PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS II

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1 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS II Curso

2 UNIDAD 1. FUNCIONES OBJETIVOS DIDACTICOS 1. Reforzar el concepto de función 2. Recordar y manejar las funciones elementales CONTENIDOS Concepto de función. Variable independiente. Variable dependiente. Gráfica. Dominio y Recorrido Las funciones polinómicas y racionales Las funciones de proporcionalidad inversa Las funciones a trozos Correspondencia inversa Las gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas Las gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas La función valor absoluto y parte entera Construir nuevas funciones mediante las operaciones: suma, resta, multiplicación, división y composición Representar los casos:,,, CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Conoce y representa las funciones elementales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas 2. Comprende la función valor absoluto y la expresa como función a trozos 3. Representa funciones definidas a trozos 4. Conoce el concepto de correspondencia inversa y relaciona sus gráficas CONOCIMIENTOS MÍNIMOS 1. Conoce y representa las funciones elementales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas 2. Comprende la función valor absoluto y la expresa como función a trozos 3. Representa funciones definidas a trozos, sencillas ORIENTACIONES Insistir en que no siempre se puede definir una función mediante una fórmula explícita Se consideraran las funciones racionales con grado en el denominador no superior a 2 Introducir los conceptos con muchas representaciones gráficas

3 UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Dominar el concepto de límite en sus distintas versiones conociendo su interpretación gráfica y su descripción intuitiva 2. Calcular límites de expresiones polinómicas, algebraicas, con radicales y potencias 3. Conocer concepto de continuidad y reconocer los distintos tipos de discontinuidades 4. Profundizar en la continuidad de funciones con el teorema de Bolzano y las propiedades que del mismo se derivan. Criterio de evaluación curricular: 4. Estudiar la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y aplicar los resultados obtenidos para representar funciones y resolver problemas. Este criterio pretende evaluar si el alumnado aplica los conceptos de límite (en un punto y en el infinito) y continuidad, para representar funciones continuas y con diferentes tipos de discontinuidades, que describan fenómenos naturales, científicos, tecnológicos, sociales, etc., aplicando los resultados de su estudio, las propiedades de las funciones continuas, el Teorema de Bolzano, y la definición de derivada para resolver problemas, ayudándose de calculadoras gráficas y programas informáticos cuando sea necesario. Contenidos curriculares: 1. Cálculo del límite de una función en un punto y en el infinito. 2. Estudio de la continuidad de una función y de los tipos de discontinuidad que presenta. Aplicación del Teorema de Bolzano. Estándares curriculares: 47. Conoce las propiedades de las funciones continuas, y representa la función en un entorno de los puntos de discontinuidad. 48. Aplica los conceptos de límite y de derivada, así como los teoremas relacionados, a la resolución de problemas. Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Límite de una función - Límite de una función cuando x, x o x a. Representación gráfica. - Límites laterales. - Operaciones con límites finitos. Expresiones infinitas - Infinitos del mismo orden. - Infinito de orden superior a otro. - Operaciones con expresiones infinitas. Cálculo de límites - Cálculo de límites inmediatos (operaciones con 1. Dominar el concepto de límite en sus distintas versiones, conociendo su interpretación gráfica. 2. Calcular límites de todo tipo A partir de una expresión del tipo lím f ( x ) = x [ puede ser,, a, a + o a; y puede ser, o l] la representa gráficamente Calcula límites inmediatos que solo requieran conocer los resultados operativos y comparar infinitos Calcula límites (x o x ) de cocientes o de diferencias Calcula límites (x o x ) de potencias. CMCT CAA

4 límites finitos evidentes o comparación de infinitos de distinto orden). - Indeterminación. Expresiones indeterminadas. - Cálculo de límites cuando x o x : - Cociente de polinomios o de otras expresiones infinitas. - Diferencia de expresiones infinitas. - Potencia. Número e. - Cálculo de límites cuando x a, x a +, x a: - Cocientes. - Diferencias. - Potencias. Regla de L Hôpital - Cálculo de límites mediante la regla de L Hôpital. Continuidad. Discontinuidades - Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad. Continuidad en un intervalo - Teoremas de Bolzano. - Aplicación del teorema de Bolzano para detectar la existencia de raíces y para separarlas. 3. Conocer el concepto de continuidad en un punto y los distintos tipos de discontinuidades. 4. Conocer la regla de L Hôpital y aplicarla al cálculo de límites. 5. Conocer el teorema de Bolzano y aplicarlo para probar la existencia de raíces de una función Calcula límites (x c) de cocientes, distinguiendo, si el caso lo exige, cuando x c + y cuando x c Calcula límites (x c) de potencias Reconoce si una función es continua en un punto o el tipo de discontinuidad que presenta en él Determina el valor de un parámetro (o dos parámetros) para que una función definida a trozos sea continua en el punto (o puntos) de empalme Calcula límites aplicando la regla de L Hôpital Enuncia el teorema de Bolzano en un caso concreto y lo aplica a la separación de raíces de una función. SIEP CAA SIEP CONOCIMIENTOS MÍNIMOS 1. Calcula límites y reconoce y salva las indeterminadas 2. Estudia la continuidad en un punto y reconoce el tipo de discontinuidad si lo hubiera 3. Reconoce las discontinuidades de las funciones 4. Aplica el teorema de Bolzano para detectar la existencia de raíces ORIENTACIONES Aunque, acaso, no se deba pretender aún que estos alumnos y alumnas dominen la nomenclatura y los conceptos que conllevan las definiciones rigurosas de límites si es importante que estas definiciones se introduzcan desde una visión gráfica y una descripción intuitiva. El cálculo de límites se sistematiza con una serie de resultados previos: operaciones con límites finitos, comparación de infinitos del mismo orden, comparación de infinitos de orden superior a otro, operaciones con límites infinitos y tipos de indeterminaciones. Todos estos resultados pueden ser muy intuitivos y se debe procurar lo sean. La calculadora debe jugar un papel importante a la hora de comprobar nuestras intuiciones y conjeturas. Se puede utilizar programas informáticos para interpretar gráficamente el concepto de límite. De la Regla de l Hôpital se pondrá el énfasis en la utilidad para el cálculo de muchos límites.

5 UNIDAD 3: DERIVADAS UNIDAD 4 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Criterio de evaluación curricular: 5. Aplicar el cálculo de derivadas y su interpretación física y geométrica al estudio local y global de funciones que representen diferentes situaciones y resolver problemas contextualizados mediante el análisis de los resultados obtenidos al derivarlas, y la aplicación del teorema de Rolle, del valor medio y la regla de L Hôpital. Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado utiliza las técnicas de derivación de funciones para calcular la derivada de una función e interpreta su significado físico o geométrico, de forma local o global, para resolver problemas geométricos, naturales, sociales y tecnológicos; además, plantea y resuelve problemas de optimización, aplica la regla de L Hôpital para resolver indeterminaciones y el Teorema de Rolle y del valor medio para resolver problemas contextualizados, ayudándose de calculadoras gráficas y programas informáticos cuando sea necesario. Contenidos curriculares: 1. Cálculo de la función derivada. 2. Aplicación de los Teoremas de Rolle y del valor medio. 3. Aplicación de la regla de L Hôpital al cálculo de límites. 4. Aplicaciones de la derivada para la resolución de problemas de optimización Estándares de aprendizaje evaluables: 49. Aplica la regla de L Hôpital para resolver indeterminaciones en el cálculo de límites. 50. Plantea problemas de optimización relacionados con la geometría o con las ciencias experimentales y sociales, los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del contexto.

6 UNIDAD 3: DERIVADAS OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Dominar los conceptos: derivada de una función en un punto, interpretación geométrica de la derivada, la recta tangente a una curva en un punto, derivadas laterales y función derivada 2. Conocer y utilizar las reglas de derivación Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Derivada de una función en un punto - Tasa de variación media. - Derivada de una función en un punto. Interpretación. Derivadas laterales. - Obtención de la derivada de una función en un punto a partir de la definición. Función derivada - Derivadas sucesivas. - Estudio de la derivabilidad de una función en un punto estudiando las derivadas laterales. Reglas de derivación - Reglas de derivación de las funciones elementales y de los resultados operativos. - Derivada de una función implícita (ampliación). - Derivación logarítmica. Diferencial de una función - Concepto de diferencial de una función. 1. Dominar los conceptos asociados a la derivada de una función: derivada en un punto, derivadas laterales, función derivada 2. Conocer las reglas de derivación y utilizarlas para hallar la función derivada de otra Halla la derivada de una función en un punto a partir de la definición Estudia la derivabilidad de una función definida a trozos, recurriendo a las derivadas laterales en el punto de empalme Halla las derivadas de funciones no triviales. a. Calcula y simplifica derivadas de cocientes y raíces b. Deriva funciones exponenciales y logarítmicas c. Deriva funciones trigonométricas y sus inversas d. Reconoce y deriva funciones compuestas de otras dos 2.2. Utiliza la derivación logarítmica para hallar la derivada de una función que lo requiera. CAA, CD CAA, SIEP, CD CONOCIMIENTOS MÍNIMOS 1. Calcula la derivada de una función en un punto utilizando la definición 2. Deriva todo tipo de funciones 3. Estudia la derivabilidad y continuidad de las funciones a trozos dependientes de un parámetro, correctamente ORIENTACIONES Es preferible que el alumno, antes de demostrar algo, se familiarice con ello, con el fin de que tengan muy claro qué es lo que quiere demostrar. El orden en que se demuestran las reglas es muy distinto del orden en que se presentan y se usan: al poder utilizar desde los primeros pasos la derivada de un logaritmo, se simplifican notablemente muchas de las demostraciones. Acompañar los conceptos con muchas y variadas representaciones gráficas.

7 UNIDAD 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Conocer las propiedades que permiten estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función en un punto y en su dominio y conocer y aplicar los criterios para hallar los máximos y mínimos 2. Conocer las propiedades que permitan estudia la concavidad y convexidad en un punto y en su dominio y conocer y aplicar los criterios para hallar los puntos de inflexión 3. Dominar las estrategias necesarias para optimizar una función 4. Conocer los teoremas de Rolle y del valor medio, y explotar sus posibilidades teóricas Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Aplicaciones de la primera derivada - Obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos. - Identificación de puntos o intervalos en los que la función es creciente o decreciente. - Obtención de máximos y mínimos relativos. - Resolución de problemas de optimización. Aplicaciones de la segunda derivada - Identificación de puntos o intervalos en los que la función es cóncava o convexa. - Obtención de puntos de inflexión. Teoremas de Rolle y del valor medio 1. Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos. 2. Conocer las propiedades que permiten estudiar crecimientos, decrecimientos, máximos y mínimos relativos, tipo de curvatura, etc., y saberlas aplicar en casos concretos Dada una función, halla la ecuación de la recta tangente en uno de sus puntos Dada una función, sabe decidir si es creciente o decreciente, cóncava o convexa, obtiene sus máximos y mínimos relativos y sus puntos de inflexión. 2.2 Extracción de información de la función f(x) a partir de la gráfica de f'(x) 2.3 Estudio de las gráficas de f'(x) y de f''(x) a partir de la gráfica de f CAA CAA, CD - Constatación de si una función cumple o no las hipótesis del teorema del valor medio o del teorema de Rolle y obtención del punto donde cumple (en su caso) la tesis. - Aplicaciones del teorema del valor medio. 3. Dominar las estrategias necesarias para optimizar una función. 4. Conocer los teoremas de Rolle y del valor medio, y aplicarlos a casos concretos Dada una función, mediante su expresión analítica o mediante un enunciado, encuentra en qué caso presenta un máximo o un mínimo Aplica el teorema de Rolle o el del valor medio a funciones concretas, probando si cumple o no las hipótesis y averiguando, en su caso, dónde se cumple la tesis. SIEP, CD CAA CONOCIMIENTOS MÍNIMOS 1. Halla la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto 2. Calcula los máximos y mínimos de una función y los intervalos de crecimiento y decrecimiento 3. Calcula los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad 4. Resuelve problemas de optimización sencillos

8 ORIENTACIONES Se estudia la información que se puede obtener de la segunda derivada: concavidad, convexidad y puntos de inflexión. f cóncava en a => f creciente en a (f ''(a) > 0) f convexa en a => f decreciente en a (f ''(a) < 0)1 Al alumno debe quedarle muy claro que una función definida en un intervalo (y lo son la mayoría de las función que se pretenden optimizar), puede alcanzar el máximo, el mínimo o ambos en los extremos de este. No suele ser necesario recurrir a la segunda derivada para averiguar si un cierto punto singular es máximo o mínimo. Consideraciones del tipo: La función es derivable. Su derivada solo se anula en c y f (c) es mayor que el valor de f en los extremos del intervalo. Por tanto, f (c) es máximo, son absolutamente suficientes para caracterizar máximos o mínimos.

9 UNIDAD 6: CALCULO DE PRIMITIVAS UNIDAD 7: LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES Criterio de evaluación curricular: 6. Calcular integrales de funciones sencillas y aplicar los resultados para resolver problemas de cálculo de áreas de regiones planas contextualizados. Con este criterio se pretende constatar si el alumnado calcula integrales sencillas, utilizando los métodos básicos para el cálculo de primitivas y aplica los resultados para calcular integrales definidas y resolver con ellas problemas de cálculo de áreas de recintos limitados por rectas y curvas sencillas o dos curvas; ayudándose para ello de programas informáticos, e interpretando y contrastando los resultados obtenidos. Contenidos 1. Cálculo de la primitiva de una función mediante el uso de las técnicas elementales de integración. Aplicación al cálculo de integrales indefinidas. 2. Cálculo de integrales definidas. 3. Aplicación de los Teoremas del valor medio y fundamental del cálculo integral al cálculo de áreas de regiones planas. Estánderes de aprendizaje evaluables: 51. Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones. 52. Calcula el área de recintos limitados por rectas y curvas sencillas o por dos curvas. 53. Utiliza los medios tecnológicos para representar y resolver problemas de áreas de recintos limitados por funciones conocidas.

10 UNIDAD 6: CALCULO DE PRIMITIVAS OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Conocer el concepto de primitiva de una función y obtener primitivas de las funciones elementales 2. Dominar los métodos básicos: descomposición, sustitución, por partes, para el cálculo de primitivas de funciones Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Primitiva de una función - Obtención de primitivas de funciones elementales. - Simplificación de expresiones para facilitar su integración Cambio de variables bajo el signo integral - Obtención de primitivas mediante cambio de variables: integración por sustitución. Integración por partes - Cálculo de integrales por partes. (Ampliación) Descomposición de una función racional sencilla - Cálculo de la integral de una función racional descomponiéndola en fracciones elementales. 1. Conocer el concepto de primitiva de una función y obtener primitivas de las funciones elementales. 2. Dominar los métodos básicos para la obtención de primitivas de funciones: sustitución, por partes, integración de funciones racionales Halla la primitiva de una función elemental o de una función que, mediante simplificaciones adecuadas, se transforma en elemental desde la óptica de la integración Halla la primitiva de una función (sencilla) utilizando el método de sustitución Halla la primitiva de una función mediante la integración por partes (ampliación) 2.3 Halla la primitiva de una función racional por descomposición cuyo denominador tenga raíces reales simples o una raíz doble o complejas simples (a 2 +x 2 ). CAA SIEP CONOCIMIENTOS MÍNIMOS 1. Halla la primitiva de una función utilizando las integrales inmediatas y el método de sustitución ORIENTACIONES El cálculo de primitivas sencillas es fácil, pero requiere por parte de alumnos y alumnas atención y práctica. Con el fin de introducir adecuadamente y con sentido algunos procedimientos básicos para la integración, como son el cambio de variables y la integración por partes, se puede presentar una sencilla versión del concepto de diferencial. Con ella se puede manejar de manera perfectamente justificada la notación habitual de las integrales.

11 UNIDAD 7: LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Conocer el concepto de integral definida y sus aplicaciones básicas 2. Comprender el teorema fundamental del cálculo integral y su importancia para relacionar el área bajo una curva con un primitiva de la función correspondiente Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Integral definida - Concepto de integral definida. Propiedades. - Expresión del área de una figura plana conocida mediante una integral. Relación de la integral con la derivada - Teorema fundamental del cálculo. - Regla de Barrow. Cálculo de áreas mediante integrales - Cálculo del área entre una curva y el eje X. - Cálculo del área delimitada entre dos curvas. 1. Conocer el concepto, la terminología, las propiedades y la interpretación geométrica de la integral definida. 2. Comprender el teorema fundamental del cálculo y su importancia para relacionar el área bajo una curva con una primitiva de la función correspondiente. 3. Conocer y aplicar la regla de Barrow para el cálculo de áreas. 1. Halla la integral definida de una función elemental cualquiera 2. Calcula el área bajo una curva entre dos abscisas. 3. Calcula el área entre dos curvas. CEC CONOCIMIENTOS MÍNIMOS Calcula el área entre dos curvas que sean recta y parábola o dos parábolas ORIENTACIONES Hay multitud de funciones extraídas del mundo real para las cuales el área bajo la curva que las representa tiene una importante significación gráfica. Por tanto, es interesante saber hallar el área bajo la gráfica de la función. La función F que describe la variación del área bajo la gráfica de otra función f en un intervalo variable [a, x] tiene una serie de características interesantes, la más importante de las cuales es que cuanto mayor sea el valor de f, más rápidamente crece F. Para la buena comprensión de la integral definida, consideramos imprescindible que el estudiante: Comprenda el papel que juega el área bajo la curva en muchas funciones concretas. Se familiarice con la función área bajo la curva, F(x), y la relacione con la función inicial f(x). Se convenza intuitivamente de que la rapidez de crecimiento de F(x) viene dada, precisamente, por f(x). Llegue, pues, a la convicción, de que F'(x) = f(x). Una vez adquirida esta intuición, el teorema fundamental del cálculo se puede enunciar e incluso demostrar. La regla de Barrow es una consecuencia inmediata que, para el alumno o la alumna, será un instrumento sencillo y eficaz para el cálculo de áreas con sus correspondientes aplicaciones.

12 UNIDAD 8: MATRICES Y DETERMINANTES UNIDAD 9: SISTEMAS DE ECUACIONES Criterio de evaluación curricular: 3. Utilizar el lenguaje matricial, para transcribir problemas reales al lenguaje algebraico planteando sistemas de ecuaciones lineales y solucionarlos utilizando las operaciones con matrices y determinantes y sus propiedades. Con este criterio se quiere comprobar si el alumnado utiliza el lenguaje matricial como forma de expresión y organización de datos extraídos de problemas reales, formulando el sistema de ecuaciones lineales que represente dicha situación y utilizando las operaciones con matrices, los determinantes, el estudio del rango hasta orden 4 y el cálculo de la matriz inversa para clasificarlos y resolverlos (mediante el método de Gauss, Cramer, sustitución, igualación, etc.) cuando esto sea posible; analizando críticamente las soluciones y su significado y validez según el contexto del problema, valorando otros posibles métodos de resolución aportados por las demás personas, aceptando la crítica razonada y describiendo el proceso seguido de forma oral y escrita. Contenidos curriculares 1. Estudio de las matrices como herramienta para el manejo y el cálculo con datos estructurados en tablas y grafos. Clasificación de matrices y realización de operaciones. 2. Aplicación de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales. 3. Cálculo de determinantes y estudio de sus propiedades elementales. 4. Estudio del rango de una matriz y cálculo de la matriz inversa. 5. Representación matricial, discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, la regla de Cramer y otros métodos. Aplicación a la resolución de problemas reales. Estánderes de aprendizaje evaluables: 41. Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas o grafos y para representar sistemas de ecuaciones lineales, tanto de forma manual como con el apoyo de medios tecnológicos adecuados. 42. Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente, de forma manual o con el apoyo de medios tecnológicos. 43. Determina el rango de una matriz, hasta orden 4, aplicando el método de Gauss o determinantes. 44, Determina las condiciones para que una matriz tenga inversa y la calcula empleando el método más adecuado. 45.Resuelve problemas susceptibles de ser representados matricialmente e interpreta los resultados obtenidos. 46. Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, estudia y clasifica el sistema de ecuaciones lineales planteado, lo resuelve en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas.

13 UNIDAD 8: MATRICES Y DETERMINANTES OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Conocer las matrices, sus operaciones y aplicaciones, y utilizarlas para resolver problemas 2. Dominar el automatismo para el cálculo de determinantes 3. Conocer la caracterización del rango de una matriz por el orden de sus menores Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Matrices - Conceptos básicos: vector fila, vector columna, dimensión, matriz cuadrada, traspuesta, simétrica, triangular... Operaciones con matrices - Suma, producto por un número, producto. Propiedades. Matrices cuadradas 1. Conocer y utilizar eficazmente las matrices, sus operaciones y sus propiedades. 2. Conocer el significado de rango de una matriz y calcularlo mediante el método de Gauss Realiza operaciones combinadas con matrices Calcula el rango de una matriz numérica Relaciona el rango de una matriz con la dependencia lineal de sus filas o sus columnas. CAA CAA, SIEP - Matriz unidad. - Matriz inversa de otra (concepto). - Resolución de ecuaciones matriciales. n-uplas de números reales - Dependencia e independencia lineal. Propiedad fundamental. - Obtención de una n-upla combinación lineal de otras. - Constatación de si un conjunto de n-uplas son L.D. o L.I. 3. Resolver problemas algebraicos mediante matrices y sus operaciones Expresa un enunciado mediante una relación matricial, lo resuelve e interpreta la solución dentro del contexto del enunciado. CD Rango de una matriz - Obtención del rango de una matriz por observación de sus elementos (en casos evidentes). - Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss. Determinantes de órdenes dos y tres - Determinantes de orden dos. Propiedades. - Determinantes de orden tres. Propiedades. - Cálculo de determinantes de orden tres por la regla de Sarrus. Determinantes de 4. Dominar el automatismo para el cálculo de determinantes. 5. Conocer las propiedades de los determinantes y aplicarlas para el cálculo de estos Calcula el valor de un determinante u obtiene la expresión de un determinante 3 3 con un parámetro Obtiene el desarrollo (o el valor) de un determinante en el que intervienen parámetros, haciendo uso razonado de las propiedades de CD CMCT

14 orden n los determinantes. - Menor de una matriz. Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Propiedades. - Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. - Aplicaciones de las propiedades de los determinantes en el cálculo de estos y en la comprobación de identidades. Rango de una matriz mediante determinantes - El rango de una matriz como el máximo orden de sus menores no nulos. - Determinación del rango de una matriz a partir de sus menores. Cálculo de la inversa de una matriz 6. Conocer la caracterización del rango de una matriz por el orden de sus menores, y aplicarla a casos concretos. 7. Calcular la inversa de una matriz mediante determinantes Reconoce las propiedades que se utilizan en las igualdades entre determinantes Halla el rango de una matriz numérica mediante determinantes Discute el valor del rango de una matriz en la que interviene un parámetro Reconoce la existencia o no de la inversa de una matriz y la calcula en su caso. SIEP CAA - Expresión de la inversa de una matriz a partir de los adjuntos de sus elementos. - Cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes. CONOCIMIENTOS MÍNIMOS 1. Opera con matrices 2. Calcula el valor de un determinante numérico 3. Discute el rango de una matriz según los valores de un parámetro 4. Halla el rango de una matriz 5. Halla la matriz inversa ORIENTACIONES La suma de matrices y el producto de una matriz por un número se definen de forma natural. Sin embargo, el producto de matrices parece más artificioso. Por ello se le dedica más espacio y atención, tanto para aprender su proceso de obtención como el significado que tiene este producto en diversos contextos. Las propiedades de las operaciones están cargadas de contenido teórico. En su mayor parte podrían prescindir de estas los estudiantes menos interesados. Es necesario, sin embargo, insistir en la no conmutatividad del producto y de las repercusiones que trae a la hora de despejar una matriz incógnita en una ecuación matricial. El estudio del rango de una matriz será muy útil para la discusión de sistemas de ecuaciones. El objetivo de esta unidad es que el alumno calcule determinantes de cualquier orden y los aplique en la obtención del rango de una matriz. Determinantes de orden dos. Cálculo. Propiedades descritas de la forma más general posible con el fin de que abran el camino a las mismas propiedades en determinantes de órdenes superiores. Determinantes de orden tres. Regla de Sarrus, prestando atención a que participan todos los posibles productos de tres factores, uno de cada fila y de cada columna. Propiedades, nuevamente justificadas. El dominio en el cálculo de determinantes y la comprensión de sus propiedades se utiliza para hallar el rango de una matriz. Se seleccionarán ejercicios donde se pongan de manifiesto la aplicación de las propiedades de los determinantes para efectuar simplificaciones o para justificar igualdades.

15 UNIDAD 9: SISTEMAS DE ECUACIONES OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Dominar los conceptos y nomenclatura asociados a los sistemas de ecuaciones 2. Conocer el teorema de Rouché Frobenius, la Regla de Cramer y el método de Gauss, y utilizarlos para la discusión y/o resolución de sistemas de ecuaciones. Hacer uso de los sistemas en la resolución de problemas. Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Sistemas de ecuaciones lineales - Sistemas equivalentes. - Transformaciones que mantienen la equivalencia. - Sistema compatible, incompatible, determinado, indeterminado. - Interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones con dos o tres incógnitas según sea compatible o incompatible, determinado o indeterminado. Método de Gauss - Estudio y resolución de sistemas por el método de Gauss. Teorema de Rouché - Aplicación del teorema de Rouché a la discusión de sistemas de ecuaciones. Regla de Cramer - Aplicación de la regla de Cramer a la resolución de sistemas. Sistemas homogéneos - Resolución de sistemas homogéneos. Discusión de sistemas - Aplicación del teorema de Rouché y de la regla de Cramer a la discusión y la resolución de sistemas dependientes de un parámetro. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones - Resolución de sistemas de ecuaciones dados en forma matricial. 1. Dominar los conceptos y la nomenclatura asociados a los sistemas de ecuaciones y sus soluciones (compatible, incompatible, determinado, indeterminado), e interpretarlos geométricamente para 2 y 3 incógnitas. 2. Conocer y aplicar el método de Gauss para estudiar y resolver sistemas de ecuaciones lineales. 3. Conocer el teorema de Rouché y la regla de Cramer y utilizarlos para la discusión y la resolución de sistemas de ecuaciones Conoce lo que significa que un sistema sea incompatible o compatible, determinado o indeterminado, y aplica este conocimiento para reconocerlo Interpreta geométricamente sistemas lineales de 2 o 3 ecuaciones con 2 o 3 incógnitas Resuelve sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss Aplica el teorema de Rouché para dilucidar cómo es un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes numéricos Aplica la regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales, 2 2 o 3 3, con solución única Cataloga cómo es (teorema de Rouché) y resuelve, en su caso, un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes numéricos. CCL CEC SIEP Resolución de problemas mediante ecuaciones - Traducción a sistema de 3.4. Discute y resuelve un sistema de ecuaciones dependiente de un

16 ecuaciones de un problema, resolución e interpretación de la solución. 4. Resolver matricialmente sistemas n n (n 3) mediante la obtención de la inversa de la matriz de los coeficientes. parámetro Expresa matricialmente un sistema de ecuaciones y, si es posible, lo resuelve hallando la inversa de la matriz de los coeficientes. CAA 5. Resolver problemas algebraicos mediante sistemas de ecuaciones Expresa algebraicamente un enunciado mediante un sistema de ecuaciones, lo resuelve e interpreta la solución dentro del contexto del enunciado. CCL CONTENIDOS MÍNIMOS 1. Aplica el método de Gauss para resolver sistemas 2. Aplica la regla de Cramer para resolver sistemas compatibles determinados 3. Clasifica un sistema de ecuaciones utilizando el teorema de Rouché 4. Discute y resuelve sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro 5. Resuelve sistemas homogéneos ORIENTACIONES Es importante, que el alumno considere válidos todos los métodos que conoce y vea los nuevos como una mejora de ellos. Por eso el método de Gauss será una generalización del método de reducción, que permite llegar a un sistema de ecuaciones que se puede resolver escalonadamente. Se recomienda trabajar ejercicios y cuestiones de sistemas de ecuaciones hasta el orden 4x3 ya que el bloque de geometría se necesita para resolver las posiciones relativas. Una vez que los estudiantes se familiaricen con la regla de Cramer y su aplicación a la resolución de ecuaciones, aprenderán a escoger entre este método o el de Gauss para resolver sistemas. Entendemos que: Para resolver sistemas de ecuaciones con coeficientes numéricos, con frecuencia es preferible el método de Gauss. Para discutir sistemas de ecuaciones dependientes de parámetros, casi siempre es preferible recurrir a los determinantes, tanto más cuantas más veces aparezca el parámetro (o los parámetros).

17 UNIDAD 10: VECTORES EN EL ESPACIO; UNIDAD 11: GEOMETRÍA AFIN; UNIDAD 12: GEOMETRÍA MÉTRICA Criterio de evaluación curricular 7. Utilizar el lenguaje vectorial para expresar situaciones y problemas geométricos y físicos en el espacio y utilizar las propiedades y las operaciones con vectores para resolverlos e interpretar las soluciones; además utilizar las ecuaciones de la recta y el plano para resolver problemas métricos y estudiar posiciones relativas, ayudándose para todo ello de programas informáticos. Con este criterio se quiere evaluar si el alumnado transcribe situaciones y problemas geométricos y físicos al lenguaje vectorial en tres dimensiones y utiliza las propiedades y operaciones entre vectores (producto escalar, vectorial y mixto) para resolverlos e interpretar las soluciones; además, se ha de averiguar si calcula las diferentes ecuaciones de la recta y el plano, identificando en ellas sus distintos elementos y las utiliza para estudiar posiciones relativas ( incidencia, paralelismo, perpendicularidad ) y resolver problemas métricos (ángulos, distancias, áreas, volúmenes ), ayudándose para todo ello de programas informáticos. Contenidos 1. Operaciones con vectores en el espacio tridimensional (producto escalar, vectorial y mixto) y significado geométrico. 2. Cálculo de las ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. 3. Estudio de posiciones relativas (incidencia, paralelismo y perpendicularidad) entre rectas y planos. 4. Cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. Estándares de aprendizaje evaluables 54. Realiza operaciones elementales con vectores, manejando correctamente los conceptos de base y de dependencia e independencia lineal. 55. Expresa la ecuación de la recta de sus distintas formas, pasando de una a otra correctamente, identificando en cada caso sus elementos característicos, y resolviendo los problemas afines entre rectas. 56. Obtiene la ecuación del plano en sus distintas formas, pasando de una a otra correctamente. 57. Analiza la posición relativa de planos y rectas en el espacio, aplicando métodos matriciales y algebraicos. 58. Obtiene las ecuaciones de rectas y planos en diferentes situaciones. 59. Maneja el producto escalar y vectorial de dos vectores, significado geométrico, expresión analítica y propiedades. 60. Conoce el producto mixto de tres vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y propiedades. 61. Determina ángulos, distancias, áreas y volúmenes utilizando los productos escalar, vectorial y mixto, aplicándolos en cada caso a la resolución de problemas geométricos. 62. Realiza investigaciones utilizando programas informáticos específicos para seleccionar y estudiar situaciones nuevas de la geometría relativas a objetos como la esfera.

18 UNIDAD 10: VECTORES EN EL ESPACIO OBJETIVOS DIÁCTICOS 1. Conocer los vectores del espacio tridimensional y sus operaciones y utilizarlas para la resolución de problemas geométricos Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Vectores en el espacio - Operaciones. Interpretación gráfica. - Combinación lineal. - Dependencia e independencia lineal. - Base. Coordenadas. Producto escalar de vectores - Propiedades. - Expresión analítica. - Cálculo del módulo de un vector. - Obtención de un vector con la dirección de otro y módulo predeterminado. - Obtención del ángulo formado por dos vectores. - Identificación de la perpendicularidad de dos vectores. - Cálculo del vector y proyección de un vector sobre la dirección de otro. Producto vectorial de vectores - Propiedades. - Expresión analítica. - Obtención de un vector perpendicular a otros dos. - Cálculo del área del paralelogramo determinado por dos vectores. Producto mixto de tres vectores - Propiedades. - Expresión analítica. - Cálculo del volumen de un paralelepípedo determinado por tres vectores. - Identificación de si tres vectores son linealmente independientes mediante el producto mixto. 1. Conocer los vectores del espacio tridimensional y sus operaciones, y utilizarlos para la resolución de problemas geométricos Realiza operaciones elementales (suma y producto por un número) con vectores, dados mediante sus coordenadas, comprendiendo y manejando correctamente los conceptos de dependencia e independencia lineal, así como el de base Domina el producto escalar de dos vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades, y lo aplica a la resolución de problemas geométricos (módulo de un vector, ángulo de dos vectores, vector proyección de un vector sobre otro y perpendicularidad de vectores) Domina el producto vectorial de dos vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades, y lo aplica a la resolución de problemas geométricos (vector perpendicular a otros dos, área del paralelogramo determinado por dos vectores) Domina el producto mixto de tres vectores, su significado geométrico, su expresión analítica y sus propiedades, y lo aplica a la resolución de problemas geométricos (volumen del paralelepípedo determinado por tres vectores, decisión de si tres vectores son linealmente CAA, CMCT

19 independientes). CONOCIMIENTOS MÍNIMOS 1. Realiza operaciones analíticas con los vectores 2. Determina vectores ortogonales a uno dado 3. Conoce la expresión analítica del producto escalar 4. Conoce el significado y la interpretación del producto vectorial ORIENTACIONES Se comienza la geometría analítica construyendo todas las herramientas vectoriales que se utilizarán en las unidades posteriores: manejo de los vectores mediante sus coordenadas y los productos escalar, vectorial y mixto, con sus interesantes y útiles aplicaciones geométricas. En la presentación recordamos algunos resultados geométricos y trigonométricos básicos para el resto de la unidad: área de un paralelogramo en función de sus lados y el ángulo que forman, volumen de un paralelepípedo a partir de sus aristas y los ángulos que forman, y diagonal de un ortoedro. Recordamos (primer curso) las operaciones con vectores y su significado geométrico e introducimos sus coordenadas (ahora, tres) para lo cual los estudiantes recuerdan los conceptos de dependencia e independencia lineal, así como el de base. Al producto escalar y al producto vectorial de dos vectores les dedicamos, a cada uno de ellos, dos apartados. En el primero, de corte teórico, se define y se interpreta el producto y se enuncian y demuestran muchas de sus propiedades.

20 UNIDAD 11: GEOMETRÍA AFIN OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Dominar las distintas formas de ecuaciones de rectas y planos y utilizarlas para resolver problemas afines (inclusión, paralelismo, posiciones relativas, etc.) Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Sistema de referencia en el espacio - Coordenadas de un punto. - Representación de puntos en un sistema de referencia ortonormal. Aplicación de los vectores a problemas geométricos - Punto que divide a un segmento en una razón dada. - Simétrico de un punto respecto a otro. - Comprobación de si tres o más puntos están alineados. Ecuaciones de una recta - Ecuaciones vectorial, paramétricas, continua e implícita de la recta. - Estudio de las posiciones relativas de dos rectas. Ecuaciones de un plano - Ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita de un plano. Vector normal. - Estudio de la posición relativa de dos o más planos. - Estudio de la posición relativa de un plano y una recta. 1. Utilizar un sistema de referencia ortonormal en el espacio y, en él, resolver problemas geométricos haciendo uso de los vectores cuando convenga. 2. Dominar las distintas formas de ecuaciones de rectas y de planos, y utilizarlas para resolver problemas afines: pertenencia de puntos a rectas o a planos, posiciones relativas de dos rectas, de recta y plano, de dos planos Representa puntos de coordenadas sencillas en un sistema de referencia ortonormal Utiliza los vectores para resolver algunos problemas geométricos: puntos de división de un segmento en partes iguales, comprobación de puntos alineados, simétrico de un punto respecto a otro Resuelve problemas afines entre rectas (pertenencia de puntos, paralelismo, posiciones relativas) utilizando cualquiera de las expresiones (paramétricas, implícita, continua...) Resuelve problemas afines entre planos (pertenencia de puntos, paralelismo...) utilizando cualquiera de sus expresiones (implícita o paramétricas). CAA CMCT 2.3. Resuelve problemas afines entre rectas y planos. CONOCIMIENTOS MÍNIMOS 1. Comprueba si tres puntos en el espacio están alineados 2. Determina ecuaciones de rectas y planos 3. Estudia la posición relativa de dos rectas 4. Interpreta geométricamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas ORIENTACIONES Se inicia la unidad construyendo un sistema de referencia ortogonal del espacio tridimensional a partir de los vectores i, j, k. Se plantearán los problemas que pueden resolverse con el uso directo de los vectores. Se trabajarán las distintas ecuaciones de rectas y planos y se resolverán problemas de incidencia y paralelismo UNIDAD 12: GEOMETRÍA MÉTRICA

21 OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Utilizar las propiedades de los vectores (productos escalar, vectorial y mixto) y las ecuaciones de rectas y planos para resolver problemas métricos en el espacio: obtención de ángulos, distancias, áreas, volúmenes Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Ángulos entre rectas y planos - Vector dirección de una recta y vector normal a un plano. - Obtención del ángulo entre dos rectas, entre dos planos o entre recta y plano. Distancia entre puntos, rectas y planos - Cálculo de la distancia entre dos puntos. - Cálculo de la distancia de un punto a una recta por diversos procedimientos. - Distancia de un punto a un plano mediante la fórmula. - Cálculo de la distancia entre dos rectas por diversos procedimientos. Área de un triángulo y volumen de un tetraedro - Cálculo del área de un paralelogramo y de un triángulo. - Cálculo del volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro. 1. Obtener el ángulo que forman dos rectas, una recta y un plano o dos planos. 2. Hallar la distancia entre dos puntos, de un punto a una recta, de un punto a un plano o entre dos rectas que se cruzan. 3. Hallar áreas y volúmenes utilizando el producto vectorial o el producto mixto de vectores. 4. Resolver problemas métricos variados Calcula los ángulos entre rectas y planos. Obtiene una recta o un plano conociendo, como uno de los datos, el ángulo que forma con otra figura (recta o plano) Halla la distancia entre dos puntos o de un punto a un plano Halla la distancia de un punto a una recta mediante el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto, o bien haciendo uso del producto vectorial Halla la distancia entre dos rectas que se cruzan, justificando el proceso seguido Halla el área de un paralelogramo o de un triángulo Halla el volumen de un paralelepípedo o de un tetraedro Halla el simétrico de un punto respecto de una recta o de un plano. CCL SIEP CAA 4.2. Resuelve problemas geométricos en los que intervengan perpendicularidades, distancias, ángulos, incidencia, paralelismo... CEC CONOCIMIENTOS MÍNIMOS 1. Halla la ecuación de una recta perpendicular a otra pasando por un punto 2. Calcula ángulos entre rectas secantes, entre recta y plano y entre dos planos 3. Calcula distancias entre puntos, rectas y planos. Calcula el área de un triángulo conocidos sus vértices y el volumen de un tetraedro.

22 ORIENTACIONES Para el cálculo de ángulos basta que el alumno reconozca el vector que caracteriza a cada figura, utilice el sentido común y aplique la expresión del coseno del ángulo de dos vectores. La distancia de dos rectas que se cruzan se calculará creando un vector genérico y obligando que sea perpendicular a la recta o a las rectas. Creemos que este método es muy instructivo.

23 UNIDAD 13: PROBABILIDAD OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Conocer los conceptos de probabilidad condicionada, dependencia e independencia de sucesos, probabilidad total y probabilidad a posteriori, y utilizarlos para calcular probabilidades. Criterio de evaluación curricular 8. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios, independientes o no, en experimentos simples y compuestos e interpretarlas, utilizando para ello diferentes leyes, teoremas y técnicas de recuento, con la finalidad de tomar decisiones ante diversas situaciones y argumentar su elección. Con este criterio se quiere comprobar si el alumnado, mediante diferentes técnicas de recuento (combinatoria, estrategias personales, diagramas de árbol, tablas de doble entrada ) calcula probabilidades en sucesos aleatorios, simples, compuestos y condicionados, para tomar decisiones ante diversas situaciones y argumentar su elección, aplicando para ello la regla de Laplace, el teorema de Bayes y la axiomática de Kolmogorov. Contenidos curriculares 1. Asignación de probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace y a partir de su frecuencia relativa. Uso de la axiomática de Kolmogorov. 2. Aplicación de la combinatoria al cálculo de probabilidades. 3. Estudio de la dependencia e independencia de sucesos y cálculo de la probabilidad condicionada. 4. Aplicación de los Teoremas de la probabilidad total y de Bayes al cálculo de probabilidades iniciales y finales y al estudio de la verosimilitud de un suceso. Estándares de aprendizaje evaluables 63. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento. 64. Calcula probabilidades a partir de los sucesos que constituyen una partición del espacio muestral. 65. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la fórmula de Bayes.

24 Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables CC Sucesos - Operaciones y propiedades. - Reconocimiento y obtención de sucesos complementarios incompatibles, unión de sucesos, intersección de sucesos... - Propiedades de las operaciones con sucesos. Leyes de Morgan. Ley de los grandes números - Frecuencia absoluta y frecuencia relativa de un suceso. - Frecuencia y probabilidad. Ley de los grandes números. - Propiedades de la probabilidad. - Justificación de las propiedades de la probabilidad. Ley de Laplace - Aplicación de la ley de Laplace para el cálculo de probabilidades sencillas. Probabilidad condicionada - Dependencia e independencia de dos sucesos. - Cálculo de probabilidades condicionadas. Fórmula de la probabilidad total - Cálculo de probabilidades totales. Fórmula de Bayes - Cálculo de probabilidades a posteriori. 1. Conocer y aplicar el lenguaje de los sucesos y la probabilidad asociada a ellos, así como sus operaciones y propiedades. 2. Conocer los conceptos de probabilidad condicionada, dependencia e independencia de sucesos, probabilidad total y probabilidad a posteriori, y utilizarlos para calcular probabilidades Expresa mediante operaciones con sucesos un enunciado Aplica las leyes de la probabilidad para obtener la probabilidad de un suceso a partir de las probabilidades de otros Aplica los conceptos de probabilidad condicionada e independencia de sucesos para hallar relaciones teóricas entre ellos Calcula probabilidades planteadas mediante enunciados que pueden dar lugar a una tabla de contingencia Calcula probabilidades totales o a posteriori utilizando un diagrama en árbol o las fórmulas correspondientes. CCA, CD CCA, CD Tablas de contingencia - Manejo e interpretación de las tablas de contingencia para plantear y resolver algunos tipos de problemas de probabilidad. Diagrama en árbol - Posibilidad de visualizar gráficamente procesos y relaciones probabilísticos. - Utilización del diagrama en árbol para describir el proceso de resolución de problemas con experiencias compuestas. Cálculo de probabilidades totales y probabilidades a posteriori. CONOCIMIENTOS MÍNIMOS

25 1. Obtener la probabilidad de un suceso a partir de la probabilidad de otros utilizando las propiedades de la probabilidad 4. Utiliza la combinatoria para asignar probabilidades 2. Calcula probabilidades condicionadas utilizando tablas de contingencia 3. Calcula probabilidades totales y a posteriori usando diagramas de árbol ORIENTACIONES 1. La resolución de problemas de probabilidad se resolverán por cualquier método con tal de que se haga de manera comprensiva. 2. Los problemas de apariencia compleja se resolverán descomponiendo la experiencia en otras experiencias sencillas cuyas probabilidades son muy fáciles de obtener.

26 UNIDAD 12: DISTRBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1, Conocer las distribuciones de probabilidad de variable discreta y utilizar la distribución binomial para calcular probabilidades. 2. Conocer las distribuciones de probabilidad de variable continua y utilizar la distribución normal para calcular probabilidades. 3, Conocer la posibilidad de utilizar la distribución normal para calcular probabilidades de algunas distribuciones binomiales. Criterio de evaluación curricular 9. Identificar los fenómenos que se ajustan a distribuciones de probabilidad binomial y normal en diferentes ámbitos y determinar la probabilidad de diferentes sucesos asociados para interpretar informaciones estadísticas. Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado identifica fenómenos que pueden modelizarse mediante las distribución binomial, normal y la distribución binomial a partir su aproximación por la normal; calculando probabilidades de sucesos asociados a cada una de ellas a partir de su función de probabilidad, de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo u otra herramienta tecnológica, y las aplica en diversas situaciones para interpretar informaciones estadísticas que aparecen en los medios de comunicación y detectar errores; todo ello analizando críticamente los resultados y utilizando el vocabulario adecuado para comunicar sus conclusiones. Contenidos curriculares 1. Distribución de probabilidad en variables aleatorias discretas. Cálculo de la media, la varianza y la desviación típica. 2. Caracterización e identificación del modelo de distribución binomial y cálculo de probabilidades. 3. Caracterización, identificación y tipificación de la distribución normal. Asignación de probabilidades en una distribución normal. 4. Cálculo de probabilidades mediante la aproximación de la distribución binomial por la normal. Estándares de aprendizaje evaluables 66. Identifica fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribución binomial, obtiene sus parámetros y calcula su media y desviación típica. 67. Calcula probabilidades asociadas a una distribución binomial a partir de su función de probabilidad, de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo u otra herramienta tecnológica. 68. Conoce las características y los parámetros de la distribución normal y valora su importancia en el mundo científico. 69. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribución normal a partir de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo u otra herramienta tecnológica. 70. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribución binomial a partir de su aproximación por la normal valorando si se dan las condiciones necesarias para que sea válida. 71. Utiliza un vocabulario adecuado para describir situaciones relacionadas con el azar.