

6 Resolver al problema original restringiendo la selección de elementos a CS 5.- Resultados Computacionales Para contrastar la 'calidad' de la solución obtenido por los metaheurístico diseñados en este trabajo se han simulado 10 problemas con 1 origen, 9 puntos de descarga y 10 de recogida. Los datos de cada problema se definen de la forma siguiente: -Se asigna a cada punto del problema dos coordenadas x e y, cuyos valores son generados aleatoriamente con distribución uniforme entre 0 y 100. La distancia entre cada par de puntos se define como la distancia euclídea correspondiente. Los tiempos (en minutos) de trayecto se toman igual a la distancia (en Kms.). (Es decir consideramos una velocidad de 60 kms/hora). El coste por Km. es de 1 u.m. -A e i y l i, para i = 2,..,n1+n2, se les asigna respectivamente dos valores enteros aleatorios generados uniformemente: entre 600 y 720 (minutos) en el primer caso y entre 960 y 1080 en el segundo. Se hace e 1 igual a 480 y l 1 igual a A cada q(i), i = 2,..,n1+n2, se le asigna un valor entero generado uniformemente de forma aleatoria entre 1 y En todos los casos se supone dos tipos de vehículos, con capacidades 10 y 20, y con costes 1000 y 1200 u.m. respectivamente. Los algoritmos se han programado en PASCAL, utilizando los compiladores BORLAND PASCAL 7.0. A continuación se muestran los resultados: Algoritmo Coste Medio GRASP Concentración Heurística Híbrido

7 El proceso basado en Concentración Heurística supera a GRASP en los resultados medios, pero no en todos los resultados individuales. El híbrido de ambas estrategias supera (o al menos iguala) a ambas tanto en resultados medios como en conjunto. 4.- Referencias y Bibliografía BODIN.L.D. and GOLDEN,B.L. (1.981): "Classification in Vehicle Routing and Scheduling". Networks, vol.11, nº 2, DESROCHERS,M., LENSTRA,J.K. SAVELSBERGH,M.W.P. and SOUMIS,F. (1.988): "Vehicle Routing with Time Windows: Optimization and Approximation". In Vehicle Routing: Methods and Studies, (Studies in Management Sciences and Systems, vol.16), eds: GOLDEN,B.L. and ASSAD,A.A., Nort-Holland, FEO,T.A. and RESENDE,M.G.C. (1.989): "A Probabilistic heuristic for a computationally difficult Set Covering Problem". Operations Research Letters, 8, FEO,T.A. and RESENDE,MG.C. (1.995): "Greedy Randomized Adaptative Search Procedures". Journal of Global Optimization, 2, HAOUARI,M., DEJAX,P. et DESROCHERS,M. (1.990): "Les Problems de Tournées avec Contraintes des Fenênetres de Temps: L'Etat de l'art". Recherche Operationnelle/Operations Research, vol. 24, nº 3, LAPORTE,G. (1.992): "The Vehicle Routing Problem: An overview of exact and approximate algorithms". European Journal of Operations Research, 59, PACHECO,J. y DELGADO,C. (1.995). El Problema del Viajante con Carga y Descarga y Ventanas de Tiempo: Algoritmos heurísticos. XXII Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa. Sevilla, Noviembre

8 PACHECO,J. y DELGADO,C. (1.996). Adaptación del Algoritmo de Or al VRPTW con Carga y Descarga simultánea. X Reunión ASEPELT-ESPAÑA, Albacete, Junio PACHECO,J. y DELGADO,C. (1.997a). Metaheurístico para el VRPTW con carga y descarga simultánea. XXII Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa. Valencia, Abril PACHECO,J. y DELGADO,C. (1.997b). "Problemas de Rutas con Ventanas de tiempo y carga y Descarga simultánea: Diseño de Filtros para algoritmos de intercambio (caso de un sólo vehículo)". Estudios de Economía Aplicada, nº 7, pgs PACHECO y DELGADO, (1.998). Diseño de Metaheurísticos híbridos para Problemas de Rutas con Flota Heterogénea. XII Reunión ASEPELT-ESPAÑA. Córdoba. Junio ROSING,K.E. (1.997a). "Heuristic Concentration: An Introduction with Examples". The Tenth Meeting of the European Chapter on Combinatorial Optimization. Tenerife. Spain. May, ROSING,K.E. and REVELLE,C.S. (1.997b). "Heuristic Concentration: Two Stage solution Construction". European Journal of Operational Research 97, ROSING,K.E., REVELLE,C.S., ROLLAND,E., SCHILLING,D.A. and CURRENT,J.R. (1.998). "Heuristic Concentration and Tabu Search: A head to head comparison". European Journal of Operational Research 104,