ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA LAUREANO GONZALEZ VEGA Y CECILIA VALERO REVENGA Departamento de Matemáticas, Estadística ycomputación Universidad de Cantabria

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Índice 1 Espacios Vectoriales 5 1.1 Definición de Espacio Vectorial. Primeros ejemplos....... 5 1.2 Subespacios Vectoriales. Combinaciones lineales.... 7 1.3 Independencia lineal. Bases....... 10 1.4 Suma e intersección de subespacios. Suma directa... 15 1.5 Ejercicios Capítulo 1 Espacios Vectoriales... 20 2 Aplicaciones Lineales y Matrices 27 2.1 Definición de Aplicación Lineal. Ejemplos...... 27 2.2 Núcleo e imagen. Fórmula de las dimensiones.... 29 2.3 Tipos de Aplicaciones Lineales. Isomorfismos..... 32 2.4 Matriz asociada a una aplicación lineal.... 35 2.5 Cambios de base ymatrices equivalentes... 39 2.5.1 Cambios de Base.... 40 2.5.2 M = QMP... 42 2.6 Ejercicios Capítulo 2 Aplicaciones Lineales...... 48 3 La Teoría del Endomorfismo. 61 3.1 Autovalores yautovectores... 61 3.2 El polinomio mínimo de un endomorfismo...... 68 3.3 Subespacios invariantes..... 72 3.4 Endomorfismos nilpotentes. Forma canónica de Jordan.... 79 3.5 Cálculo aproximado de autovalores...... 83 3.6 Ejercicios Capítulo 3 Teoría del Endomorfismo.... 88 4 Geometría Euclídea 103 4.1 Producto escalar yortogonalidad...103 4.2 Proyección ortogonal......109 4.3 Aplicaciones......113 4.3.1 Aproximación por mínimos cuadrados..... 113 4.3.2 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales sobredimensionados.... 115 4.4 Isometrías en espacios vectoriales euclídeos...... 115 4.4.1 Definición yprimeras propiedades...115 4.4.2 Transformaciones ortogonales en un espacio de dimensión2...117 3

4 ÍNDICE 4.4.3 Transformaciones ortogonales en un espacio de dimensión n...119 4.5 Espacio Afín...126 4.5.1 Sistemas de referencia ycambio de sistema de referencia...127 4.5.2 Aplicaciones Afines...... 129 4.6 Estudio de algunas aplicaciones afines particulares...132 4.6.1 Proyecciones...132 4.6.2 Simetrías...134 4.6.3 Traslaciones...135 4.6.4 Homotecias...136 4.6.5 Giros en X = R 2...138 4.7 Cónicas ycuádricas...... 140 4.7.1 Cónicas.... 140 4.7.2 Cuádricas...146 4.8 Ejercicios Capítulo 4 Tema Geometría Euclídea...149

Capítulo 1 Espacios Vectoriales 1.1 Definición de Espacio Vectorial. Primeros ejemplos. En todo lo que sigue K denotará uno de los cuerpos Q, R ó C. Definición 1.1.1 Sea K un cuerpo y V un conjunto no vacío. Se dice que V es un K espacio vectorial si existen dos operaciones +:V V V : K V V verificando las siguientes propiedades (siendo u, v, w elementos cualesquiera de V y a, b elementos cualesquiera de K; 1 denota el elemento neutro del producto en K): (u + v)+w = u +(v + w); u + v = v + u; Existe un elemento 0 en V tal que u + 0 = u Para cada u en V existe w en V tal que u + w = 0; a (u + v) =a u + a v; (a + b) u = a u + b u; a (b u) =(ab) u; 1 u = u. A los elementos de V les denominaremos vectores ya los elementos de K escalares. Proposición 1.1.1 Si V es un K espacio vectorial entonces se verifican las siguientes propiedades (siendo v un elemento cualquiera de V y a un elemento cualquiera de K): 0 v = 0; a 0 = 0; ( a) v = a ( v) = (a v); Si a v = 0 entonces a =0ó v = 0. Ejemplo 1.1.1 En las lineas siguientes aparecen ejemplos de espacios vectoriales que serán utilizados con frecuencia. Se incluyen asimismo algunos ejemplos de manipulación de los elementos (vectores) de algunos de estos espacios en Maple. 5

6 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES El conjunto R 2 de las parejas de números reales con las operaciones: (x 1,x 2 )+(y 1,y 2 )=(x 1 + y 1,x 2 + y 2 ) a (x 1,x 2 )=(ax 1,ax 2 ) es un R espacio vectorial. Si K es un cuerpo cualquiera entonces el conjunto K n (las n-uplas con coordenadas en K) con las operaciones: (x 1,...,x n )+(y 1,...,y n )=(x 1 + y 1,...,x n + y n ) a (x 1,...,x n )=(ax 1,...,ax n ) es un K espacio vectorial. > v_1:=vector(5,[2,-1/2,1,2/3,0]);v_2:=vector(5,[2/5,-1,0,1,1]); [ v 1 := 2, 1 2, 1, 2 ] 3, 0 [ ] 2 v 2 :=, 1, 0, 1, 1 5 > v_3:=evalm(v_1+v_2);v_4:=evalm((1/3)*v_1+(2/5)*v_2); [ 12 v 3 := 5, 3 2, 1, 5 ] 3, 1 [ 62 v 4 := 75, 17 30, 1 3, 28 45, 2 ] 5 > v_5:=vector(5,[v_1[2],v_2[5],v_3[4],v_4[1],v_4[3]]); [ 1 v 5 := 2, 1, 5 3, 62 75, 1 ] 3 Si K es un cuerpo cualquiera entonces el conjunto M n,m (K) de las matrices con n filas y m columnas yentradas en K es un K espacio vectorial. > A_1:=matrix(2,3,[1,2,3,4,5,6]);A_2:=matrix(2,3,[6,5,4,3,2,1]); A 1 := 1 2 3 4 5 6 A 2 := 6 5 4 3 2 1 > A_3:=evalm(A_1+A_2);A_4:=evalm((1/2)*A_1+(2/3)*A_2); A 3 := 7 7 7 7 7 7 9 13 25 A 4 := 2 3 6 23 11 4 6 3 Si K es un cuerpo cualquiera entonces el conjunto K[X] de los polinomios en la variable X ycoeficientes en K es un K espacio vectorial. También es un K espacio vectorial el

1.2. SUBESPACIOS VECTORIALES. COMBINACIONES LINEALES. 7 conjunto K n [x] cuyos elementos son los polinomios en K[x] cuyo grado es menor o igual que n. > P_1:=2*x**3-5*x**2+x-1/2;P_2:=4*x**5-5/3*x**3 +x**2-3; P 1 := 2 x 3 5 x 2 + x 1 2 P 2 := 4 x 5 5 3 x3 + x 2 3 > P_3:=P_1+P_2;P_4:=5*P_1-(2/3)*P_2; P 3 := 1 3 x3 4 x 2 + x 7 2 +4x5 P 4 := 100 9 x3 77 3 x2 +5x 1 2 8 3 x5 Sea V el conjunto de todas las aplicaciones de R en R. Si f y g son dos elementos cualesquiera de V y α un número real cualquiera, se definen f + g y α f de la siguiente forma: (f + g)(x) =f(x)+g(x) y (α f)(x) =α f(x) donde x denota un número real arbitrario. El conjunto V con las operaciones suma yproducto por escalares así definidas es un R-espacio vectorial, llamado R-espacio vectorial de las funciones reales de variable real. 1.2 Subespacios Vectoriales. Combinaciones lineales. Definición 1.2.1 Se dice que un subconjunto no vacío U de un K espacio vectorial V es un subespacio vectorial si U con las operaciones de V es también un K espacio vectorial. Los subespacios vectoriales admiten la siguiente caracterización. Proposición 1.2.1 Un subconjunto no vacío U de un K espacio vectorial V es un subespacio vectorial si y sólo si para todo a 1 y a 2 en K y para todo u 1 y u 2 en U se tiene: a 1 u 1 + a 2 u 2 U. Ejemplo 1.2.1 Se muestran a continuación algunos ejemplos de subconjuntos de un espacio vectorial que son (o no) subespacios vectoriales. El conjunto de las matrices diagonales con 5 filas y5 columnas es un subespacio vectorial de M 5,5 (R) como R espacio vectorial. El conjunto de los vectores (x, y, z) enr 3 verificando que x+y+z = 1 no es un subespacio vectorial de R 3 como R espacio vectorial. El conjunto de los vectores (x, y, z) enr 3 verificando que x + y + z = 0 es un subespacio vectorial de R 3 como R espacio vectorial.

8 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES El conjunto de los polinomios en K[x] de grado menor o igual que 3 es un subespacio vectorial de K[x] como K espacio vectorial. El conjunto de los polinomios en K[x] de grado igual a 3 no es un subespacio vectorial de K[x] como K espacio vectorial. El conjunto U = {(x, y, z) Q 3 : x<0} no es un subespacio vectorial del Q-espacio vectorial Q 3. En el R-espacio vectorial V = {f: R R : f es aplicación}, el conjunto W formado por aquellas aplicaciones de V que verifican 2f(0) = f(1) es un subespacio vectorial de V. Con el fin de construir de forma sencilla subespacios vectoriales se introduce a continuación la definición de combinación lineal. Esto permitirá establecer la definición de subespacio generado por una familia de vectores. Definición 1.2.2 Sea V un K espacio vectorial y u, u 1,...,u m vectores de V. Se dice que u es una combinación lineal de los vectores u 1,...,u m si existen a 1,...,a m en K tal que u = a 1 u 1 + a 1 u 2 +...+ a m u m Es una propiedad inmediata que si u es combinación lineal de los vectores u 1,...,u m, ycada uno de éstos es combinación lineal de los vectores w 1,...,w l, entonces u es combinación linel de los vectores w 1,...,w l. Definición 1.2.3 Sea V un K espacio vectorial y S = {u 1,...,u m } una familia de vectores de V. Se define S como el subconjunto de V formado por todos aquellos vectores de V que son combinación lineal de los vectores u 1,...,u m. Puesto que la combinación lineal de dos elementos en S es también una combinación lineal de los vectores de S, de acuerdo con la proposición 1.2.1, se tiene que S es un subespacio vectorial de V. Se tiene asimismo que S coincide con la intersección de todos los subespacios de V que contienen a S yque S es el subespacio vectorial de V más pequeño de todos aquellos que contienen a S: siu es un subespacio de V tal que S U entonces S U. Se muestra a continuacion como usar Maple para comprobar si un vector pertenece o no al subespacio generado por una familia de vectores.

1.2. SUBESPACIOS VECTORIALES. COMBINACIONES LINEALES. 9 Consideremos el subespacio generado por los vectores v 1, v 2, v 3yv4. > v_1:=vector([1,0,-1,1,0]):v_2:=vector([1,1,0,1,0]): > v_3:=vector([1,1,1,1,1]):v_4:=vector([0,-1,-1,0,0]): A continuacion se muestra que el vector w pertenece al subespacio generado por los vectores v 1, v 2, v 3yv4. > w:=vector([3,2,0,3,1]): > eqn:=evalm(w-alpha*v_1-beta*v_2-delta*v_3-tau *v_4); eqn := [3 α β δ, 2 β δ + τ, α δ + τ, 3 α β δ, 1 δ] > solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5]}, {alpha,beta,delta,tau}); {β =1+τ, α =1 τ, τ = τ, δ =1} A continuacion se muestra que el vector u no pertenece al subespacio generado por los vectores v 1, v 2, v 3yv4. > u:=vector([1,0,0,0,1]): > eqn:=evalm(u-alpha*v_1-beta*v_2-delta*v_3-tau *v_4); eqn := [1 α β δ, β δ + τ, α δ + τ, α β δ, 1 δ] > solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5]}, {alpha,beta,delta,tau}); Notar que al no haber ningun resultado el sistema considerado no posee solucion. Todos los espacios vectoriales que vamos a considerar a continuación van a tener en común la propiedad de estar generados por un número finito de vectores: diremos que S = {u 1,...,u m } es un sistema de generadores de un K espacio vectorial V si V = S. A los espacios vectoriales que verifiquen esta propiedad se les denominará espacios vectoriales de tipo finito. Los K-espacios vectoriales K n, M n,m (K) yk n [x] son de tipo finito. K[x] como K espacio vectorial no es de tipo finito. No es de tipo finito el R-espacio vectorial V = {f: R R : f es aplicación}. Salvo que se indique explícitamente lo contrario, en todo lo que sigue, espacio vectorial denotará espacio vectorial de tipo finito. La noción de sistema generador sirve para motivar la introducción del concepto de vectores linealmente independientes, objeto de la siguiente sección. Es fácil comprobar si consideramos V = R 2 como R espacio vectorial, la familia S = {(1, 0), (1, 1), (1, 1)} es un sistema de generadores de V.Así se tiene, por ejemplo, que el vector (0, 1) puede expresarse como combinación lineal de los vectores en S en la siguiente forma: (0, 1)=1 (1, 0) + ( 1) (1, 1)+0 (1, 1) Pero también ( (0, 1)=0 (1, 0) + 1 ) (1, 1) + 1 (1, 1) 2 2 La búsqueda de la unicidad, i.e. una única forma de representación, en la escritura de un vector como combinación lineal de aquellos que forman un sistema de generadores es lo que conduce, primero a la noción de vectores linealmente independientes y, segundo, al concepto de base.

10 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.3 Independencia lineal. Bases. Definición 1.3.1 Sea V un K espacio vectorial y u 1,...,u m vectores de V. Se dice que los vectores u 1,...,u m son linealmente independientes (o que la familia {u 1,...,u m } es libre)si se verifica la siguiente condición: α 1 u 1 + α 2 u 2 +...+ α m u m = 0 = α 1 =0,α 2 =0,...,α m =0 En otras palabras, los vectores u 1,...,u m son linealmente independientes si ysólo si la única forma de escribir el vector 0 como combinación lineal de los vectores u 1,...,u m es aquélla en la que todos los escalares involucrados son iguales a 0. Ejemplo 1.3.1 Así, los vectores (1, 1) y(1, 1) de R 2 como R espacio vectorial son linealmente independientes puesto que: α 1 (1, 1) + α 2 (1, 1)=(0, 0) = α 1 + α 2 =0 α 1 α 2 =0 = α 1 =0,α 2 =0 En cambio, ydentro del mismo espacio vectorial, los vectores (1, 1), (1, 1) y(1, 0) no son linealmente independientes puesto que: (0, 0) = 0(1, 1) + 0(1, 1) + 0(1, 0) = 1 2 (1, 1) + 1 (1, 1) + ( 1)(1, 0) 2 En el R-espacio vectorial R 3 [X] de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 3, los vectores 1,X,X 3 son linealmente independientes. También son linealmente independientes los vectores 1 X y X 2, yson linealmente dependientes los vectores 1 X, X + X 2, 2, 3X 2. Esta última afirmación queda justificada mediante la siguiente igualdad. 3X 2 3(X 2 + X) 3(1 X) 3 2 2=0 En el R-espacio vectorial V = {f: R R : f es aplicación} las funciones f(x) = cos(x),g(x) = sen(x),h(x) = x son linealmente independientes. Supongamos que αf + βg + γh es la aplicación nula. Por tanto, αcos(x)+ βsen(x)+ γx = 0 para todo número real x. En particular, si x = 0, se deduce que α = 0 yse tiene βsen(x)+ γx = 0 para todo número real x. Si se hace x = π, se obtiene γ = 0, yen consecuencia Para x = π, es obligado que β sea 0. 2 βsen(x) = 0 para todo número real x.

1.3. INDEPENDENCIA LINEAL. BASES. 11 En el Q-espacio vectorial R la familia {1, 2} es libre. Si en la combinación α 1+β 2 =0 con α, β Q se tuviese β 0, 2 podría escribirse como cociente de dos números racionales, ypor tanto sería racional. Al ser falsa esta conclusión, debe ser β = 0, y entonces α =0. Si R se considera como R espacio vectorial, es inmediato que la familia {1, 2} es ligada puesto que se puede escribir ( 2) 1+1 2 =0. Una situación análoga se tiene para la familia {1, 2, 3}. Si los vectores u 1,...,u m no son linealmente independientes diremos que son linealmente dependientes o que {u 1,...,u m } es una familia ligada. La siguiente proposición recoge un conjunto de propiedades de la independencia lineal que seran muyútiles en todo lo que sigue. Proposición 1.3.1 Sea V un K espacio vectorial y S = {u 1,...,u m } una familia de vectores en V. 1. Si 0 S entonces S es una familia ligada. 2. Si en S hay dos vectores repetidos entonces S es una familia ligada. 3. Si S es una familia libre entonces, para todo i, S {u i } es una familia libre. 4. Si S es una familia ligada y w es un vector cualquiera de V entonces S {w} es una familia ligada. 5. S es una familia ligada si y sólo si existe un vector u i en S que es combinación lineal de los vectores en S {u i }. 6. Si S es una familia libre y w S entonces S {w} es una familia libre. 7. u 1 y u 2 son linealmente dependientes si y sólo si existe α K tal que u 1 = αu 2 El siguiente teorema muestra como, en los espacios vectoriales de tipo finito, las familias libres tienen a lo sumo tantos elementos como el número de vectores en cualquier sistema de generadores del espacio vectorial considerado. Teorema 1.3.1 Sea V un K espacio vectorial y S = {u 1,...,u n } una familia de vectores en V tal que V = S. Si T = {w 1,...,w m } es una familia libre de vectores en V entonces m n. Aplicando este teorema es inmediato deducir que: En K n, como K-espacio vectorial, las familias libres de vectores tienen a lo sumo n elementos. En M n,m (K), como K-espacio vectorial, las familias libres de vectores tienen a lo sumo nm elementos. En K n [x], como K-espacio vectorial, las familias libres de vectores tienen a lo sumo n +1 elementos.

12 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES En {(x, y, z) R 3 : x+y+z =0}, como R-espacio vectorial, las familias libres de vectores tienen a lo sumo 3 elementos. En {A M n,n (K) :A es simétrica}, como K-espacio vectorial, las familias libres de vectores tienen a lo sumo n(n + 1)/2 elementos. La noción fundamental de esta sección es el concepto de base. De acuerdo con lo ya reseñado al final de la sección anterior, el principal defecto de los sistemas generadores se encuentra en la falta de unicidad a la hora de representar un vector como combinación lineal de aquéllos en el sistema generador. Este problema se resuelve exigiendo la independencia lineal a los vectores en el sistema generador. Definición 1.3.2 Sea V un K espacio vectorial y S = {u 1,...,u n } una familia de vectores en V. Se dice que S es una base de V si S es una familia libre y S es un sistema de generadores de V. Proposición 1.3.2 Sea V un K espacio vectorial y S = {u 1,...,u n } una familia de vectores en V. La familia S es una base de V si y sólo si todo vector de V se escribe, de forma única, como combinación lineal de los vectores de S. Así, para los ejemplos usuales de espacios vectoriales que hemos estado manejando hasta ahora, tenemos las siguientes bases canónicas : En K n, como K-espacio vectorial: B = {e 1,...,e n } = {(1, 0,...,0), (0, 1, 0,...,0),...,(0,...,0, 1, 0,...,0),...,(0, 0,...,0, 1)} En M n,m (K), como K-espacio vectorial: 0 0 0... B = {A 11,...,A nm } donde A ij = 0 1 0... 0 0 0 En K n [x], como K-espacio vectorial: B = {1,x,x 2,...,x n 1,x n } A continuación se muestran, entre otras propiedades, que todo espacio vectorial de tipo finito tiene, al menos, una base, que dos bases distintas de un mismo espacio vectorial tienen siempre el mismo número de elementos (lo cual conduce al concepto de dimensión) yque toda familia libre de vectores puede extenderse a una base. Teorema 1.3.2 Sea V un K espacio vectorial de tipo finito y S = {u 1,...,u m } un sistema de generadores de V. Entonces existe un subconjunto T de S tal que T es una base de V.

1.3. INDEPENDENCIA LINEAL. BASES. 13 La siguiente sesion Maple muestra cómo calcular una base a partir de un sistema de generadores para distintos subespacios de R 5. Consideremos los vectores v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6yv7. > v_1:=vector([1,0,-1,1,0]):v_2:=vector([1,1,-1,1,0]): > v_3:=vector([1,1,1,1,1]):v_4:=vector([1,0,1,0,1]): > v_5:=vector([1,0,0,1,0]):v_6:=vector([1,-1,-1,-1,-1]): > v_7:=vector([0,0,1,0,1]): Calculo de una base del subespacio generado por v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6yv7. > linalg[basis]({v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,v_7 }); {v 1, v 2, v 3, v 5, v 4 } Calculo de una base del subespacio generado por v 1, v 2, v 3, v 5, v 6yv7. > linalg[basis]({v_1,v_2,v_3,v_5,v_6,v_7}); {v 1, v 2, v 3, v 5, v 6 } Calculo de una base del subespacio generado por v 3, v 4, v 5, v 6yv7. > linalg[basis]({v_3,v_4,v_5,v_6,v_7}); {v 3, v 5, v 4, v 6 } Calculo de una base del subespacio generado por v 3, v 4, v 6yv7. > linalg[basis]({v_3,v_4,v_6,v_7}); {v 3, v 4, v 6 } Corolario 1.3.1 Todo espacio vectorial de tipo finito tiene una base. A continuacion se muestra una sesion Maple donde se determina una base del espacio vectorial V = {p(x) R 3 [x] :p(1)=0} > P_1:=x-1:P_2:=(x-1)**2:P_3:=(x-1)**3: Los vectores P 1, P 2 y P 3 son linealmente independientes. > Ecuacion:= sort(collect(alpha*p_1+beta*p_2+delta*p_3,x),x)=0; Ecuacion := δx 3 +(β 3 δ) x 2 +( 2 β + α +3δ) x α δ + β =0 > Ecuaciones:= {coeffs(expand(alpha*p_1+beta*p_2+delta*p_3),x)}; Ecuaciones := { α + β δ, α 2 β +3δ, β 3 δ, δ} > solve(ecuaciones,{alpha,beta,delta}); {β =0,α=0,δ=0} Los vectores P 1, P 2yP3 son un sistema de generadores. > P:=a*x**3+b*x**2+c*x+d; P := ax 3 + bx 2 + cx+ d

14 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES Notar que a + b + c + d =0. > Ecuaciones:= subs(d=-a-b-c,{coeffs(expand(alpha*p_1 > +beta*p_2+delta*p_3-p),x)}); Ecuaciones := {δ a, α 2 β +3δ c, β 3 δ b, α + β δ + a + b + c} > Solucion:=solve(Ecuaciones,{alpha,beta,delta}); Solucion := {α =3a +2b + c, β =3a + b, δ = a} > subs(op(sol),[op(ecuaciones)]); [0, 0, 0, 0] Sea V un K espacio vectorial y S 1 = {u 1,...,u m } y S 2 = {w 1,...,w n } bases de V. Aplicando el teorema 1.3.1 a S 1 como sistema generador de V yas 2 como familia libre se obtiene que n m. Recíprocamente, intercambiando los papeles de S 1 y S 2, obtenemos m n. Hemos demostrado el siguiente teorema que motiva la definición de dimensión de un espacio vectorial de tipo finito. Teorema 1.3.3 En un K-espacio vectorial de tipo finito V todas las bases poseen el mismo número de elementos. Se define, por ello, la dimensión de V, dim(v ), como el número de elementos en una base cualquiera de V. Así, como K espacios vectoriales, se tiene que dim(k n ) = n, dim(m n,m (K)) = nm y dim(k n [x]) = n +1. La siguiente proposición, de nuevo consecuencia del teorema 1.3.1, muestra cómo el conocimiento de la dimensión de un espacio vectorial simplifica la caracterización de sus bases. Proposición 1.3.3 Sea V un K-espacio vectorial de tipo finito y dim(v )=n. 1. Si V = {u 1,...,u m } entonces n m. 2. Si u 1,...,u m son linealmente independientes entonces m n. 3. Si V = {u 1,...,u n } entonces {u 1,...,u n } es una base de V. 4. Si u 1,...,u n son linealmente independientes entonces {u 1,...,u n } es una base de V. De acuerdo con los apartados 2 y3 de la proposición anterior si un conjunto de m vectores de V linealmente independientes no es una base de V entonces m<dim(v ). El Teorema de la Base Incompleta muestra cómo esta familia de vectores puede extenderse a una base de V. Teorema 1.3.4 (Teorema de la Base Incompleta) Sea V un K-espacio vectorial y B = {v 1,...,v n } una base de V. Si w 1,...,w m son vectores de V linealmente independientes entonces existen n m vectores, v i1...,v in m,enb tal que la familia {w 1,...,w m,v i1...,v in m } es una base de V. Se muestra a continuación una sesión Maple donde a partir de dos vectores linealmente independientes yde una base en R 5 se construye una base que tiene a estos dos vectores como sus dos primeros elementos.

1.4. SUMA E INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA 15 Los vectores v 1 y v 2 son linealmente independientes. > v_1:=vector([1,0,-1,1,0]):v_2:=vector([1,1,-1,1,0]): > linalg[basis]({v_1,v_2}); {v 1, v 2 } Los vectores w 1, w 2, w 3, w 4, yw 5 forman base de R 5. > w_1:=vector([0,0,1,0,1]):w_2:=vector([1,1,1,0,1]): > w_3:=vector([1,0,1,0,1]):w_4:=vector([1,-1,2,1,0]): > w_5:=vector([1,-1,-1,-1,-1]): > linalg[basis]({w_1,w_2,w_3,w_4,w_5}); {w 3, w 5, w 1, w 2, w 4 } Los vectores v 1, v 2 y w 1 son linealmente independientes. > linalg[basis]({v_1,v_2,w_1}); {w 1, v 1, v 2 } Los vectores v 1, v 2, w 1yw2 son linealmente independientes. > linalg[basis]({v_1,v_2,w_1,w_2}); {w 1, v 1, v 2, w 2 } Los vectores v 1, v 2, w 1, w 2yw3 son linealmente dependientes. > linalg[basis]({v_1,v_2,w_1,w_2,w_3}); {w 3, w 1, v 1, v 2 } Los vectores v 1, v 2, w 1, w 2yw4 son linealmente independientes. > linalg[basis]({v_1,v_2,w_1,w_2,w_4}); {w 1, v 1, v 2, w 2, w 4 } Los vectores v 1, v 2, w 1, w 2yw4 son base de R 5. Es una consecuencia obvia que los subespacio de un espacio vectorial de tipo finito también son de tipo finito. Además, como consecuencia inmediata del Teorema de la Base Incompleta (teorema 1.3.4) se tiene que la dimensión de un subespacio siempre es menor o igual que la dimensión del espacio vectorial en el que se encuentra. Todo esto se recoge en la siguiente proposición. Proposición 1.3.4 Sea V un K-espacio vectorial y U un subespacio vectorial de V. Entonces U es un K espacio vectorial de tipo finito y, además, dim(u) dim(v ). Sidim(U) = dim(v ), entonces U = V. 1.4 Suma e intersección de subespacios. Suma directa Si V es un K espacio vectorial y U 1 y U 2 son subespacios vectoriales de V es muyfácil demostrar, usando la proposición 1.2.1, que la intersección de U 1 y U 2, U 1 U 2 es un subespacio vectorial de V. Análogamente se obtiene el mismo resultado para la intersección de una familia cualquiera de subespacios de V. La siguiente sesión Maple muestra cómo calcular la interseccion de dos subespacios de R 5 presentados por sus respectivos sistemas de generadores.

16 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el subespacio U 1 generado por los vectores v 1, v 2, v 3yv4. > v_1:=vector([1,0,-1,1,0]):v_2:=vector([1,1,-1,1,0]): > v_3:=vector([1,1,1,1,1]):v_4:=vector([1,0,1,0,1]): Consideremos el subespacio U 2 generado por los vectores w 1, w 2yw3. > w_1:=vector([1,0,0,1,0]):w_2:=vector([1,-1,-1,-1,-1]): > w_3:=vector([0,0,1,0,1]): Todo vector en U 1 es una combinacion lineal de v 1, v 2, v 3yv4. > Vector_en_U_1:=evalm(alpha*v_1+beta*v_2+delta*v_3+tau*v_4); Vector en U 1 := [α + β + δ + τ, β + δ, α β + δ + τ, α + β + δ, δ + τ] Todo vector en U 2 es una combinacion lineal de w 1, w 2yw3. > Vector_en_U_2:=evalm(a*w_1+b*w_2+c*w_3); Vector en U 2 := [a + b, b, b + c, a b, b + c] Las ecuaciones siguientes dan las condiciones de pertenencia a la interseccion de U 1 y U 2. > eqn:=evalm(vector_en_u_1-vector_en_u_2); eqn := [α+β +δ +τ a b, β +δ +b, α β +δ +τ +b c, α+β +δ a+b, δ +τ +b c] > Solc:=solve({eqn[1],eqn[2],eqn[3],eqn[4],eqn[5]},{alpha, > beta,delta,tau,a,b,c}); Solc := {β = δ b, τ =2b, a = δ + b, b = b, δ = δ, c = δ +3b, α = δ + b} La sustitucion de las soluciones obtenidas en las ecuaciones parametricas de U 1 o U 2, proporciona las ecuaciones parametricas del subespacio interseccion de U 1 y U 2. > Vector_en_U_1_y_U_2:=evalm(subs(Solc, > alpha*v_1+beta*v_2+delta*v_3+tau*v_4)); Vector en U 1 y U 2 := [δ +2b, b, δ +2b, δ, δ +2b] > Vector_en_U_2_y_U_1:=evalm(subs(Solc,a*w_1 +b*w_2+c*w_3)); Vector en U 2 y U 1 := [δ +2b, b, δ +2b, δ, δ +2b] La interseccion de los subespacios U 1yU2 esta generada por los vectores q 1yq2 determinados a partir de las ecuaciones parametricas del subespacio interseccion de U 1 yu2. > q_1:=map(coeff,vector_en_u_2_y_u_1,delta,1); q 1 := [1, 0, 1, 1, 1] > q_2:=map(coeff,vector_en_u_2_y_u_1,b,1); q 2 := [2, 1, 2, 0, 2] Sin embargo, el mismo resultado, para la union de subespacios es claramente falso como muestra el siguiente ejemplo en R 2 como R espacio vectorial: U 1 = {(1, 1)}, U 2 = {(1, 1)} (1, 1) U 1 U 2, (1, 1) U 1 U 2, (2, 0) U 1 U 2 Este comportamiento de la unión de subespacios es lo que motiva la definición del subespacio suma de U 1 y U 2 como U 1 + U 2 = U 1 U 2 esto es, como el más pequeño de los subespacios de V que contienen a U 1 U 2.SiU 1 y U 2 son de tipo finito se tiene, de acuerdo con la definición de subespacio suma, que: U 1 = {w 1,...,w s }, U 2 = {v 1,...,v t } = U 1 + U 2 = {w 1,...,w m,v 1,...,v t }

1.4. SUMA E INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA 17 A continuación se muestra la razón por la que a este nuevo subespacio se le denomina subespacio suma: todo vector en U 1 + U 2 es suma de un vector en U 1 yde otro vector en U 2. Proposición 1.4.1 Sea V un K-espacio vectorial y U 1 y U 2 subespacios vectoriales de V. Entonces: U 1 + U 2 = {v 1 + v 2 : v 1 U 1,v 2 U 2 } Análogamente para s subespacios de V se tiene: yes muysencillo demostrar: U 1 + U 2 +...+ U s = U 1 U 2... U s U 1 + U 2 +...+ U s = {v 1 + v 2 +...+ v s : v 1 U 1,v 2 U 2...,v s U s } De la definición de U 1 + U 2 se deduce claramente que siempre se verifica la siguiente desigualdad dim(u 1 + U 2 ) dim(u 1 ) + dim(u 2 ) ya que la unión de dos bases B 1 y B 2 de U 1 y U 2 nos proporciona, a lo sumo, un sistema de generadores de U 1 + U 2. Puesto que se verifica la equivalencia Hemos demostrado: B 1 B 2 base de U 1 + U 2 U 1 U 2 = {0} dim(u 1 + U 2 ) = dim(u 1 ) + dim(u 2 ) U 1 U 2 = {0} equivalencia que motiva la definición de suma directa de dos subespacios yla introducción de la fórmula de Grasmann que proporciona la relación existente entre las dimensiones de los subespacios U 1, U 2, U 1 + U 2 y U 1 U 2. Definición 1.4.1 Sea V un K-espacio vectorial y U 1 y U 2 subespacios vectoriales de V. Se dice que la suma de U 1 y U 2, U 1 + U 2, es directa si U 1 U 2 = {0}. En tal caso escribiremos U 1 + U 2 = U 1 U 2 Teorema 1.4.1 (Fórmula de Grasmann) Sea V un K-espacio vectorial y U 1 y U 2 subespacios vectoriales de V. Entonces: dim(u 1 + U 2 ) = dim(u 1 ) + dim(u 2 ) dim(u 1 U 2 ) Ya hemos mostrado que la suma de dos subespacios es directa si ysólo si la unión de las bases de los subespacios es una base del subespacio. La siguiente proposición muestra como refinar el resultado de la proposición 1.4.1 que describía de forma precisa los elementos del subespacio U 1 + U 2. Proposición 1.4.2 Sea V un K-espacio vectorial y U 1 y U 2 subespacios vectoriales de V. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

18 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES 1. La suma de U 1 y U 2 es directa. 2. La unión de dos bases cualesquiera de U 1 y U 2 es una base de U 1 + U 2. 3. Todo vector de U 1 + U 2 se escribe, de forma única, como suma de un vector en U 1 yde un vector en U 2. Se finaliza el capítulo generalizando todo lo anterior al caso de la suma de más de dos subespacios. Para ello se nota en primer lugar que si se quieren mantener las propiedades 2 y3 de la proposición anterior no se puede definir la suma directa de s subespacios mediante condiciones sobre sus intersecciones. Si en R 3, como R espacio vectorial, se consideran los subespacios U 1 = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)}, U 2 = {(0, 1, 0)}, U 3 = {(1, 1, 0)}, se tiene U 1 U 2 U 3 = U 1 U 2 = U 2 U 3 = U 1 U 3 = {0} pero ni la unión de sus bases no es una base de U 1 + U 2 + U 3, ni todo vector de U 1 + U 2 + U 3 se escribe de forma única como suma de un vector en U 1, de un vector en U 2 yde un vector en U 3 : (0, 0, 0)=(0, 0, 0)+(0, 0, 0) + (0, 0, 0)=(1, 0, 0)+(0, 1, 0) + ( 1, 1, 0) Definición 1.4.2 Sea V un K-espacio vectorial y U 1,...,U s subespacios vectoriales de V. Se dice que la suma de U 1,...,U s es directa, y escribiremos U 1... U s, si todo vector de U 1 +...+ U s se escribe, de forma única, como suma de un vector en U 1, de un vector en U 2,..., y de un vector en U s. Proposición 1.4.3 Sea V un K-espacio vectorial y U 1,...,U s subespacios vectoriales de V. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. La suma de U 1,...,U s es directa. 2. La unión de s bases cualesquiera de U 1,...,U s es una base de U 1 +...+ U s. Notar finalmente que si la suma U 1 +...+U s es directa entonces la intersección de cualquier número de subespacios en {U 1,...,U s } es igual a {0}. Ejemplo 1.4.1 Sea M el conjunto de matrices 2 3 con coeficientes reales, y U y W los subespacios siguientes. ( ) a11 a U = {M = 12 a 13 M:2a a 21 a 22 a 11 + a 22 = a 23 } 23 W = {M M: M 1 2 ( ) 1 1 0 0 = } 0 0 0 0

1.4. SUMA E INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA 19 Es fácil deducir que una base de U es ( ) ( 1 0 0 0 1 0 B U = {, 0 0 2 0 0 0 ), ( ) 0 0 1, 0 0 0 ( ) 0 0 0, 1 0 0 ( ) 0 0 0 } 0 1 1 yuna base de W es ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 B W = {, } 0 0 0 0 0 1 ( ) 0 0 1 Utilizando las bases obtenidas uno puede comprobar que U W =< { >. De 0 0 0 la fórmula de las dimensiones, se deduce que U + W = M. Se considera el R espacio vectorial V = R 6, ylos siguientes subespacios de V : U = {(x, y, z, r, s, t) R 6 : x + y + z =0,r+ s + t =0} W = {(x, y, z, r, s, t) R 6 : x y =0,x z =0,r s =0,r t =0} Puesto que un vector v =(x, y, z, r, s, t) U W si ysólo si x + y + z =0,r+ s + t =0,x y =0,x z =0,r s =0,r t =0 podemos deducir que el único vetor que está enu W es el vector nulo. Una base de U es B U = {(1, 1, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1, 0, 1)} Una base de W es B W = {(1, 1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1, 1)} La fórmula de Grasmann nos asegura que la dimensión de U + W es 6, yque dicho subespacio es por tanto todo R 6. Como U W = {0}, R 6 = U W. En el R-espacio vectorial R 4 se consideran los subespacios W = {(x, y, z, t) R 4 : x + y + z =0,t=0} y U = {(2a, a + b, a +3b, 0) : a, b R} Un vector v que esté tanto en U como en W, verificará 2a +( a + b)+( a +3b) =0,y se tendrá que v U W v = a(2, 1, 1, 0) esto es, U W =< {(2, 1, 1)} >. Para hallar una base de U + W consideramos una de U W yla ampliamos sucesivamente a una de U ya una de W.Así una base de U + W es B = {((2, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 3)}.

20 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.5 Ejercicios Capítulo 1 Espacios Vectoriales Ejercicio 1 Sea Q el cuerpo de los números racionales. Cúales de los siguientes subconjuntos del Q espacio vectorial Q 3 son subespacios vectoriales? a) R = {(x, y, z) Q 3 :3x 8y =0}. b) S = {(x, y, z) Q 3 :3x 8y =4}. c) T = {(x, y, z) Q 3 : x Z + ó x Q }. Ejercicio 2 Sea V un K-espacio vectorial no nulo, donde K = Q, R o C. a) Demuestra que V posee un n ō infinito de vectores. b) Sea {u, v} una familia libre de vectores de V y a, b K con b 0. Prueba que la familia {bu, au + v} es también libre. c) Sean u, v, w vectores de V linealmente independientes Prueba que también u + v, u v, u 2v + w son linealmente independientes. d) Para V = R 3 y K = R, estudia si cada uno de los conjuntos de vectores siguientes es un sistema libre o un sistema dependiente: S = {(3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3)} T = {(3, 2, 1), (1, 3, 2), ( 1, 2, 3)} e) Para V = C 3 y K = C, estudia si cada uno de los conjuntos de vectores siguientes es linealmente dependiente o independiente: S = {(1, 0, i), (0,i, 1), (i, 1, 1+i)} T = {(1,i, i), (0, 1, 1+2i), (1, 1+i, 1)} Ejercicio 3 Prueba que la familia {1+X, X + X 2, 1+X 2 } es un sistema generador libre de Q 2 [X] ={p(x) Q[X] : grado(p(x)) 2} Escribe 3 + 2X +5X 2 como combinación lineal de la familia anterior. Ejercicio 4 Decir, razonadamente, si es verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes.

1.5. EJERCICIOS CAPÍTULO 1 ESPACIOS VECTORIALES 21 1. Se considera el siguiente conjunto de vectores de R 3 S = {(1, 1, 1), (1,a 2 +1,a+1), (1,a 2 +1, 2a)} con a R. Entonces para todo a R se verifica que la dimensión del subespacio generado por S es mayor que 1. 2. En el C-espacio vectorial C 2 el conjunto de vectores {(1,i), (i, 1)} es base. 3. En el R-espacio vectorial R 3 existen vectores v 1,v 2,v 3 linealmente dependientes tal que v 1,v 2 son linealmente independientes, v 1,v 3 son linealmente independientes, así como también lo son v 2,v 3. Ejercicio 5 Dí razonadamente si es verdadera o falsa cada una de las afirmaciones siguientes: En un espacio vectorial a) Todo vector es combinación lineal, de forma única, de un sistema generador. b) Todo vector es combinación lineal, de forma única, de una familia libre. c) Si un vector es combinación lineal de una familia libre, los coeficientes son únicos. Ejercicio 6 Demuestra que en el R - espacio vectorial R 3 ninguno de los vectores v 1 =( 1, 1, 1), v 2 (0, 0, 1) depende linealmente de S = {w =(1, 1, 0)}. Es w combinación lineal de los vectores v 1 y v 2? Dí si es verdadera o falsa la afirmación siguiente: Aunque ninguno de los vectores v 1, v 2,..., v p dependa linealmente de un sistema S = {w 1,w 2,...,w q }, puede ocurrir que alguna combinación lineal de aquellos dependa linealmente de S. Ejercicio 7 Sean u y v dos vectores distintos de un K - espacio vectorial V. Analiza si algunos de los vectores (2 + α)u +(3 α)v con α K pueden ser iguales. Es S = {(2 + α)u +(3 α)v : α K} un subespacio vectorial de V?. Ejercicio 8 En el R - espacio vectorial R 4 [X] se consideran los conjuntos de vectores siguientes: S = {2 X, 1+X 2,X + X 3 } y T = {1,X 2 }. Prueba que S y T son libres yque todo vector de T es linealmente independiente de S. Establece una combinación lineal nula de los vectores {2 X, 1+X 2,X+ X 3, 1,X 2 } en la que no todos los escalares de la misma sean cero. Dí si es verdadera o falsa la afirmación siguiente:

22 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES Si en un K - espacio vectorial V, S = {v 1,v 2,...,v p } y T = {w 1,w 2,...,w q } son sistemas libres y todo vector de T es linealmente independiente de S entonces el conjunto S T es un sistema libre. Ejercicio 9 Considera los siguientes subconjuntos de R 4 S = {(5, 2, 3, 4), (1, 0, 1, 0), (7, 3, 5, 6)} T 1 = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)} T 2 = {(6, 5, 4, 5), (11, 3, 1, 6), (13 2 2, 5 2, 7, 5), ( 3, 1, 1, 2)} 2 1. Determina una base B del subespacio generado por S. 2. Extiende el conjunto B hallado anteriormente a una base de R 4 añadiendo, si es posible, vectores de T 1. 3. Realiza el mismo ejercicio que en el apartado anterior pero teniendo en cuenta T 2. Ejercicio 10 Sea V el R espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 3. En V se consideran los siguientes subconjuntos: W = {p(x) V : p (0)=0} y T = {p(x) V : p (1)=0} donde p (X) yp (X) representan, respectivamente, la derivada primera yla derivada segunda del polinomio p(x). a) Demuestra que W y T son subespacios vectoriales de V. b) Determina bases de W y T,así como del subespacio W T. c) Determina, si existe, una base de un subespacio U tal que U (W T )=V. Ejercicio 11 Se considera el R espacio vectorial V = R 5. a) Da un subespacio vectorial U de V de dimensión 2. b) Da dos subespacios distintos W y W de V tales que V = W U y V = W U. c) Para los subespacios que hayas dado en b), determina W W. d) En algún caso hubieras podido encontrar subespacios W y W con las condiciones de b) y W W = {0}?.

1.5. EJERCICIOS CAPÍTULO 1 ESPACIOS VECTORIALES 23 Ejercicio 12 En R 3 se considera la base canónica {e 1,e 2,e 3 }, ylos subespacios W = {e 1,e 2 }, W = {e 3 } y W = {e 2 + e 3 }. a) Prueba que R 3 = W + W + W y W W = W W = W W = {0}. b) Es R 3 = W W W?. Ejercicio 13 En el R-espacio vectorial R 4 se consideran dos subespacios U y W tales que dim U = r 1y dim W = s 1. Determinar todos los posibles valores de r yde s para que la suma U + W pueda ser directa. Ejercicio 14 Considera los subespacios de R 3 siguientes. S = {(1, 1, 2), (1, 1, 3)} y T = {(a, 3a 2b, a + b) :a, b R} Determina bases de S, T, S T y S + T. Es R 3 = S T?. Ejercicio 15 18 Sea V un espacio vectorial n-dimensional y W y W dos subespacios de V. Supuesto que W W = {0} 1. Demuestra que existe un subespacio U tal que V = U + W. Dicho subespacio U, es único?. 2. Existe un subespacio U tal que V = W U y W U?. 3. Existe un subespacio W tal que V = W W W?. Si V = W + W. Prueba que V = W W si ysólo si dim V = dim W + dim W. Ejercicio 16 Sea M n (R) elr espacio vectorial de matrices n n con coeficientes reales. a) Demuestra que el conjunto W formado por todas las matrices (a ij ) tales que a ij = 0 para i>jes un subespacio de M n (R). b) Admitiendo que W = {(a ij ) M n (R) :aij =0 si i<j} es un subespacio, describe el subespacio W W, ydetermina bases ydimensión de W, W y W W. Ejercicio 17 En el R espacio vectorial R n [X] (conjunto de polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual a n) se considera el subconjunto B = {p 0 (X),p 1 (X),p 2 (X),...,p n (X)} donde el grado de p i (X) esi para i =0, 1, 2,...,n. Demuestra que B es una base de R n [X].

24 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 18 En R 4 se consideran los siguientes subespacios U = {(x, y, z, t) R 4 : x 2y + z =0,z+3t =0} W = {(2a, a +4b, 0,c+ b) R 4 : a, b, c R} Determina bases ydimensión de los mismos. Es R 4 = U + W? Ejercicio 19 Sea V un K espacio vectorial. Dí si es verdadera o falsa cada de las afirmaciones siguientes. a) Si V = U W T, v U W, entonces v T. b) Si dim V =2n, entonces es posible encontrar subespacios U y W de V, ambos de dimensión n ytales que V = U W. c) Si dim V =6,yU y W son ambos de dimensión 3, entonces V = U W. d) Si U y W son subespacios de V tales que dim U + dim W>dim V, entonces U W 0. Ejercicio 20 Sean los subespacios de R 3 y R 4, respectivamente, dados por las condiciones: x + y =0 x y + z + t =0 (A) y + z =0 (B) x y +4z =0 2x +3y + z =0 5x +6y z + t =0 Determina las bases de dichos subespacios. Ejercicio 21 Se consideran los vectores de R 3 siguientes v 1 =(2, 4, 6), v 2 =( 1, 2, 1), v 3 =( 8, 8, 16) y v 4 =(6, 4, 10). a) Es la familia de vectores anterior libre? Es base de R 3? b) Se puede obtener una base de R 3 eliminando alguno de los vectores v i? Es el vector (1, 0, 0) combinación lineal de la familia (v 1,v 2,v 3,v 4 )?. c) Sea S = {v 1,v 2,v 3,v 4 }. Determina un subespacio T de R 3 tal que R 3 = S T. Ejercicio 22 Una matriz 3 3 con coeficientes reales a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 se dice que es un cuadrado mágico si la suma de todos los términos de cada una de las filas y de cada una de las columnas es un mismo número s.

1.5. EJERCICIOS CAPÍTULO 1 ESPACIOS VECTORIALES 25 1. Reescribe las condiciones para un cuadrado mágico como un sistema de ocho ecuaciones en función de s, a i,b i,c i con 1 i 3, yaplica el algoritmo de Gauss a dicho sistema. 2. Prueba que 3b 2 = s. 3. Reemplaza las estrellas por números para convertir la siguiente matriz en un cuadrado mágico. 1 2 4 4. Demuestra que los cuadrados mágicos forman un subespacio del R espacio vectorial de las matrices reales 3 3. Prueba que una base de dicho subespacio está dada por las matrices siguientes. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 5. Probar que toda matriz a 1 a 2 a 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0 puede convertirse en un cuadrado mágico. Hayuna única forma de hacer ésto?.

26 CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES

Capítulo 2 Aplicaciones Lineales y Matrices En el capítulo anterior se han introducido los términos ypropiedades relativas al concepto de espacio vectorial. En este capítulo se estudian las aplicaciones ligadas a estos espacios: las aplicaciones lineales o los homomorfismos de espacios vectoriales. El significado del término homomorfismo proporciona una primera idea de lo que se pretende con este estudio: qué se puede decir de aquellas aplicaciones en las que la suma de dos vectores se transforma en la suma de sus transformados, yel doble, la mitad,... de un vector se transforma en el doble, la mitad,... de su transformado?; qué fenomenos, en principio al menos, se manifiestan de forma lineal?. 2.1 Definición de Aplicación Lineal. Ejemplos Definición 2.1.1 Sean V y W dos K espacios vectoriales, y f : V W una aplicación. Se dice que f es un homomorfismo de espacios vectoriales o una aplicación lineal si se verifica la siguiente condición cualesquiera que sean los elementos a 1, a 2 de K y v 1, v 2 de V : f(a 1 v 1 + a 2 v 2 )=a 1 f(v 1 )+a 2 f(v 2 ). Es fácil probar que la condición de la definición anterior es equivalente a que se verifiquen: f(v 1 + v 2 )=f(v 1 )+f(v 2 ) y f(av) =af(v) cualesquiera que sean v 1, v 2,yv en V y a en K. Cuando V = W, la aplicación lineal recibe el nombre de endomorfismo de V. Ejemplo 2.1.1 A continuación se muestran una serie de aplicaciones entre espacios vectoriales, de las cuáles unas son lineales yotras no. La aplicación f : R 3 R 2 definida por f(x, y, z) =(2x, 3x z) es una aplicación lineal. La aplicación f : R 3 R 4 definida por f(x, y, z) =(2x, 3x z,2y + z,x + y + z) es una aplicación lineal. 27

28 CAPÍTULO 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES La aplicación f : R n R m definida por f(x 1,...,x n )=(y 1,...,y m ) donde y i = n a ik x k k=1 para i = 1,...,m es una aplicación lineal. La aplicación f : R 3 [X] R 3 [X] que a cada polinomio le asocia su derivada es una aplicación lineal. La aplicación f : R 3 [X] R 6 [X] que a cada polinomio le asocia su cuadrado no es una aplicación lineal. Si U y W son subespacios de V tales que V = U W entonces la aplicación de V en U que a cada vector v = u + w con u U y w W, le asocia el vector u es una aplicación lineal, llamada proyección de V sobre U (en la dirección de W ). Si M es el espacio vectorial de las matrices cuadradas 3 3 con coeficientes reales, la aplicación de M en R que a cada matriz le asocia el producto de los elementos de su diagonal principal no es lineal. Si M es el espacio vectorial de las matrices cuadradas n n con coeficientes reales, la aplicación de M en R que a cada matriz le asocia la suma de los elementos de su diagonal principal (su traza) es lineal. La siguiente sesión Maple muestra cómo comprobar si una aplicación de R 3 en R 2 es lineal o no. > with(linalg): La aplicación que vamos a considerar es la siguiente > T:=(x,y,z)->(x-y,y-z); T := (x, y, z) (x y, y z) A continuación consideramos dos vectores cualesquiera yuna combinación lineal de los mismos. Posteriormente veremos si la imagen de dicha combinación lineal es la combinación lineal de las imágenes. > v:=vector([a1,b1,c1]);u:=vector([a2,b2,c2]); v := [a1, b1, c1 ] u := [a2, b2, c2 ]

2.2. NÚCLEO E IMAGEN. FÓRMULA DE LAS DIMENSIONES 29 > av:=evalm(a*v); av := [a a1,ab1,ac1 ] > bu:=evalm(b*u); bu := [b a2,bb2,bc2 ] > w1:= evalm(av+bu); w1 := [a a1 + b a2,ab1 + b b2,ac1 + b c2 ] > T(w1):=[T(a*a1+b*a2, a*b1+b*b2, a*c1+b*c2)]; T(w1 ):=[a a1 + b a2 a b1 b b2,ab1 + b b2 a c1 b c2 ] > w2:=evalm(a*[t(a1,b1,c1)]+b*[t(a2,b2,c2)]); w2 := [a (a1 b1 )+b (a2 b2 ), a(b1 c1 )+b (b2 c2 )] > c:=map(expand,evalm (T(w1)-w2)); c := [0, 0] Si c=(0,0), T(w1)=w2 yt es lineal. Proposición 2.1.1 Sea f : V W una aplicación lineal. Se tiene entonces: 1. f( v) = f(v) cualquiera que sea v V y f(0)=0. ( r ) r 2. f a k v k = a k f(v k ). k=1 k=1 3. Toda familia de vectores de V linealmente dependiente se transforma en una familia de vectores de W linealmente dependiente. 4. Si g : W U es una aplicación lineal entonces la aplicación g f : V U también es una aplicación lineal. 2.2 Núcleo e imagen. Fórmula de las dimensiones Del concepto de aplicación lineal surgen dos subespacios de especial relevancia, cuyo estudio es el objeto de esta sección. Proposición 2.2.1 Sea f : V W una aplicación lineal. Los conjuntos 1. Núcleo de f: 2. Imagen de f: ker(f) ={v V : f(v) =0} im(f) ={f(v) :v V } son subespacios vectoriales de V y de W respectivamente. La demostración de cada uno de los apartados de la proposición anterior no entraña ninguna dificultad por lo que se deja como ejercicio para el lector. Los siguientes ejemplos ilustran los conceptos anteriores.

30 CAPÍTULO 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES Ejemplo 2.2.1 Si f : R 3 R 2 es la aplicación lineal definida por f(x, y, z) =(2x, 3x z) entonces ker(f) = {(0, 1, 0)} yim(f) =R 2. Si f : R 3 R 4 es la aplicación definida por f(x, y, z) =(2x, 3x z,2y + z,x + y + z) entonces ker(f) ={ 0} yim(f) = {(2, 3, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)}. Si f : R 3 [X] R 3 [X] es la aplicación lineal que a cada polinomio le asocia su derivada entonces ker(f) = {1} yim(f) =R 2 [X]. Si U y W son subespacios de V tales que V = U W,yf es la aplicación lineal de V en U que a cada vector v = u + w con u U y w W, le asocia el vector u entonces ker(f) =W yim(f) =U. Si M es el espacio vectorial de las matrices cuadradas n n con coeficientes reales, y f la aplicación de M en R que a cada matriz le asocia su traza entonces im(f) =R. Si A ij denota la matriz de M que tiene un 1 en el lugar ij, y0 en todos los demás lugares entonces ker(f) = {A ij : i, j =1,...,n; i j} {A 11 A ii : i =2,...,n}. Qué dimensión tiene ker(f)?. Las funciones que proporciona Maple para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sirven para determinar el núcleo yla imagen de una aplicación lineal de R 3 en R 2. Se muestran dos ejemplos en los que se manipulan dichos subespacios. En el primero se obtiene el núcleo de una aplicación lineal sin hacer uso ni de la función kernel ni de la función nullspace, que son primitivas del paquete with(linalg) de Maple, específicas para calcular el núcleo de una aplicación lineal ( o equivalentemente, como se verá más adelante, de una matriz). > with(linalg): > A:=matrix([[1,-1,0],[0,1,-1]]); A := 1 1 0 0 1 1 > v:=vector([x1,x2,x3]); v := [x1, x2, x3 ] Vamos a definir la aplicación lineal a través de la multiplicación de matrices. > multiply(a,v); [x1 x2, x2 x3 ] > T:= v->multiply(a,v); T := v multiply(a, v) Tratamos de encontrar todos los vectores v para los cuáles T(v)=0 > T(v)=evalm(vector([0,0])); [x1 x2, x2 x3 ]=[0, 0]

2.2. NÚCLEO E IMAGEN. FÓRMULA DE LAS DIMENSIONES 31 > AUG:=matrix([[1,-1,0,0],[0,1,-1,0]]); AUG := 1 1 0 0 0 1 1 0 > solucion:=backsub(gausselim(aug)); solucion := [ t 1, t 1, t 1 ] La solución en este caso también podría haberse encontrado sin aplicar gausselim pues AUG ya tenía ceros por debajo de los elementos aii. > solucion:=backsub(aug); solucion := [ t 1, t 1, t 1 ] Obsérvese que el conjunto de soluciones es el subespacio generado por el vector (1,1,1). En este nuevo ejemplo se efectúa el cálculo de la imagen de una aplicación lineal. > with(linalg): > A:=matrix([[1,3,-1],[0,1,1],[1,4,0]]); 1 3 1 A := 0 1 1 1 4 0 > v:=vector([x1,x2,x3]); v := [x1, x2, x3 ] > T:= v->multiply(a,v); T := v multiply(a, v) > w:=vector([a,b,c]); w := [a, b, c] > T(v)=evalm(w); [x1 +3x2 x3, x2 + x3, x1 +4x2 ]=[a, b, c] > AUG:=matrix([[1,3,-1,a],[0,1,1,b],[1,4,0,c]]) ; 1 3 1 a AUG := 0 1 1 b 1 4 0 c > AUG1:=gausselim(AUG); 1 3 1 a AUG1 := 0 1 1 b 0 0 0 c a b El sistema T(v)=w tiene solución si ysólo si c-a-b=0, de donde se obtiene que ImT={(a,b,a+b) /a,bn ō s. reales}=<(1,0,1),(01,1)> Definición 2.2.1 Sea f: V W una aplicación lineal. La dimensión de im(f) se denomina rango de la aplicación lineal f

32 CAPÍTULO 2. APLICACIONES LINEALES Y MATRICES Cuál es el rango de cada una de las aplicaciones lineales en los ejemplos anteriores?. La siguiente proposición afirma que para calcular la imagen yel rango de una aplicación lineal f : V W es suficiente determinar las imágenes de los vectores de un sistema generador de V. Proposición 2.2.2 Sea f : V W una aplicación lineal. Si {v 1,v 2,...,v r } es un sistema generador de V entonces el conjunto {f(v 1 ),f(v 2 ),...,f(v r )} es un sistema generador de im(f). La demostración de lo anterior se apoya en el hecho de que cualquier vector f(v) deim(f) se puede expresar, por ser f lineal, como f(v) =f(α 1 v 1 + α 2 v 2 +...+ α r v r )=α 1 f(v 1 )+α 2 f(v 2 )+...+ α r f(v r ). Utilizando los ejemplos anteriores se puede comprobar que se verifica que la suma de las dimensiones de los espacio núcleo e imagen coincide con la dimensión del espacio inicial. Este hecho no es una mera coincidencia, corresponde a un resultado que se conoce como Fórmula de las dimensiones yque se recoge en el siguiente enunciado. Teorema 2.2.1 Sea f : V W una aplicación lineal. Entonces dim ker(f) + dim im(f) = dim V El resultado anterior puede probarse viendo que Si ker(f) ={0}, entonces {f(v 1 ),f(v 2 ),...,f(v n )} es base de im(f) cuando {v 1, v 2,..., v n } es una base de V. Teniendo en cuenta 2.2.2 sólo falta probar que los vectores señalados son linealmente independientes. α 1 f(v 1 )+α 2 f(v 2 )+...+ α r f(v r )=f(α 1 v 1 + α 2 v 2 +...+ α r v r )=0 = = α 1 v 1 + α 2 v 2 +...+ α r v r ker(f) ={0} = = α 1 v 1 + α 2 v 2 +...+ α r v r = 0 = α 1 =...= α r =0 Si ker(f) {0}, y{v 1,v 2,...,v r,v r+1,...,v n } es una base de V donde {v 1,v 2,...,v r } es una base de ker(f), entonces {f(v r+1 ),...,f(v n )} es una base de im(f). Por razones análogas a las anteriores no es necesario probar que el conjunto referido es sistema generador de im(f), ypara probar la independencia se tiene en cuenta que ker(f) {v r+1,...,v n } = {0}. 2.3 Tipos de Aplicaciones Lineales. Isomorfismos. Entre las aplicaciones lineales que se pueden establecer de un espacio vectorial en otro, desempeñan un papel destacado áquellas que son inyectivas, por ser las que transportan la forma del espacio inicial al espacio imagen. Si además el espacio imagen coincide con el espacio final, el espacio inicial yel final son idénticos desde el punto de vista de los espacios vectoriales.