Análisis de la interacción de grietas en placas

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1 REVISTA MEXICANA DE FÍSICA 51 SUPLEMENTO 1, 5 10 MAYO 2005 Análisis de la interacción de grietas en placas R.G. Rodríguez Cañizo Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Unidad Culhuacan Av. Santa Ana No Col. San Francisco Culhuacan, México, D.F. rgrodriguez@ipn.mx L.H. Hernández Gómez y G. Urriolagoitia Calderón Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Instituto Politécnico Nacional Edificio 5, Unidad Profesional Adolfo López Mateos Colonia Lindavista, México, D. F. México Recibido el 22 de septiembre de 2003; aceptado el 15 de julio de 2004 Se realizó un estudio numérico-experimental de la interacción de grietas para evaluar el campo de esfuerzos producido en placas sometidas a carga de tensión; en particular se analizan el caso de una placa con dos grietas colineales y el de una placa con dos grietas escalonadas. El propósito es determinar la dirección de propagación de las grietas sometidas a un modo mixto de carga. En el análisis experimental se hace uso de la técnica fotoelástica por transmisión, mientras que el análisis numérico se realiza por medio de ANSYS y FRANC2D/L. Descriptores: Grietas colineales; grietas escalonadas; modo mixto de carga; ángulo de propagación de grietas Crack interaction was analysed numerical and experimentally, in order to evaluate the stress field of plates loaded under tension. In particular, two cases were studied; a plate with two collinear cracks and another one with two staggered cracks. The purpose was the evaluation of the crack of propagation. The experimental analysis was done with transmission photoelasticity and the numerical analysis was done with FRANC2D/L and ANSYS. Keywords: Collinear cracks; staggered cracks; mixed mode loading; angle of crack propagation PACS: a 1. Introducción La falla de los elementos mecánicos a causa de la presencia de grietas es muy frecuente en ingeniería, por eso es importante predecir cómo y cuándo sucederá esta falla. Pero desafortunadamente el análisis necesario para este efecto no es tan simple, ya que intervienen muchos factores determinantes para la propagación de las grietas. En primer lugar, la forma y ubicación de las grietas son parte importante para su análisis; por otro lado, en casos reales las grietas no se encuentran aisladas, sino que interactúan con otras grietas, o bien con intensificadores de esfuerzos como son orificios, ranuras, muescas, entre otros, complicando aún más el problema. Actualmente, existen métodos diseñados para resolver problemas con singularidades de este tipo, hablando específicamente de la interacción de grietas colineales y escalonadas. Estas reglas se basan en el establecimiento de grietas equivalentes al grupo de grietas original, o bien en métodos iterativos, que por lo general son procedimientos algo complejos [1 5]. De esta manera, existe incertidumbre sobre la exactitud de los resultados que se obtienen a partir de estos métodos, de ahí que sea necesario analizar el alcance de las soluciones propuestas que brinda el uso de métodos experimentalnuméricos. Por tanto, el propósito de este artículo es el estudio de la interacción de grietas colineales y escalonadas, con el objetivo de conocer la dirección de propagación de las mismas. En este caso, el estudio se realiza de manera numérico experimental. El primero se efectuó por medio de la prueba fotoelástica por transmisión; por su parte, el análisis numérico se realizó con el programa de computo FRANC2D/L que emplea el método del elemento finito. 2. Desarrollo experimental En este análisis se utilizó la técnica fotoelástica por transmisión, el material usado para fabricar las probetas de los casos a analizar fue un tipo de policarbonato denominado PSM-1. Las dimensiones de las placas son las siguientes: 20 cm de largo, 6 cm de ancho y 1 = 4 de espesor. La longitud de las grietas fue de 2 cm. Estas dimensiones garantizan que no haya interferencia entre las grietas y los barrenos de sujeción (Fig. 1). Para poder observar de manera clara el patrón de franjas isocromáticas generado en las placas, se hizo uso de un polariscopio circular en campo oscuro. Los detalles sobre la determinación de los factores de intensidad de esfuerzos y la evaluación de estos resultados se encuentran en la Ref Placa con dos grietas colineales Para este caso se analizaron siete condiciones de carga, los valores de las mismas se muestran en la Tabla I. Se fotografió el patrón de franjas isocromáticas que se muestra en la Fig. 2.

2 6 R.G. RODRÍGUEZ CAÑIZO, L.H. HERNÁNDEZ GÓMEZ Y G. URRIOLAGOITIA CALDERÓN FIGURA 3. Campo de esfuerzos observado en una placa con dos grietas escalonadas sometida a una carga de N. FIGURA 1. Probetas utilizadas en el ensayo experimental. TABLA I. Resultados de K I para el caso de una placa con dos grietas colineales. Carga Factor de aplicada P intensidad de esfuerzos K I N [MPa m 1=2 ] Placa con dos grietas escalonadas Para este segundo caso se analizaron las mismas siete condiciones de carga. La Fig. 3 ilustra el patrón de franjas isocromáticas observado. En este caso, se genera un modo mixto de carga, lo que índica la falta de simetría. Esto provoca que exista tanto K I como K II. Sin duda, esto hace que el problema se vuelva más complejo, ya que se tienen que evaluar ambos factores. Los resultados del FIE evaluados por medio de la técnica fotoelástica se listan en la Tabla II. FIGURA 2. Campo de esfuerzos observado en una placa con dos grietas colineales sometida a una carga de N. Se puede observar que a pesar de que existe una grieta más en la placa, el campo de esfuerzos producido es simétrico, y esto es debido a que la geometría y carga son simétricas. De esta manera se puede decir que las grietas están cargadas en modo I, lo que implica que exista K I únicamente. Los resultados del factor de intensidad de esfuerzos evaluados por medio de la técnica fotoelástica se listan en la Tabla I Ángulo de propagación Se ha demostrado que tanto el criterio energético como el factor de densidad de energía S son métodos que convergen al resultado real [7]. Por tanto se recomienda adecuado para este análisis el uso del primero. El valor del ángulo de propagación se calcula por medio de la Ec. (1) que corresponde al criterio energético: 2KI K c =tg ;1 II K ; 2 K 2 I II donde c es el ángulo de propagación, K I es el FIE en modo IyK II es el FIE en modo II. (1)

3 ANÁLISIS DE LA INTERACCIÓN DE GRIETAS EN PLACAS 7 TABLA II. Resultados de K I y K II para el caso de una placa con dos grietas escalonadas. Carga Factor de aplicada P intensidad de N esfuerzos [MPam 1=2 ] k I k II FIGURA 4. Dirección de propagación de grieta para el caso de dos grietas escalonadas. TABLA III. Resultados del ángulo de propagación para el caso de dos grietas escalonadas determinados de manera experimental. Carga P N K I K II C Haciendo uso de esta fórmula y tomando los valores calculados de K I y K II se puede determinar el valor del ángulo de propagación. La Tabla III muestra los resultados de c obtenidos. El valor del ángulo de propagación obtenido de esta forma, se puede validar midiendo el ángulo de propagación de la grieta directamente de la placa ensayada en el análisis experimental. La Fig. 4 muestra una fotografía de la trayectoria de propagación seguida por las grietas en el caso de las dos grietas escalonadas. De manera directa se obtiene que el valor del ángulo de propagación es aproximadamente de 17, lo que confirma la validez de los resultados obtenidos de manera analítica. 3. Desarrollo numérico El análisis numérico efectuado a los dos casos de interacción de grietas se hace con la finalidad de tener un parámetro que valide los resultados obtenidos a través del análisis experimental. Para ello se hace uso dos programas que emplean el método del elemento finito, el primero de ellos es el programa ANSYS en donde se obtuvieron los resultados del FIE para ambos casos de estudio, el segundo corresponde al programa FRANC2D/L [8], en donde se simuló la propagación de las grietas suponiendo que la carga aplicada a los modelos continuara incrementándose. FIGURA 5. Modelo creado en ANSYS para el caso de una placa con dos grietas colineales y con dos grietas escalonadas. Hay que mencionar que las condiciones de carga y las dimensiones de los modelos creados siguen siendo las mismas que para el caso experimental Placa con dos grietas colineales Los modelos creados se ilustran en la Fig. 5, y los resultados del FIE calculados se muestran en la Tabla IV. Los modelos constan de elementos y nodos. Al comparar los resultados experimentales y numéricos se ve que hay convergencia en términos generales. Si embargo, hay que tomar en cuenta que para evaluar K I y K II por medio de fotoelásticidad es necesario determinar con la mayor exactitud los ordenes de franja en la zona de la punta de la grieta y esta situación se torna difícil por la alta concentración de franjas en esa zona. Las Figs. 6y7muestran las graficas comparativas de los resultados del FIE obtenidos de manera numérica y experimental Simulación de la propagación de grietas en FRANC2D/L Placa con dos grietas colineales En este caso se puede ver cómo las singularidades de las puntas de las grietas interactúan, pero la simetría en el campo de

4 8 R.G. RODRÍGUEZ CAÑIZO, L.H. HERNÁNDEZ GÓMEZ Y G. URRIOLAGOITIA CALDERÓN FIGURA 6. Comparación de los métodos para obtener K I para el caso de dos grietas colineales. FIGURA 7. Comparación de los métodos para obtener K I para el caso de dos grietas escalonadas. TABLA IV. Resultados generales de K I obtenidos de manera numérica en FRANC2D/L. Una placa con dos grietas colineales Carga P [N] FIE K I [MPam 1=2 ] Una placa con dos grietas escalonadas Carga P [N] FIE [MPam 1=2 ] K I K II FIGURA 8. Trayectoria de propagación para el caso de una placa con dos grietas colineales. esfuerzos resultante sigue existiendo, y esto es debido a que la carga y la geometría de la placa también son simétricas. Como resultado predomina el Modo I de carga. La Fig. 8 muestra la trayectoria de propagación de las dos grietas. Se puede predecir que la trayectoria de propagación de la grieta es perpendicular a la dirección de los máximos esfuerzos principales que coinciden con las mismas grietas, de esta manera la propagación será en línea recta como lo ilustra la Fig. 8. Esto concuerda con lo observado experimentalmente Placa con dos grietas escalonadas La Fig. 9 ilustra la manera en la cual la grieta se propaga, en ella se observa que la trayectoria seguida difiere bastante con FIGURA 9. Trayectoria de propagación para el caso de dos grietas escalonadas.

5 ANÁLISIS DE LA INTERACCIÓN DE GRIETAS EN PLACAS 9 FIGURA 10. Ángulo de propagación de la grieta para el caso de dos grietas escalonadas. la observada para el caso de dos grietas colineales; en este caso, se aprecia un tipo de curvamiento de las trayectorias de propagación. Para explicar lo anterior, se tienen que considerar los siguientes hechos: 1) Las condiciones de carga siguen siendo simétricas. 2) Dado el escalonamiento de las grietas, la geometría ya no es simétrica. Esto implica que se tenga un modo mixto de carga I y II. Por esta razón se observa que en la punta de las grietas, la orientación del campo de esfuerzos tiende a inclinarse. Para determinar de manera numérica el ángulo de propagación que siguen las grietas, lo que se hace es propagar en el programa FRANC2D/L una pequeña longitud de 1 cm en dos pasos, ya que lo que interesa es conocer el ángulo de inicio de la propagación de la grieta. La Fig. 10 muestra el valor del ángulo estimado. Trazando una línea de referencia y midiendo gráficamente el ángulo de inclinación de la grieta, se puede estimar que el ángulo es de aproximadamente 14, es decir, el inicio de la propagación de la grieta será con esa inclinación, y posteriormente la trayectoria se perturbará describiendo una curva como lo muestra la Fig Evaluación de resultados Es importante reconocer que el empleo de fotoelasticidad por transmisión para evaluar el campo de esfuerzos en la punta de la grieta, acarrea cierto margen de error para evaluar K I y K II, debido a la dificultad de reconocer el orden de franja producido en la punta de la grieta. Por otra parte, el planteamiento energético da una estimación adecuada del ángulo de propagación bajo las reservas de la variación en función de los factores de intensidad de esfuerzos antes calculados. Por su parte, la simulación numérica realizada a través del método del elemento finito requiere un reajuste en la malla al término de cada paso del análisis de propagación, lo cual acarrea cierto error. Sin embargo, se observa que los tres casos convergen a lo observado experimentalmente. 5. Conclusiones Como conclusiones de este trabajo se pueden mencionar las siguientes: 1) Se puede establecer que el factor de intensidad de esfuerzos disminuye al introducir una grieta más, manteniendo el mismo nivel de carga y la geometría global de la placa, es decir, el FIE para el caso de una grieta lateral es mayor al FIE de los casos de dos grietas colineales y de dos grietas escalonadas; y esto debido a que la energía de superficie se divide entre el número de grietas existentes en el material. 2) La interacción del campo de esfuerzos de dos grietas varía de acuerdo a la configuración de las mismas. Se encontró que para el caso de dos grietas colineales el campo de esfuerzos se mantiene simétrico: de esta manera la trayectoria que siguen las grietas es una línea recta, provocando que el material se parta por la mitad. En cambio, para el caso de dos grietas escalonadas, el campo de esfuerzos se distorsiona provocando que la

6 10 R.G. RODRÍGUEZ CAÑIZO, L.H. HERNÁNDEZ GÓMEZ Y G. URRIOLAGOITIA CALDERÓN trayectoria de propagación que siguen las grietas sea modificada debido al escalonamiento que existe. 3) La evaluación del ángulo de propagación de manera experimental, la realizada a través del método energético y con el método del elemento finito concuerdan. Agradecimientos Cabe mencionar que este trabajo fue apoyado por el CONA- CYT en el proyecto U y el proyecto de Evaluación Numérico-Experimental de Esfuerzos en Elementos Mecánicos de Materiales Metálicos y Óseos, con número de registro CGPI H. Kuang and K. Chen, Trans. of ASME, ASME 120 (1998). 2. M. Kachanov, Engineering Fracture Mechanics 25 No. 5, (1986). 3. Y. Chen, Engineering Fracture Mechanics 25 (1986). 4. H. Cai and K. Faber, ASME Journal of Applied Mechanics 59 (1992). 5. W. Shen and J. Lee, Engineering Fracture Mechanics 11 (1982). 6. C.R. Rodríguez, Análisis de la Interacción de grietas en placas, Tesis de Maestría, 2002, México. 7. L.H. Hernández Gómez et al., Evaluation of crack initiation under mixed mode loading at diverse strain rates, Theor and Appl. Med. (in Press). 8. D. Swenson and J. Mark, FRANC2D/L: A Crack Propagation Simulator for Plane Layered Structures, Version 1.3 User s Guide, Kansas State University, Manhattan, Kansas.