Temas. La teoría de la medida se fundamenta en la física. Lo que se puede medir se denomina magnitud.

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES ENSEÑANZA DE LA FÍSICA: MECÁNICA MÓDULO #1: MAGNITUDES y UNIDADES Docente: Diego L. Aristizábal R. Profesor asociado con tenencia de cargo, adscrito a la Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín El ISQ y el SI Sobre el ángulo plano Análisis dimensional Cifras significativas Temas El ISQ y el SI La teoría de la medida se fundamenta en la física. Lo que se puede medir se denomina magnitud. Según el VIM (Vocabulario Internacional de Metrología) en su definición 1.1, Magnitud es una propiedad de un fenómeno, de un cuerpo o de una sustancia a la cual se puede asignar un número con relación a una referencia. Resumiendo: Magnitud es todo lo que se puede medir. El amor no es una magnitud. Aunque el VIM no diferencia expresamente entre magnitud y cantidad, es necesario decir que la primera se refiere a la abstracción del concepto y la segunda a una medida concreto. Ejemplo: Longitud, es una magnitud, el largo de la mesa es 4 m, es una cantidad. EL ISQ (Sistema Internacional de Cantidades -VIM 1.6-), por convención considera 7 las magnitudes fundamentales o magnitudes base (-V.I.M. 1.4-, magnitudes con las cuales se pueden construir todas las otras magnitudes, y entre ellas ninguna se puede expresar en función de las otras) y que son: Longitud (L), Masa (M), Tiempo (T), Corriente Eléctrica (I), Temperatura Termodinámica (), Cantidad de Sustancia (N) e Intensidad Luminosa (J). Cualquier magnitud Q se puede expresar como un producto de potencias de éstas 7 magnitudes, δ ρ ξ dim Q = L M T I θ N J [1] Estas son denominadas magnitudes derivadas. A la expresión anterior se le denomina ecuación dimensional de la magnitud Q o dimensión de la magnitud Q (VIM 1.7). El ISQ considera que la Mecánica solo necesita tres magnitudes fundamentales: Longitud (L), Masa (M) y Tiempo (T). Hay otros sistemas de magnitudes (V.I.M 1.3), que utilizan otras magnitudes como fundamentales; un ejemplo es el sistema técnico (ST), muy empleado en ingeniería en el que las magnitudes

2 fundamentales son: la fuerza (F), la longitud (L) y el tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes, dim Q = F L T [] Hay magnitudes sin dimensión (VIM 1.8), las cuales se denominan adimensionales o de dimensión 1, en las que todos los exponentes de la ecuación dimensional son ceros. Ejemplos: ángulo plano, ángulo sólido, índice de refracción, número de entidades (número de vueltas, número de oscilaciones, número de moléculas, número de espiras de una bobina, ), argumentos de funciones trascendentales (funciones trigonométricas, exponenciales, logaritmos, ) Las unidades de medida de las magnitudes fundamentales se denominan unidades fundamentales o unidades base (VIM 1.10). En la Tabla 1 siguiente se ilustran las unidades definidas por el SI (Sistema Internacional de Unidades, VIM 1.16), como fundamentales. Tabla 1 Magnitud base Dimensión Unidad básica Símbolo unidad Longitud L metro m Masa M kilogramo kg Tiempo T segundo s Corriente eléctrica I ampere A Temperatura termodinámica kelvin K Cantidad de sustancia N mol mol Intensidad luminosa J candela cd Unidades derivadas son las unidades de medida correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuación se dan algunos ejemplos correspondientes a SI: Área: m Volumen: m 3 Velocidad: m/s=m.s -1 Fuerza: N = kg.m.s - Energía: J=N.m= kg.m.s - Potencia: W=J.s -1 =kg.m.s -3 Ejemplo de unidades de magnitudes adimensionales: El radián: es la unidad de ángulo plano. rad x m=m rad/s=s -1 En la Tabla se presentan información sobre las unidades en el SI y las ecuaciones dimensionales en el ISQ de algunas magnitudes físicas.

3 Tabla MAGNITUD NOMBRE DE LA UNIDAD UNIDAD EN EL SI Área (A) m dim A = L Volumen (V) m 3 dim V = L 3 Densidad () Kg.m -3 dim = ML -3 Velocidad (V) m.s -1 dim V = LT -1 Aceleración (a) m.s - dim a = LT - ECUACIÓN DIMESNIONAL EN EL ISQ Fuerza (F) Newton (N) N=kg.m.s - dim F = MLT - Peso específico () dim = ML - T - Trabajo (W), Calor (Q), Energía (E) Joule (J) J=N.m=kg.m.s - dim W = dim Q = dim E = ML T - Torque () N.m dim = ML T - Potencia (P) Watt (W) W=J.s -1 =kg.m.s -3 dim P = ML T -3 Tensión superficial () N.m -1 =kg.s - dim = MT - Presión (P) Pascal (Pa) Pa=N.m - =kg.m -1.s - dim P = ML -1 T - Viscosidad () dim = L -1 MT -1 Cantidad de movimiento lineal (P) Kg.m.s -1 dim P = MLT -1 Cantidad de movimiento angular (L) Kg.m.s -1 dim L = ML T -1 Periodo (P) s dim P = T Frecuencia (f) Hertz (Hz) Hz=s -1 dim f = T -1 Posición angular () Rad dim = 1 Velocidad angular () Rad.s -1 =s -1 dim = T -1 Aceleración angular () Rad.s - =s - dim = T - Carga eléctrica (q) Coulomb (C) C=A.s dim q = IT Resistencia eléctrica (R) Ohmio (Ω) Ω=kg.m.s -3.A - dim R = ML T -3 I - Potencial eléctrico, Voltaje (V) Voltio (V) V=kg.m.s -3.A -1 dim V = ML T -3 I -1 Inducción Magnética (B) Tesla (T)) T=kg.s -.A -1 dim B = M.T -.I -1 Flujo magnético ( B ) Weber (Wb) Kg.m.s -.A -1 dim B = ML T - I -1 Flujo luminoso ( L ) Lumen (lm) lm=cd.sr -1 =cd dim L = J Iluminancia (i) Lux (lx) lx=lm.m - dim i=jl - 3 Sobre el ángulo plano Qués es 1 radián? Es un ángulo central cuyo arco correspondiente equivale a 1 radio de la circunferencia. En una circunferencia caben 6,8 radios es decir el ángulo central correspondiente a una circunferencia equivale a 6,8 radianes () y la longitud l c de la misma es igual a, l c = πr [3]

4 4 Figura Longitud de arco La longitud de un arco de circunferencia se calcula así, l = θ R [4] En donde el ángulo es el ángulo central correspondiente al arco y debe medirse en radianes. Ejemplo 1: Una rueda se traslada rodando sin deslizar y sin salirse de un plano. Si su radio es igual a 50 cm y da 10 vueltas calcular la distancia recorrida por ésta. En una vuelta recorre la longitud de su circunferencia que se calcula con la ecuación [3], l c = 6,8 radianes 0,50 m = 3,14 m En 10 vueltas recorre una distancia Δs, Δs = 10 3,14 m = 31,4 m Además habrá recorrido angularmente, Δθ = 10 6,8 radianes = 6,8 radianes Ejemplo : La pista de un CD es una espiral que comienza con un radio interior igual a 5 mm y termina con un radio exterior igual a 58 mm, Figura 3. El espaciamiento entre vueltas sucesivas de la pista es una constante, a = 1,6 μm. Estimar la longitud total de la pista.

5 5 Figura 3 Cada a = 1,6 μm hay una espira cuya longitud es r. La longitud de la espiral contenida en dr es igual a, ds = πr n en donde n es el número de espiras contenida en dr, Figura 3, dr n = a Por lo tanto, ds = πr dr a s 1 ds = a r 0 r1 πrdr s = π a r - r 1 Reemplazando, a=1,6x10-6 m, r 1 = 5x10-3 m y r =58x10-3 m se obtiene, s = 5,4 km El cálculo para un DVD da del orden de 1 km.

6 Análisis dimensional Ejemplo 3: Expresar la ecuaciones dimensionales en el ISQ de las siguientes magnitudes: área A, volumen V, rapidez v, aceleración a, fuerza F, energía E, potencia P. 6 En el ISQ las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 7 magnitudes base: Longitud (L), Masa (M), Tiempo (T), Corriente Eléctrica (I), Temperatura Termodinámica (), Cantidad de Sustancia (N) e Intensidad Luminosa (J), δ ρ ξ dim Q = L M T I θ N J [1] En este caso se tiene, El área se mide en unidades de longitud al cuadrado, por ejemplo, m, entonces, dima =L El volumen se mide en unidades de longitud al cubo, por ejemplo, m 3, entonces, 3 dimv =L En su forma más simple la rapidez se calcula como distancia sobre tiempo, entonces, L dim v = T -1 = LT La aceleración es el cambio de velocidad sobre el intervalo de tiempo que gastó en hacerlo, a= L dim Δv L dima = = T = = LT dim t T T - Δv t En su forma más simple F = ma, en donde F es la fuerza, m es masa y a aceleración, entonces, L dim F = dim m dim a = M. = MLT T - La dimensión de energía es la misma dimensión de trabajo W. En su forma más simple el trabajo se calcula como W = Fd, en donde F es fuerza y d distancia, entonces, - - dime = dimw = dimfdim d = MLT L = ML T

7 En su forma más simple la potencia se calcula como tiempo que se empleó para realzarlo, entonces, - dim W ML T dimp = = = ML T dim t T -3 P = W, en done W es el trabajo y t el intervalo de t Ejemplo 4: 7 Expresar la ecuación dimensional de la masa en el ST En el ST las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 3 magnitudes base: fuerza (F), longitud (L) y tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes, dim Q = F L T [] por lo tanto en el caso de la masa m, dim m = F L T 1 en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son, dim m = M dim F = MLT dim L = L dim T = T Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene, - M = MLT L T α α + β -α + γ M = M L T Por lo tanto, α = 1 α + β = 0 -α + γ = 0 α = 1; β = -1; γ =

8 1 dim m = F L T Ejemplo 5: Expresar la ecuación dimensional de la energía en el ST En el ST las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 3 magnitudes base: fuerza (F), longitud (L) y tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes, 8 dim Q = F L T [] por lo tanto en el caso de la energía E, dim E = F L T 1 en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son, dim E = ML T dim F = MLT dim L = L dim T = T Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene, - ML T = MLT L T α α + β -α + γ ML T = M L T Por lo tanto, α = 1 α + β = -α + γ = - α = 1; β = 1; γ = 0 dim E= F L

9 Ejemplo 6: Suponer que las magnitudes fundamentales de la mecánica son Fuerza (F), masa (M) y longitud (L). Con base en esto, expresar la ecuación dimensional de la potencia P. En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes, 9 dim Q = F L M por lo tanto en el caso de la potencia P, dim P = F L M 1 en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son, 3 dim P = ML T dim F = MLT dim L = L dim M = M Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene, 3 - ML T = MLT L M 3 α + γ α + β -α ML T = M L T Por lo tanto, α + γ = 1 α + β = -α = -3 3 α = ; 1 1 β = ; γ = dim P= F L M Homogeneidad dimensional Los términos de una ecuación deben cumplir la homogeneidad dimensional. Es decir, dada la ecuación,

10 A + B =C + D + EF se debe cumplir, dim(a)=dim(b)=dim(c)=dim(d)=dim(ef) Ejemplo 7: Determinar las dimensiones en el ISQ para I y para k en la siguiente ecuación, 10 x 0 1 dθ 1 Fdx = I + kv dt en donde F (Fuerza), velocidad (V), (ángulo plano), x (posición). Como, - dimf = MLT dim dx = L Entonces, dim x 0 Fdx = dimfdimdx = MLT.L = ML T - - Por lo tanto, con base en el teorema de homogeneidad dimensional se concluye que, dt 1 dθ - dim I = ML T (1) Y 1 - dim kv = ML T () De (1), dθ dim I = ML T dt -

11 dθ dimidim dt dim I 1 T - = ML T = ML T - dimi = ML 11 De (), - dim kv = ML T - dimkdim V = ML T L dimk = ML T T dimk = M - Ejemplo 8: Determinar las dimensiones en el ISQ de w y para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente homogénea. x = Asen wt+δ en donde A (amplitud, su dimensión es longitud) y t (tiempo). Como, dimx = L Se concluye del teorema de homogeneidad dimensional que, dim Asen wt+δ = L dim A = L Y como wt + δ es el argumento de una función trigonométrica es adimensional, dim wt+δ = 1

12 por lo tanto, dim wt = 1 (1) Y dimδ = 1 () De (1), 1 dimwdim t = 1 dim w T = 1 1 dimw = T Como se deducirá con los dos ejemplos siguientes, el principio de homogeneidad dimensional se puede emplear para predecir fórmulas. Ejemplo 9: Un experimentador está seguro que el periodo (P) de oscilación de un péndulo simple depende sólo de la longitud ( l ) y de la aceleración de la gravedad ( g ). Mediante un análisis dimensional mostrar que P cumple, P = C g l Como el periodo depende sólo depende de la longitud l y de la aceleración de la gravedad g se concluye de la homogeneidad dimensional que éste es proporcional a l α y β g, es decir: α β P = C l g en donde C es una constante de proporcionalidad adimensional. Como, dimp = T dim l = L entonces, dimg = L T por lo tanto,

13 α β l dimg dim P = dim α - β T = L. LT α+β -β T = L.T Concluyéndose, α + β = 0 -β = α =, 1 β = - obteniéndose, P = C l 1 1 g P = C g l Ejemplo 10: Un sólido moviéndose en el seno de un líquido experimenta una fuerza de resistencia F como consecuencia del rozamiento, que es proporcional a su rapidez V, siempre que ésta sea pequeña. Esa fuerza podrá depender además de los parámetros que caracterizan el sistema, que son: la densidad ρ, su viscosidad η y el radio r del sólido supuesto esférico. Todo lo anterior se expresa diciendo que la fuerza de resistencia deberá ser de la forma: F = Cρ η r V siendo C una constante numérica adimensional. Mostrar mediante análisis dimensional que la fuerza viscosa F no depende de la densidad y que tiene la forma: F = C η r V Debido a la homogeneidad dimensional, dimf = dimρ η r V Ahora,

14 dimf = MLT -3 dimρ = ML dimr = L 1 dimv = LT 14 Para deducir la dimensión de viscosidad, se puede consultar sus unidades (en un texto de física o en la Internet): Pa.s=N.s.m -. Con base en esta información se deduce que, dim η = MLT T L = ML T Por lo tanto, dimf = dimρ η r V α β γ MLT = ML ML T L LT α+β -3α - β + γ β - 1 MLT = M L T α + β = 1-3α - β + γ + 1 = 1 -β -1 = - α = 0, β = 1, γ = 1 F = C η r V Cifras significativas Cuando se resuelven ejercicios en ciencias naturales frecuentemente se encuentra con que el resultado de los cálculos tiene demasiados dígitos. Se tiende a pensar que mientras más dígitos posea la respuesta más exacto es su resultado. Nada más lejos de la realidad. La exactitud de un resultado tiene que ver principalmente con los instrumentos que se usan para realizar las mediciones. La razón es sencilla, hay instrumentos que tienen mayor apreciación que otros. Hay balanzas que pueden medir la masa con un margen de incertidumbre de ± 0,01 g mientras que otras pueden hacerlo con un margen de ± 0,0001 g. Así que, el número de dígitos en el resultado no debe indicar más apreciación (es decir, menos incertidumbre) que lo que realmente permitieron las mediciones que se realizaron.

15 15 Figura 4 Qué son cifras significativas? Se les llama cifras significativas (también dígitos significativos) al número de todos los dígitos conocidos reportados en una medida, más el último dígito que es incierto (estimado). Es decir, el número de cifras significativas se debe interpretar como la seguridad en todas las cifras excepto en la última que se considera dudosa. Por ejemplo en la Figura 4 se puede afirmar que el volumen de líquido está entre 41 cm 3 y 4 cm 3. Se puede estimar que es 41,3 cm 3 o 41,4 cm 3. Como se concluye, en una medida el último dígito es estimado y por lo tanto incierto. La medida de este volumen tiene 3 cifras significativas. Reglas para determinar el número de cifras significativas Regla 1 Todos los dígitos distintos de cero son cifras significativas. Ejemplo 11: 8 35,6 g tiene seis cifras significativas Regla Los ceros que están entre dos dígitos distintos de cero son cifras significativas. Ejemplo 1: 078,300 6 s tiene ocho cifras significativas.

16 Regla 3 Los ceros situados a la derecha de la coma y después de un dígito distinto de cero son cifras significativas. Ejemplo 13: 7,30 g tiene 3 cifras significativas. Regla 4 16 Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra distinta de cero, no son cifras significativas, solo indican la posición del punto decimal. Ejemplo 14: 0,034 5 g tiene tres cifras significativas Regla 5 Para números enteros, sin decimales, los ceros situados a la derecha del último dígito distinto de cero pueden o no ser cifras significativas. Si se utiliza las potencias de 10 (notación exponencial) se evita esta ambigüedad. Ejemplo 15: 300 tiene cuatro cifras significativas. Si por alguna razón se considera que sólo tiene dos cifras significativas se deberá escribir,3x10 3. Regla 6 Las potencias de 10 se usan para marcar las cifras significativas. Ejemplo 16:,35x10 tiene tres cifras significativas;,4x10 tiene dos cifras significativas. Regla 7 Números que resultan de contar o constantes definidas, tienen infinitas cifras significativas. Ejemplo 17: Se contaron carros. Esa medida tiene infinitas cifras porque es un número exacto

17 Reglas para aplicar en las operaciones Regla 1 La cantidad de cifras significativas con que debe escribirse el resultado de un producto o un cociente es igual a la cantidad más pequeña de cifras significativas que tenga cualquiera de los números que se multiplican o dividen. 17 Regla Para reportar con el número correcto de cifras significativas el resultado de una SUMA (o una RESTA), donde los sumandos son resultados de mediciones previas, se redondea el resultado teniendo en cuenta el sumando que posee la menor cantidad de cifras decimales. Es decir, el resultado debe tener el mismo número de posiciones decimales que el sumando que tiene menos decimales. Regla 3 El resultado de operar con las funciones trascendentes, como el seno, la arcotangente, la función logarítmica, la función exponencial, etc., se escribe con el mismo número de cifras significativas que tenga el argumento. Regla 4 Al convertir unidades se debe mantener el número de cifras significativas. Y para qué sirven todas estas reglas? Ejemplo 18: Suponer que se tiene que medir la densidad del líquido de la figura 1. Ya se midió el volumen que es 41,3 cm³ (tiene tres cifras significativas). Si al medir la masa del líquido se obtiene de 38,79 g (medida con 4 cifras significativas) la densidad se calcula así: m 38,79 g g ρ = = = 0, V 41,3 cm cm 3 3 Se redondea al número menor de cifras significativas que es tres y por lo tanto la densidad es, g ρ = 0,939 cm 3 Ejemplo 19: La ley de Snell expresa que si un rayo de luz incide formando un ángulo φ desde un medio de índice de refracción n hacia un medio de índice de refracción n, el ángulo φ con el cual se refracta cumple,

18 senφ = n senφ n Sí n=1,33, n = 1,54, o φ = 30,5 calcular φ. o 1,33 sen 30,5 senφ = 1,54 18 senφ = 0, o φ = 5,997 Con tres cifras significativas, o φ = 6,0 Lectura de instrumentos digitales En la Figura 4 se ilustró la lectura de un instrumento análogo. En el caso de instrumentos digitales la lectura de la medición se reportará con tantas cifras significativas como las que despliega la pantalla del instrumento. Por ejemplo en la Figura 5 la lectura de voltaje en este multímetro digital es 189,6 V. Figura 5 FIN