DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL DE UN BANCO DE POTENCIA PARA MOTOCICLETAS

Transcripción

1 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA-ICAI Título de Ingeniero en Automática y Electrónica Industrial PROYECTO FIN DE CARRERA DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL DE UN BANCO DE POTENCIA PARA MOTOCICLETAS Directores: Juan Luis Zamora Macho y Pablo Arias Aróstegui Autor: Ignacio Pérez Pereira Junio 27

2 Índice ÍNDICE Capítulo 1 Introducción y objetivos del proyecto Introducción y motivación Objetivos del proyecto Metodología y recursos Estructura de la memoria... 1 Capítulo 2 Identificación del conjunto freno + moto Introducción Resultados de la identificación del modelo mando-presión Modelo identificado para constante proporcional KP= Modelo de segundo orden con integrador Modelo de segundo orden con integrador y con un cero Comparaciones Modelo identificado para constante proporcional KP= Modelo identificado para constante proporcional KP= Comparación y validación de modelos Comparación de las funciones de transferencia Comparación de las respuestas a un escalón unitario en lazo abierto Comparación de las respuestas en frecuencia en lazo abierto Comparación de las respuestas a un escalón unitario en lazo cerrado Comparación de las respuestas en frecuencia en lazo cerrado Conclusiones Modelo en lazo cerrado entre referencia de presión y presión

3 Índice 2.4 Proceso de identificación del modelo presión-velocidad Introducción Identificación paramétrica Estimación de la componente determinista Estimación de la componente estocástica Discretización de los modelos Modelo presión-velocidad Modelo referencia de presión-presión en tiempo discreto Obtención del modelo entre referencia de presión y velocidad Capítulo 3 Control predictivo funcional Introducción al control predictivo Conceptos básicos Elementos básicos Modelo de predicción Modelo del proceso Modelo de las perturbaciones Respuesta libre y forzada Función objetivo Trayectoria de referencia Restricciones Ley de control Fundamento teórico del PFC Trayectoria de referencia Cálculo de la respuesta libre Perturbaciones Ley del control

4 Índice Capítulo 4 Diseño del control PFC Diagrama de bloques del control PFC Obtención de la velocidad deseada de la moto Estimación de estado de la planta Obtención de la respuesta libre de la planta Cálculo de la ganancia K Estimación de la componente determinista y estocástica Predictor del error Parámetros de diseño Influencia y ajuste de los parámetros del diseño Seguimiento de una referencia constante Seguimiento de una señal cuadrada Comprobación entre el diseño del control predictivo PFC y el obtenido en el proyecto sin el lazo interno de control de presión Comparación con un control PD Comparación del control predictivo PFC con un control PD Comparación de un control PD con el del proyecto sin cerrar el lazo interno de control de presión Comparación del control predictivo con un control PD y con los diseños obtenidos en el proyecto sin lazo interno Generalización de ficheros empleados en el PFC Capítulo 5 Implantación del control PFC Implantación del control PFC Descripción general Descripción detallada La planta

5 Índice La referencia El regulador Resultados obtenidos con el fichero de simulación Comprobación de la equivalencia de ficheros Interfaz para identificación y simulación Ensayos Simulaciones Capítulo 6 Conclusiones y trabajos futuros Capítulo 7 Pliego de condiciones Condiciones generales Condiciones económicas Condiciones técnicas y particulares Capítulo 8 Presupuesto Coste de ingeniería Coste de recursos empleados Capítulo 9 Agradecimientos Capítulo 1 Bibliografía Anexo 1 Ficheros de Matlab Anexo 2 Ficheros de Simulink Anexo 3 Generalización de ficheros

6 Capítulo 1 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS DEL PROYECTO 1.1. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN Un banco de potencia es un equipo de ensayo que sirve para obtener la curva par-velocidad de un motor de combustión. Es útil para las competiciones de velocidad, para talleres y fabricantes de, ya que permite estudiar como influyen en el rendimiento las variaciones que se hacen en el motor, para poder hacer una puesta a punto óptima. En la figura 1.1 se representan tres curvas de potencia típicas de diferentes medidas mediante un banco de potencia. Figura 1.1: Representación gráfica de tres curvas de potencia En el mercado existen dos tipos de bancos de potencia para medir las características del motor de una motocicleta sin tener que desmontarlo. En ambos casos se hace funcionar la moto sobre una rueda o rodillo que absorbe la potencia de ésta y se miden el par y la velocidad transmitidos. La distinción entre ambos tipos se realiza en función de la forma de absorber la potencia entregada: 4

7 Capítulo 1 Bancos de potencia inerciales, en los que la potencia de la moto se invierte en acelerar un rodillo de gran inercia. Llegan a pesar hasta 3 Kg., lo que implica un alto coste de fabricación debido al material y al imprescindible equilibrado. Bancos de potencia con frenos electromagnéticos, que como indica su nombre, la potencia es absorbida por un freno electromagnético. Tienen un coste elevado pero tienen la ventaja de ofrecer un par de frenado creciente con la velocidad, lo que implica que el equilibrio par_motor / par_resistente sea un equilibrio estable, es decir, si la moto coge más velocidad, el freno ofrece más resistencia, por lo que la moto vuelve a la velocidad de equilibrio OBJETIVOS DEL PROYECTO Este proyecto estudia la posibilidad de fabricar un banco de potencia con un freno de fricción. Este sistema abarataría considerablemente los costes de fabricación, ya que el conjunto rueda-buje-freno (disco y pinza) se encuentra enormemente extendido gracias al mundo del automóvil. No obstante, esto plantea un gran problema al ser el par resistente del freno independiente de la velocidad. Mantener la moto en un punto de trabajo dado implica que el freno realice correcciones constantemente (equilibrio inestable). El principal objetivo del presente proyecto consiste en el diseño de un sistema basado en un control predictivo que consiga mantener la velocidad de la moto en un punto de trabajo. Para ello hay que conseguir rechazar el considerable efecto negativo de la perturbación correspondiente al par que ejerce la moto sobre el rodillo. Este control es un control óptimo, ya que se basa en la optimización de una función de coste que pesa negativamente los errores de seguimiento. 5

8 Capítulo 1 Para ello es necesaria la identificación de un modelo ( véase la siguiente figura ) mediante ensayos procedentes del banco de potencia, al que aplicar el control predictivo de velocidad. Figura 1.2: Control de velocidad En este sistema, la aplicación de un control predictivo es idónea, al ser conocida de antemano la referencia de velocidad durante el ensayo. El esquema general que explica el funcionamiento del control predictivo se muestra en la figura 1.3. Entradas y salidas pasadas Modelo Salida predicha Trayectoria de referencia + Entradas futuras Optimizador Errores futuros Función de coste Restricciones Figura 1.3: Esquema general de un control predictivo 6

9 Capítulo 1 El modelo es usado para predecir las salidas futuras de la planta y está basado en los valores pasados y actuales de las salidas y entradas del sistema, la relación entre ellas y la señal obtenida del optimizador. La salida obtenida del modelo se compara con la trayectoria de referencia y, a partir del error existente entre ambas y las restricciones que se consideran, el optimizador minimiza la función de coste, de tal modo, que se obtiene el mando óptimo que se ha de aplicar al sistema para seguir la trayectoria deseada. En este proyecto se plantean varios objetivos fundamentales: Objetivos del actual proyecto Nueva identificación del sistema (freno + moto) en un punto de trabajo (14 m/s) mediante 2 reguladores. Identificación de un regulador del modelo en lazo abierto entre Mando- Presión mediante el método AJUSTE de Matlab y cerrar el lazo de control con una referencia de presión como entrada, obtenida en un ensayo del banco de potencia y una constante proporcional K=1. Identificación de un regulador del modelo Presión-Velocidad mediante el método ident de Matlab. Diseño de un control predictivo con Matlab Implantación de un control predictivo en un punto de trabajo concreto. Ajuste de los parámetros del control para conseguir el control óptimo, que estabilice la velocidad en un punto de trabajo, mediante la simulación en Simulink. 7

10 Capítulo 1 Comparación del control predictivo obtenido con el modelo en lazo abierto entre mando y presión del proyecto sin lazo interno de control de presión. Diseño de un control PD y comparación con el control predictivo. A partir de un sistema de control predictivo ya existente, automatizar los ficheros de diseño y simulación para posteriores proyectos con el fin de unificar criterios, y no depender de los modelos identificados en proyectos anteriores. Objetivos de proyectos futuros Implantación del control en el sistema real. Validación del control con ensayos en el banco de potencia real Diseño de un control adaptativo a partir de los ficheros generalizados El hecho de que la moto se comporta de forma diferente en función de su velocidad, y que el banco de potencia debe funcionar con distintos modelos de motocicleta hace necesario que el sistema de control del freno sea adaptativo, es decir, debe analizar el comportamiento de la planta (moto + freno) en tiempo real y ajustar los parámetros del control, optimizando el rechazo de perturbaciones (par motor) y el seguimiento de la referencia de velocidad según los criterios de diseño METODOLOGÍA Y RECURSOS Existe un prototipo del banco de potencia en el que se han realizado una serie de ensayos, registrándose las señales de mando, fuerza en la rueda delantera de la moto y velocidad del rodillo. El autor del presente proyecto realiza la identificación y diseño del control con estos datos. Una vez conseguido el regulador adecuado se 8

11 Capítulo 1 consigue así calcular la potencia para ese régimen de velocidad de la moto mediante el siguiente cálculo: Potencia = Fuerza * Velocidad Figura 1.4: Prototipo del banco de potencia La figura 1.4 corresponde al prototipo, que dispone del sensor de fuerza y el actuador (motor de corriente continua) que aplica el mando en el freno de disco. Los recursos utilizados para poder llevar a cabo los objetivos impuestos son los siguientes: Motor de corriente continua, que aplica el mando sobre el buje del freno mediante un cable. Dinamo taquimétrica para medida de la velocidad y que suministra una tensión proporcional a la velocidad del motor. Codificador incremental: proporciona un tren de impulsos que, mediante un conversor de frecuencia-tensión, suministra al ordenador una medida de la velocidad. 9

12 Capítulo 1 Reductor de velocidad Recursos software Entorno de Matlab (versión 7.1), Simulink (R14) y Toolbox de identificación (versión 5) Recursos hardware PC con procesador Pentium IV para realizar las simulaciones ESTRUCTURA DE LA MEMORIA En el capítulo 2 se detalla el procedimiento para obtener un modelo del conjunto freno + moto que describa su comportamiento teniendo en cuenta la componente determinista y estocástica del sistema y su influencia en la velocidad (salida y variable a controlar en el sistema). El objetivo es obtener un conjunto de ecuaciones matemáticas que aproximen el comportamiento del conjunto freno + moto lo más fielmente posible y siempre considerando al banco como un sistema con una entrada (mando (referencia de presión) en el freno) y una salida (velocidad de la moto o también del rodillo). En el capítulo 3 se explican las características generales de las diferentes variantes de controles predictivos disponibles y especialmente del control predictivo funcional, que es el aplicado en este proyecto. En el capítulo 4 se describe la implementación del control y las simulaciones realizadas. Se hace una comparación con un control convencional con acción proporcional y diferencial (PD). Como conclusión se compara el control óptimo obtenido con el control predictivo del proyecto sin el lazo de control interno de presión, con el fin de justificar las mejoras que se propusieron al inicio del proyecto. También se muestran los ficheros generalizados, tanto para el diseño 1

13 Capítulo 1 del control como para su implementación en el banco de potencia, con el fin de poder realizar futuras pruebas con nuevos modelos identificados, y en consecuencia, con distinto número de parámetros. En el capítulo 5 se describe el fichero de Simulink utilizado para implantar el control y la herramienta desarrollada para poder probar cualquier simulación que se desee de una forma rápida y sencilla. En el capítulo 6 se sacan las conclusiones. En el capítulo 7 está el pliego de condiciones. En el capítulo 8 se detalla el presupuesto. En el anexo 1 se muestran los diferentes programas de Matlab utilizados. En el anexo 2 se muestran los diagramas de simulink empleados. En el anexo 3 se muestran los ficheros finales generalizados tanto para diseño del control como su posterior implantación, con los pasos necesarios para utilizarlos. 11

14 Capítulo 2 2. IDENTIFICACIÓN DEL CONJUNTO FRENO + MOTO 2.1 INTRODUCCIÓN Para la identificación del banco de potencia se dispone de 2 tipos de ensayo en torno a un mismo punto de trabajo. El primer ensayo tiene registradas las señales de referencia de presión, mando y una medida de presión de la rueda de la moto, y será el empleado para diseñar el primer regulador, basado en un modelo en lazo cerrado entre referencia de presión y presión, identificado con el método AJUSTE de Matlab. El modelo se identifica en tiempo continuo con un periodo de muestreo de.1 segundos para posteriormente discretizarse con un tiempo de muestreo de.4 segundos. El segundo ensayo tiene registradas las señales de medida de presión, velocidad y una referencia de presión distinta de la obtenida en el primer ensayo, y será el empleado para diseñar el segundo regulador, basado en un modelo identificado entre presión y velocidad con el comando ident de Matlab. El periodo de muestreo es de.4 segundos. Posteriormente se juntan los modelos de los 2 reguladores diseñados y ese será el modelo definitivo de la planta identificada entre referencia de presión y velocidad, empleada en el diseño del control predictivo y en el resto de objetivos propuestos en el proyecto. A continuación se describe con mayor profundidad el modelo físico del banco de potencia donde el mando será la referencia de presión y la salida la velocidad. Al actuador del freno le llega la señal de mando, que mediante una función de transferencia se traduce en el par de frenado. La diferencia de este par y el resistente de la moto conlleva una aceleración y por lo tanto variación de la velocidad. Este proceso físico corresponde al diagrama de bloques de la figura. 12

15 Capítulo 2 Figura 2.: Diagrama de bloques del conjunto freno + actuador 2.2 Resultados de la identificación del modelo mando-presión En esta sección se muestran los resultados que se han obtenido al identificar el modelo a partir de las señales registradas durante los distintos ensayos para los distintos valores de K realizados en el banco de potencia, tomando como entradas para el modelo el mando o la referencia de presión, en función de que el ensayo fuera en lazo abierto o cerrado, respectivamente. Para la identificación del modelo se realizaron ensayos de seguimiento de una referencia ( mando ) con control proporcional. Además se registran los resultados del ajuste por mínimos cuadrados del mando y la presión (comparando la señal real, la simulada y el error entre ambas) Modelo identificado para constante proporcional KP=1 En el siguiente apartado se muestran los modelos identificados para los distintos valores de K, con las gráficas y funciones de transferencia del mando y la presión, para la identificación de la planta. Antes de realizar el estudio de los distintos ensayos, conviene aclarar el modelo empleado en la identificación entre mando y presión. 13

16 Capítulo Modelo de segundo orden con integrador En la identificación de la planta se empleó un modelo distinto a una integración ( ver Figura 1 ) debido a la necesidad de eliminar los efectos que producía una señal de offset en el registro del mando: th(1) s.( th(2) s + 1) Figura 2.1: Modelo de segundo orden con integrador A continuación se muestra la tabla ( Tabla 1 ) de los parámetros obtenidos para los distintos ajustes realizados en función de escalón de subida y de bajada con el modelo de la Figura 2.1: El ajuste del modelo se realiza con tiempo de muestreo ts=1 seg en los ficheros prep_datos.m y ajuste.m adjuntos en el Anexo de programas, por el contrario los ensayos y datos de entrada han sido obtenidos con ts=.1 seg, por lo que los parámetros sufrirán las siguientes modificaciones: 14

17 Capítulo 2 th( 1) K Th(1)_def= = ζ Th(2)_def=th(2)*.1= th(2) *.1 = Th(3)_def= th(3)*.1=t*.1 w n 1 Ajuste Escalón Th1 Th2 Error 1 Subida e-1 2 Subida e-1 3 Subida e-1 Media Subida e-1 1 Bajada e-1 2 Bajada e-1 3 Subida e-1 Media Bajada e-1 Media Subida y Bajada e-1 Tabla 1: Comparación de parámetros y error cuadrático medio Posteriormente se comparan, tanto para escalón de subida como de bajada, la señal de presión registrada durante el ensayo y la obtenida mediante simulación usando el modelo identificado y el error entre ambas señales. 15

18 Capítulo 2 25 Ensayo K=1 2 Amplitud 15 1 señal real señal simulada error entrada Tiempo(seg) Figura 2.2: Identificación del modelo entre mando y presión escalón de subida 5 Ensayo K=1 Amplitud -5-1 señal real señal simulada error entrada Tiempo(seg) Figura 2.3: Identificación del modelo entre mando y presión escalón de bajada 16

19 Capítulo Modelo de segundo orden con integrador y con un cero Para la identificación de los parámetros entre el mando y la velocidad se empleó una función de transferencia ( ver Figura 2.1 ) pero viendo las respuestas del ajuste del modelo mando-presión y la dinámica del sistema, se decidió añadir al modelo de ajuste un cero con constante de tiempo pequeña ( ver Figura 2.4 ): th(1)( th(3). s + 1) s.( th(2) s + 1) Figura 2.4: Modelo de segundo orden con integrador y con un cero A continuación se muestra la tabla ( Tabla 2 ) de los parámetros obtenidos para los distintos ajustes realizados en función de escalón de subida y de bajada con el modelo de la Figura 2.4: Ajuste Escalón Th1 Th2 Th3 Error 1 Subida e-1 2 Subida e-1 3 Subida e-1 Media Subida e-1 1 Bajada e-1 17

20 Capítulo 2 2 Bajada e-1 3 Subida e-1 Media Bajada e-1 Media Subida y Bajada e-1 Tabla 2: Comparación de parámetros y error cuadrático medio A continuación se comparan, tanto para escalón de subida como de bajada, la señal de presión registrada durante el ensayo y la obtenida mediante simulación usando el modelo identificado y el error entre ambas señales. 25 Ensayo K=1 2 Amplitud 15 1 señal real señal simulada error entrada tiempo(seg) Figura 2.5: Identificación del modelo entre mando y presión escalón de subida 18

21 Capítulo 2 5 Ensayo K=1 con cero Amplitud -5-1 señal real señal simulada error entrada Tiempo(seg) Figura 2.6: Identificación del modelo entre mando y presión escalón de bajada Comparaciones El resultado de la comparación de modelos nos lleva a decidir que el modelo empleado para el ajuste en el resto de ensayos y para distintos escalones, será el modelo de segundo orden con integración y con cero. Analizando los resultados se comprueba que el modelo finalmente elegido tiene menor error cuadrático medio, tanto para escalón de subida como de bajada, y el ajuste de los parámetros es más satisfactorio, como se ve en las Figuras 2.3, 2.4, 2.5 y 2.6 mostradas anteriormente. Modelo descartado th(1) s.( th(2) s + 1) Escalón Th1 Th2 error Media Subida y Bajada e-1 19

22 Capítulo 2 Modelo elegido th(1)( th(3). s + 1) s.( th(2) s + 1) Escalón Th1 Th2 Th3 error Media Subida y Bajada e-1 En la identificación de la planta se obtuvo la siguiente función de transferencia, en función de los parámetros mostrados en la tabla 2. Por lo tanto, la función de transferencia del modelo mando-presión es la que se muestra a continuación: F( s) = K(1 + T. s) 2. ξ. s s. + 1 wn th(1)(1 th(3). s) 5.585( s) = = s. ( th(2). s + 1) s.( s + 1) El error cuadrático medio obtenido en el ajuste entre mando y presión fue Modelo identificado para constante proporcional KP=2 En esta sección se muestran los modelos identificados, con las gráficas y función de transferencia entre el mando y la presión obtenidas durante el proceso de identificación de la planta. 2

23 Capítulo 2 A continuación se muestra la tabla ( Tabla 3 ) de los parámetros obtenidos para los distintos ajustes realizados en función de escalón de subida y de bajada con el modelo de segundo orden con integrador y con un cero de la Figura 4: Ajuste Escalón Th1 Th2 Th3 Error 1 Subida e-1 2 Subida e-1 3 Subida e-1 Media Subida e-1 1 Bajada e-1 2 Bajada e-1 3 Bajada e-1 Media Bajada e-1 Media Subida y Bajada e-1 Tabla 3: Comparación de parámetros y error cuadrático medio La figura 2.7 compara la señal de posición registrada durante el ensayo y la obtenida mediante simulación usando el modelo identificado y el error entre ambas señales para un escalón de subida. 21

24 Capítulo 2 25 Ensayo K=2 2 Amplitud 15 1 señal real señal simulada error entrada Tiempo(seg) Figura 2.7: Identificación del modelo entre mando y presión escalón de subida 5 Ensayo K=2-5 Amplitud Tiempo(seg) Figura 2.8: Identificación del modelo entre mando y presión escalón de bajada 22

25 Capítulo 2 Parámetros finales del modelo mando-presión para el ensayo con constante proporcional KP=2. Escalón Th1 Th2 Th3 error Media Subida y Bajada e-1 En la identificación de la planta se obtuvo la siguiente función de transferencia, en función de los parámetros mostrados en la tabla 3. Por lo tanto, la función de transferencia del modelo mando-presión es la que se muestra a continuación: F( s) = K(1 + T. s) 2. ξ. s s. + 1 wn th(1)(1 th(3). s) 5.426( s) = = s. ( th(2). s + 1) s.( s + 1) El error cuadrático medio obtenido en el ajuste entre mando y presión fue Modelo identificado para constante proporcional KP=3 En esta sección se muestran los modelos identificados, con las gráficas y función de transferencia entre el mando y la presión obtenidas durante el proceso de identificación de la planta. 23

26 Capítulo 2 A continuación se muestra la tabla ( Tabla 4 ) de los parámetros obtenidos para los distintos ajustes realizados en función de escalón de subida y de bajada con el modelo de la Figura 2.2: Ajuste Escalón Th1 Th2 Th3 Error 1 Subida e-1 2 Subida e-1 3 Subida e-1 Media Subida e-1 1 Bajada Bajada Bajada e-1 Media Bajada Media Subida y Bajada Tabla 4: Comparación de parámetros y error cuadrático medio La figura 2.9 compara la señal de posición registrada durante el ensayo y la obtenida mediante simulación usando el modelo identificado y el error entre ambas señales para un escalón de subida. 24

27 Capítulo 2 25 Ensayo K=3 2 Amplitud señal real señal simulada error entrada Tiempo(seg) Figura 2.9: Identificación del modelo entre mando y presión escalón de subida 5 Ensayo K=3-5 Amplitud Tiempo(seg) Figura 2.1: Identificación del modelo entre mando y presión escalón de bajada 25

28 Capítulo 2 Parámetros finales del modelo mando-presión para el ensayo con constante proporcional KP=3. Escalón Th1 Th2 Th3 error Media Subida y Bajada En la identificación de la planta se obtuvo la siguiente función de transferencia, en función de los parámetros mostrados en la tabla 4. Por lo tanto, la función de transferencia del modelo mando-presión es la que se muestra a continuación: F( s) = K(1 + T. s) 2. ξ. s s. + 1 wn th(1)(1 th(3). s) 5.494( s) = = s. ( th(2). s + 1) s.( s + 1).822. El error cuadrático medio obtenido en el ajuste entre mando y presión fue Comparación y validación de modelos En esta sección se comparan los modelos identificados para el conjunto mandopresión con los distintos valores de la constante proporcional KP en los ensayos de lazo cerrado realizados en el banco de potencia, con el fin de seleccionar el modelo más 26

29 Capítulo 2 apropiado. Para la identificación del modelo se aplicaron diferentes escalones tanto de subida como de bajada en la entrada Comparación de las funciones de transferencia En la tabla 5 se muestran las funciones de transferencia identificadas para la planta por medio de las señales comentadas anteriormente. Se puede observar como en todos los casos existe una constante de tiempo bastante pequeña y que los modelos tienen unos valores de los parámetros muy similares. KP=1 KP=2 KP=3 Modelo 5.585( s) Mando-presión s.( s + 1) 5.426( s) s.(.7454s + 1) 5.494( s) s.( s + 1) Tabla 5:Comparación de las funciones de transferencia Comparación de las respuestas a un escalón unitario en lazo abierto En esta sección se comparan las respuestas a un escalón unitario en lazo abierto para los diferentes modelos identificados en función de la constante proporcional KP que se le aplique al modelo mando-presión en el ensayo. 27

30 Capítulo 2 6 Step Response KP=1 KP=2 KP=3 4.5 Amplitude Time (sec) Figura 2.11 ; Respuesta al escalón en lazo abierto a partir de ensayos realizados con distintos valores de KP En la figura 2.11 se muestra, para los diferentes modelos identificados, la respuesta a un escalón unitario en lazo abierto ( eliminando la integración en la planta a la hora de realizar la respuesta ante para poder representarla adecuadamente ), y se puede verificar que las respuestas para los diferentes modelos identificados tienen una dinámica similar, siendo el ensayo realizado con KP=1 el más rápido de los tres, en parte por tener una constante de tiempo más pequeña Comparación de las respuestas en frecuencia en lazo abierto En esta sección se comparan los modelos a partir de las respuestas en frecuencia de lazo abierto: diagramas de Black y Bode. 28

31 Capítulo 2 Diagrama de Bode En la figura 12 se muestra el diagrama de Bode (ganancia y fase) de la respuesta en frecuencia en lazo abierto para todos los modelos identificados. En esta comparación se aprecia que los modelos con Kp=2 y Kp=3 son muy parecidos en fase, mientras que en ganancia se diferencian principalmente en la magnitud, puesto que la dinámica demuestra que los modelos son muy parecidos. Por el contrario, el modelo para KP=1 es diferente tanto en fase como en ganancia debido a que su constante de tiempo no se parece a la de los otros dos modelos. También se observa que hasta 5 Hz los modelos no se diferencian apenas. Es importante tener en cuenta el rango de frecuencias donde es más fiable cada modelo en función del contenido de armónicos de cada señal Bode Diagram KP=1 KP=2 KP=3 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 2.12: Respuesta en frecuencia en lazo abierto a partir de ensayos realizados con distintos valores de KP Diagrama de Black A continuación se va a comparar el diagrama de Black de la respuesta en frecuencia de los modelos identificados en la figura Al igual que en la 29

32 Capítulo 2 comparación anterior, las respuestas en frecuencia de los modelos con KP=2 y KP=3 son bastante similares debido a que la constante de tiempo del cero positivo es parecida en ambos. Por el contrario la del modelo con Kp=1 está desplazada hacia la izquierda en el diagrama debido a la constante de tiempo más pequeña en su cero positivo, por lo que influirá más que el resto de modelos a la hora de diseñar controles. 2 Nichols Chart 1 Open-Loop Gain (db) Open-Loop Phase (deg) Figura 2.13: Respuesta en frecuencia en lazo abierto a partir de ensayos realizados con distintos valores de KP Comparación de las respuestas a un escalón unitario en lazo cerrado En esta sección se comparan las respuestas a un escalón unitario en lazo cerrado con constante proporcional K=1, de los diferentes modelos entre mando-presión identificados en los ensayos de lazo cerrado para distintos valores de Kp en el banco de potencia. Como se observa en la figura 2.14, las respuestas con KP=1, Kp=2 y Kp=3 son parecidas tanto en rapidez como en sobrepaso. 3

33 Capítulo 2 Step Response 1.8 KP=1 KP=2 KP=3 Amplitude Time (sec) Figura 2.14: Respuesta en lazo cerrado a un escalón unitario Comparación de las respuestas en frecuencia en lazo cerrado En esta sección se comparan los modelos a partir de las respuestas en frecuencia de lazo cerrado: diagrama de Bode Diagrama de Bode En la figura 2.15 se muestra el diagrama de Bode (ganancia y fase) de la respuesta en frecuencia en lazo cerrado con control proporcional de ganancia igual a 1 para todos los modelos identificados. Como se observa en la siguiente figura, hasta un rango de frecuencias de 1 Hz los modelos no se diferencian apenas en ganancia ni en fase. A partir de 1 Hz el modelo identificado mediante ensayo en lazo cerrado con Kp=1 es ligeramente distinto al resto, principalmente en fase. 31

34 Capítulo Bode Diagram KP=1 KP=2 KP= Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figura 2.15: Diagrama de Bode de respuesta en frecuencia Diagrama de Black 1 Nichols Chart Open-Loop Gain (db) Open-Loop Phase (deg) Figura 2.16: Diagrama de Black de respuesta en frecuencia 32

35 Capítulo Conclusiones A partir de las comparaciones realizadas en la sección 2.5 y puesto que los tres modelos presentan respuestas y dinámicas bastante similares, se realiza una media entre los tres para obtener el modelo definitivo de la planta, atendiendo a su aplicación para el diseño de los controles. Las funciones de transferencia finales de cada modelo y la media de las tres ( que representa al modelo definitivo empleado en el diseño de los controles) son las siguientes: KP=1 KP=2 KP=3 Modelo 5.585( s) Mando-presión s.( s + 1) 5.426( s) s.(.7454s + 1) 5.494( s) s.( s + 1) Tabla 6:Comparación de las funciones de transferencia Función de transferencia del modelo Mando-Presión 5.52( s) F.Tmedia= s.(.717. s + 1) s ( s ) = = s.(.717. s + 1) s.( s ) 33

36 Capítulo Modelo en lazo cerrado entre Vref y presión Una vez obtenida la función de transferencia definitiva del modelo mando presión, el objetivo es cerrar el lazo de realimentación para conseguir la función del modelo referencia de presión ( Vref ) y presión. Para ello se necesita verificar si los parámetros del modelo entre mando-presión son fiables, debido a que hay que incorporar al modelo en lazo cerrado una saturación. Por tanto se diseña un modelo de simulink (Modelo Vref-Mando ) para estudiar el efecto de la saturación y obtener el valor del parámetro K ( constante proporcional del modelo en lazo cerrado ), que se corresponderá con el parámetro th(4) del ajuste: En la siguiente figura se muestra el diagrama de simulink empleado en el ajuste del parámetro K, con las variables Pmedida y Vref como entradas y Mando como salida: Modelo Vref-Mando Figura 2.17: Modelo de simulink Vref-Mando 34

37 Capítulo 2 Una vez realizado el ajuste se comprueba en las siguientes figuras tanto para escalón de subida como de bajada que el valor de K ( th(4) ) es 1 y el error en el ajuste es insignificante, del orden de e-9. Escalón de subida Figura 2.18: Escalón de subida modelo Vref-mando Escalón de bajada Figura 2.19: Escalón de bajada modelo Vref-mando 35

38 Capítulo 2 Una vez obtenidos los parámetros y su correspondiente función de transferencia tanto del modelo Vref-Mando como del modelo Mando-Presión, y teniendo en cuenta que los parámetros de los modelos obtenidos son perfectamente fiables a pesar de tener una saturación, el objetivo es obtener la función de transferencia que representa el comportamiento del modelo en lazo cerrado entre Vref y presión. En el siguiente diagrama de simulink ( Figura 2.2 ) se muestra el modelo Vrefpresión: Modelo Vref-presión Figura 2.2: Modelo de simulink Vref-presión En la siguiente Figura 2.21 se muestra el resultado del ajuste con los parámetros obtenidos en apartados anteriores, introducidos en el modelo Vref-presión: 36

39 Capítulo 2 25 Ajuste del modelo en lazo cerraado entre Vref-presión 2 Amplitud 15 1 señal real señal simulada error entrada Tiempo(seg) Figura 2.21: Ajuste modelo lazo cerrado Vref-presión El error cuadrático medio es.535. Por último, el objetivo es comparar el ajuste y la simulación del modelo en lazo cerrado entre Vref y presión, para confirmar que la identificación del modelo ha sido del todo correcta. Figura 2.22: Diagrama de bloques empleado para comparar la salida con el método ajuste y con simulación 37

40 Capítulo Comparación entre ajuste y simulación simulación ajuste entrada 15 Amplitud Tiempo(seg) Figura 2.23: Comparación entre el ajuste y la simulación del modelo en lazo cerrado entre Vref y presión. MODELO EN LAZO CERRADO El modelo obtenido en lazo cerrado entre Vref y presión tiene la siguiente función de transferencia: 3.31( s ) F.T= = 2 s s s s s Figura 2.24: Modelo en lazo cerrado 38

41 Capítulo 2 Diagrama de polos y ceros 1.5 Pole-Zero Map From: PRU/Step (1) To: PRU/Transfer Fcn2 (1) 1.5 System: sys I/O: PRU/Step (1) to PRU/Transfer Fcn2 (1) Pole : i Damping:.991 Overshoot (%): Frequency (rad/sec): 8.85 Imaginary Axis -.5 System: sys I/O: PRU/Step (1) to PRU/Transfer Fcn2 (1) Zero : Damping: 1 Overshoot (%): Frequency (rad/sec): Real Axis Figura 2.25: Diagrama de polos y ceros 39

42 Capítulo ENSAYOS REALIZADOS. PROCESO DE IDENTIFICACIÓN INTRODUCCIÓN Se dispone de un ensayo del banco de potencia en torno a un mismo punto de trabajo con sus correspondientes señales de presión y velocidad de la rueda de la moto. El periodo de muestreo es de.4 segundos. Al actuador del freno le llega la señal de mando, que mediante una función de transferencia se traduce en el par de frenado. La diferencia de este par y el resistente de la moto conlleva una aceleración y por lo tanto variación de la velocidad. Este proceso físico corresponde al diagrama de bloques de la figura Figura 2.26: Diagrama de bloques del conjunto freno + actuador La identificación se realiza en tiempo discreto con la aplicación Ident de Matlab. Las estructuras que se prueban son las de error de ecuación y error de salida, que corresponden al diagrama de bloques de la figura

43 Capítulo 2 Figura 2.27: diagrama de bloques del modelo Para la identificación del sistema partimos de unos datos correspondientes a las señales de velocidad y presión, que se corresponden con los datos de la entrada y la salida, y empleamos el interfaz gráfico de Matlab ident que se muestra en la siguiente figura : Elección del modelo Un sistema admite múltiples modelos de diferente complejidad Existe un compromiso entre simplicidad y precisión El objetivo es obtener el modelo más simple posible con una precisión aceptable Las señales de presión y de velocidad de las que se dispone son las que se representan a continuación en la figura

44 Capítulo 2 Figura 2.28: señales de presión y velocidad Dichas señales se han conseguido obtener utilizando un control PD, que a pesar de no ser el adecuado para esta aplicación, ha conseguido estabilizar el sistema para poder medir las señales. Antes de comenzar la identificación, habrá un preproceso de dichas señales. El objetivo es obtener la media de las 9 medidas de presión obtenidas mediante ensayos, que se muestran en la figura 2.28 ( series 3-11 ). Una vez obtenida la presión, sabemos gracias a un proyecto anterior al presente, que la planta tiene un integración, por lo que nos interesa utilizar valores incrementales de las señales y añadir después la integración. A los registros disponibles se les realizan las siguientes operaciones: 42

45 Capítulo 2 Aplicación a la señal de velocidad y a la señal de presión del comando diff de Matlab: dicho comando hace la diferencia entre posiciones consecutivas del vector. Gracias a esto conseguimos que las señales sean incrementales respecto a un punto de operación. Una vez realizado el preproceso de las señales, quedan como se representa a continuación, en la figura Input and output signals Velocidad tiempo(seg) 5 Presión Time Figura 2.29: Señales de velocidad y presión del ensayo IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA El siguiente paso será la obtención de los posibles modelos a los que pertenece el sistema. Para estimar mínimos cuadrados lineales utilizo un modelo de error de ecuación ARX estimando las posibles combinaciones de parámetros. Partiendo de la base de sobreparametrizar el modelo y posteriormente reducir el número de parámetros para intentar encontrar el modelo que más se ajuste. 43

46 Capítulo 2 ARX: MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES Pasos para estimar los modelos que más se ajusten a las especificaciones Con el comando del interfaz gráfico estimate, parametric models, y colocando en orders ( 1:1 1:1 1:1) ( Figura 2.3 ) obtengo una estadística de los mejores modelos ( Figura 2.3 ). Figura 2.3: Parametric Models El método de modelos paramétricos estima una gráfica donde el eje x indica el nº de parámetros del modelo y el eje y el %error. Vamos a hacer una identificación paramétrica, por lo que primero identificaremos la función de transferencia de la componente determinista (G) y a continuación la función de transferencia de la componente estocástica (H) Estimación de la función de transferencia de la componente determinista En primer lugar comenzaremos utilizando una estructura ARX, que sólo tiene polinomios A y B, y la estimación de los parámetros se puede hacer de forma directa mediante regresión lineal. Además, incluso cuando el modelo no corresponda con un 44

47 Capítulo 2 ARX, la estimación será suficientemente buena, a cambio de sobreparametrizar la estructura. Para determinar cual es el juego de parámetros de ARX, introducimos un rango del número de parámetros de 1 a 1, para que la aplicación ident nos indique cuál es el mejor juego de parámetros para esta estructura, según diferentes criterios, y obtenemos la gráfica que se muestra a continuación (figura 2.31): Figura 2.31: Juegos de parámetros para esta estructura Esta gráfica proporciona, para cada modelo con el número de parámetros que indica, la parte de la salida que no es capaz de explicar, siendo deseable que esta parte sea pequeña. El azul según el modelo AIC y el rojo según el criterio de Akaike y según el modelo que minimiza la parte no explicada de la salida. 45

48 Capítulo 2 El siguiente paso es, partiendo de la base del modelo seleccionado ARX ( na=1 nb=1 nk=1 ), comprobar la autocorrelación de los residuos y la correlación entre la entrada y los residuos. Modelo ARX estimado Para comprobar que el sistema es el correcto y está bien estimado se comprueba la autocorrelación de los residuos y la correlación entre la entrada y los residuos. Tanto estas correlaciones como el diagrama de ceros y polos se muestran en las siguientes figuras 2.32 y Autocorrelation of residuals for output y Cross corr for input u1 and output y1 resids Samples Figura 2.32: Autocorrelación y correlación cruzada Viendo los residuos comprobamos que la componente determinista está bien estimada ya que la correlación cruzada entre la entrada y la salida entra dentro de un margen de confianza al 99% en torno a cero para valores de mayores que cero y distinto de cero para valores de menores que cero, debido a la realimentación existente al hacer el ensayo con un control PD. 46

49 Capítulo 2 1 Poles (x) and Zeros (o) Figura 2.33: Polos y ceros Como buscamos una estructura que tenga el menor número de parámetros, reducimos éste, buscando cancelar polos y ceros, y eliminar parámetros del numerador o del denominador que tengan un valor muy pequeño y poco influyente en el modelo. Así, por sucesivas simplificaciones, obtenemos una estructura ARX Autocorrelation of residuals for output y Cross corr for input u1 and output y1 resids Samples Figura 2.34: Autocorrelación y correlación cruzada 47

50 Capítulo 2 Viendo los residuos comprobamos que la componente determinista está bien estimada ya que la correlación cruzada entre la entrada y la salida entra dentro de un margen de confianza al 99% en torno a cero para valores de mayores que cero y distinto de cero para valores de menores que cero, debido a la realimentación existente al hacer el ensayo con un control PD. 1 Poles (x) and Zeros (o) Figura 2.35: Polos y ceros Al igual que en el caso anterior, la componente determinista está bien estimada. De nuevo intentamos reducir el número de parámetros, pero las estimaciones que obtenemos no son correctas. No probamos a estimar con variables instrumentales, porque tenemos un ensayo en lazo cerrado y solo son válidas para lazo abierto. Por tanto consideramos que la componente determinista ya está bien estimada y pasamos a estimar la componente estocástica. 48

51 Capítulo Estimación de la función de transferencia de la componente estocástica Utilizaremos un modelo de error de ecuación: ARARMAX, que engloba al ARARX y al ARMAX. A y = B u + C D e Comenzamos utilizando una estructura ARARMAX81331, esto es, polinomio A de 8 parámetros, polinomio B de 1 parámetro, polinomio C de 3 parámetros, polinomio D de 3 parámetros y 1 retardo. Una vez realizada esta estimación se reduce el número de parámetros, pero los modelos no son válidos por salirse del margen de confianza al 99%, por lo que se concluye que la estructura definitiva es ARARMAX81331:.2 Autocorrelation of residuals for output y Cross corr for input u1 and output y1 resids Samples Figura 2.36: Autocorrelación y correlación cruzada Viendo los residuos comprobamos que la componente determinista está bien estimada ya que la correlación cruzada entre la entrada y la salida entra dentro de un 49

52 Capítulo 2 margen de confianza al 99% de cero para valores de las muestras mayores que cero y distinto de cero para valores de las muestras menores que cero, esto es correcto, ya que denota la realimentación existente al hacer el ensayo con un control PD. También comprobamos que la componente estocástica está bien estimada porque la autocorrelación del error es la correspondiente a un ruido blanco dentro de un margen de confianza al 99%. Mapa de ceros y polos Si se cancela algún polo de la G entonces no sería un modelo de error de ecuación sino de error de salida pero ese no es el caso, como se muestra en las siguientes gráficas. Mapa de ceros y polos de G 1 Poles (x) and Zeros (o) Figura 2.37: Mapa de ceros y polos de G El objeto de la gráfica es ver los polos de G para mirar después en H a ver si se cancela alguno, ya que es necesario que los polos de G sigan en H para tener error de ecuación. 5

53 Capítulo 2 1 Poles (x) and Zeros (o) Figura 2.38: Mapa de ceros y polos de H Por tanto el modelo ARARMAX81331 es válido para representar el sistema, pero al tener más parámetros que el ARX811, se descarta debido a que buscamos un compromiso entre precisión y número de parámetros. Modelo de error de salida Box-Jenkins Antes de asegurar que el mejor modelo es un ARX811, probaremos un modelo de error de salida: modelo Box-Jenkins (BJ): y = B F u + C D e Comenzamos con una estructura que conserve el número de parámetros estimados para la componente determinista y pondremos 2 parámetros a cada polinomio de la componente estocástica. Tendremos un BJ12281, y sus residuos son: 51

54 Capítulo 2.2 Autocorrelation of residuals for output y Cross corr for input u1 and output y1 resids Samples Figura 2.39 : Residuos de BJ12281 Viendo los residuos comprobamos que la componente determinista está bien estimada ya que la correlación cruzada entre la entrada y la salida entra dentro de un margen de confianza al 99% de cero para valores de las muestras mayores que cero y distinto de cero para valores de las muestras menores que cero, esto es correcto, ya que denota la realimentación existente al hacer el ensayo con un control PD. También comprobamos que la componente estocástica está bien estimada porque la autocorrelación del error es la correspondiente a un ruido blanco dentro de un margen de confianza al 99%. Al igual que en el caso del ARARMAX81331, la estimación es correcta, pero el número de parámetros y de retardos es grande, por lo que se intentó reducir el modelo Box-Jenkins hasta obtener un BJ12281, en el que el polinomio B tiene 1 parámetros, el polinomio C tiene 2 parámetros, el polinomio D tiene 2 parámetros, el polinomio F tiene 8 parámetros y hay 1 retardo. Sus residuos son los que se muestran en la figura anterior, 52

55 Capítulo 2 puesto que no se pudo reducir el número de parámetros sin salir del margen de confianza. La conclusión final para la identificación del modelo es que, a pesar de que tanto en modelo ARARMAX81331 como el BJ12281 son válidos a la hora de identificar, el compromiso buscado entre simplicidad y precisión hace que el modelo elegido sea un ARX811. Modelo definitivo ARX811 A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) A(q) = ( ) q^ ( ) q^ ( ) q^ (+-.82) q^ (+-.885) q^ ( ) q^ ( ) q^ (+-.656) q^-8 B(q) = (+-.348) q^-1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A(q) B1 B(q) Tabla1 : Parámetros del modelo ARX811 El modelo queda definido por la siguiente función de transferencia: 53

56 Capítulo 2 FT = 1.215z z 8.215z z.468z z.465z z.29z.1176z.29z z +.172z z +.79z z +.132z z 8 = H(z)= z 8.215z 7.468z 6.465z 5 8 z.29z z z z +.12 Respuesta a escalón Step Response Time Figura 2.4 : Respuesta al escalón Respuesta al pulso 5 x 1-3 Impulse Response Time Figura 2.41 : Respuesta al pulso 54

57 Capítulo 2 Respuesta en frecuencia.4 Frequency response Amplitude Phase (deg) Frequency (Hz) Figura 2.42 : Respuesta en frecuencia 2.5 DISCRETIZACIÓN DE LOS MODELOS IDENTIFICADOS La planta consta de dos reguladores, un regulador ( regulador con la variable interna de mando ) representado por un modelo referencia de presión-presión y un segundo regulador representado por un modelo presión-velocidad. El tiempo de muestreo a la hora de discretizar será de Ts=.4 seg. El modelo identificado mediante el interfaz gráfico de Matlab ident ya está identificado en tiempo discreto, por lo que sólo se discretiza el modelo Vref-presión obtenido mediante el método de ajuste de parámetros. 55

58 Capítulo MODELO PRESIÓN-VELOCIDAD El modelo ARX811 identificado en tiempo discreto viene definido por la siguiente función de transferencia: A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) A(q) = ( ) q^ ( ) q^ ( ) q^ (+-.82) q^ (+-.885) q^ ( ) q^ ( ) q^ (+-.656) q^-8 B(q) = (+-.348) q^-1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A(q) B1 B(q) Tabla1 : Parámetros del modelo ARX811 El modelo queda definido por la siguiente función de transferencia: FT2 = 1.215z z 8.215z z.468z z.465z z.29z.1176z.29z z +.172z z +.79z z +.132z z 8 = 56