Guía de trabajos prácticos

Transcripción

1 Guía de trabajos prácticos Curso: Darío Miras Autor: Pedro Baroni Material de distribución gratuita Esta es una versión preliminar por lo que se agradecen los Comentarios y sugerencias vía a [email protected]. 1

2 La práctica, sin la brújula certera de la teoría, navega a la deriva, sin rumbo fijo Walter F. Carnota 2

3 Índice Repaso Matemático Punto de intersección de dos funciones 6 Derivadas 7 Derivadas parciales 8 Máximos y Mínimos 9 Optimización 10 Integrales 13 Área entre dos curvas 14 Anexo - Tabla de derivadas e integrales 16 Ejercicios Adicionales 17 Soluciones 18 Equilibrio de Mercado Cantidades y Precios de equilibrio 20 Impuestos y Subvenciones 21 Precios Limites 25 Excedentes 28 Perdida de la eficiencia 30 Ejercicios Adicionales 32 Soluciones 33 Teoría del Consumidor Demandas Marshallianas 35 Demandas Hicksianas 39 Construcción de la curva de demanda de Mercado 42 Elasticidad 43 Efectos según Slutsky 45 Efectos según Hicks 48 Impuestos 51 Consumo Intertemporal 54 Incertidumbre 58 Ejercicios Adicionales 60 Soluciones 62 Teoría del productor Curvas de Costo 64 Pag 3

4 Construcción de la curva de oferta individual Construcción de la curva de oferta de la industria Demanda de factores (Maximizando la producción) Demanda de factores (Minimizando los costos) Rendimientos a escala Comportamiento de la empresa maximizadora del beneficio Ejercicios Adicionales Soluciones Mercados Competencia Perfecta Monopolio Monopolio Discriminador Monopolio Discriminador Perfecto Duopolio Competencia Monopolística Ejercicios Adicionales Soluciones Equilibrio General Producción Intercambio Ley de Walras Ejercicios Adicionales Soluciones

5 Repaso Matemático Puntos de intersección de dos funciones Derivadas Derivadas Parciales Máximos y Mínimos Optimización Integrales Área entre dos curvas 5

6 Puntos de intersección de dos funciones Se pide calcular de forma analítica la intersección entre las siguientes dos funciones: Se pueden utilizar diferentes métodos de resolución, en adelante, los más comunes son los de igualación y sustitución. A través del método de igualación: Se utiliza en este caso, una resolución especifica de una ecuación cuadrática: 6

7 Derivadas Calcular las derivadas de las siguientes funciones: Para la resolución del ejercicio propuesto, y para los próximos, es de utilidad recordar la tabla de derivación, la cual se adjunta en el anexo de esta sección. Los ejercicios propuestos son de resolución directa. Teniendo en cuenta en función de que variable se encuentra cada ejercicio, se resuelven de la siguiente forma: Todos los elementos de las funciones que no sean la variable analizada, se consideran como constantes. 7

8 Derivadas parciales Calcular las derivadas parciales para cada una de las siguientes funciones: En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. La representación de la derivada de la función F, respecto de la variable X, se expone de la siguiente forma: Volviendo al cálculo, se resuelve de la siguiente manera: 8

9 Máximos y Mínimos A partir de las siguientes funciones: Calcular máximos y mínimos relativos, y conjunto de crecimiento y decrecimiento Una función posee un máximo en, si se dan las siguientes condiciones: Y para que posea un mínimo en ese punto, las condiciones serian: Por tanto, para el cálculo de máximos y mínimos, corresponderá derivar cada función e igualarla a cero: En cada caso, se debe calcular la segunda derivada y reemplazar los valores obtenidos para cada función. Para el cálculo de los conjuntos de crecimiento y decrecimiento se procede a calcular las pendientes de los segmentos de las curvas comprendidos entre los máximos y mínimos. El cálculo de la pendiente se realiza reemplazando un número del conjunto dentro de la función derivada: Segmento Decreciente Mínimo Creciente =0 =10 Segmento Creciente Máximo Decreciente Mínimo Creciente 9

10 Optimización Se poseen las siguientes funciones, donde A, B, H, W y Z, son constantes: Se pide buscar la optimización, a traves del método de los multiplicadores de Lagrange. Calcular los valores de X e Y, si: En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. A modo de ejemplo, y para más adelante en el curso, se utilizaran funciones con dos variables y una restricción. Suponiendo la existencia de dos ecuaciones, ambas de dos variables, donde una de ellas está sujeta a una restricción (En este caso sería g, igualada a una constante C) La función restringida, es igualada a cero, convirtiéndose en una resta entre la función con su resultado. Lo obtenido en el paso anterior se colocara multiplicado por una nueva variable, en este caso, La función sin restricción se mantiene de igual forma, colocándose en suma del producto recién explicado. De esta forma, la ecuación de Lagrange se expone de la siguiente forma: Se reconocen tres variables diferentes:, x e y. A continuación se debe buscar maximizar la ecuación respecto a cada una de las variables: 10

11 Luego el problema se resume a resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, por el método que se prefiera utilizar (Igualación, sustitución, Cramer, etc.), hasta obtener los valores de x e y. Volviendo al ejercicio, en el primer paso, se colocan las funciones dentro de la ecuación de Lagrange, según posea o no restricción: Se aplica propiedad distributiva para facilitar más tarde la resolución: Se calcula en cada caso la derivada respecto a cada variable: Ahora, para resolver por el método de igualación, en las primeras dos ecuaciones se despejan la variable : Igualando ambos resultados puede obtenerse el valor correspondiente a cada variable inicial en función de la otra: Si se reemplaza lo recién obtenido dentro de la tercera ecuación, se pueden calcular los valores correspondientes a cada variable: 11

12 Como A, B, H, W y Z son constantes, se podría calcular el valor correspondiente de cada variable. Utilizando los valores propuestos en el enunciado se obtiene lo siguiente: 12

13 Integrales Calcular las siguientes integrales inmediatas: a) b) c) Teniendo en cuenta la tabla de integración adjunta como anexo de esta sección, se procede a resolver los ejercicios propuestos: a) b) Para este caso, es posible separar la integral en los términos que la conforman: c) Primero es recomendable la aplicación de propiedad distributiva entre sus elementos, para luego resolver de forma inmediata: 13

14 Área entre dos curvas Calcular la superficie comprendida entre las siguientes curvas: Para poder iniciar la resolución de este problema, es necesario calcular las intersecciones entre ambas curvas, es decir, los puntos entre los que estará definida el área a averiguar. El siguiente paso, será definir cuál será la función que se encontrara por encima de la otra, es decir, lo que se podría denominar la función techo y la función piso. Para definir cada una, sin realizar un gráfico representativo, es útil el siguiente procedimiento: 1. Seleccionar un valor entre los puntos de intersección de las curvas (1 y -4), por ejemplo el cero. 2. Reemplazar dicho valor en ambas funciones, de la que resulte un valor más alto será la que pase por arriba de la otra. Para continuar en la resolución, se debe calcular la integral de la diferencia entre la función techo con la función piso, definida entre los puntos en los que se interceptan. 14

15 Luego se procede a reemplazar los valores de las intersecciones, para obtener la superficie definida entre ambas curvas: Visto en un gráfico representativo, seria: 15

16 Anexo - Tabla de Derivadas e Integrales *(Se recuerda que a cada resultado de una integral se le debe sumar una constante) 16

17 Ejercicios Adicionales 1) Calcular las intersecciones de las siguientes curvas: 2) Calcular las siguientes derivadas: 3) Calcular las siguientes derivadas parciales: 4) Calcular máximos y mínimos relativos de la siguiente función: 5) Buscar la optimización, a traves del método de los multiplicadores de Lagrange, a partir de las siguientes funciones: 6) Calcular las siguientes integrales inmediatas: a) b) dx 7) Calcular el área comprendida entre las siguientes curvas: 17

18 Soluciones 1) X=2 2) 3) Función Derivada según x Derivada según y F g 4) 5) X=20 Y=12 b) 6) a) 7) 10,66 18

19 Equilibrio De Mercado Cantidades y precios de equilibrio Impuestos y Subvenciones Precios Limites Excedentes Perdida de la eficiencia 19

20 Cantidades y Precios de equilibrio Calcular el equilibrio de mercado frente a las siguientes curvas de oferta y demanda: Demanda: Oferta: El equilibrio de mercado es el punto donde la cantidad demandada y la cantidad ofertada son iguales, es decir, donde las curvas de oferta y demanda son iguales. Teniéndose en cuenta esto, se procede a resolver igualando ambas curvas: Primero se despeja la variable precio: Luego, se procede a igualar ambas funciones: Como no existen cantidades negativas en la realidad, se descarta -4, obteniendo como equilibrio de mercado la cantidad 1 y el precio: 20

21 Impuestos y subvenciones En un mercado con las siguientes funciones de demanda y oferta de un determinado bien: Demanda Oferta 1. Calcular cantidad y precio de equilibrio. 2. Calcular nuevo equilibrio y efectos de la inclusión de un impuesto de suma fija al productor por $1. 3. Calcular nuevo equilibrio y efectos de la inclusión de una subvención de suma fija al productor por $2. 4. Calcular nuevo equilibrio y efectos de la inclusión de una subvención a la cantidad al consumidor por $0,20 por unidad. 5. Calcular nuevo equilibrio y efectos de la inclusión de un impuesto ad valorem del % Se procede a Igualar las funciones de demanda y oferta para encontrar la cantidad y precio de equilibrio: Demanda Oferta 2. Se calcula la nueva función de oferta teniendo en cuenta el impuesto de suma fija, ya que el mismo aumenta los costos fijos del productor, movilizando la ordenada al origen de su curva de oferta. 21

22 Ahora se debe averiguar el nuevo equilibrio igualando esta nueva oferta con la función de demanda. Con la inclusión del impuesto se redujo la cantidad y aumento el precio de equilibrio. Ahora el consumidor obtiene menos cantidad a un precio más alto. Por otro lado, el productor vende a $3,60 mientras que solo le corresponde $2,60, ya que en el precio se encuentra añadido el valor del impuesto. Por tanto, el productor vende menos cantidad y gana menos que antes de la aparición del impuesto. 3. Se calcula la nueva función de oferta, considerando que los costos del productor se reducen con esta subvención, así mismo lo hará su función representativa: Ahora se procede a buscar el nuevo equilibrio: 22

23 Con la inclusión de la subvención crece la cantidad y se reduce el precio de equilibrio. Ahora los consumidores obtienen mayor cantidad a un precio más bajo. Por otro lado, el productor vende a $1,80 mientras que le corresponde, gracias a la subvención, $3,80 ya que además del precio, se le debe sumar los $2 del subsidio. Por tanto, el productor vende y gana más que antes de la aparición de la subvención. 4. En el caso de una subvención a la cantidad, el estado da al consumidor una cantidad de dinero que depende de la cantidad que compre del bien. Por tanto, se modificara la función de demanda de dicho bien: Se procede a buscar el nuevo equilibrio igualando con la función de oferta original y se obtiene: Con la aparición de la subvención los consumidores obtienen mayor cantidad del bien y lo pagan a $3,50, pero cabe considerar la subvención total que obtienen por esa cantidad: ( = 1,25) Los consumidores siguen pagando el mismo precio correspondiente a esa cantidad, pero permitiendo un mayor consumo que beneficia al productor. Este último puede vender más cantidad y a un precio mayor que con el que lo hacía antes. 5. Un impuesto ad valorem afecta directamente al valor que percibe el consumidor, por tanto modificara la función de oferta del productor: 23

24 Ahora se busca la cantidad y el precio de equilibrio igualando la nueva oferta con la demanda original: En el equilibrio se reduce la cantidad a la que puede acceder el consumidor y la misma se ofrece a un precio más alto que originalmente. Por otro lado, el productor no solo vende menos sino que el precio al que vende posee el valor del impuesto. Lo que realmente recibe el productor es igual al precio de mercado dividido 1+t. El productor termina recibiendo menos que lo que obtenía antes de la aparición del impuesto. 24

25 Precios Límites Según las siguientes funciones de demanda y oferta: Calcular los nuevos equilibrios, si se aplica: 1. Un precio máximo de $ Un precio mínimo de $28. Determinar los efectos causados para cada caso. Como primer paso, se procede a calcular el equilibrio de mercado: Visto gráficamente: La fijación de un precio máximo en un mercado no permite a ningún vendedor fijar un precio por encima de este, en consecuencia, si este precio es inferior al de equilibrio, la cantidad demandada superara a la cantidad ofrecida. 25

26 El nuevo equilibrio de mercado se lograra donde la oferta se iguale con el precio limite. Visto gráficamente: Como se puede observar, frente a ese precio las cantidades ofrecidas son inferiores a las demandadas. Frente a la cantidad de equilibrio, en este caso de 8 unidades, los demandantes están dispuestos a pagar más que el precio fijado: La imposición de un precio mínimo, por el contrario, garantiza que el precio no descienda por debajo de cierto nivel. Al fijarse un límite mínimo al precio por encima del nivel de equilibrio, se generara un exceso de oferta. 26

27 Visto gráficamente: La cantidad ofertada supera claramente a la demandada. 27

28 Excedentes Calcular el excedente social, del consumidor y del productor, a partir de las siguientes curvas de demanda y oferta: Demanda: Oferta: Como primer paso, se procede a calcular el equilibrio de mercado: Se toma solo el valor positivo, obteniendo como cantidad de equilibrio 100 y precio de equilibrio: El cálculo del excedente del consumidor conlleva averiguar el área comprendida entre la curva de demanda y el precio de equilibrio. Esto, se debe a que representan todas las posibles demandas individuales que exceden la cantidad o precio acordado en el mercado. Se plantea una integral definida entre cero y la cantidad de equilibrio: 28

29 El cálculo del excedente del productor, trata de averiguar el área comprendida entre la curva de oferta y el precio de equilibrio. Se plantea una integral definida entre cero y la cantidad de equilibrio: El excedente social es el equivalente a la suma de los dos anteriores: Visto gráficamente: 29

30 Perdida de la eficiencia En un mercado donde se presentan las siguientes curvas de oferta y demanda: Demanda: Oferta: Calcular la perdida en los excedentes del consumidor y del productor, provocada por la inclusión de un impuesto de suma fija de $3 al demandante. Como primer paso, se procede a calcular el equilibrio de mercado: Luego, se obtienen los excedentes del consumidor y del productor: Consumidor Productor Ahora, se procede a calcular el nuevo equilibrio de mercado, teniéndose en cuenta la inclusión del impuesto al demandante: Nueva demanda: Luego, se obtienen los nuevos excedentes: Consumidor Productor 30

31 Se procede al cálculo de las diferencias entre antes y después de la aplicación del impuesto: Excedente Antes del impuesto Después del impuesto Perdida Consumidor 2 0,5 1,5 Productor Social 6 1,5 4,5 31

32 (En celeste Ex. Cons. Y en rojo Ex. Prod.) Ejercicios Adicionales 8) Calcular la cantidad y precio de equilibrio a partir de las siguientes curvas de demanda y oferta: Demanda: Oferta: 9) Calcular la nueva curva de demanda, aplicado al consumidor un impuesto de suma fija de $100 y una subvención a la cantidad de $1. Demanda inicial 10) Calcular la nueva curva de oferta, aplicado al productor, un impuesto ad valorem del 10%. Oferta Inicial 11) Calcular el equilibrio de mercado antes y después de las aplicaciones de los impuestos y subvenciones de los ítems 2) y 3). 12) Según las curvas propuestas en el ítem 1), calcular la cantidad demandada y la cantidad ofertada si se plantea un precio máximo de $ ) Según las curvas propuestas en el ítem 1), calcular la cantidad demandada y la cantidad ofertada si se plantea un precio mínimo de $ ) Calcular los excedentes del productor y del consumidor en el equilibrio de mercado obtenido a partir de las siguientes curvas de oferta y demanda: 15) Calcular la perdida provocada por la inclusión de un impuesto de suma fija de $6 al consumidor, partiendo de las siguientes curvas de oferta y demanda: Oferta: Demanda: 32

33 Soluciones 1) 2) 3) 4) Momento Cantidad Precio Antes 32,66 173,33 Después 28,34 144,89 5) Cantidad demandada: 12,5 Cantidad ofertada: 5 6) Cantidad demandada: 5 Cantidad ofertada: 35 7) Ex. Consumidor: 112,5 Ex. Productor: 337,5 8) El excedente del consumidor se ve disminuido en 8 y el del productor en

34 Teoría del Consumidor Demandas Marshallianas Demandas Hicksianas Construcción de la Curva de Demanda de Mercado Elasticidad Efectos según Slutsky Efectos según Hicks Impuestos Consumo Intertemporal Incertidumbre 34

35 Demandas Marshallianas Un individuo que consume los bienes X e Y, con una función de utilidad de: u( x; y) x y, Los precios de los productos son $20 y $100 respectivamente y posee una renta de $2000. Se pide calcular: 1. Sendero de expansión de la renta 2. Demandas Marshallianas 3. Canastas Optimas 4. Nivel de utilidad alcanzado Para el calculo de las demandas marshallianas, se busca maximizar el nivel de utilidad respecto de la restricción presupuestaria que se le presenta al consumidor, es decir, se busca la tangencia de la curva de indiferencia con la recta presupuestaria. Para proceder en dicho cálculo, se puede abordar el problema desde dos recursos matemáticos: La igualación de las pendientes de ambas funciones o utilizar el método lagrangiano. Utilizando el primer recurso, se debe identificar las pendientes de cada curva, la Tasa Marginal de Sustitución para la función de utilidad, y el cociente de precios para la recta presupuestaria. La TMS se calcula como el cociente de la función derivada respecto un bien, por la derivada respecto al otro. Se recuerda que si se mide la relación marginal de sustitución a lo largo de una curva de indiferencia se puede observar que ésta va disminuyendo a medida que se incrementa el consumo de un bien, esto es una manifestación del carácter convexo de las curvas de indiferencia, y razón por la cual, su pendiente posee signo negativo. Por qué razón se considera el cociente de precios como la pendiente de la recta presupuestaria? Por despeje de la misma, suponiendo la renta y los precios como fijos: 35

36 Al proceder en el desarrollo, se igualan las ya mencionadas pendientes, obteniendo con esto, los senderos de expansión: Utilizando el método lagrangiano, por otro lado, se procede configurando la ecuación de la siguiente manera: La ecuación se completa, en primer término por la función a maximizar, y por otro lado, la función limite o respecto a la cual se pretende maximizar a la primera, pero despejando esta ultima una vez igualada a cero: Una vez reemplazados los datos, se procede a derivar en el primer caso, por el bien x, en segundo caso por el otro bien y en el tercero, por la variable, siempre igualando cada resultado a cero. El siguiente paso para la resolución, es el despeje de la variable para proceder luego, a la igualación de ambos resultados: en los dos primeros casos, Caso 1 Caso 2 36

37 Igualación Como se puede ver, a traves de ambos procesos se obtienen los mismos senderos de expansión. El último paso, para ambos métodos, seria reemplazar los senderos de expansión dentro de la restricción presupuestaria, es decir, en el caso de Lagrange, en la tercera ecuación. Lo que se acaba de obtener son las funciones de demanda de los respectivos bienes; una vez reemplazados los datos, se pueden obtener las canastas demandadas: 37

38 Como último paso, se busca calcular cual será el nivel de utilidad alcanzado al maximizarse la función respecto a las condiciones propuestas: 38

39 Demandas Hicksianas Un individuo que consume los bienes X e Y, con una función de utilidad de: u( x; y) x y, Los precios de los productos son $40 y $160 respectivamente y se desea mantener un nivel de utilidad de 500. Se pide calcular: 1. Sendero de expansión de la renta 2. Demandas Hicksianas 3. Canastas Optimas 4. Renta necesaria para el nivel de utilidad propuesto Para el cálculo de los senderos de expansión, y luego, las funciones de demanda, se debe elegir nuevamente entre los dos métodos ya antes mencionados. Como el proceso y los resultados son idénticos para la igualación de pendientes, se procede a resolver dicho problema mediante el método de Lagrange. En este caso, se busca minimizar la recta presupuestaria en función de la curva de indiferencia. Como se puede observar, en este tipo de ejercicio, se conoce el nivel de utilidad que se desea mantener, pero el dato a averiguar es la renta necesaria para lograr el propósito anterior. Se procede a ubicar en primer término los componentes de la restricción presupuestaria, y en segunda parte, la función de utilidad igualada a cero. Siguiendo el proceso de Lagrange: 39

40 Se procede a despejar x y p 2 2. p x x y x y 0 y p 2. p x x y x x y p 2 2. px 1 1 en las primeras dos ecuaciones: 2 2 x y p y x y y py Se 1 igualan.. 2 2los resultados anteriores, obteniendo en el despeje los senderos de expansión de la x y py renta: 2 2. p 2. y x y x y p x y y y px y y p p p p x y y x y 2 2. p Reemplazando y en la tercera ecuación x de Lagrange se obtienen las demandas Hicksianas: x p x x x y p x x p 2 x U x x p U U. p p p p y x y 1 2 y 1 2 x x x y 0 p x y U p 2 x U x x p U p p p p y x x y 1 2 y 1 2 x x py 2 U y y U U. p p p x y p p x y x y y 0 Al ingresar los datos dados en el enunciado, se pueden calcular las canastas óptimas: py 2 U y y U U. p p p x y p p x y x y y 0 40

41 La renta necesaria para que el consumidor alcance esa canasta, es igual a la suma de los productos de la cantidad demandada por el precio de cada bien. Cantidad demandada Precio Subtotal Bien X Bien Y Total

42 Construcción de la Curva de Demanda de Mercado A partir de las siguientes curvas de demanda individuales, construir la curva de demanda del mercado: La curva de mercado es simplemente la suma horizontal de la curva de demanda de cada individuo. Por tanto, se procede a despejar la variable precio para cada caso y luego a la suma de las mismas: 42

43 Elasticidad Un individuo que consume los bienes X e Y, con una función de demanda del primer bien igual a: Se pide calcular: 1. Elasticidad precio 2. Elasticidad ingreso 3. Elasticidad cruzada La elasticidad, es un concepto económico introducido por el economista inglés Alfred Marshall, procedente de la física, para cuantificar la variación experimentada por una variable al cambiar otra. En cada caso, se busca analizar el cociente entre la variación porcentual en la cantidad demandada, y la variación porcentual de la variable en estudio. Para cada calculo propuesto, se utiliza el mismo proceso de resolución: primero obtener la derivada de la función de demanda, respecto a la variable a analizar, por el cociente entre esta variable y la función recién mencionada. En elasticidad precio, la variable de estudio es el precio del bien. Dado que la cantidad demandada y el precio varían inversamente, un cambio positivo del precio irá acompañado por un cambio negativo de la cantidad demandad. No obstante, para que la elasticidad precio sea positiva se utiliza un signo "menos" en la fórmula. En elasticidad ingreso, la variable de estudio es el ingreso del individuo. 43

44 En elasticidad cruzada, la variable de estudio es el precio de otro bien que puede influir en la demanda del bien inicial. En los tres casos, la elasticidad es igual a uno, es decir, que los cambios porcentuales en las variables y la cantidad demandada son iguales. 44

45 Efectos según Slutsky Un individuo que consume los bienes X e Y, con una función de utilidad de: u( x; y) x y, Los precios de los productos son $20 y $100 respectivamente y posee una renta de $2000. Posee las siguientes funciones de demanda: Las canastas optimas del individuo son x=50 e y=10; el nivel de utilidad alcanzado por el consumidor es de 22,36. Se da una modificación en el precio del bien Y, pasando a valer este $200. Se debe determinar los efectos sustitución y renta según Slutsky. Cuando se produce la modificación del precio de uno de los dos bienes, la elección del consumidor se verá afectada; el efecto total que producirá un cambio de las variables en las cantidades demandadas de los bienes, se puede calcular reemplazando los nuevos datos en las funciones de demanda: x f m p 2.20 x 50 y f m p y 5 x y f f x y Efectos totales de cada bien El efecto total puede segregarse en dos partes, pues se trata de un proceso en cadena; por un lado se tiene el efecto sustitución, el cual es producido por un cambio en los precios relativos, al modificarse el precio de uno o ambos bienes, lo cual implica una nueva pendiente para la restricción presupuestaria, y por tanto, una nueva distribución del ingreso. Por otro lado, se encuentra el efecto renta, el cual se basa en la reducción o aumento de la masa de dinero que posee el individuo, lo que solo provocaría una modificación cuantitativa de las demandas de los bienes, sin alterar la proporción en que los consume. Para calcular el efecto sustitución, es necesario conocer como seria la demanda de los bienes ante el nuevo precio, suponiendo que el individuo posea una renta que permita este nivel de consumo. Para el cálculo del efecto renta, solo basta la inclusión del ingreso real del individuo y así se obtendrá las cantidades finales demandadas. 45

46 El análisis pretende obtener primero el nivel de renta necesario para que el individuo reciba la misma cantidad de bienes, con la inclusión de la nueva variable: m p x p y x m p x p y m m x y y Si se reemplaza en la función de demanda de cada bien la nueva renta y los nuevos precios, se obtendrá las cantidades con la aplicación del efecto sustitución. x s s 3000 m 3000 x p 2.20 x s ,5 s m 3000 y y ,5 2 py De la resta de estas cantidades con las iniciales se puede calcular el efecto sustitución: x y s s s s x ,5 10 2,5 Efecto Sustitución y 7,5 10 2,5 46

47 x s m p 2.20 x 75 s m 3000 El y efecto renta, una vez 7,5 aplicado, llevaría al individuo a obtener las cantidades finales, ya calculadas 2 py anteriormente, por tanto, este efecto equivale a la diferencia entre las cantidades aplicado el efecto sustitución y las cantidades obtenidas con el efecto total. x y f f x s s y Efecto Renta 5 7,5 2,5 Según Slutsky Bien X Bien Y Efecto Sustitución 25-2,5 Efecto Renta -25-2,5 Efecto Total

48 Efectos según Hicks Utilizando los mismos datos que en el ejercicio anterior, se pide calcular los efectos sustitución y renta según Hicks. En el caso de Hicks, para buscar la nueva renta del efecto sustitución, no se analizara desde la restricción presupuestaria sino que se enfocara en la función de utilidad. Se desea mantener fijo el nivel de satisfacción alcanzado anteriormente (22,36) pero con la inclusión de los nuevos precios. El cálculo del efecto sustitución da la necesidad de conocer la renta necesaria para mantener, frente al cambio de precio, la canasta optima anterior; por tanto, se debe igualar el nivel de satisfacción que se pretende mantener con la función de utilidad, reemplazando cada bien por su función de demanda correspondiente y manteniendo la renta como incógnita. Para realizar el cálculo, dentro de las demandas se reemplazaran los nuevos precios: u( x; y) x y 22,36 22,36 22,36 m 1 2 m m 2. p 2. p x y x y (2. p ) (2. p ) 2.( p. p ) 22,36.2.( p. p ) x x m 22, ,34 y m m 1 2 y Luego de realizar el despeje, se analizara cuáles son las cantidades demandadas aplicado el efecto sustitución: s m 2828,34 x 70,7 2 px 2.20 s m 2828,34 x 70,7 2 px 2.20 s m 2828,34 y 7,07 2 py s m 2828,34 y 7,07 2 py Se s x procede x 70,7 a calcular 50 el 20,7 mismo de la siguiente manera: xy y s s xy y 70,7 7, ,7 2,93 7, ,93 Efecto Sustitución 48

49 x s m p 2.20 x 75 Como se conoce el efecto total gracias al análisis previo (según Slutsky), se puede calcular el s m 3000 efecto y renta restando 7,5 uno con otro, o restando a las cantidades finales las obtenidas en el paso 2 py anterior. x y f f x s s y 50 70,7 20,7 5 7,07 2,07 Efecto Renta 49

50 En resumen: Según Hicks Bien X Bien Y Efecto Sustitución 20,7-2,93 Efecto Renta -20,7-2,07 Efecto Total

51 Impuestos Un individuo que consume los bienes X e Y, con las siguientes funciones de demanda: Donde el precio del bien X es de $20 y el del bien Y $50, y el individuo posee una renta de $900. Se dan 3 situaciones: a) Se le aplica un impuesto de suma fija de $300 b) Se le aplica un impuesto por unidad a la compra del bien X, de $10 c) Se le aplica un impuesto ad valorem al precio del bien X del 25% Se pide calcular los efectos de los impuestos en las cantidades demandadas por el individuo. En los casos b) y c) calcular los efectos sustitución y renta según Slutsky. En la primera situación, como se ha visto en ejercicios con aplicación de impuestos a un demandante, la aparición de un impuesto de suma fija, se traduce en una reducción directa de la renta disponible por el mismo para el consumo. Esto modifica el consumo de ambos bienes, pero al verse solo modificada la variable ingreso, se trata únicamente de un efecto renta: Comparando estas cantidades con las iniciales del individuo se obtiene: Efecto Renta / Total En la situación b), un impuesto por unidad representa un aumento por esa cantidad del precio de dicho bien: Lo que nos lleva a realizar un estudio, como el enunciado propone, según Slutsky, del cambio de precio que aquí se origina. 51

52 No se calcula el bien Y ya que no sufren ningún cambio las variables que componen su función de demanda, lo que supondrá un efecto total cero para este bien. En cambio, para el bien X, como se puede observar, la diferencia entre cantidad final y cantidad inicial, es de 5 negativos, lo que representa el efecto total en la demanda de dicho bien. Se procede a calcular el efecto sustitución: Efecto Sustitución Se calcula el efecto renta por diferencia con las cantidades finales: Efecto Renta En la situación c), un impuesto ad valorem representa un aumento proporcional del precio del bien en cuestión: Se procede a calcular la cantidad final demandada bajo el efecto total de dicho cambio: El efecto total, calculado por diferencia, es de -3. Luego se calculan los dos efectos que componen la variación total: 52

53 Efecto Sustitución Se calcula el efecto renta por diferencia con las cantidades finales: Efecto Renta Situación Bien Ef. Sustitución Ef. Renta Ef. Total A X Y B X -3,34-1,66-5 Y C X y

54 Consumo Intertemporal Un individuo debe decidir cuánto consumirá de bienes entre dos periodos consecutivos, el momento 1 y el momento 2, para lo cual posee una función de utilidad, con las variables consumo 1 y consumo 2, como la siguiente: La renta destinada al periodo 1 es de $40, y la destinada al 2 es de $125. El precio de los bienes en el primer momento es de $10, pero la inflación hasta el momento 2 fue del 100%. Se le plantea al individuo una tasa de interés del 25% para el lapso del periodo 1 al 2. Se pide calcular, desde la perspectiva del primer momento, lo siguiente: 1. Sendero de expansión de la renta 2. Demandas Marshallianas 3. Canastas optimas 4. Cantidades de dinero necesarias para cada momento 5. Nivel de utilidad alcanzado Inicialmente es prudente definir las variables que participaran del cálculo: El precio de los bienes en un primer momento es de $10, pero habiéndose visto afectados por la inflación, en el momento siguiente será de $20. El nivel de inflación para este cálculo, será expresada como el número representativo de su porcentaje, por ejemplo, si fuera del 50% sería de 0,5, en este caso 100% equivale a 1. Según se vea el problema desde la perspectiva de cada momento, entra en juego una tasa de interés, que recibe el mismo tratamiento que la inflación para el cálculo que se pretende; una tasa del 25% equivale a 0,25. El consumo intertemporal de un individuo puede analizarse desde una perspectiva actual, es decir, del momento inicial, y desde una perspectiva futura, el siguiente momento. Si se analiza desde el primer momento, los precios y la renta futura deberán ser re expresados a dinero del periodo 1, por tanto, suponiendo que fueron afectados por la tasa de interés, se deberá convertir dividiendo cada uno de ellos por la suma de la unidad y la tasa de interés. Por tanto, la restricción presupuestaria equivaldría a lo siguiente: En el caso de la perspectiva futura, los que deben ser re expresados son los datos del periodo 1, pero en vez de desagregar el interés, se debe capitalizarlo; para esto, se multiplican la renta y el precio por la suma de la unidad y la tasa de interés. 54

55 Una vez definida la restricción presupuestaria, se puede proseguir en el cálculo según la perspectiva del momento 1, como se solicita en el enunciado. Se va a utilizar el método de Lagrange, pero también puede resolverse el problema gracias a la igualación de pendientes. a) =0 b) =0 c) =0 a) =0 =- b) =0 Se procede a la igualación de los resultados de los despejes de las ecuaciones a y b Del despeje de lo recién planteado se obtienen los senderos de expansión de la renta: Ahora, se reemplazan los senderos de expansión dentro de la última ecuación de Lagrange, obteniendo las demandas de bienes para cada periodo: c) 55

56 Si se reemplazan los datos iniciales dentro de las funciones de demanda se obtienen las canastas óptimas: La cantidad de dinero necesaria para que puedan darse esas canastas seria la siguiente: Para el momento 1: 56

57 Para el momento 2: Se puede constatar que la suma de estas cantidades de dinero es iguales a las sumas de las rentas bajo la perspectiva del momento 1: Como último paso, se procede a calcular el nivel de utilidad alcanzado 57

58 Incertidumbre Un individuo posee un patrimonio valuado en $1000, esta persona carga con una probabilidad del 10% de perder toda su riqueza en un robo. Se le presentan al individuo dos aseguradoras, que le proponen: a) Seguro 1: Ante el caso de producirse el siniestro, el individuo recibirá un 80% del total asegurado, deberá pagar una póliza correspondiente al 5% del dinero que se le retribuirá. b) Seguro 2: Ante el caso de producirse el siniestro, el individuo recibirá el total del dinero asegurado, debiendo pagar una póliza correspondiente al 25% del monto retribuido. La utilidad del individuo ante el consumo de cada estado de la naturaleza, esta representada por la siguiente función: Suponiendo que desea asegurar la totalidad de su patrimonio, 1. Adoptara algún seguro? En caso positivo, Cuál? 2. Se trata de un individuo averso, amante o neutral ante el riesgo? Para los cálculos propuestos, se hace necesario definir correspondientemente los datos que ponderan en ellos: La probabilidad de robo será denominada p, mientras que el caso contrario q ; al ser hechos mutuamente excluyentes, la probabilidad de sucesos debe sumar 1, por tanto se puede calcular la probabilidad q como diferencia de la unidad con la probabilidad p : Robo No robo Sin asegurar = Seguro = =960 Seguro = =750 Para decidir cual caso elegirá el individuo, se debe calcular la esperanza matemática de la utilidad que obtendría el mismo en cada situación: Sin Asegurar: Seguro 1: Seguro 2: Como se puede apreciar, el seguro 1 le brinda una utilidad esperada mayor que los demás casos, por tanto elegirá este. 58

59 Para verificar si el individuo es amante, averso o neutral ante el riesgo, es necesaria la comparación entre la utilidad esperada del individuo con la utilidad de la esperanza de la riqueza del mismo: La esperanza matemática de la riqueza del individuo para cada caso seria: Sin asegurar 0.0, ,9=900 Seguro , ,9=940 Seguro , ,9=750 Para el seguro 1, la utilidad de la esperanza de la riqueza seria: De la comparación se obtiene: 59

60 Ejercicios Adicionales 16) Un individuo que consume los bienes X e Y, con las siguiente función de utilidad: Calcular los senderos de expansión de la renta, las demandas marshallianas y las canastas óptimas para cada caso, considerando: 17) Un individuo que consume los bienes X e Y, con las siguiente función de utilidad: Calcular los senderos de expansión de la renta, las demandas hicksianas y las canastas óptimas, considerando: 18) Para las funciones de demanda obtenidas en el ejercicio 1, calcular su elasticidad precio, elasticidad ingreso y elasticidad cruzada. 19) De cuánto será la elasticidad cruzada para una función de demanda la cual no posee como variable el precio del bien relacionado? 20) Basándose en los datos del ejercicio 1 a), imagine la modificación del precio del bien Y, el cual pasa a valer $125. Calcule los efectos según Slutsky y según Hicks. 21) Los precios de los bienes X e Y son $40 y $60 respectivamente, calcule los nuevos precios que deberá considerar el consumidor si se aplica: Un impuesto por unidad de $5 al bien X. Una subvención por unidad de $10 al bien Y. Un impuesto ad valorem del 21% a ambos bienes. 22) Un individuo debe decidir cuánto consumirá de bienes entre dos periodos consecutivos, el momento 1 y el momento 2, para lo cual posee la siguiente función de utilidad: El precio de los bienes en el periodo 1 es de $20 y en el periodo 2 es de $100, la renta del primer momento es de $1000 y del segundo $500. La tasa de interés aplicada es del 10%. Se pide calcular, desde la perspectiva del momento 2, las canastas óptimas y el nivel de utilidad alcanzado. 60

61 23) Se presenta la misma situación que en la sección incertidumbre, modificando el enunciado al poseer el individuo una función de utilidad como la siguiente: Calcular la utilidad esperada de todos los casos, y determinar cual será la opción que elegirá el individuo, como también, si se trata de amante, averso o neutral al riesgo. Ejercicio Integrador Un individuo que consume los bienes X e Y, con la siguiente función de utilidad: Los precios de los bienes son 20 y 100 respectivamente; la renta del consumidor es de Se pide calcular: 1) Senderos de Expansión de la Renta 2) Demandas Marshallianas 3) Demandas Hicksianas 4) Canastas optimas 5) Nivel de utilidad alcanzado 6) Elasticidades 7) Graficar Frente a la aplicación de un impuesto ad valorem del 20% para el bien Y, calcular los efectos sustitución y renta según Slutsky y según Hicks. 61

62 Soluciones 1) Para ambos casos: SER Función de Demanda Canasta optima 2) SER Función de Demanda Canasta optima 3) Las elasticidades precio e ingreso son unitarias, mientras que la elasticidad cruzada es cero. 4) Siempre será cero. 5) Slutsky Efecto X Y Sustitución 6,25-1 Renta -6,25-1 Total 0-2 Hicks Efecto X Y Sustitución 5,9-1,06 Renta -5,9-0,94 Total 0-2 6) Los precios pasan a ser los siguientes: 7) 62

63 Teoría del Productor Curvas de Costo Construcción de la Curva de Oferta individual Construcción de la Curva de oferta de la industria Demanda de factores (Maximizando la producción) Demanda de factores (Minimizando los costos) Rendimientos a escala Comportamiento de la empresa maximizadora del beneficio 63

64 Curvas de costo Frente a la siguiente curva de costos totales a corto plazo de una empresa: Calcular las curvas de: 1. Costos Variables 2. Costos Fijos 3. Costos Totales Medios 4. Costos Variables Medios 5. Costos Fijos Medios 6. Costo Marginal Los costos totales de una empresa están conformados por la sumatoria de todos los costos que afronta la empresa, los cuales, para el análisis propuesto, pueden ser variables o fijos; La diferencia entre cada tipo de costo depende de si se ve afectado el monto o no por un incremento o disminución de la masa producida, es decir, los costos fijos son constantes pese a un cambio en las cantidades producidas, mientras que los variables dependen de las mismas. Según este criterio, se puede separar claramente los costos variables y los fijos: Los costos totales medios resultan del cociente entre el costo total afrontado por la empresa y la cantidad de bienes producidos: 64

65 De la misma manera se pueden diferenciar los costos variables medios y los costos fijos medios: El caso de los costos marginales, resultan del costo que debe afrontar la empresa al producir una unidad mas. El calculo demanda derivar la funcion de costos totales: 65

66 Construcción de la curva de oferta individual Una empresa posee la siguiente curva de costos totales a corto plazo: Se pide calcular la curva de oferta individual de la misma. La curva de costo marginal de una empresa es a la vez su curva de oferta, restringiendo esta definición a dos excepciones: Se excluyen los niveles de producción donde la pendiente de dicha curva es negativa; y por otro lado, se excluyen los segmentos de la curva donde los costos variables medios (en el corto plazo) o los costos totales medios (en el largo plazo) se encuentran por encima de la curva de costo marginal de la empresa. Se procede a calcular las curvas de costos a analizar: Frente a la primer excepción, se procede a calcular los segmentos donde la curva de costo marginal posee pendiente positiva, para eso, se calculan los puntos minimos o máximos y luego las pendientes: Pendiente Negativa - Positiva Se concluye que todos los niveles de producción menores a dos no serán parte de la curva de oferta. Frente a la segunda excepción, se calcula el segmento de la curva de costo marginal que se encuentre por encima de la de costo variable medio, para eso, se toma en cuenta la propiedad que relaciona ambas funciones: la curva de costo marginal pasa por el punto minimo de la curva de costo variable medio y de la curva de costos totales medios. Se procede a calcular el punto minimo de la curva de costos variables medios: 66

67 Visto gráficamente: Como puede observarse, los costos marginales se encuentran por debajo de los costos variables medios hasta darse su punto minimo. Según la excepción primera, el nivel de producción debe ser mayor a 2, mientras que según la segunda, debe ser mayor a 3, por tanto se concluye que la curva de oferta de la empresa es la siguiente: P= P= 67

68 Construcción de la curva de oferta de la industria En una industria compuesta por dos empresas, las cuales presentan las siguientes funciones de costo: Empresa 1 Empresa 2 Costos Totales x x 2 x 10x 3 Se pide calcular la oferta de la industria Se procede a calcular las ofertas individuales primero, como ambas empresas presentan costos marginales lineales, con pendiente positiva, y costos variables medios menores, las curvas de oferta serán representadas exactamente por los costos marginales de cada una. Empresa 1 Empresa 2 Costos Totales x x 2 x 10x 3 Costos Marginales x 4 2x 10 Costos Variables Medios x x 10 Curva de Oferta p x 4 p 2x 10 Curva de Oferta en función del precio x p 4 1 x p

69 La curva de oferta de la industria estará representada por la sumatoria de varios segmentos, cada uno, conformado por la cantidad ofrecida al precio mas bajo posible, es decir, por ejemplo, el primer segmento estará representado por la suma de las cantidades de las empresas que puedan ofrecer al precio $1, luego la sumatoria de las cantidades de las empresas que puedan ofrecer al precio $2, y asi sucesivamente. En el caso planteado, la empresa 1 puede ofrecer a un precio mas bajo que la empresa 2 hasta el punto que ambas empiezan a ofrecer y se suman sus cantidades. A continuación se presenta un grafico con la cantidad en funcion del precio: La empresa 2 comienza a ofrecer recién a partir del precio 10, por tanto hasta ese momento la oferta de la industria estará representada por la oferta de la empresa 1, luego de alcanzar el precio 10, se suman ambas cantidades. Para colocar esta idea en funcion de la cantidad a producir, se procede a calcular el nivel de producción que alcanze el precio 10: Cuando se dice se suman ambas cantidades, se refiere al calculo de la suma horizontal de las curvas inversas de oferta, ya que cada una representa la cantidad ofertada por cada empresa. 1 x ( p 4) p 5 2 x p 3 p 2 2 x

70 De los anteriores cálculos se puede conformar la oferta total de la industria: P= 70

71 Demanda de factores (Maximizando la producción) Una empresa posee una tecnología que le propicia la siguiente función de producción a largo plazo dependiente de dos factores: W y Z El precio respectivamente de cada uno de ellos es de $10 y $50. La empresa posee $2000 destinados a la compra de factores. Se pide calcular: 1. Senderos de Expansion. 2. Funciones de demanda de cada factor. 3. Canastas optimas de factores. 4. Nivel de producción alcanzado. Para maximizar el beneficio se debe tender a un nivel de producción donde el valor del producto marginal de cada factor sea igual al precio del mismo. En el largo plazo, donde todos los factores son variables, es correcto realizar el mismo calculo para los dos factores. Similarmente a lo realizado en la sección de Teoria del Consumidor, las demandas de factores buscan maximizar la funcion de producción respecto a una restricción presupuestaria definida: La resolución puede abordarse utilizando el método de Lagrange o igualando las pendientes (La pendiente de las isocuantas es la Tasa Marginal de Sustitucion Tecnica) O Utilizando cualquiera de los dos métodos se puede obtener los senderos de expansión: 71

72 Una vez obtenidos se puede calcular las funciones de demandas para cada caso: Una vez reemplazados los datos del enunciado se puede calcular la cantidad demandada en cada caso: El nivel de producción alcanzado gracias a esa cantidad de factores es: 72

73 Demanda de factores (Minimizando los costos) Una empresa posee una tecnología que le propicia la siguiente funcion de producción a largo plazo dependiente de dos factores: W y Z El precio del factor W es de $20 y el del Z $40. Si se desea mantener un nivel de produccion de 5000, calcular: 1. Senderos de Expansion. 2. Funciones de demanda de cada factor. 3. Canastas optimas de factores. 4. Renta necesaria para lograr dicho nivel de produccion. La minimización del costo respecto de un nivel determinado de producción puede resolverse de forma similar a las demandas hicksianas, es decir, obteniendo los senderos de expansión mediante Lagrange o la igualación de pendientes, para luego reemplazar los datos en la funcion de producción. Para este caso, se utilizara la igualación de pendientes, recordando, que la pendiente de las isocuantas es la tasa marginal de sustitución tecnica: 73

74 Senderos de expansión: Se procede a reemplazar los senderos dentro de la funcion de producción: Las canastas optimas se obtienen al reemplazar los datos del enunciado: La renta necesaria para obtener la anterior canasta optima se obtiene reemplazando en la restricción presupuestaria: 74

75 Rendimientos a escala A partir de las siguientes funciones de producción obtenidas de distintas tecnologías, determinar si poseen rendimientos constantes, crecientes o decrecientes a escala: a) b) c) El término rendimientos de escala aparece en el contexto de la función de producción de una empresa. Hace referencia a los cambios en la producción que resultan de un cambio proporcional en todos los factores. Si el producto aumenta en el mismo cambio proporcional entonces existen rendimientos constantes de escala. Si el producto aumenta en menos que el cambio proporcional, existen rendimientos decrecientes de escala. Si el producto aumenta en más que el cambio proporcional, existen rendimientos crecientes de escala. Para los tres casos, se duplicaran los factores y se comparara con el nivel de producción obtenido (Representado en cada caso por Y ): a) Si se duplican los factores se genera 16 veces la producción inicial, esto supera ampliamente el doble de producción que se podría esperar, lo que significa un cambio mas que proporcional al dado en los factores, es decir, se trata de rendimientos crecientes a escala. b) Si se duplican los factores se genera el doble de producción, es decir, los cambios en la producción son directamente proporcionales a los dados en los factores, lo que se concluye, se trata de rendimientos constantes a escala. c) Al duplicarse los factores se genera un cambio en la producción menos que proporcional al dado en los factores, es decir, se trata de rendimientos decrecientes a escala. 75

76 Comportamiento de la empresa maximizadora del beneficio Una empresa poseedora de la siguiente funcion de costos totales: Se enfrenta a una curva de demanda representada por la siguiente funcion: Suponiendo que la empresa es maximizadora del beneficio, calcular: 1. Cantidad que producira 2. Precio del producto 3. Ingreso 4. Costos totales 5. Beneficio obtenido Para el conocer el beneficio obtenido por una empresa se debe calcular la diferencia entre los ingresos de la misma, y sus costos totales, para el caso planteado se conocen estos últimos pero no la funcion que representa el ingreso del ente. El ingreso de una empresa es la cantidad de producto que se vendio, por el precio al que se realizó dicha acción, en este caso, el precio puede obtenerse mediante la funcion de demanda: Si se multiplica esta funcion por la variable de la cantidad se obtiene la funcion ingreso: A partir de los datos anteriores puede plantearse la funcion de beneficio: Como el propósito de la empresa es maximizar el beneficio, se utilizara la herramienta matemática adecuada para buscar el máximo de dicha funcion, es decir, se derivara la curva de beneficio y luego se igualara a cero para obtener los máximos de la misma: Deteniendose un momento en lo recién planteado se puede plantear, que para la búsqueda de la maximización del beneficio seria correcto igualar el ingreso marginal con el costo marginal: 76

77 Por tanto, del despeje de la ecuación planteada se obtiene la cantidad que producirá la empresa: A partir de la cantidad, reemplazando este dato dentro de la funcion de demanda, puede obtenerse el precio al que será vendido: Por tanto el ingreso de la empresa será de: Los costos totales se obtiene reemplazando la cantidad dentro de la funcion propuesta en el enunciado: El beneficio que obtendrá la empresa entonces será de la diferencia del ingreso total con los costos totales: Visto gráficamente, el área comprendida entre el punto de equilibrio y los ejes, determina el ingreso obtenido por el productor. Para profundizar dentro de la visión grafica, se puede determinar el área comprendida por los costos afrontados para ese nivel de producción, y la 77

78 superficie que representa los beneficios obtenidos (la suma de ambas partes conforma el ingreso del productor). La curva de costos medios, sobre la cantidad optima a producir, determina el punto que divide esta área. 78

79 Ejercicios Adicionales 1. Una empresa posee la siguiente función de costo marginal: Calcular la curva de costo total y la de costo variable medio, sabiendo que: 2. Calcular la curva de oferta para la empresa del ítem anterior. 3. A partir de las siguientes curvas de oferta de tres empresas que conforman una industria, construir la curva de oferta de mercado: 4. Una empresa posee una tecnología que le brinda una función de producción como la siguiente: Si la empresa posee una renta de $3000 destinada a la compra de factores, y, se conoce que la demanda de cada uno de ellos fue: Cuáles fueron los precios de cada uno de los factores? 5. Una empresa posee una tecnología que le brinda una función de producción como la siguiente: Intentando mantener un nivel de producción de 200, se demando un total de 800 unidades del factor W. Sabiendo que el precio del factor Z fue de $40, determinar cual fue el precio del factor W. 6. Determinar si las tecnologías de los ítems 4) y 5) son rendimientos constantes, crecientes o decrecientes a escala. 7. Una empresa posee las siguientes curvas de ingreso marginal y costo marginal: Si se trata de una empresa maximizadora del beneficio, sabiendo que los costos totales de una producción de cero unidades es de $10, determinar el beneficio obtenido por el ente. 79

80 Soluciones P= En el ítem 4) se trata de rendimientos decrecientes a escala En el ítem 5) se trata de rendimientos constantes a escala 7. $530 80

81 Mercados Competencia Perfecta Monopolio Monopolio Discriminador Monopolio Discriminador Perfecto Duopolio Competencia Monopolística 81

82 Competencia Perfecta En un mercado de competencia perfecta, con las siguientes funciones de oferta y demanda: Se encuentra una empresa maximizadora del beneficio, la cual posee la siguiente función de costos totales: Se pide calcular: 1. Precio de mercado. 2. Cantidad que producirá la empresa. 3. Beneficio que obtendrá la misma. En competencia perfecta, luego del juego entre oferta y demanda de mercado, se obtiene el precio al cual se venderá y comprara dicho producto, en este caso se calcula de la siguiente manera: En un mercado de competencia perfecta, los participantes son precio-aceptantes, es decir, no pueden ejercer influencia sobre el precio al cual se comercia, por tanto, la empresa maximizadora del beneficio se encuentra frente al siguiente problema: El ingreso marginal de una empresa precio-aceptante, es el precio de mercado, por lo cual la misma debe igualar a este su costo marginal: 82

83 La cantidad que producirá la empresa es de 8 unidades, por tanto, el beneficio que obtendrá se calcula de la siguiente manera: Visto gráficamente, introduciendo también la curva de costos medios, se pueden distinguir los beneficios y costos de la empresa: La superficie sombreada superior, representa el beneficio obtenido, la inferior los costos afrontados: 83

84 Monopolio Un monopolista posee la siguiente función de costos totales: Se enfrente a una demanda de mercado como la siguiente: Calcular: 1. Precio y cantidad de unidades que producirá el monopolista. 2. Beneficios obtenidos por el mismo. El monopolista determina la cantidad y el precio del mercado, al ser este el único ofertante. Al ser una empresa maximizadora del beneficio, se procederá a igualar los costos marginales con los ingresos marginales: Una vez obtenida la cantidad, se procede a calcular el precio: Con los datos anteriores, el beneficio puede calcularse simplemente: La curva de costos marginales coincide en este caso con la de costos medios. 84

85 Monopolista discriminador Un monopolista discriminador posee dos grupos de consumidores, los cuales poseen las siguientes curvas de demanda diferenciadas: Los costos totales del monopolista están representados por la siguiente función: Se pide calcular los precios y cantidades ofrecidas a cada grupo, y el beneficio total obtenido por el monopolista. En los casos donde el monopolista discrimina sus precios, se debe abordar el calculo suponiendo distintos ingresos dependiendo de la cantidad de grupos, es decir, el beneficio del monopolista estará conformado por la diferencia entre la sumatoria de ingresos que le brinda cada grupo de demandantes, y los costos totales de producir la cantidad de unidades que se reparten entre los grupos. Para maximizar el beneficio respecto a cada grupo, se iguala el costo marginal total con el ingreso marginal de cada conjunto: A partir de las cantidades producidas para cada grupo, se procede a calcular el precio que le corresponderá: La cantidad total producida es la sumatoria de la asignada a cada conjunto, es decir, 92,5. Los costos totales de producir esa cantidad se calculan de la siguiente forma: 85

86 La diferencia entre los ingresos y los costos permite hallar el beneficio que obtendrá el monopolista: 86

87 Monopolista Discriminador Perfecto Un monopolista que se enfrenta a dos conjuntos de demandantes, que poseen las mismas funciones representativas que en el apartado anterior, desea discriminar perfectamente sus precios para cada combinación de precio y cantidad bajo esas curvas de demanda. Los costos totales son iguales también al ejercicio anterior. Para poder considerar todas las combinaciones posibles bajo las curvas de demanda, es necesario aplicar como herramienta matemática las integrales, las cual permiten determinar el área comprendida entre curvas o rectas. El beneficio del monopolista estará determinado de la siguiente manera: Para maximizar dicho beneficio se procederá en el siguiente cálculo: En vez de igualar cada ingreso con los costos marginales, se igualara esta última función, con cada uno de los precios: A partir de estos datos se calcula la cantidad total, 185. El cálculo del beneficio entonces queda limitado a reemplazar los datos en la primera ecuación planteada: 87

88 Visto gráficamente: 88

89 Duopolio En un mercado oligopólico donde solo participan dos empresas, se dan las siguientes condiciones: Curva de demanda del mercado Funciones de costo de las respectivas empresas: Se pide comparar las cantidades producidas, el precio de mercados y los beneficios obtenidos según se aplique el modelo de Cournot, Stackelberg (Empresa 1 líder), Bertrand y la Colusión. Dentro de los análisis siguientes, se deberá calcular para cada modelo el precio de mercado, obteniéndose a partir de la curva de demanda; la misma, se encuentra en función de la cantidad total de bienes en el mercado, es decir, que para proceder en el cálculo del precio para cada modelo, se deberá considerar la sumatoria de ambas cantidades producidas. En los modelos de Cournot y Stackelberg, se considera que una o ambas empresas (depende el modelo) poseen una curva de reacción frente al nivel de producción que presenta su contrapartida. Para el cálculo de esa curva, se debe proceder en el desarrollo usual de como una empresa maximiza su beneficio, recordando que en este mercado el precio está influido por las cantidades producidas por ambos competidores, de lo que resulta la posibilidad de colocar la producción de cada empresa en función de la otra: Procediendo de la misma manera, se puede calcular la curva de reacción de la empresa 2: 89

90 Para Cournot, las empresas deciden independientemente de lo que producirá su rival, es decir, Cada firma toma la cantidad a producir de sus competidores como dada. El cálculo de la cantidad que producirá cada empresa se resuelve reemplazando una curva de reacción dentro de la otra: La cantidad total producida por tanto será de 27,72, lo que conlleva a obtener un precio de mercado de 22,28. Los beneficios por tanto son: El beneficio total que se obtiene en el mercado es de 521,85. El modelo de Stackelberg se aplica a un mercado donde exista una empresa líder y el resto de las firmas son seguidoras de esta. La empresa líder conoce las curvas de reacción de sus seguidoras, por tanto, las incluye dentro de su análisis en busca de maximizar sus beneficios: 90

91 Para obtener la cantidad producida por la empresa seguidora, simplemente se reemplaza la cantidad de la firma líder en la curva de reacción: La cantidad total en este caso sería de 30,24, y el precio de 19,76. Se procede a calcular los beneficios individuales y totales: Para el modelo de Bertrand, o también llamada solución cuasi competitiva, ambos competidores pujan hacia el precio más bajo, por tanto, el análisis se enfocara a igualar los costos marginales de cada una, al precio de mercado: El precio de mercado por tanto, debe ser de 2. Una vez calculado el precio, se puede utilizar como dato para la siguiente firma y así luego obtener la cantidad producida por la primera: 91

92 Conociendo precio y cantidades se procede a calcular los beneficios: Para la Colusión, ambos competidores se ponen de acuerdo y maximizan su beneficio como una sola; el cálculo se resuelve igualando el ingreso marginal con los costos marginales individuales: Si la cantidad total es de 24, el precio de mercado corresponde a 26. Se procede a reemplazar el dato de la cantidad total dentro del ingreso marginal, para poder obtener la cantidad producida por la firma2 y luego así, la cantidad de la firma1: Sabiendo los precios y las cantidades, se procede a buscar los beneficios: 92

93 A continuación se reúne en un cuadro comparativo todos los datos obtenidos en los cálculos anteriores: Cournot Stackelberg Bertrand Colusión Cantidad Firma1 20,28 23, Cantidad Firma2 7,42 6, Beneficio F1 411,59 420, Beneficio F2 110,26 86, Cantidad Total 27,71 30, Precio 22,28 19, Beneficio Total 521,85 507, Como se puede observar, si las firmas se ponen de acuerdo se obtienen beneficios mayores que compitiendo, se coloca menor cantidad de producto a la venta y a precios mayores. 93

94 Competencia Monopolística En un mercado de competencia monopolística, sin restricciones de entrada o salida, en el largo plazo, una empresa posee la siguiente función de costos: Si la firma se enfrente a una curva de demanda como la siguiente: Se pide calcular la cantidad a producir, el precio y el beneficio que obtendrá. La competencia monopolística es un tipo de competencia en la que existe una cantidad significativa de productores actuando en el mercado sin que exista un control dominante por parte de ninguno de estos en particular. Se supone a la firma como maximizadora del beneficio, por tanto, igualara su ingreso marginal al costo marginal: Conociendo la cantidad producida se puede establecer cuál será el precio: Se puede proceder a calcular los beneficios de la empresa: En el largo plazo, todas las empresas del mercado poseen beneficios nulos, la razón de esto es la libre entrada y salida de competidores, por lo que, si existen beneficios extraordinarios, otras firmas decidirían entrar al mercado, provocando que los mismos se reduzcan. Ninguna empresa en el largo plazo posee beneficios negativos pues decidiría salir del mercado. En el equilibrio del largo plazo, todos los competidores poseen beneficios nulos. 94

95 Visto gráficamente, considerando también la curva de costos medios: Los costos medios en el punto de intersección del ingreso marginal con el costo marginal, es igual al precio de mercado, por lo que el beneficio de la empresa es cero. 95

96 Ejercicios Adicionales 1. En un mercado de competencia perfecta, donde el precio de equilibrio es de 100, una empresa busca maximizar su beneficio a partir de una función de costos como la siguiente: Calcular el beneficio que obtendrá. 2. Un monopolista busca maximizar sus beneficios a partir de la siguiente curva de demanda y su función de costos totales: Calcular el beneficio que obtendrá. 3. Un monopolista que decide discriminar su oferta respecto a dos grupos de demandantes, posee la siguiente función de costos: Las demandas de cada grupo son las siguientes: Calcular el beneficio que obtendrá. 4. El monopolista del ejercicio anterior decide discriminar perfectamente su oferta frente a las curvas de demanda que se le presentan. Calcular el beneficio que obtendrá. 5. En un duopolio, las curvas de costo de las empresas son las siguientes: La curva de demanda del mercado es la siguiente: Construir un cuadro comparativo de las cantidades producidas, los precios y los beneficios aplicando los modelos de Cournot, Stackelberg (Líder empresa1), Bertrand y Colusión. 6. En un mercado de competencia monopolística, en el largo plazo, una empresa busca maximizar su beneficio, con una función de costos como la siguiente: Se enfrenta a la siguiente función de demanda: Calcular la cantidad a producir, precio, ingreso y costos totales. 96

97 Soluciones 1. B= B= B= B= Cantidad producida por empresa 1 Cantidad producida por empresa 2 Beneficio Empresa 1 Beneficio Empresa 2 Cantidad Total producida Cournot Stackelberg Bertrand Colusión 43,27 47, ,45 8, , , ,19 268, ,72 56, Precio de Mercado 47,28 43, Beneficio Total 2140, , Cantidad a producir=10 Precio=75 Ingreso=750 Costos=750 97

98 Equilibrio General Producción Intercambio Ley de Walras 98

99 Producción En una economía donde se producen 2 tipos de bienes (X e Y) a partir de un único factor (L), existen solo dos consumidores los cuales poseen las siguientes funciones de utilidad: Las funciones de producción respectivas a cada bien son las siguientes: La cantidad total del factor L es de unidades. Se pide calcular: 1. La frontera de posibilidades de producción dentro de esta economía 2. Las cantidades producidas en el equilibrio general 3. Las posibles asignaciones optimas en el sentido de Pareto. Los conjuntos de posibilidades de producción vistos gráficamente, alcanzan su nivel máximo en la frontera de posibilidades, esta puede calcularse a partir de la restricción de cantidad de los factores productivos de la economía: La cantidad total del factor, 50000, debe ser igual a las cantidades asignadas a producir los distintos bienes de consumo. Si se toman las funciones de producción y se despeja la variable del factor productivo se obtiene lo siguiente: La frontera de posibilidades de producción se obtiene al reemplazar cada variable de la restricción de cantidad: 99

100 En el equilibrio general las pendientes de las curvas de utilidad y de la frontera de posibilidades de producción son iguales, por tanto, se procede a calcular las TMS correspondientes a cada consumidor y la Relación Marginal de Transformación, la pendiente de la FPP. Para despejar las variables de la RMT, se procederá a igualarla con la TMS del consumidor b, la cual permite obtener lo siguiente: Si se reemplaza este dato dentro de la frontera de posibilidades de producción se obtiene una curva en función de una única variable, que al despejarla, se puede calcular la cantidad a producir por cada una: 100

101 Visto gráficamente: Por último, es necesario calcular las posibles asignaciones de esta producción entre los dos consumidores, de forma que se mantenga un óptimo de Pareto. El término óptimo de Pareto proviene del nombre del economista italiano primero en utilizar este concepto, el cual refiere al punto donde no se puede mejorar la situación de un participante sin perjudicar la de otro. Dentro del contexto de nuestro análisis, los óptimos se encontraran donde sean tangentes las curvas de indiferencia de los consumidores, es decir, donde se igualen las pendientes de ambos: Este resultado es la llamada curva de contrato, se encuentra en función del consumo de un solo participante, dando por sentado que el participante restante obtendrá todos los bienes que resten, es decir, si el consumidor A obtiene 20y y 10x, el consumidor B obtendrá 80y (100-20) y 190x (200-10). La curva de contrato representa todos los puntos de tangencia entre las curvas de indiferencia de los consumidores, cualquier distribución que no se corresponda a esta curva no será un óptimo en el sentido de Pareto. 101

102 Visto gráficamente: 102

103 Intercambio En una economía de dos participantes, donde se da la existencia de dos tipos de bienes: X e Y. Las funciones de utilidad correspondientes a cada individuo son: Las cantidades totales y distribuciones iniciales son las siguientes: Se pide: Bien X Bien Y Individuo A Individuo B Total Obtener curva de contrato 2. Verificar si las asignaciones iniciales son Pareto-Optimas 3. Encontrar precios relativos 4. Suponiendo que el precio del bien y es de $156, calcular el precio del bien x 5. Obtener las cantidades demandadas por cada individuo de cada bien 1. La curva de contrato está formada por todos los puntos donde son tangentes las curvas de indiferencia de ambos consumidores, por tanto, para obtenerla se debe igualar sus pendientes (Tasas Marginales de Sustitución): Una vez calculadas las TMS por separado, se presenta el problema de tener variables diferentes, que impiden despejar la igualación ( ). Para convertir las variables de 103

104 un individuo en las del otro, se debe plantear las restricciones de cantidad existentes en esta economía: Se reemplazan estos datos en las TMS obtenidas anteriormente y se procede a calcular la curva de contrato: 2. Para saber si las asignaciones iniciales son óptimas en el sentido de Pareto, se pueden utilizar tres métodos diferentes: a) A través de la curva de contrato: Se reemplazan las asignaciones iniciales dentro de la ecuación de la curva de contrato y se verifica si son correspondientes: b) A través de las TMS: Se reemplaza en cada tasa marginales de sustitución las asignaciones iniciales y se comparan, si son iguales, se trata de una distribución optima: 104

105 c) A través de la visión de un gráfico: Se procede a construir la caja de Edgeworth correspondiente a los datos del ejercicio, se traza la curva de contrato y se verifica si el punto que representa la distribución inicial coincide con la curva: 3. Para calcular los precios relativos, en primer lugar se deben buscar las demandas de cada bien por parte de cada individuo. Para variar modos de resolución, para el individuo A, se aplicara el método de Lagrange, mientras que para el individuo B se procederá a la igualación de la TMS y el cociente de precios. Se despeja lambda en las dos primeras ecuaciones y luego se procede a obtener los senderos de expansión utilizando el método de igualación: 105

106 Igualación: Senderos de Expansión Se reemplazan estos últimos dentro de la tercera ecuación de Lagrange: Para el individuo B, como se aclaró antes, se procede a utilizar la igualación de las pendientes (TMS y Cociente de precios). Se recuerda, la TMS del individuo B, ya fue calculada en el ítem 1: Senderos de Expansión 106

107 Se reemplazan los senderos dentro de la restricción presupuestaria para obtener las demandas: La renta de cada individuo posee inicialmente: es igual a la sumatoria del valor total de los bienes que Por tanto, se reemplazan las rentas por los resultados recién obtenidos. Como la suma de las cantidades demandadas por cada individuo debe sumar la cantidad total existente del bien, se procede a plantear lo siguiente: Del despeje de lo recién expuesto, se obtienen los precios relativos: Precios Relativos 107

108 4. Suponiendo que el precio de bien y es de $156, se reemplaza en la ecuación obtenida en el ítem anterior y se obtiene: 5. Conociendo los precios y las cantidades iniciales, se puede obtener las rentas de cada uno de los individuos: Con los precios y las rentas se procede a calcular las demandas de cada individuo: Como se puede observar, se respeta la restricción de cantidad propuesta por el ejercicio (52, ,62 = 100). Para calcular las demandas del otro bien, se pueden utilizar las funciones como en el paso anterior, o se puede aplicar lo siguiente: También se respeta en este caso la restricción de cantidad (21, ,85 = 50). 108

109 Ley de Walras Verificar para el ejercicio propuesto en la sección anterior si se cumple la ley de vaciamiento de mercado La ley de Walras expresa que para cualquier sistema económico la sumatoria de las demandas netas de cada bien da por resultado cero, es decir, que la cantidad de bien que decide deshacerse un individuo coincide con la cantidad que requiere otro. Las demandas netas se obtienen al calcular la diferencia entre las demandas totales y las asignaciones iniciales de cada individuo. Como se puede observar, las demandas netas de cada bien correspondiente a un individuo, se cancelan con las demandas netas del otro participante. 109

110 Ejercicios Adicionales 1. En una economía con dos consumidores, los cuales poseen las siguientes función de utilidad: Las funciones de producción respectivas a cada bien son las siguientes: La cantidad total del factor L es de 1700 unidades. Calcular: a) F.P.P. b) Cantidades producidas de cada bien c) Curva de contrato 2. En una economía de intercambio con solo dos participantes, se poseen las siguientes funciones de utilidad correspondientes a cada uno de ellos: Las cantidades totales y las distribuciones iniciales son las siguientes: Bien x Bien y Individuo A Individuo B 30 2 Total Se pide: 1. Obtener curva de contrato 2. Verificar si las asignaciones iniciales son Pareto-optimas 3. Encontrar precios relativos 4. Determinar el precio del bien x sabiendo que el precio del bien y es de $ Obtener las cantidades demandadas de cada bien por cada participante. 6. Verificar la Ley de Walras 110

111 Soluciones 1. F.P.P. Cantidades producidas: x=10 y=40 Curva de contrato: 2. Curva de contrato: Las asignaciones no son óptimas en el sentido de Pareto Precios relativos: Precio de X=32 Demandas de cada bien: A B X 27,75 22,25 y 8,93 3,07 Ley de Walras se verifica. 111

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