Más de doce cuestiones y problemas de física moderna (PAU de Murcia)

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1 Más de doce cuestiones y problemas de física moderna (PAU de Murcia) Campillo Miguel Hernández, Murcia 10 y 11 de mayo de 2012, 3 de mayo de 2015 c Resumen Actualización a 2015 del anterior Cuestiones y problemas resueltos de física moderna de las PAU de Murcia (hasta septiembre de 2014). Ahora son más de doce, pero se mantiene la estructura. 1. Relatividad especial. Postulados y repercusiones 1. La fusión nuclear en el Sol produce helio a partir de hidrógeno, convirtiendo 4 protones y 2 electrones en 1 núcleo de helio y 2 neutrinos. Calcular la energía que se libera (en MeV) en la reacción anterior. Datos de masas: Núcleo de He = u, protón = u, electrón = u, neutrino = 0 1. Dato: 1 u = MeV/c 2. JUNIO 2009 y SEPTIEMBRE Teoría: La energía de una partícula libre de masa (en reposo, ojo) m que se mueva a la velocidad v es E = mc 2 / 1 v 2 /c 2. (1) Y la de varias similares, la suma de las energías por separado, por ejemplo, E 1. Si ahora las partículas interaccionan entre ellas, cambiarán sus velocidades e incluso pueden transformarse en otras partículas, pero en todo esto la energía total, que no la de cada una, se conserva. Estas nuevas partículas, una vez que se separen y no interaccionen vuelven a ser partículas libres, por lo que sé calcular (como antes) la energía de cada una y puedo hacer la suma, que supongo es E 2. La conservación de 1 Aunque en una cuestión de septiembre de 2012 v. más abajo se dice que sí tiene masa (se dice hoy que los neutrinos tienen masa, pero una masa por lo menos diez mil veces menor que la del electrón).

2 2 la energía exige E 1 = E 2. Por otro lado, muchas veces se empieza con partículas a velocidades pequeñas frente a la de la luz, por lo que simplemente es E 1 = (m 1 + m 2 + )c 2. Y las partículas nuevas se acaban frenando de algún modo: pasan a tener velocidades también menores a la vez que liberan cierta cantidad de energía Q, por lo que puedo escribir E 2 = (m 1 + m 2 + )c 2 + Q. De la igualdad de E 1 y E 2 se extraen consecuencias. Obsérvese que en esto consiste realmente la mal llamada transformación de masa en energía según la ecuación E = mc 2 o la equivalencia masa-energía. No hay tal, la masa y la energía son magnitudes diferentes y, por tanto no pueden transformarse la una en la otra. Ocurre tan solo que se conserva la energía, pero no la masa entendida siempre como masa en reposo. No hay en relatividad ley de conservación de la masa, pero sí de la energía. Solución: (4m p + 2m e )c 2 = (m He )c 2 + Q Q = (4m p + 2m e m He 2+)c 2 = (4 1, ,0005 4,0015)uc 2 = (4 1, ,0005 4,0015)931,50 MeV. Resultado: Q = MeV. 2. Calcular la energía de enlace del núcleo 14 6 C, cuya masa atómica es u. Datos: 1 u = 931,50 MeV/c 2, masa del protón igual a u y masa del neutrón, u. SEPTIEMBRE Sugerencias: Considerar la transformación de 6 protones y 8 neutrones en un núcleo de C-14. Sale Q = 102, 23 MeV. (Si se pidiera la energía de enlace por nucleón, se divide por 14). 3. Si proporcionamos cada vez más energía a un electrón, qué velocidad máxima podría alcanzar y por qué? SEPTIEMBRE Respuesta: c es el límite, por el segundo postulado, aunque se espera que se diga que porque en E = mc 2 / 1 v 2 /c 2 la energía tiende a infinito cuando la velocidad tiende a la de la luz, es decir, que aun dando energía sin límite a un cuerpo (de masa en reposo no nula) no se alcanzaría la velocidad de la luz. 2. Concepto de fotón. Dualidad onda-corpúsculo 1. Al aumentar el número de fotones que inciden sobre un metal, aumenta la velocidad de los electrones extraídos? SEPTIEMBRE Teoría y respuesta: En el efecto fotoeléctrico, el electrón que escapa del metal lo hace porque consigue la energía hν de un fotón y esta es mayor que la cantidad W extracc. que debe dejar antes en el metal para poder abandonarlo. La que le resta es, por la conservación de la energía, la energía cinética con que se moverá fuera. Aumentar el número de fotones (sin cambiar la frecuencia ν o color de la luz) no cambia la energía de ninguno de ellos, los electrones que salgan saldrán con igual energía cinética que antes y, por tanto, no salen ni más ni menos rápidos, aunque sí salen en mayor número.

3 3 2. En cada reacción de fusión nuclear en el Sol se emiten 26.7 MeV en forma de 6 fotones de radiación gamma. Calcular la frecuencia de dicha radiación. Datos: h = 6, J s; 1 ev = 1, J. Teoría: Cada fotón tiene la energía E = hν. Y 1 MeV son , J. Solución: Dividir 26.7 MeV por 6 da la energía E por fotón pero en MeV. Y de E = hν se despeja la frecuencia: ν = (26,7/6)10 6 1, /(6, ) Hz = Hz. 3. En un dispositivo fotoeléctrico de apertura y cierre de una puerta, la longitud de onda de la luz utilizada es de 840 nm y la función de trabajo del material fotodetector es de 1.25 ev. Calcular: a) La frecuencia de la luz. b) El momento lineal y la energía de un fotón de dicha luz. c) La energía cinética de los electrones arrancados por el efecto fotoeléctrico. Datos: h = 6, J s, e = 1, C. SEPTIEMBRE Teoría y planteamiento: Con c = λν y sabiendo la velocidad de la luz (que no se da, pero es uno de los cuatro datos que se pueden utilizar en las PAU aunque no se den), se halla ν. La energía de un fotón es E = hν. Multiplicando y dividiendo por ν el segundo miembro de la fórmula p = h/λ se obtiene p = E/c, que da el momento lineal del fotón (aunque en este problema se calcula sencillamente con p = h/λ). Y de hν = W extracc mv2 se despeja la energía cinética 1 2 mv2. (La función de trabajo del material hay que identificarla con W extracc., y se pasa de ev a J como se ha visto en 2. El nm es 10 9 m). 4. Determinar la frecuencia de la luz que incide sobre una célula fotoeléctrica de silicio si sabemos que los electrones arrancados tienen [prácticamente] velocidad nula. Datos: Función de trabajo del silicio = 4.85 ev, 1 ev = J y h = 6, J s. JUNIO Solución: Se puede considerar que la energía hν del fotón se invierte toda en arrancar el electrón (por eso la energía cinética al salir es prácticamente nula): hν = W extracc. ν = W extracc. /h = 4,85 1, /(6, ) = 1, Hz. 5. Hallar el número de fotones por segundo que emite un radar de 1000 MHz y 1 kw. Dato: La constante de Planck h = 6, J s. Solución: La potencia de 1 kw indica que se emiten 1000 J por segundo; cada hν = 6, J representan la energía de un fotón. Por tanto, son 1000/(6, ) = 1, los fotones emitidos por segundo. 6. Una emisora de FM emite ondas de 108 MHz con una potencia de 20 W. Calcular: a) El período y la longitud de onda de la radiación. b) La intensidad de las ondas a 3 km de distancia de la emisora.

4 4 c) El número de fotones emitidos por la antena durante un segundo. Dato: h = 6, J s. JUNIO Teoría y planteamiento: El período es la inversa de la frecuencia y la velocidad es el producto de la longitud de onda por la frecuencia. La frecuencia se da, solo que en MHz y ha de pasarse a Hz; la velocidad c ha de saberse. A una distancia grande comparada con la longitud de la antena, esta puede considerarse puntual, y la esfera de radio r con centro en la antena tiene la superficie 4πr 2. Dividiendo la potencia dada por esta superficie se tiene la energía que atraviesa la unidad de área por unidad de tiempo: se tiene la intensidad. Dividiendo la energía de un número de fotones iguales por la energía hν de cada uno se obtiene el número de fotones. 7. Iluminamos un metal con dos luces de 193 y 254 nm. La energía cinética máxima de los electrones emitidos es de 4.14 y 2.59 ev, respectivamente. a) Calcular la frecuencia de las dos luces. b) Indicar con cuál de las dos luces la velocidad de los electrones emitidos es mayor, y calcular el valor de dicha velocidad. c) Calcular la constante de Planck y la función de trabajo del metal. Datos: 1 ev = 1, J, masa del electrón = 9, kg. SEP- TIEMBRE Planteamiento: Hay que saber y utilizar el dato de la velocidad de la luz en el vacío (c = m/s), así como que el prefijo nano- es la potencia Con c = λν, dos veces, se despejan las fecuencias ν 1 y ν 2, y se responde al primer apartado (en Hz). Con hν = W mv2 se comprende sin cálculos que a mayor frecuencia (sobrepasando la umbral), es decir, con 193 nm porque la longitud de onda es inversamente proporcional a la frecuencia, habrá más energía cinética a la salida: más velocidad en los fotoelectrones emitidos. Pasando a J las energía cinética dada de 4.14 ev (multiplíquese por 1, J/eV), de E c = 1 2 mv2 se despeja v y se tiene el segundo apartado. Por último, h y W 0 se despejan del sistema de las dos ecuaciones hν 1 = W 0 + 4,14 1, y hν 2 = W 0 + 2,59 1, La función de trabajo del aluminio vale 4.3 ev. Cuál es la frecuencia mínima de una luz necesaria para producir efecto fotoeléctrico? Datos: 1 ev = 1, J, h = 6, J s. SEPTIEMBRE Solución: Despejar ν de hν = W extracc mv2 con v = 0 y W extracc. = 4,3 1, J. 9. La radiación de fondo de microondas es una prueba del Big Bang y del origen del universo. a) Qué distancia ha recorrido esta radiación desde que se originó hace millones de años hasta el momento actual en que nos llega a la Tierra?

5 5 b) Sabiendo que la frecuencia es de GHz, calcular su longitud de onda. c) Si la intensidad de la radiación es del orden de 10 9 W/cm 2, estimar cuántos fotones nos llegan por segundo y por centímetro cuadrado. Datos: h = 6, J s, 1 GHz = 10 9 Hz. SEPTIEMBRE Soluciones: Multiplicar la conocida velocidad de la luz c por el tiempo dado, ambas en unidades SI, da la distancia en metros. Como c = λν, y ν = 160, Hz, se despeja λ. La energía de un fotón de esa frecuencia es hν =...; dividiendo por esta energía los 10 9 J que pasan por segundo por cada cm 2 se tiene la última respuesta (redondear a la potencia de diez). 10. En el interior de un tubo fluorescente hay átomos de mercurio que, después de ser excitados por electrones, emiten luz de 367 nm. Obtener la energía de cada fotón de dicha luz. (Dato: h). JUNIO Solución: De c = λν se deduce la frecuencia, frecuencia que llevada a la expresión hν da la energía del fotón. (Los 367 nm son m y c es igual a m/s). 11. Sobre una lámina de sodio, cuya función de trabajo vale 2.4 ev, incide luz de 1015 Hz. Calcular: a) La longitud de onda de la luz. b) La energía de los fotones incidentes. c) La velocidad de los electrones extraídos. Datos: 1 ev = 1, J, h = 6, J s, masa del electrón = 9, kg. SEPTIEMBRE Planteamientos: La velocidad de la luz en el vacío se puede usar y junto con el dato de la frecuencia da la longitud de onda (c = λν). Con la fórmula E = hν se responde a la segunda pregunta. La velocidad pedida se obtiene de hν = W extracc mv2 (los 2.4 ev deben pasarse a J). 12. En las auroras boreales la atmósfera emite luz de nm. Cuánto vale la energía de un fotón de esa luz? (Dato: h). JUNIO [Véase más arriba JUNIO 2012]. 3. Tipos de radiaciones nucleares 1. Se sabe que una muestra radiactiva contenía hace cinco días el doble de núcleos que en el instante actual. Qué porcentaje de núcleos quedará, respecto de la cantidad actual, dentro de otros cinco días? SEPTIEMBRE Teoría: La ley es que el tiempo necesario para que se desintegre la mitad no depende del número de núcleos iniciales. Es decir, que si, pongamos por caso, mañana me queda la mitad de lo que tengo hoy, pasado mañana tendré la mitad de lo de mañana, y así sucesivamente. No pasa menos tiempo porque empiece con menos. Este tiempo que se repite se llama

6 6 periodo de semidesintegración (no es la vida media), y puede ser desde muy pequeño hasta muy grande, dependiendo de la naturaleza de los núcleos que se vayan a desintegrar. De acuerdo con la ley, si se empieza en t = 0 con un número de núcleos N 0, los sucesivos transcursos del periodo de semidesintegración T 1 van 2 1 dando los términos de la serie N 0 2, N ,, así que N(t) = N 0( 1 2 )t/t 1 2. Este último término se transforma en N = N 0 2 t/t 2 1 = N 0 e λt, donde λ = ln 2/T 1 es la llamada constante radiactiva. Puede demostrarse que 2 la inversa de esta constante es la vida media de los núcleos. La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, y se obtiene derivando N = N 0 e λt con respecto al tiempo y cambiando el signo. Esto es, dn/dt = λn, que expresa igualmente la ley de la desintegración radiactiva. Solución: El periodo de semidesintegración de la muestra es de cinco días. Dentro de cinco días quedará la mitad de lo que hay hoy: el 50 %. 2. Explicar con la ley de desintegración radiactiva por qué es falso esto: En una muestra, ayer había el doble de núcleos que hoy, y anteayer, el triple. Solución: El periodo de semidesintegración de la muestra es de un día según lo que pasa de ayer a hoy. Sean N 0 los núcleos de hoy, ayer fueron 2N 0 y anteayer tuvieron que ser 2(2N 0 ) = 4N 0 > 3N Una muestra radiactiva emite la décima parte de sus núcleos en un día. Cuál es su vida media? SEPTIEMBRE Solución: La vida media es 1/λ. La N = N 0 e λt se satisface con 9 10 N 0 = N 0 e λ1, que se reduce a 9 10 = e λ y da λ = ln Así que, en días, la vida media es Una muestra radiactiva con una vida media de 100 días contiene actualmente la décima parte de los núcleos iniciales. Qué antigüedad posee? JUNIO Sugerencias: días. Se despeja t de 1 10 N 0 = N 0 e t/ Entre los elementos radiactivos emitidos en la fuga de la central de Fukushima está el plutonio-238, cuyo período de semidesintegración es de 88 años. Cuántos años pasarán hasta que quede la octava parte de la cantidad emitida? (O hasta que la actividad que es proporcional a N sea la octava parte de la inicial). JUNIO 2011 y SEPTIEMBRE Sugerencias: 264 años. La serie 1 2, , es de tres términos; hay que multiplicar 88 por 3. También con... (v. las cuestiones anteriores). 4. Interacciones fundamentales 1. En un texto [en la Wikipedia en español (consultada el 2 de mayo de 2015)] se dice que los neutrinos no se ven afectados por las fuerzas electromagnética o nuclear fuerte, pero sí por la fuerza nuclear débil y la gravitatoria. Deducir de esto si los neutrinos tienen carga o no, y si tienen masa o no. SEPTIEMBRE 2012.

7 7 Respuestas: La interacción electromagnética actúa sobre las partículas cargadas, y los neutrinos no se ven afectados: no tienen carga (como, por otro lado, indica su nombre). El que experimenten la interacción gravitatoria indica que tienen masa... Referencias [1] Giancoli, D. C.: Física. Principios y aplicaciones. Tomo 2. Barcelona: Reverté, [2] [3] Kitaigotodski, A. I.: Fotones y núcleos (Física para todos. Libro 4). Moscú: Mir, 1985.