Dinámica: las fuerzas y sus aplicaciones DINÁMICA: LAS FUERZAS Y SUS APLICACIONES

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1 TEMA 10 DINÁMICA: LAS FUERZAS Y SUS APLICACIONES 1- CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL 2- LEYES DE LA DINÁMICA 3- CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL 4- IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 5- ESTUDIO DINÁMICO DE SITUACIONES COTIDIANAS: 5.1 MOVIMIENTO EN PLANOS HORIZONTALES 5.2 MOVIMIENTO EN PLANOS INCLINADOS 5.3 MOVIMIENTO DE CUERPOS ENLAZADOS 5.4 MOVIMIENTOS CIRCULARES 6 - MOVIMIENTOS PLANETARIOS: GRAVITACIÓN 1

2 1- CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL El elefante y la hormiga se mueven en patinete a la misma velocidad, si tuvieras que elegir, a quién frenarías? Podemos decir que el movimiento de ambos es el mismo? Recuerda el concepto de inercia visto en el curso anterior y utilizalo para explicar la imagen. La cantidad de movimiento, o momento lineal, de una partícula es una magnitud física definida como el producto de la masa de la partícula por su velocidad. Se representa por p y, matemáticamente, se calcula como: p =m v Se trata de una magnitud vectorial, que tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad. Su unidad en el S.I es el kg m/s ACTIVIDAD 1 Calcula la cantidad de movimiento de los siguientes cuerpos: a) una pelota de 25 gramos que se mueve con una velocidad de 25 m/s b) un coche de 1500 kg que se mueve a 50 km/h c) un electrón de 9, g que se mueve a 2,5 106 m/s ACTIVIDAD 2 Un tenista lanza una pelota de 250 gramos a una velocidad de 25 m/s y su oponente se la devuelve a 15 m/s. Calcula la cantidad de movimiento en ambos casos. 2- LEYES DE LA DINÁMICA En cursos anteriores ya has estudiado las 3 leyes de la dinámica, así que haremos un breve repaso: 2.1- PRIMERA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE INERCIA Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, si sobre él no actúa ninguna fuerza. De esta ley se deduce: - el reposo y el MRU son estados equivalentes, - la fuerza origina aceleraciones, - el concepto de INERCIA. 2

3 Si relacionamos el primer principio de la dinámica con el concepto de cantidad de movimiento, se puede deducir que, en un cuerpo aislado (sobre el que no actúan fuerzas) la cantidad de movimiento permanece constante SEGUNDA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA El cambio en el estado de reposo o movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza que actúa sobre él y tiene lugar en la dirección de la fuerza. F=m a dado que: a= d v dt podemos relacionar la segunda ley con la cantidad de movimiento: d p = p aquí podemos ver que, si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, F= 0 p= 0, F= dt t p es constante, tal y como se deduce de la primera ley. Recordemos que las fuerzas son magnitudes vectoriales y, si actúan varias fuerzas sobre un cuerpo, el resultado será el mismo que si actuara una única fuerza, la resultante de todas ellas. ACTIVIDAD 3 Calcula la aceleración de un cuerpo sobre el que actúan las siguientes fuerzas, expresadas en Newton: F 1= 5 j ; F 2= 2 i ; F 3=4 i +6 j ACTIVIDAD 4 Calcula la fuerza que es necesario aplicar en el ejercicio anterior para que el cuerpo describa un MRU. ACTIVIDAD 5 Cuando un ascensor (P= 3000 n) arranca con a = 0,2 m/s 2, qué fuerza inercial siente una persona de 70 Kg en su interior? Qué fuerza ejerce el cable que lo eleva? 2.3- TERCERA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO DE ACCION REACCIÓN Cuando dos cuerpos interactúan se ejercen mutuamente fuerzas iguales y de sentidos opuestos. Dos cuerpos, 1 y 2, se atraen mutuamente, de manera que el cuerpo 1 ejerce una fuerza sobre el 2, F1-2 y, al mismo tiempo, el cuerpo 2 ejerce una fuerza igual sobre 1, F 2-1 de manera que: F 1 2= F 2 1 Las fuerzas de acción y reacción actúan siempre sobre cuerpos distintos, por eso, a pesar de ser iguales y de sentido opuesto, no se anulan. 3

4 ACTIVIDAD 6 Identifica con qué interacciona un jarrón apoyado en una mesa. Describe el par de fuerzas de cada interacción. Y una lámpara anclada en el techo? 3- CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL El principio de conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal es uno de los más importantes de la física y es clave para interpretar muchos de los fenómenos cotidianos. Si imaginamos dos cuerpos aislados, sobre los que no actúa ninguna fuerza más que la interacción que se ejercen mutuamente: A partir de la expresión F 1 2= d p 1 p 1 = dt t d p = p podemos escribir: F= dt t F 2 1= Así, podemos escribir: F 1 2= F 2 1 d p 2 p 2 = con lo que: F F 2 1=0 dt t p 1 p 2 + =0 t t p 1+ p 2 =0 con lo que podemos concluir que: t p 1 + p 2=cte no variará aunque acontezca cualquier fenómeno como consecuencia de esa interacción, como, por ejemplo, una colisión. p total antes= ptotal después p 1 + p 2= p ' 1 + p' 2 p 1+ p 2=0 En un proceso en el que no intervienen fuerzas externas se produce una transferencia del momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula a la otra. La interacción produce un intercambio de cantidad de movimiento. En estos fenómenos como choques, explosiones, retrocesos de las armas se conserva el momento lineal del sistema. 4

5 ACTIVIDAD 7 Calcula la velocidad de retroceso de una pistola de 900 g que dispara horizontalmente una bala de 28,35 g con una velocidad de 355 m/s. ACTIVIDAD 8 Una bola de 20 gramos lanzada a 6 m/s impacta contra otra de 32g, inicialmente en reposo. Calcula la velocidad (módulo, dirección y sentido) de la primera bola, si sabemos que la segunda sale disparada a 3 m/s, en dirección horizontal y hacia la derecha. ACTIVIDAD 9 Un carrito A, que se mueve a 0,7 m/s, golpea a otro carrito B que se encontraba en reposo. Tras la colisión, el carrito B se mueve a 0,9 m/s, mientras que la velocidad de A disminuye hasta 0,08 m/s, qué relación guardan las masas de A y B? ACTIVIDAD 10 Teniendo en cuenta la relación entre las masas de los carritos del problema anterior, con qué velocidad se moverían si, después de la colisión, hubiesen quedado unidos? ACTIVIDAD 11 Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra otra partícula de masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve con 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la dirección inicial. Calcula la velocidad de la segunda partícula. 4- IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO El impulso mecánico es la magnitud que combina la fuerza aplicada y el tiempo que dura su aplicación. Se calcula como el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que actúa. El impulso mecánico es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que la fuerza. Su unidad den el S.I es el N s. I = F t El impulso mecánico se relaciona con la cantidad de movimiento a partir del teorema del impulso mecánico o del momento lineal: el impulso mecánico de la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a la variación de su cantidad de movimiento I = p 5

6 ACTIVIDAD 12 Una pelota de pádel llega a la pala con una velocidad v 0=( 12 i +15 j )m/s v=(30 i +22 j )m/s, si la masa de la pelote es de 58 g, Después de ser golpeada sale con calcula: a) El impulso de la pala sobre la pelota b) La fuerza constante que ejerce la pala sobre la pelota, si están en contacto durante 3 cs ACTIVIDAD 13 Una pelota de 160 g de masa llega a la pared de un frontón con una velocidad de 50 m/s. Si permanece en contacto con la pared durante 0,02 s y sale rebotada en la misma dirección con igual velocidad, calcula: a) el impulso que la pared ejerce sobre la pelota b) la fuerza media que opone la pared 5- ESTUDIO DINÁMICO DE SITUACIONES COTIDIANAS: La fuerza de rozamiento 1. El rozamiento entre dos cuerpos es proporcional a la fuerza normal (o perpendicular a las superficies de contacto) que oprime un cuerpo contra el otro. 2. Esta fuerza no depende del área de contacto entre las superficies de los cuerpos, pero si que depende de la naturaleza de los cuerpos que entren en contacto, del tipo de superficies. 3. Esta fuerza no depende de la velocidad de deslizamiento de las superficies, siempre se opone al movimiento. La fuerza de rozamiento, matemáticamente se expresa como: F r = μ N u v donde μ es el coeficiente de rozamiento (que depende del tipo de superficies que entren en contacto y no tiene dimensiones) y u v es un vector unitario en la dirección de la velocidad. 6

7 Resolución de ejercicios en los que intervienen varias fuerzas El procedimiento para resolver estos problemas es muy sistemático: 1. Identificar los cuerpos que actúan en el problema. 2. Identificar las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo, dibujándolas. 3. Descomponer todas las fuerzas en sus componentes cartesianas, en la dirección del eje x y en la del eje y. 4. Calcular la fuerza resultante en la dirección del movimiento y aplicar la 2ª ley de Newton: F res =m a F a favor del movimiento F en contradel movimiento=m a con lo que se obtienen tantas ecuaciones como cuerpos. 5.1 MOVIMIENTO EN PLANOS HORIZONTALES ACTIVIDAD RESUELTA Si sobre un coche de 1 tonelada de masa que parte del reposo, su motor le aplica una fuerza de 5500 N, y experimenta una fuerza de rozamiento entre las ruedas y la carretera equivalente a 1000 N, determina: a) La velocidad que alcanzará después de 5s si parte del reposo. Para saber que velocidad alcanzará a los 5s, es necesario conocer que aceleración posee el coche, y para ello, es necesario utilizar la ecuación de la segunda ley de Newton o Principio Fundamental. Sin embargo, lo primero que debemos hacer es preguntarnos, qué fuerzas intervienen en el coche?. En el eje X Fuerza del motor (F); Fuerza de Rozamiento (FR) En el eje Y Peso ( P ); Fuerza Normal (N) Aplicando la segunda ley de Newton, sobre las fuerzas que intervienen en un cuerpo en un plano horizontal, obtenemos que: 7

8 Como se mueve en línea recta y con una aceleración constante a=4.5 m/s2, el cuerpo describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a). Aplicando la fórmula de la velocidad para este tipo de movimientos, obtenemos que la velocidad del coche cuando han transcurrido 5s es: b) El valor del coeficiente de rozamiento o coeficiente de fricción Para calcular el coeficiente de rozamiento o de fricción (μ), debemos utilizar la ecuación de la fuerza de rozamiento: Aunque conocemos la fuerza de rozamiento FR desconocemos la fuerza normal (N), sin embargo sabemos que en un plano horizontal la fuerza normal es igual al peso del cuerpo: Sustituyendo ahora en la ecuación del coeficiente de rozamiento, obtenemos que: Recuerda que el coeficiente de rozamiento no tiene unidad. 5.2 MOVIMIENTO EN PLANOS INCLINADOS Cuando un cuerpo se desliza por un plano inclinado por la acción de su peso, la fuerza resultante (ΣF) tiene la dirección y sentido de la pendiente del plano y su módulo se obtiene: 8

9 Además se cumple que: ACTIVIDAD 14 Un esquiador esta en una pista con 25 de pendiente. Con su equipo, pesa 85 kg y el coeficiente de rozamiento con la nieve es μ=0.05. Calcular con que aceleracio n deslizara cuesta abajo 5.3 MOVIMIENTO DE CUERPOS ENLAZADOS ACTIVIDAD 15 Dos bloques de masas m1 = 20 kg y m2 = 15 kg, apoyados el uno contra el otro, descansan sobre un suelo perfectamente liso. Se aplica al bloque m1 una fuerza F = 40 N horizontal y se pide: 1. a) Aceleración con la que se mueve el sistema 2. b) Fuerzas de interacción entre ambos bloques. 9

10 ACTIVIDAD 16 Tres cuerpos enlazados de masa m, m y m respectivamente, reposan en contacto sobre una superficie horizontal. Se aplica una fuerza F sobre el cuerpo de masa m, de modo que el sistema en su conjunto comienza a moverse. Si los coeficientes de rozamiento son distintos para cada cuerpo: a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos, b) determina la expresión de la aceleración del sistema c) halla el valor de la aceleración si F = 30N, m = 2 kg, m = 3kg, m = 5 kg, µ1 = 0,2; µ2 = 0,1 y sol: a= 0,84 m/s2 µ3 =0,3 La máquina de Atwood Consta de una polea, una cuerda inextensible y dos masas (m y m ). Se desea saber con qué aceleración se moverá el sistema y la tensión a la que está sometida la cuerda. Se suponen despreciables la masa y radio de la polea y no se tiene en cuenta la rotación dela polea. Así mismo, la masa de la cuerda también se desprecia, para que la tensión sea la misma en todas las partes de la cuerda. Para empezar a resolver los problemas, se aplica e balance de fuerzas a cada uno de los cuerpos: cuerpo 1 (m) P - T = m a cuerpo 2 (m ) T P = m a Ambos cuerpos forman el sistema y, por supuesto, se mueven con la misma aceleración: m g T = m a T m g = m a tenemos pues un sistema de ecuaciones con dos incógnitas del que se puede despejar la aceleración y calcular, posteriormente, la tensión de la cuerda. 10

11 ACTIVIDAD 17 Dos masa de 6 y 9 kg cuelgan de los extremos de una cuerda de masa despreciable en una máquina de Atwood. Si inicialmente la masa de 6 kg se encontraba 5 m por debajo de la de 9Kg, determina el tiempo que tardarán en cruzarse a la misma altura una vez que el sistema se abandona a su suerte. Sol: 1,6 s ACTIVIDAD 18 Dos bloques de 3kg cada uno cuelgan de los extremos de una cuerda que pasa por una polea. Qué masa debe añadirse a uno de los bloques para que el otro suba 1,2 m en 2 segundos? Sol: 0,53 kg ACTIVIDAD 19 Determina la aceleración que adquirirá el sistema de la figura, así como el sentido del movimiento si α=30º, m= 2kg, m = 3kg y el rozamiento es despreciable. Sol: a= 0,98 m/s2 5.4 MOVIMIENTOS CIRCULARES Todo cuerpo que describe un movimiento circular está sometido a una aceleración que llamamos normal o centrípeta, que ya se estudió en el curso anterior y en temas anteriores. La ecuación que corresponde a la fuerza centrípeta es la siguiente: F C =m a c=m v2 R A partir de la relación vista en el tema anterior entre la velocidad lineal y la velocidad angular, v = w R, podemos escribir: F c = m w2 R y, sabiendo que w= 2Π, la expresión de la fuerza T centrípeta queda como: (2 Π)2 4 Π2 m R = F c =m R 2 T2 T 11

12 6 - MOVIMIENTOS PLANETARIOS: GRAVITACIÓN Las leyes de Kepler Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las enunció en el mismo orden, en la actualidad las leyes se numeran como sigue: Primera Ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos. Segunda Ley (1609): El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular L es el producto de la masa del planeta, por su velocidad y por su distancia al centro del Sol. Tercera Ley (1618): Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol. Newton. Ley de Gravitación Universal Newton consideró acertadamente que el movimiento orbital de los planetas era la composición de un movimiento tangencial horizontal y un movimiento de caída libre. Newton enunció su ley de gravitación universal: La fuerza gravitacional entre dos cuerpos es atractiva, proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Es decir: F g= G m m' u r donde G, es la constante de gravitación universal, fue calculada por r2 Cavendish y su valor es de 6, N m2 / kg2 12

13 La dirección de a fuerza es radial ( u r ), es decir, dirigida a l largo de la línea que une los centros de los cuerpos que interacción y actúa en sentido atractivo, cosa que viene indicada por el signo negativo. Consecuencias de la ley de gravitación universal 1) Fuerza de atracción a cualquier altura sobre la superficie del planeta: F g=g M p m 2 (h+ R p) 2) Valor de la aceleración de la gravedad en cualquier punto Dado que la fuerza de atracción es equivalente a la fuerza peso, se puede escribir: P = m g = F g=g M p m 2 (h+ R p) con lo que, igualando términos, se obtiene la expresión que nos da el valor de la aceleración de la gravedad en cualquier punto: g =G Mp 2 (h+ R p ) 3) Velocidad orbital: la velocidad con la que un cuerpo orbita alrededor de otro se puede deducir a partir de la ley de gravitación universal. La fuerza de atracción provoca una rotación de los cuerpos alrededor de aquellos por los que son atraídos, se trata pues de una fuerza centrípeta. Igualando las expresiones: velocidad orbital: v orb= F c =m v2 y R F g=g M p m R 2 se llega a la expresión para la G M p R Recuerda que: - La velocidad orbital solo depende de la masa del planeta que origina la atracción, no del cuerpo que orbita - R se refiere al radio de giro y Rp al radio del planeta, mientras que Rp + h lo empleamos cuando el objeto se encuentra a una determinada altura sobre la superficie del planetas - Las masas deben expresarse en Kg, las distancias en m y, la velocidad en m/s - El valor de la constante de gravitación universal, G, es de 6, N m2 / kg2 13

14 ACTIVIDAD 20 Calcula la aceleración centrípeta de la Tierra en su movimiento de traslación, sabiendo que la masa de la tierra es 5, kg y que la distancia de la Tierra al Sol es de Km. Recuerda que la traslación tiene una duración de un año. ACTIVIDAD 21 Un satélite de 8,5 toneladas de masa orbita a 25 km de altura sobre la superficie de la Tierra, sabiendo que la masa de la Tierra es de 5, kg y que su radio es 6370 km, calcula: a) La fuerza de atracción que experimenta el satélite b) La aceleración de la gravedad en ese punto c) la velocidad a la que orbita el satélite ACTIVIDAD 22 Calcula a qué altura sobre la superficie de la Tierra, la aceleración de gravedad tiene un valor de 4,5 m/s2 14