Condiciones de hemicontinuidad para c-correspondencias

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1 This is a reprint of Lecturas Matemáticas Volumen 25 (2004), páginas Condiciones de hemicontinuidad para c-correspondencias Erwin Suazo Arizona State University, Tempe, EE. UU.

2 Lecturas Matemáticas Volumen 25 (2004), páginas Condiciones de hemicontinuidad para c correspondencias Erwin Suazo Arizona State University, Tempe, EE. UU. Abstract. In this paper sufficient conditions for multi-valued contraction mappings to be hemicontinuous are given. Key words and phrases. Multivalued contraction mappings, Hemicontinuity, Mosco convergence, Hausdorff convergence Mathematics Subject Classification. Primary: 26E25. Secondary: 54C60. Resumen. En el presente artículo se presentan condiciones suficientes para que una correspondencia que es contracción sea hemicontinua. Introducción La teoría de correspondencias (funciones cuyos valores son conjuntos) es una interesante mezcla de diferentes campos de la matemática como la topología, la teoría de la medida, el análisis funcional no lineal y las matemáticas aplicadas. La necesidad de considerar aplicaciones con conjuntos como valores fue reconocida al comienzo del siglo XX y muchos prominentes matemáticos como Hausdorff, Vietoris, Hahn, y Kuratowski hicieron las primeras investigaciones. Sin embargo, un estudio sistemático solo comenzó enladécada de los años sesenta de dicho siglo.

3 140 Erwin Suazo En este trabajo abordamos el estudio de las correspondencias que son contracciones (las llamadas c correspondencias). Es bien conocido que toda función sobre un espacio métrico que es una contracción es continua. En el caso de las c correspondencias esto no es cierto como mostramos en la sección 3 utilizando resultados de la sección 2. Por eso presentamos condiciones sobre la imagen y el dominio de la c correspondencia para obtener hemicontinuidad y continuidad (sección 3). Estas condiciones se obtienen usando la noción de convergencia de Mosco entre conjuntos (sección 1). También presentamos resultados que facilitarán al lector la construcción de ejemplos que son c correspondencias (sección 2). 1. Notación, definiciones y resultados preliminares En esta sección listamos algunas definiciones y teoremas bastante conocidos, con indicación de las correspondientes referencias. Sea (X, d) esunespaciométrico. Definimos: a. P f (X) ={A X : A no vacío y cerrado}. P f (X) { } con la distancia de Hausdorff (véase la definición 1.4) es un espacio métrico ([4, pág. 6]. b. ˆPf (X) =P f (X) { }. c. P fc (X) ={A X : A no vacío, cerrado y convexo} d. ˆPfc (X) =P fc (X) { } Si X es un espacio de Banach s denotará la topología fuerte sobre X y w la topología débil sobre X. Dada una familia {A n } n 1 P fc (X) definimos: y s lima n = {x X : x = lim x n, x n A n,n 1} w lima n ={x X : x = w lim x nk,x nk A nk,n 1 <n 2 <...<n k <...}.

4 Condiciones de hemicontinuidad para c correspondencias 141 Definición 1.1. Sean X y Y conjuntos. Una correspondencia ϕ : X Y es una relación que asocia a cada elemento x X un subconjunto no vacío ϕ(x) Y. Observemos que en esta definición aparece un abuso de notación, pues en sentido estricto una correspondencia es una función multívoca, es decir, una función de X en el conjunto de las partes de Y. Para cada A Y definimos la imagen inversa superior de A como: ylaimagen inversa inferior como: ϕ u (A) ={x X : ϕ(x) A)} ϕ l (A) ={x X : ϕ(x) A }. Definición 1.2. Sean X y Y espacios topológicos. Una vecindad de un conjunto A X es un conjunto B X para el cual hay un conjunto abierto V X que satisface A V B. Cualquier conjunto abierto V que satisface A V se llama una vecindad abierta de A. La correspondencia ϕ : X Y es hemicontinua superiormente (abreviadamente: h.c.s) en x X si para cada vecindad abierta G de ϕ(x), ϕ u (G) esuna vecindad abierta de x en X. Definición 1.3. Sean X y Y espacios topológicos. La correspondencia ϕ : X Y es hemicontinua inferiormente (abreviadamente: h.c.i.) en x X si para cada conjunto abierto G tal que ϕ(x) G, la imagen inversa inferior ϕ l (G) es una vecindad abierta de x en X. Decimos que la correspondencia ϕ es continua si es h.c.s y h.c.i. Definición 1.4. Sea (X, d) unespaciométrico fijo. Para cada par de subconjuntos no vacíos A y B de X definimos { } h(a, B) =max sup d(a, B), sup d(b, A), a A b B donde h(a, B) = está permitido. Este valor lo llamamos la distancia de Hausdorff entre A y B relativaalamétrica d. La función h se llama la métrica de Hausdorff inducida por d. Si ambos A y B son d-acotados entonces es claro que h(a, B) <.

5 142 Erwin Suazo La siguiente definición extiende la noción de contracción de espacios métricos al caso de las correspondencias. Definición 1.5. Sean (X, d) unespaciométrico y h la métrica de Hausdorff inducida. Una correspondencia ϕ : X X es una c correspondencia (o correspondencia que es una contracción) sobre X si (i) sus valores son conjuntos no vacíos, cerrados y d-acotados en Y ;y (ii) hay una constante 0 <c<1 que satisface h(ϕ(x),ϕ(y)) cd(x, y), para todo x, y X. La constante c se dice el módulo de contracción de la correspondencia ϕ. Sean X y Y dos espacios métricos. Decimos que la correspondencia ϕ : X Y satisface la propiedad ( ) sicadavezquex n x y y n ϕ(x n ) para cada n, entonces la sucesión {y n } tiene un punto límite en ϕ(x). Teorema 1.1. Sean X y Y espacios métricos y ϕ : X Y una correspondencia entre X y Y. Entonces: 1. Si ϕ : X Y satisface ( ) entonces ϕ es h.c.s en x. 2. Si Y es compacto, ϕ(x) es siempre un conjunto cerrado y h.c.s para todo x, entonces ϕ cumple la condición ( ). Demostración. Véase [1, pág. 468] o también [5, pág. 16]. Teorema 1.2. Sean X y Y dos espacios métricos. Para una correspondencia ϕ : X Y las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. La correspondencia ϕ es h.c.i. en un punto x. 2. Si x n x, entonces para cada y ϕ(x) existe una subsucesión {x nk } de {x n } y elementos y k ϕ(x nk ) tales que y k y. Demostración. Véase [1, pág. 468] o también [5, pág. 16]. Recordemos que si X es un espacio normado y X =(X ) denota albidual de X, la aplicación canónica x ˆx, definida por ˆx(f) =f(x) para f X, es un encaje lineal isométrico de X en X. Cuando este

6 Condiciones de hemicontinuidad para c correspondencias 143 encaje es sobreyectivo y X es un espacio de Banach, decimos que X es un espacio de Banach reflexivo. Definición 1.6. Sea X un espacio de Banach. Decimos que la sucesión {A n } n 1 P fc (X) convergeaa X en el sentido de Mosco (y escribimos A n A) sis lim An = w lim A n = A. Claramente A ˆP fc (X). M Sea {A n,a} n 1 P f (X). Decimos que {A n } converge a A en el h sentido de Hausdorff (y escribimos A n A o h lim An = A), si h(a n,a) 0, donde h es la métrica de Hausdorff sobre P f (X). Teorema 1.3. Sea X es un espacio de Banach. Si {A n } n 1 P fc (X) h M y A n A, entonces An A. Demostración. Véase [4, pág. 662] o también [5, pág. 40]. El siguiente teorema es la herramienta más importante para demostrar los resultados de este trabajo. Teorema 1.4. Sea X un espacio de Banach reflexivo. Si {A n,a} n 1 M P fc (X) A n A y xn x en X, entonces d(x n,a n ) d(x, A). Demostración. Véase [4, pág. 663] o también [5, pág. 43]. 2. Resultados sobre c correspondencias En esta sección se presentan resultados que nos permitirán construir ejemplos de c correspondencias que no son h.c.s ni h.c.i. A lo largo de ella supondremos que estamos trabajando con espacios métricos. Teorema 2.1. Sean X R, ϕ:x X una c correspondencia con módulo de contracción λ y ψ:x Y una correspondencia con módulo β. Si definimos ϕ ψ : X Y por (ϕ ψ)(x) =ϕ(x) ψ(x) para todo x X, entonces ϕ ψ es una c correspondencia con módulo max{λ, β}.

7 144 Erwin Suazo Demostración. Sea x ϕ(x) ψ(x). Supongamos que x ϕ(x) y c =max{λ, β}. Como inf(a B) inf A tenemos que sup x ϕ(x) ψ(x) d(x,ϕ(y) ψ(y)) sup x ϕ(x) d(x,ϕ(y)) cd(x, y). Así mismo, si x ψ(x) tenemos que: sup x ϕ(x) ψ(x) d(x,ϕ(y) ψ(y)) sup x ψ(x) d(x,ψ(y)) cd(x, y). Reuniendo estos dos resultados obtenemos sup d(x,ϕ(y) ψ(y)) cd(x, y). x ϕ(x) ψ(x) Cambiando ahora x por y y x por y en el desarrollo anterior, obtenemos sup d(y,ϕ(x) ψ(x)) cd(x, y) y ϕ(y) ψ(y) yasíh(ϕ(x) ψ(x),ϕ(y) ψ(y)) cd(x, y). Para un resultado más general véase [3, Teorema 3]. Teorema 2.2. Sean X R y ϕ : X X una c correspondencia con módulo de contracción α. Si X X y ψ:x X es una correspondencia cuyos valores son subconjuntos cerrados, no vacíos, tales que ψ(x ) ϕ(x ) para todo x X, entonces ψ es una c correspondencia con módulo de contracción α. Demostración. Es claro que ψ tiene valores d-acotados. Como por hipótesis los valores que toma ϕ son subconjuntos cerrados, no vacíos, para demostrar el resultado solo tenemos que verificar que d(ψ(x),ψ(y)) αd(x, y). Ahora bien, si logramos demostrar que d(ψ(x),ψ(y)) d(ϕ(x),ϕ(y)) tendríamos que d(ψ(x),ψ(y)) αd(x, y). Para ello recordemos que si A B entonces sup A sup B R ycomoψ(x ) ϕ(x )paratodo x X,vemosque sup d(z,ψ(y)) sup d(z,ϕ(y)) z ψ(x) z ϕ(x)

8 Condiciones de hemicontinuidad para c correspondencias 145 y sup z ψ(y) d(z,ψ(x)) sup z ϕ(y) d(z,ϕ(x)) Ahora por la definición de la métrica de Hausdorff h(ψ(x),ψ(y)) h(ϕ(x),ϕ(y)), tal como queríamos. Ejemplo 1. La correspondencia ϕ :(, ) (, ) definida como ϕ(x) ={x/2} {x/2+1/2}, es una c correspondencia de módulo 1/2. En efecto, dado que f(x) = x/2 yg(x) = x/2 + 1/2 sonc correspondencias (ya que f y g son funciones que son contracciones con módulo 1/2), por el teorema 2.1, ϕ = f g es una c correspondencia con módulo 1/2. El siguiente ejemplo nos permitirá construir c correspondencias continuas con valores convexos. Ejemplo 2. SeaX = R yseaf una contracción con módulo α definida sobre R. Consideremos ϕ : X 2 X definida por ϕ(x) ={z X :0 z f(x)}. Veamos que ϕ es una c correspondencia. Nótese que de la definición de ϕ, la familia {ϕ(x) :x X} está totalmente ordenada por inclusión. Dados x y en X, podemos suponer sin pérdida de generalidad que ϕ(x) ϕ(y). Se tiene que d(z,ϕ(y)) = 0 para todo z ϕ(x), y así h(ϕ(x),ϕ(y)) = max { 0, Para todo y ϕ(y) ϕ(x) tenemos que sup y ϕ(y) d(y,ϕ(x)) }. d(y,f(x)) = y f(x) f(y) f(x) =d(f(y),f(x)) αd(y, x), pues f es una contracción de módulo α. Resumiendo: h(ϕ(x),ϕ(y)) = max{0, sup y ϕ(y) d(y,ϕ(x))} d(f(y),f(x)) αd(y, x). Es decir, ϕ es una c correspondencia de módulo α.

9 146 Erwin Suazo 3. Condiciones de hemicontinuidad En esta sección se presentan los resultados centrales de este trabajo. Teorema 3.1. Sea ϕ una c correspondencia tal que dada x n x en X, setengaqueϕ(x n ) M ϕ(x). Entonces es ϕ es h.c.i. Demostración. Podemos usar la caracterización por sucesiones de h.c.i. (Teorema 1.2). Sea x X, x n x, yy ϕ(x). Como ϕ(x n ) M ϕ(x) tenemos que existe una sucesión y n ϕ(x n ) tal que lim n y n = y, teniendo la caracterización de hemicontinuidad inferior por sucesiones. El siguiente ejemplo nos muestra una c correspondencia que no es hemicontinua inferiormente (h.c.i.) Ejemplo 3. como sigue: Sean X = Y = R y definamos la c correspondencia ϕ ϕ(x) = { {x/2} si x<1 {x/2+1/2} si x 1 En efecto, ϕ es una c correspondencia por el teorema 2.2 y el ejemplo 1. Veamos que ϕ no es h.c.i. en x = 1. Para ello utilizaremos la caracterización por sucesiones de h.c.i. (teorema 1.2). Consideremos la sucesión {x n } = {1 1/n} la cual converge a 1. Ya que ϕ(1)={1} y ϕ(1 1/n)={1/2-1/2n}, tomando y =1 ϕ(1) tenemos que para toda subsucesión {x nk } de {x n },siy k ϕ(x nk ) es convergente, entonces {y k } converge a 1/2 y no a 1. El siguiente ejemplo nos muestra una c correspondencia que no es h.c.s. Ejemplo 4. Sean X=[0,1] y { {x/2} si x 1/2 yx 0 ϕ(x) = {x/2+1/2} si x 1/2 Nótese que ϕ es una c correspondencia por el teorema 2.2 y el ejemplo 1. Tomemos la sucesión {1/2+1/n} en X, que claramente converge a 1/2. Sea y n ϕ(1/2 +1/n), tal que y n =1/4 +1/2n; es decir, {y n }

10 Condiciones de hemicontinuidad para c correspondencias 147 converge a 1/4, valor que no pertenece a ϕ(1/2). Así usando el teorema 1.1 hemos mostrado que no es h.c.s. Definición 3.1. Sea ϕ una c correspondencia sobre X y sea x X. Decimos que ϕ satisface la propiedad (M) en x si dada la sucesión x n x en X, se tiene que ϕ(x n ) M ϕ(x), donde M es la convergencia en el sentido de Mosco. Teorema 3.2. Sea ϕ una c correspondencia definida en un espacio de Banach reflexivo X y x un punto de X. Si ϕ toma valores convexos y satisface la propiedad (M) en x, entonces ϕ es continua en x. Demostración. Por el teorema 3.1, ϕ es h.c.i., de modo que es suficiente probar que ϕ es h.c.s. Sea x n x ysea{y n } una sucesión en X tal que y n ϕ(x n ). En virtud del teorema 1.1, para probar que ϕ es h.c.s, basta probar que {y n } tiene un punto límite y ϕ(x). Veamos primero que {y n } es de Cauchy en X. Sea ɛ>0dadoyseal N tal que d(x n,x m ) <ɛpara todo n, m l. Si α denota el módulo de contracción de ϕ se tiene d(y n,y m ) h(ϕ(x n ),ϕ(x m )) αd(x n,x m ) <αɛ<ɛ, para todo n, m > l. ComoX es un espacio de Banach, {y n } converge a algún y X. Veamosquey ϕ(x) yasí ϕ es h.c.s. Como ϕ(x n ) M ϕ(x) y y n y, por el teorema 1.4 tenemos que lim n d(y n,ϕ(x n )) = d(y, ϕ(x)). Ahora bien, y n ϕ(x n ) para todo n. Por lo tanto, d(y n,ϕ(x n )) = 0 para todo n, yasí d(y, ϕ(x)) = 0. Como ϕ es a valor cerrado (por definición de contracción) se tiene que y ϕ(x). Corolario Sea ϕ una c correspondencia definida en un espacio de Banach reflexivo X yseax X. Siϕ toma valores convexos y dada una sucesión x n x en X, se tiene que ϕ(x n ) h ϕ(x), entonces ϕ es continua en x. Demostración. Es un resultado inmediato del teorema 1.3 junto con teorema 3.2.

11 148 Erwin Suazo Agradecimientos El autor quiere agradecer al profesor Rafael Ahumada del Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia, sede de Bogotá, a la profesora María Luisa Colosante, profesor visitante en Arizona State University en el segundo semestre del 2002, y al anónimo revisor científico por sus observaciones y su ayuda en la preparación de la versión final del manuscrito. Bibliografía [1] Charalambos D. Aliprantis & Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis. Springer-Verlag, Berlín, [2] E. Klein, Theory of Correspondences. John Wiley & Sons,1984. [3] S. B. Nadler, Multivalued contraction mappings. Pacific Journal of Mathematics. 30 (1969), [4] Shouchuan Hu & Nikolas S. Papageorgiou, Handbook of Multivalued Analysis. Kluwer Academic Publishers, [5] Suazo Erwin, Introducción a la teoría de correspondencias. Trabajo de grado. Universidad Nacional de Colombia, (Recibido en julio de 2003; versión revisada en diciembre de 2004) Erwin Suazo Graduate School of Arizona State University Tempe, Arizona, EE. UU. suazo@mathpost.la.asu.edu