Problemas de conexión y de reparto de costes

Problemas de conexión y de reparto de costes Federico Perea Justo Puerto * MaMaEuSch ** Management Mathematics for European Schools 94342 - CP - 1-2001 - DE - COMENIUS - C21 * Universidad de Sevilla ** Este proyecto ha sido desarrollado con ayuda parcial de la Unión Europea dentro del marco del programa Sócrates. El contenido no refleja necesariamente la posición de la Unión Europea ni implica ninguna responsabilidad por parte de la Unión Europea. 0

1. Conceptos previos En este trabajo describimos algunas situaciones que pueden ser representadas mediante grafos. Para investigar dichas situaciones no necesitamos un estudio detallado de grafos, aunque sí algunos conceptos. Comenzamos introduciendo la idea de grafo a partir de unos ejemplos. 1.1. Ejemplos El diagrama de la figura 1 es un mapa de lo que será el metro de la ciudad de Sevilla. Como todos los mapas, no representa cada detalle de la ciudad, sino sólo aquellos de relevancia para sus usuarios. En el caso de este mapa, la localización geográfica exacta de las estaciones no son importantes. Sin embargo, lo que sí es importante es la forma en la que están interconectadas, de tal forma que un pasajero pueda planear una ruta desde una estación hasta otra. El mapa es simplemente un diagrama que indica como las estaciones están interconectadas. Planos arquitectónicos El plano de la planta baja de una casa viene representado en la figura 2. Para pequeños planos como éste, tales diagramas son apropiados para mostrar que habitaciones están conectadas, pero para planos grandes necesitaríamos una representación más cómoda. Una representación posible sería la mostrada en la figura 3, donde las habitaciones vienen dibujadas como pequeños círculos rellenos. Los arquitectos denominan a estos diagramas diagramas de circulación, debido a su uso al analizar movimientos de personas en edificios grandes. En particular, se han usado en el diseño de aeropuertos y en el trazado de supermercados. Diagramas de este tipo son útiles para representar la conexión entre varias habitaciones, pero no nos dan información sobre su tamaño o forma. 1.1.1. Definición de un grafo El punto que tienen en común los ejemplos anteriores es que en cada uno de ellos tenemos un sistema de objetos que están interrelacionados de alguna forma. En el primer ejemplo los objetos son estaciones interconectadas por vías de tren, y en el segundo ejemplo son habitaciones con accesos entre ellas. En cada caso podemos dibujar un diagrama en el cual los objetos vienen representados por puntos y las interconexiones se representan mediante líneas. Dichos diagramas se denominan grafos. Los puntos que representan los objetos se llaman vértices (también llamados nodos o puntos), y las líneas que representan las interconexiones 1

Figura 1: Futuro metro de la ciudad de Sevilla. se denominan ejes (también llamadas arcos o simplemente líneas). Por ejemplo, el diagrama de circulación de la casa es un grafo con siete vértices (la cocina, el hall, la sala de estar, etc.) y diez ejes (que son las interconexiones entre las diferentes habitaciones). Podemos formalizar estas ideas de la siguiente forma: Definición 1.1 Un grafo es un diagrama que se compone de puntos, llamados vértices, unidos entre sí por líneas, llamadas ejes; cada eje une exactamente dos vértices. También necesitamos conocer dos conceptos: el de ciclo y el de conexión. Decimos que un grafo G es conexo si entre cada par de puntos en G existe un camino que los une. Tanto el ejemplo del metro como el del plano de la planta baja de la casa nos dan grafos conexos. El grafo de la figura 4 es disconexo, en otras palabras, no conexo. Un camino que conecta un vértice consigo mismo se denomina ciclo. En la figura 3 el camino 2

Figura 2: Planta baja. sala de estar - salón - estudio - sala de estar es un ciclo, porque une la sala de estar consigo misma. Estos conceptos nos llevan a un tipo de grafos que vamos a usar en este trabajo: los árboles. Un grafo conexo que no contiene ciclos es un árbol. En la figura 5 se muestran algunos ejemplos de árbol. Si G es un grafo conexo, entonces un árbol de unión en G es un árbol que contiene a todos los vértices de G. Consideremos como ejemplo el grafo de la figura 6. El número de árboles de unión en un grafo puede ser muy grande (acotado superiormente por 2 n 2, donde n es el número de nodos que tiene la red). En la figura 7 presentamos tres posibles árboles de unión del grafo mostrado en la figura 6. 1.2. Situaciones cooperativas En muchas situaciones encontramos varios agentes que, cuando unen sus esfuerzos, pueden obtener mayores beneficios (o menores costes) después de llevar a cabo una acción, por ejemplo un negocio. Esas situaciones se llaman situaciones cooperativas, porque se permite a los agentes que cooperen. Veamos un ejemplo. 1.2.1. Ejemplo Tres amigos, Julián, Paula y Marcos, están pensando la posibilidad de crear un centro de atención para la tercera edad, dirigido a personas de entre 60 y 80 años. Después de investigar 3

Figura 3: Grafo. las leyes locales y el mercado, estiman lo siguiente. Necesitan una enfermera por cada cuatro ancianos de entre 71 y 80 años, y una enfermera por cada diez personas de entre 60 y 70 años. Se necesitan 8 metros cuadrados interiores y 4 exteriores por cada anciano de entre 71 y 80 años. Para los clientes entre 60 y 70 años se exigigen 5 y 6 metros cuadrados respectivamente. Después de calcular los costes se dan cuenta de que pueden obtener un beneficio neto de 200 Euros por cada cliente de entre 71 y 80 años y un beneficio neto de 150 Euros por cada uno del otro grupo. Julián conoce a 9 personas a las que podría contratar como enfermeras. También tiene la posibilidad de alquilar 260 metros cuadrados interiores y 200 exteriores. Por lo tanto tiene que resolver un problema de programación lineal para calcular el máximo beneficio que puede tener por su cuenta cumpliendo con las leyes. Si llamamos x 1 al número de ancianos del grupo de edad 71-80 que puede atender, y x 2 al número de personas que puede alojar del otro grupo, el problema a resolver para calcular el máximo beneficio que Julián puede obtener es: 1 1 Para más detalles sobre programación lineal ver: H.W.Hamacher, E.Korn, R.Korn, S.Schwarze Planificación de la Producción y Optimización Lineal en la página web de MaMaEuSch http://www.mathematik.uni-kl.de/ mamaeusch/allgemein e/frames2 e.html (2004). 4

Figura 4: Grafo disconexo. máx 200x 1 + 150x 2 1 s.a. x 4 1 + 1 x 10 2 9 8x 1 + 5x 2 260 4x 1 + 6x 2 200 x 1 0, x 2 0 Después de resolver el problema se deduce que puede obtener un beneficio de 7000 Euros si actuase solo, alojando a 20 personas de cada grupo de edad. Paula conoce a 5 personas a las que puede contratar como enfermeras y Marcos conoce a 14. Paula tiene la posibilidad de alquilar 120 metros cuadrados interiores y 200 exteriores, mientras que Marcos puede alquilar 590 interiores y 400 exteriores. Cuando resolvemos los problemas de programación lineal para Paula y Marcos, averiguamos que Paula puede tener un beneficio máximo de 3600 Euros si actúa sola, y Marcos puede ganar 14000 Euros si monta la residencia contando solo con sus medios. Pero también pueden combinar sus recursos. Suponemos que no hay coincidencias entre las personas que pueden emplear como enfermeras. Si Julián y Paula decidiesen trabajar juntos, tendrían un beneficio de 11000 Euros. Si Julián y Marcos trabajasen juntos obtendrían un beneficio de 22500 Euros. Si Paula y Marcos trabajasen juntos ganarían 19500. Y si todos ellos unen sus recursos y trabajan juntos obtendrán un beneficio de 26500 Euros. La situación 5

Figura 5: Árboles. se puede resumir en la siguiente tabla: S v(s) S v(s) S v(s) S v(s) {1} 7000 {3} 14000 {1,3} 22500 {1,2,3} 26500 {2} 3600 {1,2} 11000 {2,3} 19500 0 donde denotamos a Julián con el número 1, a Paula con el 2 y a Marcos con el 3, y v(s) es el máximo beneficio que el grupo S puede obtener si actúa uniendo sus recursos y sin contar con la ayuda de los demás. Su beneficio total es maximizado si combinan sus recursos. En este caso tendrán que encontrar la forma de dividir los 26500 Euros que ganan entre los tres. 2. Problemas de conexión y de reparto de costes En muchas situaciones cotidianas nos encontramos con problemas de optimización. Suele ocurrir que cuando varios elementos (personas, empresas, etc.) unen esfuerzos para realizar 6

Figura 6: Este grafo no es un árbol. una acción en común que va a dar servicio a todos ellos, el gasto total generado es inferior al gasto que generarían realizando dicha acción por separado. Hasta ese momento todo es ventajoso, ya que entre todos van a gastar menos dinero al actuar en común y tendrán el mismo servicio. Pero un nuevo problema aparece: como se reparten los pagos que ha generado la realización de la acción común. Imaginemos que un grupo de granjeros va a construir una valla de alambre para separar sus tierras. Debido a que las vallas delimitan dos territorios estas son usadas por varios granjeros. Por ello parece lógico que las vallas sean instaladas entre todos ellos y no que cada uno se construya su propia alambrada. Llega la hora de pagar y, por tanto, aparecen los problemas. En muchas situaciones similares a las descritas se llega a la determinación de que todos los usuarios del servicio han de pagar los gastos a partes iguales, en adelante esta regla será llamada reparto proporcional, e incluso se piensa que es los más justo. Veremos a través de unos ejemplos que el reparto proporcional no siempre es justo, teniendo en cuenta los problemas que el significado de la palabra justicia puede ocasionar. 3. El problema de asignación de costes de conexión El primer problema que vamos a abordar pertenece a una clase de problemas: problemas de árbol de expansión de coste mínimo (minimum spanning tree). En estos problemas tenemos una serie de usuarios que quieren beneficiarse de un producto proveniente de una fuente fijada. Queremos conectar a todos los usuarios a la fuente. La red de conexión no es fija, es decir, se 7

Figura 7: Árboles. podrán conectar los puntos de cualquier forma posible. Ejemplo 3.1 Consideremos un grupo de aldeas, cada una de los cuales necesita ser conectada a un embalse, directamente o a través de otras aldeas. Cada posible conexión tiene algún coste asociado y el problema radica en como conectar todas las aldeas al embalse de tal modo que los costes totales de crear la red sean mínimos. La red construida a mínimo coste se denominará árbol de mínima unión (minimum spanning tree). Sin embargo, la construcción de un árbol de unión mínima es sólo parte del problema. Además de minimizar los costes totales, también tiene que ser planteado un problema de reparto de costes, es decir, decidir cuanto paga cada aldea para construir la red que las conecta a todas. En siguientes ejemplos plantearemos varias reglas de reparto y discutiremos la idea de reparto justo. Formalmente, un problema de mínima unión es una tripleta T = (N,, t), donde N = {1,..., n} es el conjunto de jugadores (aldeas), es la fuente (el embalse) y t : E N R + es la función de coste no negativa, es decir, asigna a cada arista un coste (lo que costaría construir 8

cada tubería). E S está definida como el conjunto de todas las aristas entre pares de elementos de S N, así que (S, E S ) es el grafo completo sobre S. E S = {{i, j} / i, j S, i j}. Como los costes de conexión son no negativos, es obvio que un grafo de coste mínimo que conecte todos los jugadores a la fuente es en realidad un árbol, lo que explica el nombre del problema. Dado un problema T = (N,, t) y un juego (N, R) para la coalición principal, el reparto de Bird, β R (T ) se construye mediante la asignación de cada nodo i N al coste de la primera arista sobre el camino único en (N, R) desde el jugador i a la fuente. La computación de este reparto puede ser obtenida a partir del algoritmo de Prim, el cual, empezando desde la raíz fijada, construye un árbol de unión mínima mediante la consecuente adición de aristas con el coste más bajo, sin introducir ciclos (caminos que unen un punto con si mismo). Veamos un ejemplo. En el caso que aparece en la figura 8, queremos conectar tres nodos; A, B y C a una fuente (S) localizada en el punto rojo del dibujo, con el menor coste posible. Figura 8: Ejemplo del algoritmo de Prim. Primero unimos la fuente con su nodo más cercano, que en este ejemplo es B. Después de eso encontramos el nodo más cercano a B o a la fuente, y éste resulta ser A. A está más cerca de B que de C, por tanto conectamos A con B. Para terminar tenemos que conectar C al grafo. Para conseguir el mínimo árbol de unión tenemos que hacerlo a mínimo coste, es decir, conectamos C a su nodo más cercano de entre los que ya están en el grafo. En el 9

ejemplo, el nodo más cercano a C es la fuente, por eso construimos el arco que une C con la fuente. El resultado es el dibujo número 4 de la figura 8, el mínimo árbol de unión de los nodos mostrados en el dibujo número 1. Veamos formalmente como funciona la Regla de Bird: Entrada: un problema de mínima unión (N,, t). Salida: un conjunto de aristas R E N y el correspondiente reparto de Bird β R (T ). 1. Elegir la fuente como raíz 2. Iniciar R =. 3. Encontrar una arista de coste mínimo e = {i, j} E N \R incidente en, o en cualquiera de los vértices presentes en una de las aristas en R, de tal modo que la unión e a R no introduzca un ciclo. 4. Uno de los vértices i, j, digamos j, fue conectado previamente a la fuente y el otro vértice i es un jugador que no estaba todavía conectado a la fuente. Asignamos el coste β R i (T ) = t(e) al agente i. 5. Unimos e a R. 6. Si no están todos los vértices conectados a la raíz en el grafo (N, R), volver al paso 3. El siguiente ejemplo sirve para ilustrar la regla. Ejemplo 3.2 Consideremos el problema de mínima unión T con N = {1, 2, 3} como se presenta en la figura 9, donde los números sobre las aristas representan los costes. Cuando aplicamos el algoritmo a este problema, la primera arista que unimos a R es {, 1} o bien {, 3} (son las aristas de mínimo coste que parten de la fuente). Supongamos que elegimos la primera de ellas, entonces el coste β R 1 (T ) = 10. Posteriormente, siguiendo el algoritmo, añadimos {1, 2} a R, y queda β R 2 (T ) = 6, añadimos {2, 3} a R, y queda β R 3 (T ) = 5. Esto nos lleva al siguiente reparto de costes (10, 6, 5). Por otra parte, si partimos de {, 3}, obtendríamos finalmente el reparto de costes β R (T ) = (6, 5, 10). Los dos árboles de unión a mínimo coste (árboles de mínima unión) están representados en la figura 10. Es decir, en la primera solución tenemos que, según la regla de Bird, el punto 1 ha de pagar 10 unidades, el 2 pagará 6 y el tercero 5. Por el contrario, según la segunda solución y la regla de Bird, los jugadores habrán de pagar 6, 5 y 10 unidades respectivamente. 10

4. Aplicación Figura 9: Un problema de árbol de unión de coste mínimo T. Andalucía es una de las 17 regiones que integran el territorio nacional de España. Está dividida en ocho provincias, cada una de ellas con una capital. El mapa geográfico de esta Comunidad Autónoma, en donde se han señalado con un punto negro la localización de sus diferentes capitales, aparece en la figura 11. Como aplicación del problema de mínima unión presentamos los siguientes casos: 4.1. Caso 1: conexión sin fuente Supongamos que una empresa de comunicaciones desea conectar las ocho capitales de provincia andaluzas mediante un cable de fibra óptica. Las distancias en kilómetros entre todas las capitales vienen dadas en la siguiente tabla: 11

Figura 10: Dos árboles de mínima unión. Almería Cádiz Córdoba Granada Huelva Jaén Málaga Sevilla Almería 0 484 332 166 516 228 219 422 Cádiz 484 0 263 335 219 367 265 125 Córdoba 332 263 0 166 232 104 187 138 Granada 166 335 166 0 350 99 129 256 Huelva 516 219 232 350 0 336 313 94 Jaén 228 367 104 99 336 0 209 242 Málaga 219 265 187 129 313 209 0 219 Sevilla 422 125 138 256 94 242 219 0 Construir el mínimo árbol de unión para este caso y decidir cuanto ha de pagar cada capital de provincia para su construcción. 12

Figura 11: Andalucía. 4.2. Caso 2: conexión con fuente Supongamos ahora que las ocho capitales han de estar conectadas a una fuente de energía situada en Málaga capital. Construir en mínimo árbol de unión para este caso suponiendo que las distancias entre capitales son las dadas en la tabla anterior y decidir cuánto ha de pagar cada capital de provincia, suponiendo que el coste generado en Málaga para construir la fuente es ya suficiente y que esa ciudad no debe pagar nada más. 4.3. Soluciones En el primer caso no tenemos ninguna fuente por lo que la primera arista será la que una las dos capitales más cercanas entre sí, en este caso Sevilla y Huelva. Después uniremos la ciudad más cercana de las seis restantes a una de las que ya tenemos en la red, en este caso Cádiz es la más cercana a una de las dos y está más cerca de Sevilla, luego la siguiente arista será Sevilla-Cádiz. Se procede así con todas las ciudades y el árbol de mínima unión es el formado por: 13

Sevilla, Huelva, 94 Sevilla, Cádiz, 125 Sevilla, Córdoba, 138 Jaén, Córdoba, 104 Jaén, Granada, 99 Málaga, Granada, 129 Granada, Almería, 166 distancia total, 855 Para el caso en el que tenemos una fuente predeterminada, lógicamente el árbol de mínima unión es el mismo y tan solo cambia el orden de aparición de las aristas en el algoritmo: Málaga, Granada, 129 Jaén, Granada, 99 Jaén, Córdoba, 104 Sevilla, Córdoba, 138 Sevilla, Huelva, 94 Sevilla, Cádiz, 125 Granada, Almería, 166 distancia total, 855 El mapa con la conexión de mínimo coste viene descrito en la figura 12 para ambos casos. 4.4. Reparto de costes En el ejemplo uno, supongamos que cada kilómetro de la red ha costado 10000 Euros y que el coste de dicha red ha de correr a cargo de las diferentes capitales. Cuánto debe pagar cada una de ellas en el caso 1? En el ejemplo dos, si suponemos que Málaga ha invertido dinero en la construcción de la planta que abastecerá al resto de capitales y que, por tanto, no debe pagar nada de la construcción de la red, cuánto ha de pagar cada una de las restantes capitales si la red costó 10000 Euros el kilómetro? 14

Figura 12: Árbol de mínima unión. 4.5. Reparto tras la conexión sin fuente En el primer caso, debido a que no tenemos fuente, no podemos aplicar la regla de Bird. Se pueden proponer muchas reglas de reparto. Nosotros aplicamos las siguientes: Reparto proporcional: Dividimos el coste total (8550000 Euros) entre el número de ciudades conectadas por la red (8). Cada ciudad paga lo mismo, (1068750 Euros). Cada ciudad paga la mitad de las conexiones en las que intervenga, por ejemplo, la conexión Sevilla - Huelva correrá a cargo de ambas ciudades por igual. 4.6. Reparto tras la conexión con fuente En el segundo caso si tenemos una fuente predeterminada, Málaga, por lo que podemos aplicar la regla de Bird. Antes veremos como funciona el reparto proporcional y los problemas que origina. Para terminar propondremos un tercer sistema de reparto. 15

Reparto proporcional. El coste total de la red ascendió a 8550000 Euros, por lo que cada una de las siete ciudades conectadas a Málaga tiene que pagar 8550000 = 1221428,6 Euros. Es esto 7 justo? Veamos que pasa si Granada y Jaén deciden hacer la red por su cuenta, es decir, deciden aliarse y construir una red que las conecte solo a ellas. Aplicando el algoritmo del minimum spanning tree como antes, llegaríamos a que la conexión más corta para ambas ciudades y Málaga tiene un total de 129 + 99 kilómetros, es decir, un coste de 2280000 Euros. Si ambas ciudades tienen que someterse al reparto proporcional pagarán entre ambas un total de 2442857.2 Euros. Lógicamente estas ciudades no están de acuerdo con repartir el gasto total proporcionalmente, pues ellas por separado pueden construirse una red que las abastece igualmente por menos dinero. Este es un ejemplo en el que el reparto proporcional no será secundado por todos. Si al hacer un reparto encontramos subgrupos de usuarios que por su cuenta puedan conectarse y pagar menos, ese reparto probablemente será desechado. En Teoría de Juegos los repartos que cumplen esa condición, i.e., aquellos en los que no hay ningún subgrupo que actuando por su cuenta salga ganando, se dice que pertenecen a un conjunto denominado core. Veamos ahora la Regla de Bird. Cada ciudad pagará: Granada 1290000 Euros. Jaén 990000 Euros. Córdoba 1040000 Euros. Sevilla 1380000 Euros. Huelva 940000 Euros. Cádiz 1250000 Euros. Almería 1660000 Euros. (Cada ciudad paga el coste de la arista que la conecta a la red). Se puede comprobar que tras este reparto no hay subgrupo de ciudades que salgan ganando si actúan por su cuenta, es decir, en Teoría de Juegos diríamos que este reparto pertenece al core. Está demostrado que en todo problema de conexión con mínimo coste (minimum spanning tree) la regla de Bird proporciona un reparto que pertenece al core. 16

Para terminar presentaremos otro tipo de repartos utilizado en problemas de conexión. Un reparto en el que cada ciudad pagará la parte proporcional de las aristas que utilice (si una arista es utilizada por varias ciudades, pagan el coste de dicha arista entre todas las que la usen). Veamos como funciona este reparto: La arista Málaga-Granada es utilizada por todas las ciudades, así que dividen su coste (1290000 Euros) entre siete. La arista Granada-Almería solo es utilizada por Almería, luego ella correrá con todos los gastos (1660000 Euros). La arista Granada-Jaén es utilizada por: Jaén, Córdoba, Sevilla, Cádiz y Huelva. Así cada una pagará 990000 5 Euros. La arista Jaén-Córdoba es empleada para conectarse a la fuente por Córdoba, Sevilla, Cádiz y Huelva. Así cada una de estas ciudades pagará 1040000 4 Euros. La conexión Córdoba-Sevilla es utilizada por Sevilla, Cádiz y Huelva, por lo que cada una de ellas pagará 1380000 3 Euros. La conexión Sevilla-Cádiz solo es utilizada por Cádiz, por lo que correrá con todos los gastos de esta arista (1250000 Euros). Por último, la conexión Sevilla-Huelva solo es utilizada por Huelva, por lo que pagará los 940000 Euros de su construcción. Así el gasto de cada una de las ciudades es: Granada: 184285.7 Almería: 184285.7 + 1660000 = 1844285.7 Jaén: 184285.7 + 198000 = 382285.7 Córdoba: 184285.7 + 198000 + 260000 = 642285.7 Sevilla: 184285.7 + 198000 + 260000 + 460000 = 1102285.7 Cádiz: 184285.7 + 198000 + 260000 + 460000 + 1250000 = 2352285.7 Huelva: 184285.7 + 198000 + 260000 + 460000 + 940000 = 2042285.7 Aunque este reparto parece justo no pertenece al core, ya que si Sevilla, Cádiz y Huelva deciden construir una red para ellas tres los costes serían 2190000 (Sevilla-Málaga) + 940000 (Sevilla-Huelva) +1250000 (Sevilla-Cádiz), lo que asciende a un total de 4380000 Euros, inferior a los 5496855 Euros que pagan entre las tres tras el reparto descrito antes. Es decir, este reparto no cumple condiciones de justicia suficientes para que se de y, por tanto, probablemente no se llevará a cabo. 17

5. El problema del pago de un ascensor en una comunidad de vecinos Aún existen edificios en los que no hay ascensor y los vecinos quieren ponerlo. En estos casos surge la polémica de cómo pagar el ascensor. Como vimos antes el reparto proporcional puede dar lugar a situaciones en las que un grupo de usuarios decida actuar por su cuenta sin contar con los demás, ya que aunque el gasto total se verá incrementado el suyo en particular va a ser menor. Veamos el siguiente caso: En un bloque de cinco plantas, con un piso en cada planta, se quiere instalar un ascensor. La empresa encargada de la instalación del ascensor tiene un precio de instalación fijo según el número de plantas. Debido a problemas técnicos el coste de la conexión entre dos plantas incrementa según su altura, es decir, costará más construir el hueco de ascensor entre la sexta y la séptima planta que entre la primera y la segunda. Los precios fijos según la altura del ascensor vienen reflejados en la siguiente tabla: N o de Plantas Coste del ascensor 1 10000 2 21000 3 33000 4 46000 5 60000 El esquema del ascensor es el siguiente: En la comunidad de vecinos se propuso pagar el ascensor entre todos los vecinos a partes iguales, es decir, 10800 euros cada uno. Es este reparto de costes justo? Cómo repartirías los gastos del ascensor entre todos los vecinos? 5.1. Reparto de costes Veremos las tres reglas de reparto de antes aplicadas a la nueva situación. 1. El reparto proporcional dice que cada vecino ha de pagar 10800 Euros por el ascensor. Pero, es esto justo? Si el vecino del primer piso quisiera construir un ascensor para él solo tendría que pagar menos (10000 Euros), por lo que no querrá formar parte de la construcción conjunta del ascensor. 18

Figura 13: Esquema del ascensor. 2. La regla de Bird, que como sabemos es un reparto tras el que ningún subgrupo de vecinos podrá construir un ascensor para ellos por menos dinero, en este caso dice que: El vecino del primero paga 10000, el del segundo 11000, el del tercero 12000, el del cuarto 13000 y el del quinto 14000. Este reparto es un elemento del core, ningún grupo de vecinos podrá construir un ascensor sin contar con los demás y a menor coste. 3. Se propone la siguiente regla de reparto: cada vecino pagará por la cantidad de tramos que el ascensor ha de recorrer hasta llegar a su planta, es decir, el vecino del tercer piso pagará por el primer tramo, el segundo y el tercero. En este caso lo que paga cada vecino es: El primer tramo cuesta 10000 Euros y será pagado entre los cinco vecinos, pues lo usan todos ( 10000 = 2000 Euros). 5 Pagan el segundo tramo los vecinos desde el segundo hasta el quinto, ( 11000 = 2750 4 Euros). El tercer tramo tiene un coste de 12000, que pagan los tres últimos vecinos, ( 12000 3 = 4000 Euros). El tramo entre el tercer y el cuarto piso cuesta 13000 es pagado a medias entre los vecinos del cuarto y el quito piso, ( 13000 2 = 6500 Euros). El tramo entre el cuarto y el quinto piso es pagado por el vecino del quinto, el único que lo utiliza, ( 14000 1 = 14000 Euros). 19

Por tanto, el vector de pagos es: (2000, 4750, 8750, 15250, 29250), donde el vecino del i-ésimo piso pagará la componente i-ésima del vector anterior. Aunque es un reparto que pertenece al core, parece exagerado que el vecino del quinto piso pague quince veces más que el del primero. Qué opinas sobre la justicia al repartir costes? 20