Procesamiento de Señales basado en Wavelets Notas de Clase - Parte II

Transcripción

1 de Procesamiento de Señales basado en s Notas de Clase - Juan Carlos Gómez 1 <jcgomez@fceia.unr.edu.ar> 1 Laboratorio de Sistemas Dinámicos y Procesamiento de la Información FCEIA, Universidad Nacional de Rosario, Argentina Semestre 2, 2006 (s) Semestre 2, / 19

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3 de de Para una señal f(t), nuestro interés es conocer su contenido frecuencial en función del tiempo. La de de f(t) F (ω) F {f(t)} = f(t)e jωt dt, permite analizar el contenido frecuencial de la señal pero la información de localización temporal se pierde. La localización temporal se puede lograr pasando la señal f(t) a través de una ventana y luego tomando la de. Se obtiene la denominada de (WFT: Windowed Transform) F W IN (ω, t) F W IN {f(t)} f(s)g(s t)e jωs ds (s) Semestre 2, / 19

4 de de Fig. 1: de. La WFT también es conocida como de de Tiempo Corto (STFT: Short Time Transform) (s) Semestre 2, / 19

5 de de La STFT mapea una señal función del tiempo en una función de las variables tiempo y frecuencia. Provee información de que componentes en frecuencia están presentes y en que momento. Sin embargo, la información de localización tiempo-frecuencia sólo puede obtenerse con una precision limitada que es determinada por el ancho de la ventana temporal utilizada. Más difundida es la versión discreta de la STFT, definida como F W IN (m, n) F W IN (ω, t) ω=mω0,t=nt 0 = f(s)g(s nt 0 )e jmω 0s ds (s) Semestre 2, / 19

6 de de Para un n dado, la F W IN (m, n) corresponde a la de de f( )g( nt 0 ). Si g tiene soporte compacto, la elección de un ω 0 apropiado permitirá reconstruir f( )g( nt 0 ) con F W IN (, n). Cambiando n permite tomar diferentes porciones de f, permitiendo reconstruir f a partir de F W IN (m, n). Si la ventana g y su transformada de ĝ están concentradas alrededor del cero, entonces F W IN (m, n) puede interpretarse como el contenido frecuencial de f en el tiempo t = nt 0 alrededor de la frecuencia ω = mω 0. (s) Semestre 2, / 19

7 de de Puede probarse que la señal f puede reconstruirse a partir de su WFT F W IN (ω, t). El siguiente Teorema da una fórmula de reconstrucción y prueba la Identidad de Parseval para el cómputo de la energía. Teorema: Si f L 2 (R) entonces f(t) = 1 F W IN (ξ, u)g(t u)e jξt dξdu (1) 2π y f(t) 2 dt = 1 F W IN (ξ, u) 2 dξdu (2) 2π (s) Semestre 2, / 19

8 de de La fórmula (1) de reconstrucción de f(t) a partir de su WFT puede escribirse como f(t) = 1 2π f, g u,ξ g u,ξ (t)dξdu (3) que se asemeja a la descomposición de una señal en bases ortonormales. Sin embargo no lo es, ya que las funciones {g u,ξ } u,ξ R son (muy) redundantes en L 2 (R). La ecuación (2) justifica la interpretación de F W IN (ξ, u) 2 como una densidad de energía, ya que su suma en tiempo-frecuencia iguala la energía de la señal. (s) Semestre 2, / 19

9 de Se verifica que no existe una función de energía finita (es decir en L 2 (R)) que tenga soporte compacto simultáneamente en los dominios temporal y frecuencial. Esto es análogo al referido a la imposibilidad de conocer con exactitud simultáneamente la posición y velocidad de una partícula. Si f es no nula y tiene soporte compacto, entonces su transformada de no puede ser cero en un intervalo. Similarmente, si la transformada de tiene soporte compacto entonces f no puede ser cero en un intervalo. La localización tiempo-frecuencia puede medirse en media cuadrática y está representada por lo que se denomina una Box. (s) Semestre 2, / 19

10 de Para el caso de la STFT, al término g uξ (t) g(t u)e jξt se lo denomina átomo de Gabor, y su distribución de energía en el plano tiempo-frecuencia está representada por las Boxes de Fig. 2. Fig. 2: Boxes para WFT. (s) Semestre 2, / 19

11 de σ ω mide el intervalo en frecuencia en donde la transformada de de g uξ (t) es no despreciable, en tanto que σ t mide el intervalo en donde está concentrada la energía de g uξ (t). Teorema de : Si f L 2 (R) y están definidos σ t y σ ω, entonces se verifica σ 2 t σ 2 ω 1 4 o equivalentemente σ t σ ω 1 2 El área de la box para el caso de la STFT es mínima cuando g es Gaussiana y en este caso las funciones g uξ (t) se denominan funciones de Gabor. (s) Semestre 2, / 19

12 de La idea es representar una señal como una combinación lineal de señales de duración efectiva limitada que se obtienen por traslación y escalado de una función original denominada mother. La mother wavelet es una función ψ(t) que verifica la condición de admisibilidad ψ(t)dt = 0, es decir tiene media cero, con la cual se genera un conjunto de funciones ψ u,s (t) (átomos wavelets o simplemente wavelets) por dilatación con un factor de escala s y translación u, de la forma ψ u,s (t) = 1 ( ) t u ψ s s (s) Semestre 2, / 19

13 de La (CWT: Continuous Transform) de f en la escala s y en la posición u se computa correlacionando (i.e., haciendo el producto interno de) f con el átomo wavelet, es decir: W f(u, s) = f(t) 1 s ψ ( t u s ) dt Recurriendo a la Identidad de Parseval puede escribirse W f(u, s) = f(t)ψ u,s (t) dt = 1 2π f(ω) ψ u,s(ω)dω (s) Semestre 2, / 19

14 de El coeficiente wavelet W f(u, s) depende entonces de los valores de f(t) y f(ω) en la region del plano tiempo-frecuencia donde la energía de ψ u,s y de ψ u,s está concentrada. En el dominio temporal, la energía de ψ u,s está concentrada en un intervalo centrado en u con un ancho proporcional a s. En el dominio frecuencial, la energía de ψ u,s está concentrada en un intervalo centrado en η/s cuyo ancho está escalado por 1/s. Cuando s varía, el alto y el ancho de la box cambian, pero el área se mantiene constante. (s) Semestre 2, / 19

15 de Fig. 3: Boxes para WT. Valores grandes de s bajas frecuencias Valores pequeños de s altas frecuencias Cambiando u cambia el centro de localización temporal. (s) Semestre 2, / 19

16 de Similitud entre la WFT y la WT: en ambos casos se realiza el producto interno de f con una familia de funciones indexadas por dos índices: WFT: átomos de Gabor g uξ (t) WT: s ψ u,s (t) Diferencias entre la WFT y la WT: WFT: Las funciones de análisis (átomos de Gabor) g uξ (t) tienen todas la misma envolvente, trasladadas en el tiempo, y todas el mismo ancho (independiente de ω) WT: Las wavelets ψ u,s (t) tienen un ancho (temporal) adaptado a su frecuencia. ψ u,s(t) en alta frecuencia angostas ψ u,s(t) en baja frecuencia anchas La representación con wavelets ψ u,s (t) permite capturar fenómenos de alta frecuencia de corta duración. (s) Semestre 2, / 19

17 Mother wavelets típicas: Mexican hat (segunda derivada de una Gaussiana) de ψ(t) = ( 1 t 2) e t2 2 Fig. 4: Mexican hat. (s) Semestre 2, / 19

18 de Morlet ψ(t) = cos(5t)e t2 2 Fig. 5: Morlet. (s) Semestre 2, / 19

19 de Ejemplo: Sea la señal en tiempo continuo f(t) = sin(2πf 1 t) + sin(2πf 2 t) + γ [δ(t t 1 ) + δ(t t 2 )] donde F 1 = 500Hz, F 2 = 1kHz, que se muestrea con una frecuencia F s = 8kHz. La señal muestreada puede aproximarse por f(nt ) = sin(2πf 1 T n)+sin(2πf 2 T n)+α [δ(n n 1 ) + δ(n n 2 )] Se desea analizar el contenido frecuencial de la señal en función del tiempo usando la WFT con distintos anchos de la ventana, y la WT usando la wavelet de Morlet. Ver Script Matlab ex wavelet 1.m. (s) Semestre 2, / 19