2.2 Ondas Love en una capa sobre un semi espacio

Transcripción

1 Sismología Apl. y de Explor Ondas Love en una capa sobre un semi espacio Fig 11: Onda SH que se reflecta en una capa de superficie en un ángulo de incidencia, i 1, mayor que el ángulo crítico, i c. Las ondas Love resultan de ondas SH atrapadas por capas de superficie de baja velocidad. El caso más simple es con una capa de baja velocidad sobre un semi espacio de mayor velocidad. El movimiento en la capa consiste en una onda que viaja hacia ambas direcciones, arriba y abajo u ➀ 2(x 1,x 3,t) = B 1 e i(k 1x 1 +k 1 r β1 x 3 ωt) +B 1e i(k 1x 1 k 1 r β1 x 3 ωt) (2.15) Estamos buscando movimiento en el semi espacio que es una onda propagandose horizontalmente, es decir un desplazamiento dela formau ➁ 2 = B 2f(x 3 )e i(k 1x 1 ωt). Este desplazamiento tiene que satisfacer la ecuación de movimiento; y, en una análisis similar a la sección anterior, este significa que f(x 3 ) = e ±ik 1r β2 x 3. Debemos tomar el signo positivo por la conservación de energía, y nos queda con una onda horizontal y evanescente en el semi espacio debajo de la capa, representado por: u ➁ 2(x 1,x 3,t) = B 2 e i(k 1x 1 +k 1 r β2 x 3 ωt) (2.16) Estamos considerando el caso donde la velocidad aparente, c, es menor que la del semi espacio, β 2. Esto ocurre cuando la onda SH en la capa es incidente en un ángulo i 1 mayor que el ángulo crítico i c. Para c < β 2, (ik 1 r β2 x 3 ) es real; la amplitud de la onda en el semi espacio decaerá exponencialmente en profundidad, y ( c 2 r β2 = β 2 2 1/2 ) 1/2 1) = i (1 c2 = i r (2.17) β2 β 2 2 Se pueden encontrar las amplitudes B, B 1 y B 2 aplicando las condiciones de borde a la superficie libre y a la interfase. En la superficie libre la tracción es cero, ( ) u ➀ σ 23 (x 1,0,t) = µ 2 (x 1,0,t) 1 = µ 1 (ik 1 r β1 )(B 1 B x 1)e i(k 1x 1 ωt) = 0 (2.18) 3 y entonces B 1 = B 1. También el desplazamiento y la tracción son continuos a través de la interfase. La continuidad de desplazamiento implica que [ ] B 1 e ik 1r β1 h +e ik 1r β1 h = B 2 e ik 1r β2 h (2.19)

2 Sismología Apl. y de Explor. 12 y la continuidad de la tracción da µ 1 (ik 1 r β1 )B 1 [ e ik 1r β1 h e ik 1r β1 h ] = µ 2 (ik 1 r β2 )B 2 e ik 1r β2 h (2.20) Haciendo una combinación de las componentes exponenciales: Y dividiendo (2.22) por (2.21) resulta en 2B 1 cos(k 1 r β1 h) = B 2 e ik 1r β2 h 2iµ 1 r β1 B 1 sin(k 1 r β1 h) = µ 2 r β2 B 2 e ik 1r β2 h (2.21) (2.22) tan(k 1 r β1 h) = µ 2r β2 iµ 1 r β1 = µ 2 r β2 µ 1 r β1 (2.23) Esta es la ecuación del periodo de las ondas Love que representa la relación entre el número de onda horizontal k 1 y la velocidad horizontal aparente c, y tiene que cumplirse para que existan ondas Love. Mientras que ω = ck 1, las ondas de Love, para una cierta frecuencia, solamente existen paraunadeterminadacombinación decyk 1. Entonces, diferentes frecuencias tienen diferentes velocidades y la ecuación (2.23) da la relación de dispersión para las ondas Love. Por último, la energía de la onda Love es atrapada en la capa, y en el semi espacio existe una onda evanescente. La ecuación (2.23) no tiene una solución analítica, y los valores de c(ω) deben ser encontrados numéricamente. La figura 12(a) es un gráfico de los dos lados de (2.23), donde ξ = (h/c)(c 2 /β 2 1 1)1/2. El lado derecho de (2.23) es independiente de ω; el lado izquierdo es periódico y tiene ceros a ξ = nπ/ω. A una cierta frecuencia ω existe solamente un número finito de raíces, porque la ecuación (2.23) sólo tiene raíces reales para β 1 < c < β 2. Para pequeñas ω existe una única raíz que corresponde a la primera curva de la función tan(k 1 r β1 h). Para frecuencias más altas, más curvas de la función tan(k 1 r β1 h) entran al intervaloβ 1 < c < β 2. Lacurvan = 1entraenesterangocuandoπ/ω c1 = (h/β 1 )(1 β 2 1 /β2 2 )1/2. Para frecuencias mayores que ω c1 dos ondas de Love existen, con la misma frecuencia, pero con diferentes velocidades. Fig 12: (a) La solución gráfica a la ecuación (2.23); (b) Curvas de velocidad de fase para ondas Love. La n-ésima curva entra al rango aceptable cuando ω = nπβ 1 h ( ) 1/2 1 β2 1 β2 2 = ω cn (2.24)

3 Sismología Apl. y de Explor. 13 A ésta se la llama la frecuencia de corte para el n-ésimo modo mayor; es decir, este modo solamente existe cuando ω > ω cn. En la frecuencia de corte, cada modo tiene una velocidad de fase β 2 y, a altas frecuencias, la velocidad se acerca a β 1. Por ejemplo, si tenemos un modelo simple para representar el sistema corteza-manto (h = 35km, β 1 = 3.5 km/s, β 2 = 4.5km/s), la frecuencia de corte del primer modo mayor es 0.08 Hz; que es un período de 13 segundos. Podemos usar eso para graficar las curvas de velocidad de fase en la figura 12(b). La dispersión de las ondas Love se presenta porque su movimiento particular con la profundidad es distinto para diferentes frecuencias, y por eso es muy útil para estudiar la estructura de la Tierra. Fig 13: Movimiento particular con la profundidad para el modo fundamental y el primer modo mayor. 2.3 La velocidad de fase y grupo La velocidad c en las secciones anteriores es la velocidad de fase, o sea c = ω/k, la velocidad a que una componente armónica se propaga. La señal, o la energía, se propaga con la velocidad de grupo u = dω/dk; y para señales dispersivas c y u son diferentes. La relación entre ellas es: u = dω ( dk = c+kdc dk = c 1 k dc ) 1 (2.25) dω En general, la velocidad del medio en la Tierra aumenta con la profundidad, entonces c disminuye cuando la frecuencia aumenta para las ondas Love y Rayleigh. Entonces dc/dω es negativa y de la ecuación (2.25) u < c. La velocidad de grupo controla la forma del sismograma. La figura 14 muestra curvas simples de dispersión para c y u y la respuesta en forma de un sismograma. La parte inicial del sismograma contiene ondas rápidas de bajas frecuencias, (A), las que gradualmente aumentan su frecuencia, (B). En el punto (D) las ondas de altas frecuencias llegan al sismómetro, y, finalmente, llega la fase de Airy (C).

4 Sismología Apl. y de Explor. 14 Fig 14: Una curva simple de dispersión (que corresponde a una capa sobre un semi espacio), y la respuesta que genera en un sismómetro. Fig 15: La velocidad de fase y la velocidad de grupo. 2.4 Ondas de superficie en una Tierra esférica

5 Sismología Apl. y de Explor. 15 Fig 16: Ondas Rayleigh que atraviesan la Tierra: (a) caminos cortos y largos entre un terremoto y una estación; (b) Sismograma vertical, radial y transversal de un terremoto, hasta 150 minutos después del evento.

6 Sismología Apl. y de Explor. 16 Fig 17: Muchos sismogramas están amontonados (stacked), componente radial, de la red IDA entre 1981 y El intervalo de tiempo es de 0 a 3 horas a la izquierda, y de 3 a 6 horas a la derecha. Las amplitudes positivas están en negro, y las amplitudes negativas en blanco. Las ondas de cuerpo de baja frecuencia y el modo fundamental de la onda Rayleigh son visibles dentro de la primera hora; las ondas de superficie R2, R3, R4, y también los modos mayores de las ondas de superficie, son visibles a mayores tiempos.