Introducción a las wavelets y sus aplicaciones al procesamiento de imágenes

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Víctor Manuel Rojas Montero
hace 6 años
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1 Introducción a las wavelets y sus aplicaciones al procesamiento de imágenes Ana Ruedin Departamento de Computación, ECImag 2008 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires

2 1. Como surgieron las wavelets. Qué son. 2. Transformada wavelet continua. Detección de dígitos manuscritos. 3. Transformada wavelet discreta. Compresión (con pérdida) 4. Transformada wavelet de enteros a enteros. Compresión (sin pérdida) 5. Transformada wavelet invariante. Detección de bordes de una imagen. Reconstrucción a partir de los bordes. Descriptores para la identificación de texturas y búsqueda en bases de datos de imágenes 6. Transformada wavelet continua discretizada sobre una grilla especial. Análisis y síntesis de música

3 Bases de cosenos (Parte real de la transf Fourier) cos( x) { cos(kx) } cos( 3 x) f ( x) = b k cos( kx) k cos( 7 x)

4 Bases de cosenos (Parte real de la transf Fourier) cos( x) { cos(kx) } cos( 3 x) f ( x) = b k cos( kx) k cos( 7 x) f (x) Coeficientes b coeficientes b

5 Bases de cosenos (Parte real de la transf Fourier) cos( x) { cos(kx) } cos( 3 x) f ( x) = b k cos( kx) k cos( 7 x) f (x) Coeficientes b coeficientes b k b cos( kx) k Reconstrucción con los 5 coeficientes de mayor magnitud

6 Bases de cosenos Fourier No hay información temporal Excelente información frecuencial Cuando la señal es 0, las bases se cancelan

7 Bases de cosenos Fourier No hay información temporal Excelente información frecuencial Cuando la señal es 0, las bases se cancelan Jean Morlet 1980 Prospección de petróleo. bombas de estruendo eco sensores Las ondas sonoras atraviesan las capas de materiales diferentes a distintas velocidades conocimiento sobre capas de suelo

8 Bases de cosenos Fourier No hay información temporal Excelente información frecuencial Cuando la señal es 0, las bases se cancelan Jean Morlet 1980 Prospección de petróleo. bombas de estruendo eco sensores Las ondas sonoras atraviesan las capas de materiales diferentes a distintas velocidades conocimiento sobre capas de suelo Sistemas de ecuaciones en 4 d. Grandes volúmenes de datos Se resuelve por Fourier. En los intervalos entre el estallido de las bombas de estruendo, la solución no era nula.

9 Qué son las wavelets? Ψ( x) dx = 0 Cambios de escala x Ψ a a = 0.5 a = 1 a = 2 a = 4

10 Qué son las wavelets? ( a = 2) b = 2 Traslaciones Ψ x b a b = 0 b = 4 Transformada: un producto escalar x, y = i x i y i f ( x) 1 a Ψ x b a dx 0

11 f(x) a Transformada wavelet continua b W f ( a, b) = f ( x) 1 a Ψ x b a dx

12 f(x) a puntos a = 2 j Se discretizan los argumentos a y b b b = 2 j k

13 Transformada wavelet discreta Función de escala Φ(x) Wavelet Ψ ( x) Φ( x) dx = 1 Ψ( x) dx = 0 V j span Φ x 2 2 = j j k Subespacios de aproximación W j span Ψ x 2 2 = j Subespacios de detalle j k

14 Transformada wavelet discreta W 2 V 2 V1 V0... V 2 V 1 V 0 V = V j + 1 W j + 1 j W 1 Transformada rápida: promedio ponderado de la señal con 8 coeficientes.

15 Transformada wavelet discreta W 2 V 2 V1 V0... V 2 V 1 V 0 V = V j + 1 W j + 1 j W 1 Transformada: proyección sobre los subespacios de aproximación y detalle f ( x) = 1) x 2k Φ + (1) x 2 ck dk Ψ 2 2 k k ( k V 1 W1

16 (0) c Transformada wavelet discreta Señal original Señal suavizada Detalle omitido

17 (0) c Transformada wavelet discreta Señal original Señal suavizada Detalle omitido (1) c d (1)

18 Transformada wavelet discreta Señal original suma de detalles a diferentes escalas + una aproximación burda aproximación { detalles

19 Esquema de la transformada : 2 pasos (0) c h 2 hg 2 (1) c d (1) h g 2 2 (2) c d (2) H (w) G(w) Convolución o filtrado 2 Decimación o submuestreo de a 2; se eliminan los impares (1) (1) c d w h filtro pasa bajos g filtro pasa altos (2) c d (2)

20 Transformada wavelet discreta

21 Transformada wavelet discreta

22 Transformada wavelet discreta 1 paso A 1 H 1 V 1 D 1 A Aproximación V detalle Vertical H detalle Horizontal D detalle Diagonal

23 Transformada wavelet discreta A 1 H 1 V 1 D 1 A Aproximación A 2 H 2 V 2 D 2 1 paso V detalle Vertical 2 pasos H detalle Horizontal D detalle Diagonal H 1 V 1 D 1

24 Umbrales de 25, 10 y 5% Representación rala de una imagen Concentra la energía en pocos coeficientes: compresión. Separación en detalles de ubicación y escala diferentes: textura, bordes, etc.

25 Original 256 KB Comprimida 2 KB!!! bpp Compresión 122:1 Compresión (con pérdida) JPEG (24.43 db) DCT 8 x 8 Usando wavelets (27.74 db) Tesis de licenciatura: Manzano y Martínez Ricci 1999

Compresión sin pérdida de imágenes satelitales 8 bandas Respuestas a ciertas frecuencias del espectro electromagnético Objetivo: aprovechar correlación

26 Compresión sin pérdida de imágenes satelitales 8 bandas Respuestas a ciertas frecuencias del espectro electromagnético Objetivo: aprovechar correlación entre las bandas Problema: grandes volúmenes de datos 1 banda 50 MB 8 bandas 400 MB... Investigación conjunta con Daniel Acevedo (estudiante de doctorado)

27 Compresión sin pérdida de imágenes satelitales Wavelets de enteros a enteros Imagen Imagen transformada DV3 DH3 DD3 DV2 DV1 DH2 DD2 biyección DH1 DD1... Pixeles: Coeficientes: Investigación conjunta con Daniel Acevedo (estudiante de doctorado)

28 COMPRESOR Compresión sin pérdida de imágenes satelitales Wavelet: se reduce la correlación espacial. Se clasifica la imagen. Se predice cada coeficiente (utilizando coefs ya codificados). Se codifican las diferencias de predicción Codificador aritmético (basado en la entropía) Resultados en MB Imágenes originales: 400MB NUESTRO METODO WINZIP LOCO-I JPEG2000 PNG Buenos Aires 104,76 161,05 106,88 113,53 121,67 Santa Cruz 90,37 139,94 98,43 99,54 105,61 San Luis 103,98 159,24 105,33 111,30 117,92 Mendoza 116,72 179,80 118,83 125,10 136,65 Investigación conjunta con Daniel Acevedo (estudiante de doctorado) Tasa de compresión 4.23 :1

29 Transformada wavelet invariante Los detalles horizontales, verticales y diagonales tienen el mismo tamaño que la imagen original. Transformada redundante. Invariante a traslaciones. Sin submuestreo (o decimación).

30 Detección de bordes Aproximaciones Detalles

31 Detección de bordes Detalles Máximos locales del módulo Las singularidades más importantes se propagan hacia las escalas más gruesas

32 Detección de bordes

33 Detección de bordes

34 Detección de bordes

35 Tesis de licenciatura: Marcos Nuñez Cortés, 2005 Detección de bordes

36 Identificación de texturas Fig. 2: Brodatz texture collection 16 imágenes de 64x64 de cada textura

37 Identificación de texturas Histograma conjunto de detalle horizontal y vertical Transformada Wavelet Discreta Transformada Wavelet Invariante Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 De Ves, Ruedin, Acevedo, Benavent, Seijas, CAIP 2006

Identificación de texturas Histograma de módulos

3 De Ves, Ruedin, Acevedo, Benavent, Seijas, CAIP

38 Identificación de texturas Histograma de módulos Transformada Wavelet Invariante Histograma circular de ángulos Distancia basada en la divergencia Kullback Leibler Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 De Ves, Ruedin, Acevedo, Benavent, Seijas, CAIP % Recuperación en una base de diferentes texturas En promedio

39 Reconocimiento de dígitos manuscritos. Tesis de licenciatura en curso. Alumno: D.J.Romero. Codirección: L.Seijas. Algunas muestras de la base de dígitos CENPARMI, de la Universidad de Concordia Se utiliza una red neuronal dígitos para entrenamiento para testeo.

40 Reconocimiento de dígitos manuscritos. Transformada wavelet continua para imágenes ) ) /,( ( ), ( ),,,, ( dx dx a b x b x R x x f b b a W y x a y x f Ψ = ε ε θ θ f(x) b a 1 D Se estira la wavelet Se hace una rotación Son 5 parámetros.

41 V Reconocimiento de dígitos manuscritos. i. Curvatura ii. Suma de cuadrados de los módulos del gradiente iii. Entropía de módulos del gradiente iv. Entropía de los ángulos del gradiente v. Suma de cuadrados de la transf. Sombrero Mejicano para distintos ángulos vi. Entropía de módulos de la transf. Sombrero Mejicano para distintos ángulos vii. Densidad escala-ángulo (i,v) (ii,vi)

42 Reconocimiento de dígitos manuscritos. Dígito Versión suavizada + Vector V Red Neuronal Perceptrón multicapa Clase PREPROCESAMIENTO BASADO EN LA TRANSFORMADA WAVELET Reconocimiento sobre el conjunto de entrenamiento Reconocimiento sobre el conjunto de testeo % %

43 Bases wavelets para música. Bases estables para música en dominio tiempo-frecuencia Investigación conjunta con Juan Vuletich, tesista de licenciatura

44 Gabor Weyl-Heisenberg Grilla uniforme frecuencia a Bases wavelets para música. Principio de incertidumbre Heisenberg σ t σ f 1 2 b tiempo { } e i 2π jbt g( t ka) g Gaussiana Localización tiempo- frecuencia óptima ab = 1 ab < 1 bases frames inestables estables Representaciones redundantes

45 Música Bases wavelets para música = a0 F1 2 F1 F = 1 octava F = a 2 0 F1 F = a 2 0 F1 F 1 progresión geométrica Cociente de 2 frecuencias de notas adyacentes = constante a = 2 irracional

46 Wavelets usadas para la trasformada wavelet discreta Bases wavelets para música. Mosaico: área constante Se necesita mayor tiempo para identificar una frecuencia baja 1 octava= 12 notas 1 octava 1 j / 2 2 t 2 Ψ j 2 j k Bases estables Excelente localización en el tiempo Localización de las frecuencias: no muy buena

47 Grilla especial para una octava Mosaicos: área constante Mosaicos más largos para frecuencias más bajas Bases wavelets para música. F 12 F 1 tiempo

49 Distintas wavelets: usos diferentes! Gracias!

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