Tesis que presenta Alain Flores Tlalpa

Transcripción

1 Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional DEPARTAMENTO DE FISICA Modelo de dominancia de mesones para decaimientos semileptónicos de sabores pesados Tesis que presenta Alain Flores Tlalpa para obtener el Grado de Doctor en Ciencias en la Especialidad de Física Director de tesis: Dr. Gabriel López Castro México, Distrito Federal Enero, 2008

2 CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL DEPARTAMENTO DE FÍSICA Modelo de dominancia de mesones para decaimientos semileptónicos de sabores pesados Tesis que presenta Alain Flores Tlalpa para obtener el Grado de Doctor en Ciencias en la Especialidad de Física Director de tesis: Dr. Gabriel López Castro México, Distrito Federal; Enero 2008

3 Dedicatoria A mis padres Cecilia Tlalpa Juárez y Getulio Flores Tezmol A mi esposa Areli Montes Pérez

4 Agradecimientos A los que hicieron posible este trabajo de tesis doctoral. Al Dr. Gabriel López Castro por proponer los temas de esta tesis, por su esfuerzo, tiempo y dedicación para llevarla a cabo, y sobre todo por su enorme paciencia. Al pueblo de México que por medio de instituciones como Conacyt y Cinvestav me brindaron el apoyo económico que me permitió realizar mis estudios de doctorado. El Conacyt por medio de una beca y el Cinvestav por medio de apoyos terminales. Al Dr. Genaro Toledo Sánchez por su valiosa colaboración, también al M. C. Francisco Flores Báez. Y a todos los que directamente e indirectamente contribuyeron a mi formación y a la realización de este trabajo.

5 Modelo de dominancia de mesones para decaimientos semileptónicos de sabores pesados Alain Flores Tlalpa 31 de enero de 2008

6 Resumen En general, las interacciones y propiedades de los hadrones a energías bajas e intermedias no pueden ser descritas cuantitativamente a partir de los primeros principios de la Cromodinámica Cuántica (QCD). Por esta razón es necesario recurrir a modelos fenomenológicos construidos con base en las simetrías de QCD y que incluyen la interacción fuerte de forma efectiva para modelar la dinámica subyacente. La tesis de este trabajo es que un Modelo de Dominancia de Mesones (MDM) generalizado, describe muy bien la interacción débil de mesones a energías intermedias (transferencias de momento del orden de 1 a 2 GeV). Para ello se estudian diversos procesos débiles donde estas corrientes intervienen como son los decaimientos semileptónicos de sabores pesados. Más específicamente, en esta tesis se estudia la producción de un par pion-pion, del correspondiente modo radiativo, y de la producción de un par vector-pseudoescalar en decaimientos del leptón tau. Adicionalmente, se analizan algunos de los decaimientos semileptónicos dominantes del mesón D. Se discute la importancia que estos procesos tienen para probar la teoría actual de interacciones fundamentales (Modelo Estándar) o para extraer algunos de sus parámetros importantes. En los casos en que existen predicciones de otros modelos o datos experimentales disponibles, se hace una comparación detallada con los mismos. El éxito de esta descripción fenomenológica nos permite concluir que el MDM modela razonablemente bien las interacciones débiles de hadrones a energías intermedias. 2

7 Summary In general, the interactions and properties of hadrons at low and intermediate energies can not be described quantitatively from the first principles of the Quantum Cromodynamics (QCD). For this reason, in order to model the underlying dynamics, the use of phenomenological models which are based on the symmetries of QCD and include the strong interactions in an effective way are fully necessary. The thesis of this work is that a generalizaded Meson Dominance Model (MDM) describes very well the weak interaction of mesons at low and intermediate energies (momentum transfers of the order of 1 to 2 GeV). In order to test this hypothesis, we have studied several weak decay processes where these currents are involved, particularly the semileptonic decays of heavy flavors. More precisely, in this thesis we have studied the production of a pair of pions, the corresponding radiative mode, and the production of a vector-pseudoscalar pair in tau lepton decays. In addition, we have also considered some dominant semileptonic decays of the D meson. We discuss the importance that these processes have to test the current theory of fundamental interactions (Standard Model) and to extract some of their important parameters. We compare our results with predictions of other models or with experimental data in cases where they are available. The success of this phenomenological description allows us to conclude that the MDM is a good model to describe the weak interaction of hadrons at intermediate energies. 3

8 Índice general 1. Introducción 8 2. El decaimiento τ ν τ π π La amplitud del proceso Los factores de forma en el MDM El decaimiento τ 2π en la CHPT Correcciones radiativas al decaimiento τ 2π Correcciones radiativas de distancias cortas Correcciones radiativas al decaimiento τ ν τ π π 0 : parte independiente de modelo Teorema de Low y de Burnett-Kroll Correcciones radiativas electromagnéticas virtuales Correcciones electromagnéticas debidas a fotones reales El decaimiento radiativo τ ν τ π π 0 γ Forma general de la amplitud Amplitud de decaimiento en el MDM Determinación de los factores de forma en el MDM Fijando las constantes de acoplamiento Acoplamientos de la contribución independiente de modelo Acoplamientos de la contribución dependiente de mo- delo Observables del proceso τ 2πγ La fracción de decaimiento El espectro de la energía del fotón La distribución del invariante de masa del sistema π π Una observable sensible a β(0)

9 5. Correcciones radiativas al decaimiento τ ν τ π π 0 : parte dependiente de modelo La corrección electromagnética dependiente de modelo Correcciones a la razón de decaimiento Contribución al momento magnético anómalo del muon Los decaimientos τ ν τ (ω,φ)p Cálculo de la función espectral Los factores de forma en el MDM Los decaimientos que conservan la extrañeza Fijando las constantes de acoplamiento El decaimiento τ ωπ El decaimiento τ φπ Los decaimientos que cambian la extrañeza Fijando las constantes de acoplamiento El decaimiento τ ωk El decaimiento τ φk El decaimiento D + K 0 l + ν l La simetría de quarks pesados El decaimiento H H W El decaimiento H HW La función de Isgur-Wise La amplitud del proceso D l Un cambio de variables El decaimiento D l3 en el modelo de dominancia polar El decaimiento D l3 en la teoría efectiva de quarks pesados El decaimiento D + K π + l + ν l La amplitud del proceso Los factores de forma en el MDM El modelo de dominancia polar La teoría efectiva de quarks pesados Conclusiones 156 5

10 A. Convenciones e Identidades 158 A.1. La métrica y el tensor de Levi-Civita A.2. Las matrices de Dirac A.3. Algunas funciones B. Reglas de Feynman 162 B.1. Líneas externas B.2. Líneas internas B.3. Vértices C. Cinemática 167 C.1. La razón diferencial de decaimiento C.2. Decaimientos a tres cuerpos C.3. Decaimientos a cuatros cuerpos D. La simetría SU(3) de sabor y los acoplamientos de la interacción fuerte 177 D.1. El acoplamiento V i V f P D.1.1. El acoplamiento V V P en SU(3) D.2. El acoplamiento V P 1 P D.3. El acoplamiento AV P E. Determinación de las constantes de acoplamiento 185 E.1. Decaimiento V l + l E.1.1. Los acoplamientos γ ρ, γ ω y γ φ E.2. Decaimiento V i V f P E.2.1. Los acoplamientos G φωπ y G φρπ E.3. Decaimiento V Pγ E.3.1. Los acoplamientos G ρπγ, G ωπγ, G φπγ y G K Kγ E.4. Decaimiento V P 1 P E.4.1. Los acoplamientos G ρππ y G φkk E.5. Decaimiento A V P E.5.1. Los acoplamientos G K1 ωk y G K 1 ωk E.5.2. Los acoplamientos G K1 ρk, G K1 K π, G K 1 ρk y G K 1 K π E.6. Decaimiento τ ν τ V E.6.1. Los acoplamientos G ρ, G K y G K

11 E.7. Decaimiento τ ν τ A E.7.1. Los acoplamientos G K1 y G K E.8. Decaimiento τ ν τ P E.8.1. El acoplamiento G K E.9. Decaimiento P + l + ν l E.9.1. El acoplamiento G K E.10.El decaimiento K Kγ en el MDM E.11.Decaimiento φ π + π π

12 Capítulo 1 Introducción El Modelo Estándar (ME) es la teoría que describe las interacciones fuertes, débiles y electromagnéticas de los quarks y leptones. El ME está compuesto por la teoría electrodébil y la cromodinámica cuántica (QCD). La teoría electrodébil describe de manera unificada las interacciones electromagnéticas y débiles de quarks y leptones, mientras que la QCD describe la interacción fuerte entre los quarks. De estas interacciones fundamentales, la interacción fuerte es la que menos se comprende debido en buena parte a que, a bajas energías, los quarks están confinados al interior de los estados físicos denominados hadrones. La variedad de hadrones que han sido observados es muy grande [1], y se clasifican en mesones y bariones. La descripción de los fenómenos que involucran a los hadrones es de gran importancia para la física de partículas, tanto para entender la dinámica de las interacciones fuertes como para lograr extraer algunos parámetros fundamentales del ME a partir de los datos experimentales. Por entender la dinámica de las interacciones fuertes a bajas energías queremos decir, describir de forma cuantitativa tanto el espectro de los hadrones como las interacciones fundamentales de éstos en los diferentes procesos en que participan. En la actualidad existe una gran cantidad de información experimental [1] sobre decaimientos que involucran la interacción fuerte. De éstos, aquellos que incluyen simultáneamente leptones y hadrones (los decaimientos semileptónicos) constituyen los escenarios más limpios para estudiar la interacción fuerte. La descripción teórica de los decaimientos semileptónicos es relativamente sencilla, por lo que estos decaimientos se vuelven mucho más atractivos para la prueba de los diferentes modelos de las interacciones fuertes de los hadrones (Teoría de Perturbaciones Quirales (CHPT), Teoría Efectiva de Quarks Pesados (HQET), Modelos de Quarks Relativistas y No 8

13 Relativistas, Dinámica en el Cono de Luz, Reglas de Suma de QCD, etcétera). El τ es el único leptón que decae en hadrones, debido a que su masa es lo suficientemente grande (m τ = GeV). Los decaimientos semileptónicos constituyen los modos de decaimiento dominantes de este leptón (aproximadamente un 65 %). Consecuentemente, el τ ofrece un escenario único donde el ME, particularmente la QCD, puede ser estudiada de manera precisa. Esto es posible gracias a que las funciones espectrales de los decaimientos semileptónicos del τ, las cuales se han medido experimentalmente, son un excelente laboratorio para probar las predicciones de QCD y sus modelos a energías intermedias (1 2 GeV). Los decaimientos semileptónicos del mesón D son también muy interesantes ya que, siendo análogos a los decaimientos semileptónicos del leptón τ vía la simetría de cruce, proveen información complementaria de forma igualmente sencilla. Como ya se mencionó anteriormente, los decaimientos del leptón τ y del mesón D involucran transferencias de momento de energías intermedias y, por lo tanto, sus elementos de matriz hadrónicos pertenecen al régimen no perturbativo de QCD donde, en ausencia de predicciones precisas de Lattice QCD, los modelos fenomenológicos son la mejor herramienta disponible. Para estudiar estos decaimientos es necesario recurrir a un modelo efectivo de bajas energías para describir los elementos de matriz hadrónicos. Es por ello que en esta tesis recurriremos a una versión generalizada del Modelo de Dominancia Vectorial (propuesto originalmente por J. J. Sakurai a principios de los años 60 como un modelo para el factor de forma electromagnético del pion), el cual hemos denominado Modelo de Dominancia de Mesones (MDM), para describir los elementos de matriz hadrónicos de la corriente débil. La idea principal de este modelo es que los factores de forma que describen esta corriente hadrónica pueden ser descritos mediante la saturación con las resonancias más ligeras (vectoriales, axiales y/o pseudoescalares, según el caso) que poseen los números cuánticos apropiados para acoplarse a la corriente débil. Experimentalmente se ha encontrado que tanto los decaimientos semileptónicos del τ como los del mesón D son dominados por la producción de resonancias hadrónicas intermedias [1], las cuales pueden estar sobre su capa de masa. Así pues, el MDM resulta de un atractivo inmediato para describir tales decaimientos. En este modelo, los decaimientos se originan por medio de la producción y posterior decaimiento de mesones como estados intermedios virtuales. En algunos casos interesantes de decaimientos del leptón τ, nuestros resultados pueden ser comparados con las predic- 9

14 ciones de la Teoría de Perturbaciones Quirales (CHPT). En el caso de decaimientos de mesones D, nuestros resultados pueden compararse con las predicciones de la Teoría Efectiva de Quarks Pesados (HQET). Como ya mencionamos, en este trabajo los decaimientos semileptónicos del leptón τ y del mesón D son estudiados en el marco del MDM. La organización de esta tesis es la siguiente: En el capítulo 2 se estudia el decaimiento semileptónico τ ν τ π π 0 ; los efectos del rompimiento de la simetría de isoespin y de las correcciones electrodébiles son considerados. En el capítulo 3 se discuten las correcciones radiativas electromagnéticas independientes de modelo, con el objetivo de verificar la cancelación de las divergencias infrarrojas entre las correcciones reales y virtuales. El decaimiento radiativo τ ν τ π π 0 γ es estudiado en el capítulo 4, y algunos de los resultados para las observables calculadas son comparados con las predicciones de la CHPT. Usando los resultados obtenidos para τ ν τ π π 0 γ, en el capítulo 5 se determinan completamente las correcciones electromagnéticas de orden α al decaimiento τ ν τ π π 0. En este capítulo también se determina el efecto del rompimiento de isoespin originado por estas correcciones radiativas en la predicción del momento magnético anómalo del muon a µ, basada en datos espectrales del leptón τ. En el capítulo 6 mostramos nuestro análisis de los decaimientos τ ν τ ωπ, τ ν τ φπ, τ ν τ ωk y τ ν τ φk. En los capítulos 7 y 8 mostramos el estudio preliminar de los decaimientos semileptónicos D + K 0 l + ν l y D + K π + l + ν l ; nuestro objetivo es reproducir las distribuciones angulares del decaimiento D + K π + l + ν l que se han medido experimentalmente. En el capítulo 9 damos las conclusiones más importantes de este trabajo. Finalmente, en los apéndices A-E se dan todos los elementos necesarios para poder llevar a cabo este trabajo. 10

15 Capítulo 2 El decaimiento τ ν τ π π 0 En este capítulo analizamos el decaimiento semileptónico τ ν τ π π 0 en el contexto del modelo de dominancia de mesones. El análisis se realiza primero en el límite de isoespin e incluyendo únicamente la contribución de la resonancia ρ(770). Posteriormente se determinan los efectos del rompimiento de la simetría de isoespin, debidos a m π m π 0, y la importancia de la contribución de una segunda resonancia, la ρ(1450). También comparamos las predicciones del modelo de dominancia de mesones y de la teoría de perturbaciones quirales. Finalmente discutimos las correcciones radiativas electrodébiles. El decaimiento semileptónico τ ν τ π π 0 (τ 2π ) es el modo dominante de los decaimientos del leptón τ. En la actualidad el valor promedio de la fracción de decaimiento experimental es Bτ exp (π π 0 ) = (25.50±0.10) % [1]. La precisión alcanzada en la medición de esta observable es del 0.4 %. De manera similar la función espectral v (t), la cual se extrae directamente de la distribución del cuadrado del invariante de masa del estado hadrónico final π π 0, se ha medido con una gran precisión. Es bien conocido que, en límite de la simetría de isoespin, la hipótesis de la corriente vectorial conservada (CVC) relaciona las funciones espectrales del decaimiento τ 2π y de la aniquilación e + e π + π, esta última se obtiene a partir de los datos para la sección eficaz. De esta manera, las mediciones del decaimiento τ 2π y de la aniquilación e + e π + π ofrecen la oportunidad de probar la hipótesis de CVC con gran precisión. Estrechamente relacionado con este punto, los datos del decaimiento τ 2π se pueden emplear para calcular (vía la hipótesis de CVC) la contribución de la polarización del vacío hadrónico al momento magnético anómalo del muon a µ. La enorme precisión de las mediciones experimentales de a µ [2] y de sus respectivas 11

16 predicciones teóricas han hecho posible una de las pruebas más precisas del modelo estándar (ME) que existe en la actualidad. La contribución de la polarización del vacío hadrónico a a µ es la principal fuente de incertidumbre de las predicciones teóricas, de esta contribución aproximadamente el 73 % se debe al estado final de dos piones. Por lo tanto, un estudio a fondo del modo a dos piones del τ es necesario para reducir las incertidumbres teóricas en la predicción de a µ, y para realizar una prueba precisa de la hipótesis de CVC. Nuestro estudio sobre el decaimiento τ 2π fue motivado principalmente por estas razones. Sin embargo, el interés en el decaimiento τ 2π es más amplio, pues como hemos comentado en el capítulo anterior, los decaimientos semileptónicos del τ brindan la oportunidad de estudiar las interacciones fuertes en una región de energías menores a 1.8 GeV, que es dominada por resonancias hadrónicas. Esto abre la posibilidad de que algunas propiedades importantes de estas resonancias hadrónicas sean determinadas. Además, ha sido demostrado que QCD perturbativa puede ser aplicada a escalas de energía tan bajas como 1 2 GeV [3]. De esta manera, los decaimientos semileptónicos del τ proporcionan un escenario único donde las predicciones de QCD perturbativa, las predicciones de modelos de bajas energías para las interacciones fuertes y las mediciones experimentales pueden ser confrontadas y analizadas (ver por ejemplo, los resultados para las funciones espectrales en la referencia [4]). Las mediciones actuales de las observables del decaimiento τ 2π se han realizado con muestras de alrededor de eventos, provenientes principalmente de los experimentos CLEO y ALEPH. Los experimentos recientes en las fábricas de mesones B (BABAR y BELLE) han alcanzado una enorme estadística en eventos del τ, alrededor de 10 9 pares τ + τ [5]. Por esta razón, mejoras significativas en las mediciones del decaimiento τ 2π son esperadas, ya que los errores estadísticos se reducirán de manera considerable. En este escenario las correcciones radiativas, por lo menos a O(α), se vuelven indispensables La amplitud del proceso A nivel de quarks el decaimiento τ 2π se produce por la hadronización del decaimiento τ ν τ dū. Este decaimiento tiene su origen en la interacción débil semileptónica y se puede estudiar por medio del hamiltoniano efectivo H S=0 eff = G FV ud [ dγ α (1 γ 5 )u][ ν τ γ α (1 γ 5 )τ]. (2.1) 2 12

17 La amplitud invariante del decaimiento τ 2π se puede calcular como el elemento de matriz del hamiltoniano efectivo Heff S=0 ν τ π π 0, M (0) l α denota la corriente leptónica, entre el estado inicial τ y el estado final τ (π π 0 ) = ν τ π π 0 Heff S=0 τ = G FV ud l α h α, (2.2) 2 l α = ν τ ν τ γ α (1 γ 5 )τ τ = ū(p ν,s ν )γ α (1 γ 5 )u(p τ,s τ ), (2.3) y h α la corriente hadrónica, h α = π π 0 dγ α (1 γ 5 )u 0. (2.4) El superíndice (0) en la amplitud (2.2) indica que se trata de la amplitud al orden más bajo en la teoría de perturbaciones. A este orden las interacciones involucradas en el decaimiento τ 2π son la débil y la fuerte. La corriente hadrónica h α, definida como el elemento de matriz de la corriente cargada izquierda dγ α (1 γ 5 )u entre el vacío y el estado hadrónico final π π 0, es la cantidad más interesante pues en ella se encuentra toda la información de los hadrones y sus interacciones. Esta cantidad no puede ser calculada a partir de primeros principios, sin embargo se puede parametrizar usando las simetrías del ME. De acuerdo con la G-paridad, el decaimiento τ 2π sólo puede ocurrir a través de la parte vectorial de la corriente hadrónica h α, es decir π π 0 dγ α γ 5 u 0 = 0. (2.5) La covariancia de Lorentz establece que la parte vectorial de la corriente hadrónica h α se puede parametrizar como h α = π π 0 dγ α u 0 = f + (t)(p π p π 0) α + f (t)(p π + p π 0) α, (2.6) donde f + (t) y f (t) son factores de forma que dependen del cuadrado del momento transferido t = (p π + p π 0) 2. Sus expresiones van a depender del modelo particular que se utilice para describir el decaimiento τ 2π. Si la simetría de isoespin es exacta el factor de forma f (t) es cero, y en este caso la corriente hadrónica h α toma una forma muy simple ya que sólo depende del factor de forma f + (t), el cual es conocido comúnmente como el factor de forma débil del pion. La probabilidad de decaimiento no polarizada tiene la siguiente estructura M (0) τ (π π 0 ) 2 = 1 M (0) τ (π π 0 ) 2 = 2G 2 F V ud 2 L αβ H αβ, (2.7) 2 s τ,s ν 13

18 donde L αβ y H αβ son los tensores leptónico y hadrónico, respectivamente, definidos por L αβ = 1 l α l β, (2.8) 8 s τ,s ν H αβ = h α h β. (2.9) Cinemáticamente M (0) τ (π π 0 ) 2 está completamente caracterizado por dos variables, las cuales podemos elegir como el cuadrado del invariante de masa del sistema de los piones (t) y el cuadrado del invariante de masa del sistema ν τ π 0 (u = (p ν + p π 0) 2 ), M (0) τ (π π 0 ) 2 = 2G 2 F V ud { f 2 + (t) 2 D + (t,u) + f (t) 2 D (t) [ ] } +Re f + (t)f (t) D + (t,u), (2.10) con las siguientes definiciones D + (t,u) = 2u 2 2(m 2 τ + m 2 π + m2 π 0 t)u + m2 τ 2 (m2 τ t) + 2m 2 π m2 π 0, (2.11) D (t) = m2 τ 2 (m2 τ t), (2.12) D + (t,u) = m 2 τ(m 2 τ + 2m 2 π0 t 2u). (2.13) La elección de la variable t es inmediata ya que los factores de forma dependen de esta variable, en cambio la elección de la segunda variable cinemática no es tan directa. Se elige la variable u debido a que está relacionada directamente con la energía del pion cargado, u = (p τ p π ) 2. forma En el sistema de reposo del τ la razón diferencial de decaimiento toma la siguiente dγ (0) τ (π π 0 ) = G2 F V ud 2 L αβ H 2(4π) 3 m 3 αβ du dt ; (2.14) τ el dominio de las variables cinemáticas t y u se puede escribir convenientemente como sigue R III = { } (m π + m π 0) 2 t m 2 τ, u (t) u u + (t), (2.15) las funciones u ± (t) están dadas por las relaciones u (t) = 1 [ 2(m 2 τ + m 2 π 2t t)t 0 (m2 τ t)(t + m 2 π m2 π ] 0) (m 2 τ t)λ 1/2 (t,m 2 π,m2 π 0), (2.16) u + (t) = 1 [ 2(m 2 τ + m 2 π 2t t)t 0 (m2 τ t)(t + m 2 π m2 π ] 0) +(m 2 τ t)λ 1/2 (t,m 2 π,m2 π 0). (2.17) 14

19 u GeV t GeV 2 Figura 2.1. Espacio fase del decaimiento a tres cuerpos τ ν τ π π 0. Esta gráfica muestra la región permitida para las variables cinemáticas t y u. En la figura 2.1 se muestra gráficamente la región cinemática físicamente accesible, para las variables t y u, en el decaimiento a tres cuerpos τ 2π. El invariante L αβ H αβ es un polinomio de segundo grado en u y por lo tanto la integración sobre esta variable es trivial. Después de realizar dicha integración se obtiene la distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema π π 0, dγ (0) τ (π π 0 ) dt con = G2 F V ud 2 m 3 ( τ β 12(4π) 3 π π 0 1 t m 2 τ [ +3 f (t) 2 + 6Re f + (t)f (t) ) 2 { f + (t) 2 [ ( 1 + 2t ] π π 0 t m 2 τ ) ] β 2 π π π π 0 0 t 2 }, (2.18) π π 0 = m2 π m2 π 0, (2.19) β π π 0 = λ1/2 (t,m 2 π,m 2 π 0 ) t. (2.20) Las funciones espectrales juegan un papel determinante en el estudio de la dinámica de las interacciones fuertes debido a que proporcionan la conección entre la estructura hadrónica observada a bajas energías y el comportamiento de quarks en el régimen de altas energías. Por lo tanto, a través de las funciones espectrales es posible 15

20 estudiar el régimen perturbativo y no perturbativo de QCD. Resulta entonces interesante calcular la función espectral para el decaimiento τ 2π. Siguiendo la definición de la referencia [4] se obtiene v (t) = 1 24 β π π 0 ( 1 + 2t [ +6Re f + (t)f (t) ) 1 { f + (t) 2 [ ( 1 + 2t m 2 τ ] π π 0 t m 2 τ ) ] β 2 π π π π f 0 t 2 (t) 2 }. (2.21) Si la simetría de isoespin es exacta entonces f (t) = 0 y m π = m π 0 m π. De la última relación se sigue que ( ) π π 0 = 0 y β π π 0 = 1 4m2 1/2 π. (2.22) t En este límite las expresiones para la probabilidad de decaimiento no polarizada, la distribución del invariante t y la función espectral v (t) se simplifican considerablemente ya que sólo dependen del factor de forma f + (t). Además la probabilidad de decaimiento no polarizada es proporcional a la función D + (t,u), en la cual se incluye toda la dependencia de la variable u. Como se demostrará al final de la sección 2.2, los efectos del rompimiento de la simetría de isoespin son muy pequeños, despreciables incluso comparados con las correcciones radiativas electrodébiles. Es importante comentar que los experimentos proporcionan medidas del factor de forma vectorial f + (t), lo cual es posible hacer bajo la hipótesis de que f (t) es insignificante Los factores de forma en el MDM En el contexto del MDM el decaimiento τ 2π, de acuerdo con la G-paridad, se produce por medio de resonancias hadrónicas vectoriales V j (J P = 1 ). Estas resonancias se crean como estados intermedios (virtuales) y posteriormente decaen al estado hadrónico final π π 0, ver figura 2.2. Las resonancias vectoriales que contribuyen al decaimiento τ 2π son ρ (770), ρ (1450), ρ (1700),.... Es bien conocido que este decaimiento es fuertemente dominado por la producción del mesón vectorial ρ (770), entonces es razonable considerar como buena aproximación sólo la contribución de este mesón. El dominio del cuadrado del momento transferido incluye el punto t = m 2 ρ. En este punto el propagador del mesón ρ (770), al orden más bajo en la teoría de perturbaciones, diverge. Para eliminar esta divergencia se incluyen las correcciones absortivas 16

21 Figura 2.2. Diagramas de Feynman para el decaimiento τ 2π en el MDM. Los estados intermedios V j denotan resonancias hadrónicas cargadas con J P = 1. a un loop [6], las cuales surgen principalmente de loops con mesones π π 0. Estas correcciones al propagador del mesón ρ (770) se pueden incluir fácilmente en el cálculo de la corriente hadrónica, h α, si separamos al estado hadrónico ρ (770) en su parte transversal y longitudinal; en este caso la corriente hadrónica queda determinada por h α = [ π π 0 ρ T T ρ dγ α u 0 + π π 0 ρ L L ρ dγ ] α u 0 +, (2.23) t m 2 s ρ ρ + iimπ T (t) m 2 ρ iimπ L (t) donde ImΠ T (t) y ImΠ L (t) son, respectivamente, la pieza transversal y longitudinal de la parte absortiva de la corrección a la autoenergía a un loop [6], ImΠ T (t) = tγ ρ (t) = G2 ρππ 48π tβ3 π π θ(t [m 0 π + m π 0]2 ), (2.24) ImΠ L (t) = G2 ρππ 2 π π 0 β π 16π t π 0 θ(t [m π + m π 0]2 ). (2.25) Los elementos de matriz π π 0 ρ T/L y T/L ρ dγ α u 0 se parametrizan de acuerdo con la covariancia de Lorentz. Estas parametrizaciones definen las constantes de acoplamiento de las interacciones ρ π π 0 y W ρ, π π 0 ρ T/L = G ρ π π 0 (p π p π 0) ǫt/l (p ρ,s ρ ), (2.26) T/L ρ dγ α u 0 = G ρ [ǫ T/L α (p ρ,s ρ )]. (2.27) Las fases de los vectores de estado, π π 0 y ρ T/L, se escogen de manera que los acoplamientos G ρ π π 0 y G ρ sean reales y positivos. La componente transversal ǫ T (p ρ,s ρ ) y longitudinal ǫ L (p ρ,s ρ ) del vector de polarización del mesón vectorial ρ (770) satisfacen las siguientes relaciones s ρ [ǫ T α(p ρ,s ρ )] ǫ T β(p ρ,s ρ ) = g αβ + (p ρ) α (p ρ ) β p 2 ρ 17 T αβ (p ρ ), (2.28)

22 [ǫ L α(p ρ,s ρ )] ǫ L β(p ρ,s ρ ) = (p ρ) α (p ρ ) β L p 2 αβ (p ρ ). (2.29) ρ s ρ Los tensores T αβ (p ρ ) y L αβ (p ρ ) son los llamados proyectores transversal y longitudinal, respectivamente, tales que T αβ (p ρ ) + L αβ (p ρ ) = g αβ. Para calcular los factores de forma f + (t) y f (t) se desarrollan los términos de la derecha de la ecuación (2.23) y el resultado se compara con la ecuación (2.6), G ρ G ρ f + (t) = π π 0 m 2 ρ t iimπ T (t), (2.30) [ G ρ G ρ f (t) = π π 0 m 2 ρ t iimπ T (t) G ] ρ G ρ π π0 π π 0. (2.31) m 2 ρ iimπ L (t) t A partir de la expresión para f (t) es inmediato que en el límite de la simetría de isoespin este factor de forma se anula. Las expresiones anteriores de los factores de forma también se pueden obtener aplicando reglas de Feynman (dadas en el apéndice B) al diagrama de la figura 2.2. En este caso, de acuerdo con la referencia [6], el propagador del mesón vectorial ρ (770) que se tiene que emplear es it αβ (p ρ ) D αβ (p ρ ) = t m 2 ρ + iimπ T (t) + il αβ (p ρ ) m 2 ρ iimπ L (t). (2.32) Para simplificar el análisis vamos a tomar el límite de la simetría de isoespin. Nuevamente hacemos hincapié en que los efectos que induce el rompimiento de la simetría de isoespin son despreciables. En este caso el factor de forma que gobierna el decaimiento τ 2π se puede escribir como 2m 2 ρ f + (t) = m 2 ρ t i tγ ρ (t). (2.33) Hemos empleado la relación G ρ G ρ π π 0 = 2m 2 ρ, establecida por la simetría de isoespin. Para t = 0 se satisface la condición de normalización f + (0) = 2. La distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema hadrónico final y la función espectral toman una forma sencilla dγ (0) τ (π π 0 ) dt = G2 F V ud 2 m 3 ( τ 1 t ) 2 ( 1 + 2t ) β 3 12(4π) 3 m 2 τ m 2 π π 0 f +(t) 2, (2.34) τ v (t) = 1 24 β3 π π 0 f +(t) 2. (2.35) Con el objetivo de describir adecuadamente el decaimiento τ 2π con una sola resonancia, vamos a tomar la masa m ρ y el acoplamiento G ρ π π 0 (= G ρππ) como parámetros libres, los cuales fijaremos a partir de los datos experimentales. 18

23 Figura 2.3. (A) La función espectral v (s) para el decaimiento τ 2π, los puntos corresponden a los datos de la colaboración ALEPH [7] y la curva al mejor ajuste del MDM. (B) El factor de forma débil del pion F π (s), los puntos son los datos experimentales [7] y la curva el mejor ajuste del MDM. En ambos casos, para nuestro ajuste, sólo se considera la contribución del mesón vectorial ρ (770). El decaimiento τ 2π ha sido medido por diferentes experimentos con una excelente precisión. Para fijar los parámetros libres de nuestro modelo vamos a tomar los datos obtenidos por la colaboración ALEPH [7] para el cuadrado del módulo del factor de forma F π (t) 2 y la función espectral v (t). Las definiciones de los factores de forma F π (t) y f + (t) difieren en un factor 2, específicamente f + (t) = 2F π (t). El mejor ajuste de los datos experimentales se obtiene con los siguientes valores centrales de los parámetros libres, m ρ = MeV, G ρππ = (2.36) La constante de acoplamiento G ρππ también se puede fijar a partir del modo de decaimiento ρ π π 0, el valor que se obtiene (G ρππ = 5.953±0.020) es ligeramente diferente del que obtuvimos por medio del ajuste a los datos experimentales. En la figura 2.3 se muestran los resultados del ajuste para v (t) y F π (t) 2. Observemos que nuestro modelo con una sola resonancia da una buena descripción de los datos para t 0.8 GeV 2. Tomando los valores que hemos obtenido para la masa m ρ y el acoplamiento G ρππ, ecuación (2.36), calculamos la fracción de decaimiento B τ (π π 0 ) = ( ) %, (2.37) 19

24 el resultado difiere del valor experimental Bτ exp (π π 0 ) = ± 0.10 % [1] de manera significativa. La discrepancia se debe principalmente a que las contribuciones de los mesones vectoriales ρ (1450) y ρ (1700) se han despreciado. Consideremos ahora la contribución del mesón vectorial ρ (1450) al decaimiento τ 2π. El factor de forma f + (t) se puede calcular aplicando reglas de Feynman a los diagramas de la figura 2.2. En el límite de isoespin el propagador de los mesones vectoriales tiene la siguiente expresión [6] D αβ (p V ) = i g αβ p V αp V β m 2 V ( 1 + i Γ ) V (t) t t m 2 V + i tγ V (t), V = ρ (770), ρ (1450). (2.38) Sin embargo, preferimos calcular el factor de forma f + (t) como se hizo anteriormente; en este caso la corriente hadrónica h α está dada por h α = [ π π 0 ρ T T ρ dγ α u 0 s ρ t m 2 ρ + i tγ ρ (t) + [ π π 0 ρ T T ρ dγ α u 0 t m 2 sρ ρ + i tγ ρ (t) + π π 0 ρ L L ρ dγ α u 0 m 2 ρ + π π 0 ρ L L ρ dγ α u 0 m 2 ρ ] (2.39) ] +, para simplificar la escritura vamos a seguir la notación ρ(1450) ρ. Por medio de relaciones análogas a las ecuaciones (2.26) y (2.27) se parametrizan los nuevos elementos de matriz, definiéndose así las constantes de acoplamiento de las interacciones ρ (1450)π π 0 y W ρ (1450). Nuevamente desarrollamos la expresión de la corriente hadrónica h α para obtener el factor de forma débil del pion, f + (t) = G ρ G ρ π π 0 m 2 ρ t i tγ ρ (t) + G ρ G ρ π π0 m 2 ρ t i sγ ρ (t) ; (2.40) si se impone la condición de normalización f + (0) = 2 se sigue que G ρ G ρ π π 0 = 2m 2 ρ /(1 + σ), con la siguiente definición σ = (m 2 ρg ρ G ρ π π 0)/(m2 ρ G ρ G ρ π π 0). De esta manera el factor de forma se puede escribir como sigue 2 [ m 2 ρ f + (t) = 1 + σ m 2 ρ t i tγ ρ (t) + σ m 2 ] ρ, (2.41) m 2 ρ t im ρ Γ ρ donde hemos despreciado la dependencia en la energía del ancho de decaimiento del mesón ρ (1450), es decir, se toma tγ ρ (t) = m ρ Γ ρ. Esta última expresión para el factor de forma débil del pion coincide con la reportada en la referencia [8]. Para dar una estimación del parámetro σ necesitamos calcular los acoplamientos G V y G V π π 0. La constante de acoplamiento G V la fijaremos por medio de la 20

25 relación que establece la simetría de isoespin [9] 2m 2 G V = V. (2.42) γ V Para determinar el acoplamiento γ V emplearemos los datos experimentales de los modos de decaimiento V 0 e + e. Debido a que la masa del electrón m e es muy pequeña en comparación con la masa de los mesones vectoriales ρ(770) y ρ(1450), podemos considerar a los electrones como no masivos, es decir m e = 0. En esta aproximación la constante de acoplamiento γ V se puede escribir de una manera muy simple, γ V = [8πα 2 m V ]/[6Γ exp V (e+ e )], los detalles se pueden consultar en el apéndice E.1. El acoplamiento G V π π0 se fijará a partir del modo de decaimiento V π π 0, en el límite de la simetría de isoespin, de acuerdo con los resultados del apéndice E.4, la constante de acoplamiento G V π π0 está determinada por la relación G V π π 0 = [48πm 2 V Γexp V (π π 0 )]/(m 2 V 4m2 π) 3/2. Por lo tanto, el parámetro σ que mide la intensidad relativa de las contribuciones de los mesones vectoriales ρ (770) y ρ (1450) al decaimiento τ 2π está dado por mρ Γ exp ρ (e + e )Γ exp σ = ρ (π π 0 )(m 2 ρ 4m 2 π) 3/2 m ρ Γ exp ρ (e + e )Γ exp ρ (π π 0 )(m 2 ρ 4m 2 π) 3/2 = ± (2.43) Para obtener este valor de σ se fijaron todos los parámetros de los mesones ρ (770) y ρ (1450) a los valores del PDG [1], excepto las razones de decaimiento del mesón ρ (1450) las cuales se estimaron a partir de la información relevante dada en la misma referencia [1], Γ exp ρ (e + e ) = 1.48 kev y Γ exp ρ (π π 0 ) = 26.9 MeV. El valor experimental del parámetro σ reportado en la referencia [7], σ exp = ± 0.008, es cercano al valor que hemos obtenido. Para ilustrar la importancia de la contribución del mesón vectorial ρ (1450) al decaimiento τ 2π calcularemos la fracción de decaimiento, como en el caso anterior. La masa m ρ y el acoplamiento G ρππ se toman como parámetros libres los cuales se fijan por medio de un ajuste a los datos experimentales, m ρ = MeV y G ρππ = 5.867, y para σ se toma el valor σ = ±0.008, mientras que el resto de los parámetros se fijan a los valores del PDG [1]. La fracción de decaimiento que resulta, B τ (π π 0 ) = (23.54 ± 0.64) %, (2.44) está más cerca del valor experimental. Si se toma σ > 0 la fracción de decaimiento que resulta está por de bajo del valor experimental 14 %, así pues se favorece que el parámetro σ sea negativo. 21

26 Finalmente determinaremos los efectos del rompimiento de la simetría de isoespin (debidos a m π m π 0) sobre la fracción de decaimiento B τ (π π 0 ), calculada con una sola resonancia. Para esto emplearemos la expresión más general de la distribución del invariante t, ecuación (2.18). Los factores de forma f + (t) y f (t) están dados por las ecuaciones (2.30) y (2.31), respectivamente, en estas expresiones usaremos la relación entre los acoplamientos G ρ y G ρ π π0 que establece la simetría de isoespin, G ρ G ρ π π 0 = 2m 2 ρ. Para comparar de manera adecuada, con el resultado obtenido en el límite de la simetría de isoespin, se tienen que utilizar los valores de la ecuación (2.36) para la masa m ρ y el acoplamiento G ρππ. De esta manera, la fracción de decaimiento que incluye los efectos del rompimiento de la simetría de isoespin es B τ (π π 0 ) = ( ) %. (2.45) Como señalamos anticipadamente, los efectos del rompimiento de la simetría de isoespin son insignificantes. Estos apenas hacen una diferencia de aproximadamente el % con respecto al resultado obtenido en el límite de isoespin. Por lo tanto concluimos que el límite de la simetría de isoespin es una excelente aproximación para describir el decaimiento τ 2π El decaimiento τ 2π en la CHPT Con la idea de comparar los resultados del MDM y de la teoría de perturbaciones quirales (CHPT), vamos a describir de manera breve el decaimiento τ 2π en el contexto de la CHPT, y en el límite de la simetría de isoespin. Al inicio de este capítulo describimos de manera general el decaimiento τ 2π, determinando la distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema π π 0 y la región cinemática físicamente accesible R III. Para concluir el análisis se require de un modelo específico que permita calcular el factor de forma f + (t). Toda la información del modelo está contenida en el factor de forma. Mostrar los detalles del cálculo de esta cantidad en la CHPT sale del objetivo de este trabajo de tesis, pero es suficiente para nosotros conocer su expresión 2m 2 [ f+(t) C ρ = m 2 ρ t im ρ Γ C ρ (t) exp 2 H π π 0(t) + H ] K K 0(t), (2.46) la cual ha sido calculada por los autores de la referencia [10]. El factor de forma f + (t) se obtuvo uniendo la predicción de la CHPT a orden O(p 4 ) con la contribución del mesón 22

27 vectorial ρ (770), para describir la región de resonancia. El ancho de decaimiento que depende de la energía, Γ C ρ (t), tiene la forma Γ C ρ (t) = m ρt 96πF 2 π [ β 3 π π 0 θ(t 4m2 π) β3 K K 0 θ(t 4m2 K) ], (2.47) donde ( ) β K K 0 = 1 4m2 1/2 K, (2.48) t mientras que la función de loops H P P0 (P = π,k) tiene la siguiente estructura [ H P P 0 = 1 1 ( [ m 2 ] [ Re 6(4π) 2 Fπ 2 2 tβ2 P P 1 ln P 1 + β 0 µ 2 P P 0 ln βp ]) P 0 1 β P P [ 0 m 2m 2 2 ] P ln P + 1 ] µ 2 3 (t 6m2 P). (2.49) Observemos que en el presente caso las amplitudes incluyen loops de piones π π 0 y de kaones K K 0. La constante de decaimiento del pion F π se toma igual a 92.4 MeV [10], y el resto de los parámetros se fijan a los valores del PDG [1]. Con estos elementos podemos calcular, en el marco de la CHPT, la fracción de decaimiento para el modo τ 2π, B τ (π π 0 ) = ( ± 0.073) %. (2.50) Este valor está por de bajo del resultado experimental y es apenas 2.16 % más grande que la predicción del MDM, ecuación (2.37). Resulta interesante e ilustrativo comparar las predicciones de ambos modelos para el factor de forma f + (t) y la función espectral v (t). En la figura 2.4 se muestran estas comparaciones. En la figura 2.4(A) se muestran las gráficas para la función espectral, v (t), donde la predicción del MDM es la curva continua y la predicción de la CHPT es la curva entrecortada. Observemos que existen diferencias importantes en la región t 0.35 GeV 2, en la vecindad de la resonancia (0.54 GeV 2 t 0.65 GeV 2 ) y en la región 0.7 GeV 2 t 1.7 GeV 2. Las gráficas para el cuadrado del módulo del factor de forma, f + (t) 2, se muestran en la figura 2.4(B) donde la curva continua corresponde al MDM y la curva entrecortada a la CHPT. Las discrepancias entre las predicciones de ambos modelos se encuentran nuevamente en las mismas regiones. La conclusión importante de esta sección es que tanto el MDM como la CHPT subestiman el valor de la fracción de decaimiento para el modo τ 2π cuando se considera únicamente la contribución de la resonancia ρ (770). La adición de una segunda resonancia, la ρ(1450), provee una estimación en mejor acuerdo con los datos experimentales. 23

28 Figura 2.4. Gráficas para la función espectral v (t), (A), y el módulo al cuadrado del factor de forma f + (t), (B), en ambos casos la curva continua es la predicción del MDM y la curva entrecortada la predicción de la CHPT Correcciones radiativas al decaimiento τ 2π Hasta aquí hemos analizado el decaimiento τ 2π al orden más bajo en la teoría de perturbaciones. Un análisis más preciso de este modo de decaimiento requiere que las correcciones radiativas sean calculadas por lo menos a orden α. Debido a su naturaleza las correcciones radiativas se separan en dos tipos: las correcciones radiativas electrodébiles, también denominadas de distancias cortas, y las correcciones radiativas electromagnéticas, o de distancias largas. Las futuras mejoras en las mediciones experimentales de las observables del decaimiento τ 2π demandan que las correcciones radiativas sean incluidas en nuestro análisis. En seguida se discutirán de manera breve las correcciones radiativas electrodébiles al decaimiento τ 2π. Debido a que las correcciones radiativas electromagnéticas constituyen uno de los ejes centrales de este trabajo de tesis su análisis se deja para el siguiente capítulo Correcciones radiativas de distancias cortas Las correcciones radiativas electrodébiles al decaimiento τ 2π (en general para cualquier decaimiento semileptónico) se deben a la emisión y reabsorción de los bosones de norma débiles y del bosón de Higgs. El intercambio del fotón contribuye sólo si la 24

29 Figura 2.5. Un ejemplo de los diagramas de Feynman que producen las correcciones radiativas electrodébiles del decaimiento τ 2π. línea interna del bosón débil cargado interviene 1. En la figura 2.5 se muestran algunos ejemplos de los diagramas que producen estas correcciones. Los bosones débiles y el Higgs son partículas pesadas (sus masas son [1]: M W = ± GeV, M Z = ± GeV y M H > 79.3 GeV), por consiguiente interactúan con la estructura de altas energías, o de distancias cortas, del estado hadrónico final. Por esta razón las correcciones radiativas electrodébiles se conocen también como correcciones radiativas de distancias cortas. Para calcular las correcciones radiativas electrodébiles a los decaimientos semileptónicos del τ se emplea su estructura a nivel de quarks, τ ν τ ūd(s). Las contribuciones dominantes fueron calculadas hace varios años por los autores de las referencias [12, 13] S EW = 1 + 3α 4π (1 + 2Q) ln M2 Z m 2 τ = , (2.51) donde la constante de acoplamiento electromagnético α se evalúa en el esquema de renormalización MS a la escala de la masa del τ, α = α(m τ ) = 1/133.50(2) [14]. La hipercarga Q del doblete débil en el estado final, ūd(s), es Q = (Q u + Q d )/2 = 1/6; para el caso de los decaimientos leptónicos Q = 1/2, por tanto no hay un término proporcional al logaritmo ln(m 2 Z /m2 τ). 1 Recordemos que el decaimiento τ 2π se produce por medio del intercambio del bosón débil cargado W (ver figura 2.2). En todo el análisis anterior se aproximó el propagador del bosón W para ser igual a ig αβ /MW 2, esta aproximación es razonable ya que M2 W t. 25

30 Las correcciones radiativas electrodébiles subdominantes de orden α se calcularon en la referencia [15], EW = 1 + α(m ( τ) 85 ) π 24 π2, (2.52) 2 EW = 1 + α(m ( τ) 25 ) π 8 π2, (2.53) 2 S sub,had S sub,lep para obtener estos resultados se despreciaron las masas de los fermiones del estado final. A las escalas de energía que se producen las interacciones responsables de las correcciones radiativas electrodébiles los efectos de QCD son importantes. Entonces, es necesario incluir los efectos de QCD de distancias cortas en las correcciones radiativas electrodébiles [16]. Después de incluir estos efectos el factor de corrección S EW toma la siguiente forma S EW = 1 + 3α [ 4π ln M2 Z (1 + 2Q) 2Q α ] s. (2.54) m 2 τ π Observemos que existen dos términos proporcionales al logaritmo ln(m 2 Z /m2 τ), uno también es proporcional a α y el otro a αα s. Por medio de las ecuaciones del grupo de renormalización (RGE) es posible incluir la contribución de todos los términos de la forma α n ln n (M 2 Z /m2 τ) [13] y α α n s ln n (M 2 Z /m2 τ) [14], el resultado que se obtiene de este procedimiento, [ ] 9 α(mb 19 ) (1 ητ) [ ] 9 αs (m b ) ητ[ ] α(m W ) (1 η b) S(m τ,m Z ) = α(m τ ) α s (m τ ) α(m b ) [ ] 9 αs 20 (M W ) η [ ]36 b 17 α(m Z ) (1 η W )[ ]36 αs 17 (M Z ) η W α s (m b ) α(m W ) α s (M W ) = ± , (2.55) reemplaza el término de la derecha de la ecuación (2.54). En la expresión de S(m τ,m Z ) se definieron η τ = α [ s(m τ ) ] 1 α s (m τ ), (2.56) 4π 76 α(m τ ) η b = α [ s(m b ) ] 1 α s (m b ), (2.57) 4π 80 α(m b ) η W = α [ s(m W ) ] 1 α s (M W ). (2.58) 4π 17 α(m W ) 26

31 Finalmente concluimos que las correcciones radiativas electrodébiles, que incluyen contribuciones subdominantes, efectos de QCD de distancias cortas, resumación 2 de los logaritmos grandes y resumación de los efectos de QCD, se pueden escribir como [14] S EW = S(m τ,m Z )S sub,had EW = ± (2.59) En virtud de la universalidad de las interacciones débiles, las correcciones radiativas de distancias cortas son iguales para los decaimientos semileptónicos que conservan extrañeza ( S = 0) y para los que cambian extrañeza ( S = 1). Para un decaimiento semileptónico específico existen contribuciones adicionales de O(α) debido a loops (adicionales) en el régimen de bajas energías (< m τ ) [13]. En general estas contribuciones dependen de la estructura hadrónica del estado final. Para calcular las contribuciones de los loops de baja energía se requiere un modelo para la estructura hadrónica, el resultado no será proporcional a logaritmos grandes, y por lo tanto se puede asignar un error de ±0.5 % [13] al factor S EW por el desconocimiento de dichas contribuciones. De esta manera, el factor de corrección que resume adecuadamente las correcciones radiativas de distancias cortas para decaimientos semileptónicos del τ específicos es S EW = ± ± estruc had. (2.60) Para incluir los efectos de las correcciones radiativas de distancias cortas, en el decaimiento τ 2π, a la distribución del cuadrado del invariante de masa del sistema π π 0 se introduce el factor de corrección S EW, dγ τ (π π 0 ) dt = G2 F V ud 2 m 3 ( τs EW 1 t ) 2 ( 1 + 2t ) β 3 12(4π) 3 m 2 τ m 2 π π 0 f +(t) 2. (2.61) τ La fracción de decaimiento aumenta aproximadamente un 2 %, para la predicción del MDM con una sola resonancia y para la predicción de la CHPT B τ (π π 0 ) = ( ) % ( ) %, (2.62) B τ (π π 0 ) = ( ± 0.073) % ( ± 0.078) %. (2.63) 2 La palabra resumación se emplea para denotar el proceso de sumar todas las contribuciones de ordenes superiores, por medio de las RGE, de los logaritmos dominantes. Estas contribuciones son de la forma α n ln n (MZ 2/m2 τ), mientras que para los efectos de QCD tienen la forma α αs n ln n (MZ 2/m2 τ). 27

32 Notemos que las correcciones radiativas electrodébiles son más importantes que los efectos del rompimiento de la simetría de isoespin. Vale la pena actualizar el valor de la fracción de decaimiento que obtuvimos en el MDM con dos resonancias, ρ (770) y ρ (1450), B τ (π π 0 ) = (23.54 ± 0.64) % (24.01 ± 0.65) %, (2.64) este resultado es consistente con el valor experimental B exp τ (π π 0 ) = 25.50±0.10 % [1] en 2.3 desviaciones estándar. Cabe hacer notar que una discrepancia similar con los datos experimentales se observa también en otros modelos. En particular la predicción de CVC [4] B CVC τ (π π 0 ) = (24.52 ± 0.31) %, (2.65) la cual usa datos experimentales del factor de forma electromagnético del pion (f + (t) = 2Fπ (t)), exhibe una discrepancia de 3.0 σ s. El origen de este desacuerdo aún no se entiende bien. 28