Simulación Monte Carlo para el juego Siete y medio

Simulación Monte Carlo para el juego Siete y medio Benjamin Moreno Montiel *, John Goddard Close y Sergio G. de los Cobos Silva Departamento de Ingeniería Eléctrica, UAM I Recibido: 11 de noviembre de 2008 Aceptado: 18 de noviembre de 2008 Resumen En este artículo se presentan los resultados obtenidos mediante la simulación estadística, o método Monte Carlo, aplicado al popular juego de cartas llamado Siete y Medio usando dos diferentes estrategias. Se exhiben los comportamientos de cada una de las dos estrategias a través de un número determinado de repeticiones del método Monte Carlo. En particular, se comparan dos variantes del juego, en que la casa puede tener o no medio punto inicial. Abstract In this paper, statistical simulation, or the Monte Carlo method, is applied to the popular card game called Seven and a half using two different strategies, and the ensuing results are presented. The behavior observed for each of the strategies for a determined number of repetitions of the Monte Carlo method is shown. In particular, a variation of the game, in which the dealer initially begins with a half point, is considered. Palabras Clave: Método Monte Carlo, Baraja Española, Siete y medio, Probabilidad condicional. Introducción Hoy en día, el área de la simulación es muy importante para modelar problemas y situaciones de la vida real por medio de una computadora. Hay numerosos ejemplos como son desde la simulación de colas en supermercados y consultorios médicos hasta la fijación de precio para derivados financieros. La simulación es especialmente apropiada cuando no se puede resolver el problema analíticamente [Dagpunar, 2007]. Usualmente por simulación estadística entendemos un experimento controlado, normalmente realizado * opelo1209@yahoo.com en una computadora, utilizando números aleatorios. En este contexto, ha surgido el nombre método Monte Carlo, que con frecuencia está utilizado de manera intercambiable con simulación estadística en la literatura. Los orígenes del método Monte Carlo se remontan al año de 1946, donde, mientras Stan Ulam se encontraba en su casa enfermo, empezó a desarrollar este método jugando Solitario [Eckhardt, 1987]. Ulam quería saber con que probabilidad se completaba un juego de Solitario dada una combinación de cartas iniciales. Descubrió que era extremadamente complicado encontrar la probabilidad exacta, y tuvo la idea de obtener un estimado de la probabilidad mediante un método sumamente práctico: realizar el juego cien veces y contar el número de éxitos. Rápidamente se imagino la posibilidad de aplicar este método a situaciones complejas, como en la física matemática, y Ulam le platicó de este método a John von Neumann, con quien estaba trabajando en el proyecto Manhattan. Von Neumann entendió la relevancia del método para atacar problemas termo-nucleares relacionados con el proyecto Manhattan [Metropolis, 1987], y la posibilidad práctica de llevarlos acabo con la recién desarrollada computadora de la Universidad de Pennsylvania, ENIAC (un acrónimo inglés de Electronic Numerical Integrator And Computer). En nuestro caso, adaptaremos este método para simular un juego de cartas muy popular llamado Siete y medio. En particular, utilizamos dos estrategias, que llamaremos Estrategia de las probabilidades y Estrategia del valor objetivo. En la Sección 2, el juego de Siete y medio usado en el articulo es explicado, así como las dos estrategias empleadas. En una variante del juego de Siete y medio, se otorga un medio punto inicial a la casa. Se revisará si esto tiene impacto o no. Los resultados obtenidos me- 13

14 ContactoS 70, 13 22 (2008) diante repeticiones del método Monte Carlo, se mostrarán en la Sección 3. Generalidades del Siete y medio La primera aparición de baraja que se reporta en la literatura tuvo lugar en China por el siglo XII [MEPSYD, 2002], el diseño de estas cartas se hacían sobre madera. Posteriormente tuvo su aparición durante el siglo XIV en países europeos como Suiza, Italia, Bélgica, Francia y España, donde se le daba un uso como cartas tarot, para poder predecir eventos del futuro según los ocultistas de esa época. La baraja española tiene cuatro grupos de cartas los cuales son llamados palos, estos son los Oros, las Copas, las Espadas y los Bastos, que se corresponden con los diamantes, corazones, picas y tréboles de las barajas francesa e inglesa, y con los cascabeles, corazones, hojas y bellotas de la alemana. En la Figura 1 se muestran las figuras de cada uno de estos palos. Para este trabajo utilizaremos un mazo de barajas españolas, con un total de 40 cartas: 1 As, 6 cartas numeradas de 2 al 7 y 3 cartas de figura, un Rey, un Caballero usualmente llamado Caballo y una Dama que se le llama Sota, de cada palo. Por el siglo XVII el juego de Siete y medio tuvo su inicio en Italia, donde se jugaba con cartas que tenían inscritos los valores de 7, 8 y 9, adicionalmente se contaba con cartas con figuras. Las cartas con inscripción 7, 8 y 9 valían un punto y las cartas de figura valían medio punto, entonces los jugadores trataban de obtener un acumulado de puntos lo más cercano a 7.5, si algún jugador llegaba a pasarse de 7.5 puntos, perdía automáticamente. Normalmente, y que consideraremos en este trabajo, los valores de cada carta para el juego de Siete y medio, son: Cada As vale 1 punto. Cartas numeradas del 2 al 7 tiene su valor correspondiente. Las cartas de figura valen medio punto. El objetivo del juego es juntar, con un determinado número de cartas, la cantidad de puntos que sea igual o lo más cercano posible a 7.5, sin pasarse. Es por esto que se estarán pidiendo cartas hasta lograr este objetivo. Existen dos formas de iniciar los puntos de la casa, la primera es dando medio punto inicial a la casa, la segunda forma es que tanto la casa como el jugador empiecen con cero puntos al inicio. Se pueden considerar dos casos para el reparto de las cartas: Repartición continua y Repartición primero al jugador. A continuación se describen. Repartición continua: 1. Dependiendo cual forma de inicalizar los puntos de la casa, la casa empieza repartiendo una carta boca abajo(sin que se vea el valor o la figura de la carta) al jugador. Después la casa también se eparte una carta de la misma forma. 2. El jugador revisar su carta y decidirá pedir o no una carta, según sea la estrategia de juego que esté ocupando. Si se pide una carta más, el jugador tiene la opción de pedir una carta boca abajo ó boca arriba (que se vea el valor o la figura de la carta), esto es, si la primer carta está boca abajo y el jugador la mantiene de esta forma, la próxima carta que reciba va a ser boca arriba, para poder recibir una carta boca abajo el jugador necesita destapar las cartas que a recibido. De la misma forma la casa se reparte o no una carta más, según la estrategia, o lo cerca que se encuentre del objetivo. Este paso se realiza hasta que los dos deciden asegurar su juego, usualmente llamado plantarse, o cuando la casa, o el jugador se pasan del 7.5, ya que están obligados a informar que se han pasado del valor 7.5. 3. Si se llega hasta este paso, quiere decir que el juego sigue ya que tanto la casa, como el jugador no se pasaron del 7.5. Es aquí donde se revisan los punto de ambos y se decide quien gana, los tres posibles escenarios que pueden presentarse se describen a continuación: El jugador tiene un puntaje menor que el de la casa, y el puntaje de la casa es menor o igual a 7.5, entonces la victoria es para la casa. El jugador tiene un puntaje mayor al de la casa, y el puntaje del jugador es menor o igual a 7.5, entonces la victoria es para el jugador.

Simulación Monte Carlo para el juego Siete y medio. B. Moreno M., J. Goddard y S. G. de los Cobos 15 Figura 1. Palos de la Baraja Española. El puntaje de la casa es igual que el del jugador, la victoria se le da a la casa. En este trabajo no se entrará a detalle con la forma en que se apuesta, ya que nuestro objetivo es ver con que frecuencia se gana o pierde dependiendo de las estrategias de juego planteadas. Repartición primero al jugador 1. Dependiendo cual forma de inicializar los puntos de la casa, se empieza repartiendo cartas al jugador, hasta que éste decida plantarse ó se pase del 7.5, en donde está obligado a informarle a la casa de este suceso, por lo que la victoria será para la casa. En el caso que el jugador pidiera otra carta, tiene la opción de pedirla boca abajo ó boca arriba como se describió en el paso 2 de la forma de juego Repartición continua. 2. Una vez que el jugador se planta, comienza la repartición de cartas de la casa, entonces, la casa se daría a sí mismo cartas boca arriba, esto porque ya se terminó de dar las cartas al jugador por lo que, no serviría de nada dárselas boca abajo ya que la casa es la última en ser repartida, esto se realiza, si el número de jugadores se incrementa, ya que, siempre el último en recibir cartas es la casa. De la misma forma que se le exige al jugador informar cuando se haya pasado de 7.5, la casa está obligada a decirle al jugador el momento en el cual se haya pasado, si éste es el caso, al jugador se le dará la victoria. 3. Si se llega hasta este paso, quiere decir que el juego sigue, ya que tanto la casa como el jugador no se pasaron del 7.5. Los escenarios en los que puede terminar el juego son los mismos descritos en el paso 3 de la forma de jugar Repartición continua. Estrategias de juego Se consideraron dos estrategias de juego para simular las acciones que se deben de tomar en el desarrollo del juego Repartición primero al jugador. La primera estrategia se desarrolló haciendo similitud con las reglas a las que se somete la casa en una partida de Blackjack [Zirbel, 2007], para este caso la casa tiene que seguir un puntaje objetivo, en este caso sabemos que Blackjack tiene por objetivo juntar el puntaje más cercano a 21, por ello el puntaje objetivo para la casa es 17, si se llega a tener un puntaje acumulado 17 ésta se planta. Algo similar vamos a considerar en Siete y medio sólo que este puntaje objetivo va a ser 5.5, esta regla de decisión puede describirse de la siguiente forma: donde: f 1 (mp) = { S P mp = Mis puntos. si (mp 5.5) en otro caso

16 ContactoS 70, 13 22 (2008) S = Seguir pidiendo más cartas. P = Plantarse. La justificación del porqué escoger 5.5 como valor objetivo, tiene que ver con las probabilidades de perder o ganar si se decide plantarse. Calculemos la probabilidad aproximada de perder si nos decidimos pararnos en el valor objetivo propuesto, en este caso sería 5.5, las cartas que harían que nos pasaramos son 3, 4, 5, 6 ó 7, por lo que la probabilidad aproximada sería: P Pasarse5.5 = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 20 40 = 50% En este caso tenemos las mismas posibilidades de ganar que de perder, este es un buen valor objetivo ya que las probabilidades son parejas, tanto para el jugador como para la casa. Se puede ver que en cualquier otro caso para el puntaje, se tiene desventaja, ya sea para el jugador o para la casa. La segunda estrategia que llamaremos Estrategia de las probabilidades, utiliza dos probabilidades, la probabilidad de ganar sin pedir más cartas denotada por P g y la probabilidad de pasarse si se pide otra carta denotada por P p. Esta regla de decisión fue propuesta en [Perea, Puerto y Lagares, 2001] y está dada por: P f 1 (P g,p p ) = S donde: si {(P g 0.7) ((P g [0.1,0.7)) (P p 0.55)) en otro caso P g = Probabilidad de ganar si no se pide otro carta. P p = Probabilidad de perder si se pide otra carta. S = Seguir pidiendo más cartas. P = Plantarse con las cartas ya acumuladas. El objetivo de esta estrategia es usar la noción de probabilidad condicional para calcular P g y P p, esta se fórmula de la siguiente forma: Sean X y Y dos sucesos, en donde se cumple que P(Y ) > 0, la cual es la probabilidad de que ocurra el suceso X dado que ya ocurrió el suceso Y, esto se calcula mediante una probabilidad condicional de la siguiente forma: P(X Y ) = P(X Y ) P(Y ) Ejemplo de una mano con la Estrategia de las probabilidades Para saber como utilizamos la probabilidad a priori y la probabilidad condicional, vamos a plantear un ejemplo de una mano de siete y medio, en donde no utilizamo el medio punto inicial para la banca. Supongamos que se juega una mano, en donde nosotros somos la casa y estamos contra un solo oponente. Según la forma de Repartición primero al jugador, repartimos cartas a nuestro oponente hasta que éste decide plantarse o se pasa de 7.5. Pongamos el caso en el que éste jugador pidió cinco cartas, con valores de, Sota de Oros, 2 de Bastos, Rey de Espadas, Caballo de Bastos y decidió plantarse cuando recibió la quinta carta que está boca abajo, visualmente nosotros veríamos la secuencia de cartas como se muestra en la Figura 2. La probabilidad P g y P p depende de la carta que está oculta, ya que no sabemos realmente cuál es la puntuación de nuestro oponente, sabemos que tiene acumulado 3.5 puntos pero eso no es suficiente, por lo que debemos, ver cuales son los posibles valores para la carta oculta la cuál denotaremos por X. Podemos asegurar que la quinta carta es 4, no puede ser una carta mayor ya que el oponente se hubiera pasado y nos tendría que haber informado, las cartas 4 son una carta de figura que vale medio punto, un As que vale un 1, un 2, un 3 y un 4. Sabemos también que la carta X puede ser alguna de las 35 que faltan, entonces podemos definir los siguientes eventos aleatorios: El evento A : La carta X puede ser una figura, un As, un 2, un 3 ó un 4 El evento B 1 : La carta X es una carta de figura. El evento B 2 : La carta X es un As

Simulación Monte Carlo para el juego Siete y medio. B. Moreno M., J. Goddard y S. G. de los Cobos 17 Figura 2. Secuencia de cartas para el oponente. El evento B 3 : La carta X es un 2 El evento B 4 : La carta X es un 3 El evento B 5 : La carta X es un 4 Calculemos las probabilidades de que sucedan los eventos B i i = 1,2,3,4,5 mediante la regla de Laplace de la siguiente forma: P(B 1 ) = P(B 2 ) = P(B 3 ) = P(B 4 ) = P(B 5 ) = número de cartas figura restantes número de cartas en la baraja = 9 35, número de As restantes número de cartas en la baraja = 4, número de 2 restantes número de cartas en la baraja = 3, número de 3 restantes número de cartas en la baraja = 4, número de 4 restantes número de cartas en la baraja = 4. Para calcular el evento A, debemos considerar las probabilidades de los eventos B i i = 1,2,3,4,5, por lo que la fórmula para hacerlo sería: P(A) = P(B 1 ) + P(B 2 ) + P(B 3 ) + P(B 4 ) + P(B 5 ) = 9 + 4 + 3 + 4 + 4 = Ahora calcularemos cuál es la probabilidad condicional de que, dado que ocurrió un evento A, cuál es la probabilidad de que sea de B i i = 1,2,3,4,5, esta probabilidad es la condicional de la forma P(B i A), la cual se calcularía para cada evento B i de la siguiente forma: P(B 1 A) = P(B 1 A) P(A) = P(B 9 1) P(A) = = B1 A P(B 1 A)=P(B 1) = 9, P(B 2 A) = P(B 4 2) P(A) = P(B 3 A) = P(B 3 3) P(A) = P(B 4 A) = P(B 4 4) P(A) = P(B 5 A) = P(B 4 4) P(A) = = 4, = 3, = 4, = 4. Cada probabilidad condicional que obtuvimos nos dice, qué tan probable es que la carta X sea uno de los cinco valores (Figura, As, 2, 3 y 4), por lo que averiguamos lo siguiente: 4 es 9 4.5 es 4 5.5 es 3

18 ContactoS 70, 13 22 (2008) 6.5 es 4 7.5 es 4 Supongamos que nuestra primera carta es 4 de Bastos, la probabilidad de ganar sin pedir más cartas P g es distinto de cero ya que con ese puntaje podemos ganarle a nuestro oponente, por lo que, tenemos que calcular en este momento, la probabilidad de ganar sin pedir ninguna carta más, la cual hemos llamado P g de la siguiente forma: P(B 1 A) = 9 22, P(B 2 A) = 4 22, P(B 3 A) = 3 22, P(B 4 A) = 3 22, P(B 5 A) = 3 22. Cada probabilidad condicional que obtuvimos nos dice qué tan probable es que la carta X sea uno de los cinco valores (Figura, As, 2, 3 y 4), por lo que, averiguamos lo siguiente: P g = P(X = figura) = 9 = 0.375 Como el valor de P g es = 0.375 nuestra regla de decisión nos dice que debemos ahora calcular P p, para esto debemos de ver el evento Z, que es la situación en la que la carta que recibiéramos si pedimos un carta más perderíamos, las posibles cartas son un 5, un 6 y un 7, por lo que la probabilidad de perder, si pedimos una carta más es: P p = P(Z = 5 Z = 6 Z = 7) = P(Z = 5) + P(Z = 6) + P(Z = 7) = 12 = 0.33 Se cumple que, P g está entre [0.01 y 0.7] pero P p < 0.55, nuestra regla de decisión nos dice que tenemos que pedir una carta más. La segunda carta que recibimos es un 3 de Espadas, tenemos un acumulado de 7, tenemos ahora que actualizar los valores de las probabilidades a priori y las condicionales, ya que han salido dos cartas más, y esto modifica los valores que anteriormente calculamos, por lo que, las probabilidades quedarían de la siguiente forma: P(B 1 ) = 9 34, P(B 2) = 4 34, P(B 3) = 3 34, P(B 4 ) = 3 34, P(B 5) = 3 34. P(A) = 34 4 es 9 22 4.5 es 4 22 5.5 es 3 22 6.5 es 3 22 7.5 es 3 22 En este caso tenemos más posibilidades de ganar sin pedir más cartas, ya que le ganaríamos a nuestro oponente si él tiene un carta de figura, un As, un 2 ó un 3, por lo que, la probabilidad de ganar sin pedir más cartas P g tendría el siguiente valor: P g = P(X = 1/2 X = 1 X = 2 X = 3) = P(X = 1/2) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 19 22 = 0.86 Según nuestra regla de decisión P g 0.7, por lo que, nos plantaríamos con ese puntaje esperando ganar en 86 %. Vemos la carta de nuestro oponente y en efecto, la cata que conservaba era un 3 de Bastos y su puntaje no era el suficiente para vencernos, por lo que, para éste caso, nuestra regla de decisión nos llevó a la victoria. En la Figura 3 podemos ver la secuencia de ete ejemplo:

Simulación Monte Carlo para el juego Siete y medio. B. Moreno M., J. Goddard y S. G. de los Cobos 19 Figura 3. Ejemplo de una mano con la Estrategia de las probabilidades. Simulación y Resultados obtenidos Se realizarón simulaciónes Monte Carlo para poder obtener las probabilidades de ganar para la casa cuando ocupa tanto la Estrategia de las probabilidades como la Estrategia del valor objetivo, y para el jugador que siempre ocupa la Estrategia del valor objetivo. Para poder obtener una buena aproximación de las victorias que la casa o el jugador puedan obtener, se necesita realizar un número considerable de partidas para poder sacar el valor de estas probabilidades. Se modificó un programa libre encontrado en la pagina http://elvex.ugr.es/index.html, y se adaptó a la forma de jugar Repartición primero al jugador e incluyeron las dos estrategias respecto a la forma en que se inician los puntos de la casa, por un lado, la casa empieza con 0 puntos la partida, y la otra forma, es darle un medio punto de ventaja a la casa una vez que se empieza una partida. Se realizaron varias corridas de este programa para poder obtener las probabilidades de victoria del jugador y de la casa, y de esta manera obtener una Simulación Monte Carlo, se utilizará la siguiente notación: 1. PCM = Partida con medio punto inicial para la casa. 2. PSM = Partida sin medio punto inicial para la casa. 3. CEP = La casa juega usando la Estrategia de las probabilidades. 4. CEVO = La casa juega usando la Estrategia de Valor Objetivo. 5. JEVO = El jugador juega usando Estrategia de Valor Objetivo. A continuación mostramos las gráficas de los resultados para las diferentes formas de jugar. Simulaciones Monte Carlo. Se realizaron 10 corridas de 5000 partidas cada una, para poder predecir cuál es la probabilidad de ganar para la casa y el jugador. Las veces que ganó y perdió la casa y el jugador, se muestran en la Figuras 4, 5, 6 y 7. Estudio Estadístico Se realizaron 16 pruebas de hipótesis estadísticas pa-

20 ContactoS 70, 13 22 (2008) Figura 4. Gráfica de la simulación para PSM(CEP-JEVO). Figura 5. Gráfica de la simulación para PCM(CEP-JEVO).

Simulación Monte Carlo para el juego Siete y medio. B. Moreno M., J. Goddard y S. G. de los Cobos 21 Figura 6. Gráfica de la simulación para PSM(CEVO-JEVO). Figura 7. Gráfica de la simulación para PCM(CEVO-JEVO).

22 ContactoS 70, 13 22 (2008) ra conocer el comportamiento de los resultados obtenidos. Las pruebas se realizaron sobre los valores promedio de juegos ganados, tanto de la casa como del jugador, para las diversas combinaciones, considerando las dos estrategias de las casa como si tenía ó no medio punto inicial. Estas pruebas sobre las medias se realizaron bajo los supuestos usuales y un nivel de significancia de α del 10 %, obteniéndose las conclusiones dadas en la siguiente sección. Conclusiones y observaciones Dada la evidencia muestral, se puede concluir que la casa tiene ventaja al jugar con la Estrategia de probabilidades. En el caso de que tanto la casa como el jugador utilicen la Estrategia de valor objetivo, no existe diferencia significativa en el número promedio de juegos ganados por cada uno de ellos. También la evidencia muestral indica que no existe una diferencia significativa para la casa en el promedio de juegos ganados cuando empieza con cero puntos o con medio punto, independientemente de la estrategia que utilice. Es interesante notar que el número promedio de juegos ganados por el jugador, es mayor en el caso de que tanto la casa como el jugador utilicen la Estrategia de valor objetivo. Existen diferentes variaciones de las reglas del juego en el que inicialmente a cada uno de los jugadores se les reparte dos cartas y no solamente una carta como se describió en la forma de Repartición continua. como pudimos apreciar, éstos son difíciles aún cuando se trata de un solo jugador, y si pensamos en más jugadores los cálculos se incrementarían, por ello la necesidad de alguna herramienta que nos facilite esta tarea. Bibliografía 1. J. S. Dagpunar, Simulation and Monte Carlo, John Wiley and Sons Ltd, 2007. 2. R. Eckhardt, Stan Ulam, John von Neumann, and the Monte Carlo Method, Los Alamos Science No. 15, Special Issue dedicated to Stanislaw Ulam: 131-1, 1987. 3. Lagares, P., Perea, F., Puerto, J., Un juego de cartas: Las siete y media, Management Mathematics for European Schools, 2001. 4. MEPSYD, La baraja española, Consejería de Educación y Ciencia en Australia y Nueva Zelanda Asesoría Técnica de Canberra, 2002. 5. N. Metropolis, The Beginning of the Monte Carlo Method, Los Alamos Science, Special Issue dedicated to Stanislaw Ulam: 125-130, 1987. 6. Zirbel, C., Optimal stopping of Markov chains or How to play Blackjack,Bowling Green State University, 2007. cs El juego del Siete y medio, es un juego que no se encuentra en muchos casinos ya que las ganancias para la casa son muy pocas. Como se vio en los resultados que se realizaron con la simulación Monte Carlo, la casa tiene una probabilidad de ganar mayor del 50 % cuando juega con la estrategia de probabilidades, aunque ésta es alta, no es lo suficiente para ponerlo como un juego de casino ya que, la ganancia de la casa sería muy pobre. Pero es muy divertido y se puede practicar este juego en una reunión familiar o de amigos en donde podemos poner a prueba las diferentes estrategias, en particular si utilizamos la Estrategia de las probabilidades, necesitaremos una calculadora o computadora para poder llevar a cabo los cálculos de las probabilidades ya que,