Todos los Pares de Rutas más Cortas (All-Pairs Shortest Paths) DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE

Transcripción

1 Todos los Pares de Rutas más Cortas (All-Pairs Shortest Paths) DR. JESÚS A. GONZÁLEZ BERNAL CIENCIAS COMPUTACIONALES INAOE

2 Problema de Encontrar todos los Pares de Rutas más Cortas 2 Encontrar las rutas más cortas entre todos los pares de vértices de un grafo Es el problema para hacer una tabla de distancias entre todos los pares de ciudades en un Atlas de carreteras Partimos de un grafo pesado y dirigido G = (V, E) con una función de pesos w : E R que mapea arcos a pesos con valores reales Encontrar para cada par de vértices u, v V Una ruta más corta (con menor peso) de u a v Donde el peso de la ruta es la suma de los pesos de sus arcos Salida en forma tabular Entrada en renglón u y columna v es el peso de la ruta más corta entre u y v

3 Problema de Encontrar todos los Pares de Rutas más Cortas Podemos resolver el problema ejecutando el algoritmo de rutas más cortas con una sola fuente V veces, una para cada vértice como la fuente Si todos los pesos son no-negativos, podemos utilizar el algoritmo de Dkstra Con un arreglo lineal implementando una priority-queue podemos tener un tiempo de O(V 3 +VE) = O(V 3 ) Con min-heap binario para priority-queue, O(VElgV) Mejora para grafos poco densos Con Fibonacci-heap para priority-queue O(V 2 lgv+ve) 3

4 Problema de Encontrar todos los Pares de Rutas más Cortas Si hay pesos negativos ya no podemos utilizar Dkstra 4 Entonces utilizaríamos Bellman-Ford (aunque más lento), una vez para cada vértice O(V 2 E), que para un grafo denso se convierte en O(V 4 ) Estos tiempos se pueden mejorar con otros algoritmos Algunos algoritmos utilizan representación de matriz de adyacencia y no la de lista de adyacencia como en los algoritmos de una sola fuente

5 Modelado del Problema Grafo dirigido y pesado, G = (V, E) Representación de matriz de adyacencia Pesos: W =(w ) 0 si i = w = el peso del arco dirigido (i, j) si i si i Se permiten arcos con peso negativo El grafo de entrada no contiene ciclos con peso negativo 5 j, j j y (i, y (i, j) E, j) E

6 Modelado del Problema Salida tabular de todos los pares de rutas más cortas Matriz de n x n, D = (d ) 6 d contiene el peso de una ruta más corta del vértice i al j δ(i,j) denota el peso de la ruta más corta del vértice i al j En la terminación del algoritmo d = δ(i,j) También calculamos una matriz de predecesores Π = (π ), con valor NIL si i = j o si no hay ruta de i a j y en otro caso π es el predecesor de j para alguna ruta más corta desde i

7 Subgrafo predecesor Modelado del Problema 7 El subgrafo inducido por el i-ésimo renglón de la matriz Π debe ser un árbol de rutas más cortas con raíz en i El subgrafo predecesor de G para i se define como G π,i = (V π,i, E π,i ), donde V π,i = {j V : π NIL} {i}, y E π,i = {(π, j) : j V π,i {i}}.

8 Imprimir Ruta más Corta de i a j 8 Dada la matriz de predecesores Π podemos imprimir la ruta más corta de i a j

9 Rutas más Cortas y Multiplicación de Matrices Solución con programación dinámica para el problema de todos los pares de rutas más cortas con un grafo dirigido G = (V, E) Invoca operación parecida a multiplicación de matrices Primer algoritmo Θ(V 4 ) Mejora en Θ(V 3 lgv) 9

10 4 pasos Recordando Programación Dinámica Caracterizar la estructura de la solución óptima 10 Definir recursivamente el valor de una solución óptima Calcular el valor de la solución óptima de manera bottomup Construir la solución óptima con la información calculada

11 Estructura de la Ruta más Corta, con Lema Prueba al lema 24.1 Descomponemos la ruta p en: Tenemos entonces que: Asumimos que hay una ruta p de v i a v j con peso: Entonces la ruta de v 1 a v k que pasa por p : Con peso: Tiene un peso menor a w(p) Contradice lo que asumimos, que p es una ruta más corta de v 1 a v k. v w + p i p pjk 1 1 vi v j ( p) = w( p1 i ) + w( p ) w( p jk w ( p' ) < w( p ) v p1i 1 v i p' v j pjk w ( p 1i ) + w( p' ) + w( p jk ) v ) v k k

12 Solución Recursiva para Todos los Pares de Rutas más Cortas 12 Sea l (m) el mínimo peso de una ruta del vértice i al j que tiene al menos m arcos Cuando m = 0, hay una ruta más corta de i a j sin arcos sí y solo si i = j, entonces (0) l 0 = Para m 1, calculamos l (m) como el mínimo de l (m-1) y el mínimo peso de la ruta de i a j con a lo más m arcos Con todos los posibles predecesores k de j l l ( m) ( m) = min( l = min( l 1 k n ( m 1) ( m 1) ik Los pesos de la ruta más corta están dados por δ(i,j) =l (n-1) = l (n) = l (n+1) =. si i = j, si i Hay a lo más n-1 arcos en la ruta más corta de i a j asumiendo que no hay ciclos con peso negativo j., min{ l 1 k n + w kj ) ( m 1) ik + w kj })

13 Calculando los Pesos de la Ruta más Corta Bottom-UP Tomamos como entrada la matriz W = (w ) Calculamos las matrices 13 L (1), L (2),, L (n-1), donde para m = 1, 2,, n-1 tenemos que L (m) = (l (m) ) La matriz final tiene los pesos de las rutas más cortas l (1) = w para todos los vértices i, j V, entonces L (1) = W

14 Algoritmo Dadas las matrices L (m-1) y W regresa L (m) 14 Extiende las rutas más cortas obtenidas hasta ahora con un arco

15 Algoritmo El algoritmo se basa en la ecuación recursiva Tiempo de ejecución Θ(n 3 ) por los ciclos anidados Parecido a multiplicación de matrices 15

16 Algoritmo Algoritmo para encontrar todos los pares de rutas más cortas Basado en Extend-Shortest-Paths Este algoritmo se ejecuta en un tiempo de Θ(n 4 ) 16

17 Ejemplo 17

18 Algoritmo más Rápido 18 No queremos calcular L (m) porque el resultado lo tenemos desde L (n-1) asumiendo que no hay ciclos con peso negativo, L (m) = L (n-1) para todos los enteros m n-1 Podemos calcular L (n-1) en ceiling(lg(n-1)) con la secuencia: L (1) = W L (2) = W 2 = W W L (4) = W 4 = W 2 W 2 L (8) = W 8 = W 4 W 4 L (2 lg(n-1) ) = W 2 lg(n-1) = W 2 lg(n-1) -1 W2 lg(n-1) -1 Continuamos hasta L (2 lg(n-1) ) Proceso conocido como técnica de repeating squaring Requiere solo lg(n-1) productos de matrices, llamadas a Extend

19 Algoritmo más Rápido Tiempo de ejecución Θ(n 3 lg n) 19

20 Algoritmo Floyd-Warshall Utiliza un enfoque diferente de programación dinámica 20 Tiempo de ejecución de Θ(V 3 ) Puede haber vértices con peso negativo pero no ciclos con peso negativo Seguimos el proceso de programación dinámica para desarrollar el algoritmo

21 Algoritmo Floyd-Warshall Considera los vértices intermedios de una ruta más corta Si p = <v 1, v 2,, v l > v 2 v l-1 son los vértices intermedios 21 El algoritmo Floyd-Warshall trabaja reduciendo sucesivamente el número de vértices intermedios que pueden ocurrir en una ruta más corta y sus subrutas Sea el grafo G = (V, E) con vértices V numerados de 1...n, V = {1, 2,, n}, y considerando un subconjunto {1, 2,, k} para algún k Sea p el mínimo peso de ruta desde el vértice i al vértice j para el que los vértices intermedios son tomados de {1, 2,, k}, puede ocurrir una de dos situaciones:

22 Algoritmo Floyd-Warshall 1) k no es un vértice intermedio de p i p j Contiene los vértices de {1, 2,, k-1} 2) k es un vértice intermedio de p i p1 k p2 j Contiene los vértices de {1, 2,, k-1} p 1 es la ruta más corta desde 1 a k p 2 es la ruta más corta desde k a j Esto por el lema

23 Solución Recursiva Sea d (k) el peso de la ruta más corta desde i a j con todos los vértices intermedios en {1, 2,, k} Como para cada ruta, los vértices intermedios están en el conjunto {1, 2,, n}, la matriz D (n) = (d (n) ) contendrá la solución final δ(i,j) para cada i, j V. Recurrencia: d D ( k ) ( n) w min( d ( n) ] 23 = ( k 1) ( k 1) ( k 1), dik + dkj = [ d = [ δ ( i, j)], n = V ) si si k k = 0 1

24 Algoritmo Calcula valores d (k) en orden creciente de los valores de k Entrada, matriz nxn W Regresa D (n) con los pesos de las rutas más cortas 24 Tiempo de ejecución es Θ(n 3 ), mejor que los anteriores con O(n 3 lgn) y O(n 4 )

25 Ejemplo 25

26 Ejemplo 26

27 Ejemplo 27

28 Ejemplo 28

29 Construcción de la Ruta más Corta Hay varios métodos de construir las rutas con el algoritmo Floyd-Warshall 29 Construir la matriz D de pesos de rutas más cortas y luego la matriz de predecesores Π a partir de D Construir la matriz de predecesores en línea, conforme el algoritmo Floyd-Warshall construye las matrices D (k) π π (0) ( k ) = = NIL i ( π ( π k 1) k 1) kj si i = j ó w si i j y w si d si d ( k 1) ( k 1) d > d =,. ( k 1) ik ( k 1) ik + + d d ( k 1) kj ( k 1) kj

30 Ejercicio Ejecute el algoritmo de Floyd Warshall para el siguiente grafo