Principios de Electrónica para Altas Frecuencias

Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Eléctrica Principios de Electrónica para Altas Frecuencias Autor: Nicolás Reyes Profesor encargado: Dr. Javier Ruiz del Solar Fecha: 24 de Enero del 2005 1

Índice 1 Análisis de los problemas que se presentan en RF 1.1 Los cables 1.2 Las resistencias 1.3 Los condensadores 1.4 Las inductancias 1.5 Problemas que surgen en alta frecuencia 2 Líneas de Transmisión 2.1 Ecuaciones de una L.T. 2.2 Línea de transmisión terminada en una carga 2.3 Parámetros S 2.4 La carta de Smith 2.5 Líneas de transmisión acopladas 2.6 Líneas de transmisión planas 2.6.1 Microstrip 2.6.2 Guía de onda coplanar 2.6.3 Stripline 3 Elementos pasivos utilizados en altas frecuencias 3.1 Elementos concentrados 3.1.1 Resistencias 3.1.2 Condensadores 3.1.3 Inductancias 3.2 Elementos distribuidos 3.2.1 Condensadores 3.2.2 Inductancias 4 Adaptadores de impedancia 4.1 Adaptador con elementos concentrados 4.2 Adaptador de cuarto de onda 4.3 Adaptador con líneas en circuito cerrado 4.4 Adaptadores de impedancia y filtros 5 Filtros en microondas 5.1 Estructuras resonantes 5.2 Tipos de filtros frecuentemente utilizados: Chebyshev y Butterworth 5.3 Filtros con saltos de impedancia 5.4 Filtros con elementos redundantes 5.5 Filtros con secciones de líneas 5.6 Filtros con impedancia variable 5.7 Filtro coaxial 6 Acopladores e híbridos 6.1 Híbridos en 90 6.2 Híbridos en 180 2

7 Anexos 7.1 Diseño y simulación de filtros para 5[GHz] 7.1.1 Diseño del filtro 7.1.2 Simulación de un filtro ideal 7.1.3 Filtros con saltos de líneas 7.1.4 Filtros peineta 7.1.5 conclusiones 7.2 El diagrama de Smith 7.2.1 Cálculo del coeficiente de reflexión 7.2.2 Cálculos de impedancias y admitancias 7.2.3 Cálculos para adaptadores de impedancias 8 Referencias 9 Bibliografía 9.1 Libros 9.2 Revistas 9.3 Sitios en la web 9.4 Software 3

1 Análisis de los problemas que se presentan al trabajar con altas frecuencias Cuando se trabaja en bajas frecuencias, es decir frecuencias menores a 1 MHz, es posible considerar los elementos con los que se trabajará como elementos ideales. Lamentablemente, al aumentar la frecuencia de trabajo ya no es adecuado seguir utilizando esta simplificación, y como resultado se producen extraños efectos en el comportamiento de los circuitos diseñados. Por ejemplo, al aumentar la frecuencia, los condensadores comienzan a comportarse como inductores, mientras estos últimos se vuelven condensadores. Hasta los simples cables se comportan de formas extrañas. Para entender estos problemas y tratar de evitarlos durante el proceso de diseño es necesario comprender el origen físico de ellos y de esa forma poder modelar adecuadamente los elementos a utilizar. 1.1 Los cables En general, los cables de cobre utilizados en electrónica presentan una pequeña resistencia dada por: R= l Aσ (1.1) Donde l es el largo del cable, σ la conductividad y A el área del cable por donde circula la corriente. Como la conductividad del cobre es 5.88E7 [S/m] es posible considerar que la resistencia de un cable de cobre es nula. Al aumentar la frecuencia la corriente empieza a circular solamente por los bordes del conductor (efecto pelicular) disminuyendo el área efectiva A por donde circula la corriente. Esto se traduce en un aumento de la resistencia por unidad de largo del cable. Por otro lado, cuando circula una corriente por un cable se genera un campo magnético alrededor de éste, el cual a su vez induce un campo eléctrico y por tanto una corriente en el conductor que se opone a la corriente original. Este efecto se conoce como auto inductancia y puede ser descrito como: [1] 4l L = 0.0046l * log 0.75 d (1.2) Donde l es el largo del cable y d es el diámetro del cable. Este efecto generalmente es muy pequeño, del orden de 1[nh/cm] de cable. El problema surge debido a que la impedancia del cable aumenta linealmente con la frecuencia. Es necesario destacar que el análisis realizado es para un cable dispuesto en línea recta. Claramente, el valor de la auto inductancia del cable varía con la disposición espacial de este. Finalmente, es posible modelar adecuadamente un cable como: Figura 1.1: Circuito equivalente de un cable Donde L representa el fenómeno de auto inductancia del cable y R es la resistencia del cable. Generalmente es posible despreciar R frente a L, pero siempre es necesario recordar su existencia. 4

1.2 Las resistencias Las resistencias también presentan los dos efectos nombrados para los cables (auto inductancia y efecto pelicular). Por otra parte, las resistencias típicamente usadas en electrónica de baja frecuencia se componen de material particulado. En altas frecuencias los pequeños granos de material se comportan como miles de pequeños condensadores, que pueden ser modelados por un condensador en paralelo a la resistencia. La magnitud de este efecto es muy variable, lo que imposibilita estimarlo adecuadamente. El circuito equivalente de una resistencia sería: Figura 1.2: Circuito equivalente de una resistencia 1.3 Los condensadores Los condensadores presentan también el fenómeno de auto-inductancia, debido a las uniones del condensador con el circuito. Estas uniones también presentan una cierta resistencia. Todos los condensadores presentan pérdidas en el dieléctrico. Generalmente estas pérdidas son del orden de 100.000 MΩ, por lo que pueden ser despreciadas tanto en baja frecuencia como en alta frecuencia. El circuito equivalente de un condensador sería de la siguiente forma: Figura 1.3: Circuito equivalente de un condensador Donde L y R representan respectivamente la inductancia y resistencia de las uniones del condensador con el resto del circuito, C es condensador propiamente tal y R representa las fugas en el dieléctrico. 1.4 Las inductancias El comportamiento de una inductancia en alta frecuencia es muy variable dependiendo del tipo de bobina que se esté considerando. Si consideramos una inductancia construida en base a un cable enrollado sobre un núcleo cilíndrico de aire veremos aparecer una serie de efectos. 5

En primer lugar aparece la resistencia propia del cable que se utilizó. Además aparece una serie de capacitancias parásitas entre una espira y otra, tal como se ilustra en la figura 1.4 Figura 1.4: Modelo físico de una bobina Finalmente, el circuito equivalente de este elemento quedara compuesto por condensadores, resistencias y una inductancia. Tal como se muestra en la siguiente figura: Figura 1.5: Circuito equivalente de una bobina 1.5. Problemas que surgen en alta frecuencia Un primer problema son las llamadas resonancias espontáneas. Todos los circuitos equivalentes antes analizados, se encuentran compuestos por resistencias, condensadores e inductancias. Los elementos parásitos, provocan la aparición de circuitos resonantes LRC no considerados en el diseño; generando comportamientos de filtro pasa banda o rechaza banda, y en casos de circuitos con componentes activos, es decir aquellos que presentan ganancias, se generan osciladores indeseados que pueden dañar el circuito. Estos comportamientos son llamados resonancias espontáneas y constituyen uno de los grandes problemas que se presentan al trabajar en Radio Frecuencias. Es absolutamente necesario ser cuidadosos en el diseño para que la frecuencia de operación no se encuentre en las cercanías de la frecuencia de resonancia de algún elemento. A modo de ejemplo veamos el caso de una resistencia. Considerando el modelo equivalente presentado anteriormente, se obtiene la siguiente impedancia equivalente para el elemento: Z= R 2 + ( jωl ) 2 (1 ω 2 LC ) + (ωrc) 2 (1.3) Se observa que para una frecuencia ω = 1 LC el denominador de la expresión anterior se vuelve mínimo alcanzando Z su valor máximo. 6

Para visualizar mejor este fenómeno se graficó el módulo de Z en decibeles, en función de la frecuencia; para distintos valores de R. Para ello se considero un condensador parásito de 1 [pf] y una inductancia de 1[nH]. En el mismo gráfico se incluyó la gráfica de una resistencia ideal de 10[Ω]. Figura 1.6: Comportamientos resonantes de distintas resistencias Salta a la vista la existencia de una frecuencia de resonancia dada por: f = 1 5[ GHz] 2π LC (1.4) En general se aprecian tres zonas de comportamiento; en primer lugar, para bajas frecuencias el módulo de la impedancia se mantiene constante tratándose de un comportamiento tipo resistencia. En una segunda zona la impedancia crece con la frecuencia lo que corresponde a un comportamiento tipo inductivo. Pasada la frecuencia de resonancia, la impedancia decrece con la frecuencia tratándose, entonces, de un comportamiento capacitivo. Se observa que el efecto de resonancia cobra mayor importancia para resistencias pequeñas. Como se aprecia en el gráfico, la resistencia de 100[Ω] se comporta relativamente bien hasta los 300[MHz]; en cambio, la resistencia de 1[Ω] tiene un comportamiento no resistivo en todo el espectro analizado. Es posible realizar un análisis similar para los otros elementos [1]. El segundo problema que surge al trabajar en altas frecuencias tiene que ver con una de las simplificaciones que normalmente se realizan para trabajar en electrónica. Es decir, que un elemento se presuponga concentrado. Para que esta aproximación sea valida se debe cumplir que el tamaño físico del elemento en cuestión sea menor que la longitud de onda en que se esta trabajando, en al menos un orden de magnitud. Considerando que la longitud de onda en el vacío de una señal de 10[GHz] es cercana a 3 [cm] se tiene que los elementos a utilizar deben ser de un tamaño menor a 1[mm]. En caso contrario, los elementos deberán ser tratados como elementos distribuidos. 7

Como se verá más adelante, esta limitación ha sido superada a través del desarrollo de elementos cada vez más pequeños para ser usados en RF (Radio Frecuencias). Esto ha sido posible gracias al desarrollo de nuevos materiales con excelentes características eléctricas. De todas formas, es claro que los cables y/o pistas de un circuito impreso deben ser considerados como elementos distribuidos y por tanto ser analizados como línea de transmisión y no como nodos. Como ayuda para esto se presentará un capitulo con un breve resumen acerca de líneas de transmisión. 8

2 Líneas de transmisión Como se expuso anteriormente, al trabajar con altas frecuencias las pistas de un circuito impreso o los cables que unen dos circuitos no pueden ser considerados como simples nodos, sino que deben ser tratados como líneas de transmisión. En el presente capítulo se presentará un resumen de los conceptos y fórmulas que es necesario manejar para entender satisfactoriamente los fenómenos que se presentan en electrónica de RF. Se utilizará un enfoque de circuito equivalente y no un enfoque basado en la teoría electromagnética. Para un análisis más profundo del tema se recomienda [2]; aunque los conceptos básicos se pueden encontrar en muchos libros, en particular en [3] [4]. 2.1 Ecuaciones de una Línea de transmisión En una línea de transmisión se presentan diversos fenómenos. El primero corresponde a la auto inductancia que presenta el cable y es representado por una inductancia por unidad de longitud L. El segundo efecto a considerar es la capacitancia de la línea respecto a tierra, que es representada por el condensador C. Finalmente es necesario considerar las pérdidas que se producen en la línea. Existen dos principales fuentes de pérdidas, el calentamiento de la línea representado por una resistencia serie R, y las corrientes de pérdida hacia tierra representadas por una admitancia G. Figura 2.1: Circuito equivalente por unidad de una línea de transmisión Al desarrollar las ecuaciones de voltaje y corriente se obtiene: V( X ) X I ( X ) X = ( R + j ωl ) I ( X ) (2.1) = ( G + j ωc)v( X ) (2.2) Realizando algunos reemplazos se obtiene la siguiente ecuación para el voltaje a lo largo de la línea: 2 V( X ) X 2 γ 2V( X ) = 0 (2.3) Donde γ corresponde a la constante de propagación de la onda y se define como: 1 γ = [ ( R + jωl )( G + jωc ) ] 2 (2.4) 9

La solución de la ecuación (2.3) para el voltaje corresponde a: V ( X ) = V + e γx + V e γx (2.5) Trabajando de forma similar las ecuaciones (2.1) y (2.2) se obtiene la siguiente solución para la corriente en la línea: I ( X ) = I + e γx + I e γx (2.6) Donde I+ e I- se relacionan con V+ y V- a través de Z0, la impedancia de línea de la siguiente forma: Z0 = V + V R + j ωl = = I+ I G + jωc (2.7) La solución de la ecuación para los voltajes se compone de dos ondas viajeras que se propagan por la línea, una de izquierda a derecha y la otra en sentido inverso. Estas ondas se propagan con una velocidad de fase dada por v fase = ω = fλ g. γ A continuación veremos qué sucede con estas ondas cuando la línea de transmisión es terminada en una discontinuidad, caracterizada por una impedancia Z al final de la línea. 2.2 Línea de transmisión terminada en una carga Si una línea de transmisión de largo L e impedancia Zo tiene conectada en su extremo final una carga ZL tal como lo indica la figura (2.2). Figura 2.2 Línea de transmisión alimentando una carga En este caso, parte de la onda incidente en la carga será reflejada. Se define el coeficiente de reflexión como la razón entre la onda incidente y la onda reflejada: Γ( X ) = V e γx V 2γx = e = Γ0 e 2γx γ x V+ e V+ (2.8) Donde Γ0 corresponde al coeficiente de reflexión en la carga, es decir x=0. Se define la impedancia a lo largo de la línea como el cuociente entre el voltaje y la corriente en un punto cualquiera de la línea: Z( X) = V( X ) I(X) (2.9) 10

Reemplazando las ecuaciones (2.5), (2.6) y (2.8) en (2.9), y considerando que la impedancia en x=0 tiene que ser igual a la impedancia ZL de la carga, se obtiene la siguiente expresión para el coeficiente de reflexión en la carga: Γ0 = ZL Z0 ZL + Z0 (2.10) Por otra parte la impedancia equivalente de la línea vista desde L será: Z in = Z ( L ) = Z 0 Z L + jz 0 tanh(γl ) Z 0 + jz L tanh(γl ) (2.11) Muchas veces es posible despreciar las pérdidas de la línea, luego la parte real de γ se puede considerar como cero. En este caso, la constante de propagación queda como: γ = jβ (2.12) Y la impedancia equivalente de la línea sería: Z in = Z 0 Z L + jz 0 tan( βl) Z 0 + jz L tan( βl) (2.13) La conclusión más importante de este desarrollo para las líneas de transmisión, es la necesidad de utilizar adaptadores de impedancia para conectar una carga a una línea. Si una onda que viaja por una línea de transmisión llega a una carga distinta a Z0 (la impedancia de la línea), una fracción importante de la potencia será reflejada hacia la fuente, mientras que otra fracción de la potencia será entregada efectivamente a la carga. Es claro que la máxima transferencia de potencia se logra cuando la impedancia de la carga es igual a la impedancia de la línea. Desarrollando las ecuaciones anteriores, se obtiene que la potencia transmitida a la carga en función del coeficiente de reflexión corresponde a: Pt = Pin (1 Γ 2 ) (2.14) Al trabajar con circuitos que operan en RF es necesario utilizar adaptadores de impedancia que impidan que la potencia entregada a la carga sea reflejada. En un sistema en régimen permanente se produce una onda estacionaria de voltaje. Si tratamos un poco la ecuación (2.5) llegamos a la siguiente expresión para el voltaje en la línea: 1 V( X ) φ 2 = V+ (1 + Γ ) 2 4 Γ sen 2 ( βx + ) 2 (2.15) Donde φ es el ángulo del coeficiente de reflexión Γ. Notemos que cuando no hay reflexión, es decir Γ=0, no existe onda estacionaria, o mejor dicho la amplitud de la onda es cero, y el voltaje en toda la línea es V+. A mayor reflexión mayor será la amplitud de la onda. Para visualizar este fenómeno se define la razón de onda estacionaria como el coeficiente entre el máximo y el mínimo voltaje existentes en la línea: VSWR = Vmax 1 + Γ = Vmin 1 Γ (2.16) 11

2.3 Parámetros S Para visualizar rápidamente las reflexiones y transmisiones de potencia que se producen en un sistema es conveniente trabajar con los parámetros S o de Scattering de dicho sistema. Los parámetros S permiten visualizar el comportamiento de una red de dos entradas en función de sus coeficientes de reflexión y transmisión. Figura 2.3: Los parámetros de Scattering Se definen matricialmente como: V1 S11 = V2 S 21 S12 V1+ S 22 V2+ (2.17) De la definición es claro que S11 es el coeficiente de reflexión del puerto 1 de la red, S22 es el coeficiente de reflexión del puerto 2. En cambi0 S12 y S12 son respectivamente el coeficiente de transmisión desde el puerto 1 al 2 y desde el 2 al 1. Considerando que la red no presenta pérdidas ni ganancias y dadas las definiciones de los coeficientes de reflexión t transmisión, se debe cumplir que: 2 S11 + S12 2 =1 y 2 S 22 + S 21 2 =1 (2.18) A partir de otras propiedades del sistema es posible determinar otras propiedades de la matriz, como por ejemplo la simetría, cuando estamos en presencia de un sistema simétrico. Esta definición es ampliable al caso de redes de más de 2 puertos [10]. Existen transformaciones que permiten a partir de la matriz S determinar los parámetro Z, Y o ABCD del sistema [21]. 2.4 La carta de Smith Otra herramienta útil para trabajar cómodamente las reflexiones de onda que se producen en RF es la carta de Smith. Esta es una herramienta gráfica ampliamente utilizada para realizar cálculos rutinarios que aparecen en el proceso de diseño en RF y Microondas. Fue inventada en 1939 por P.H. Smith, un ingeniero de los laboratorios Bell. 12

La matemática que dio origen a esta carta corresponde a lo siguiente: Se define la impedancia normalizada como Z Z=Z (2.19) = R + jx 0 Luego la expresión para el coeficiente de reflexión resulta ser [11]: _ Γ = Γr + jγi = Z 1 _ = Z +1 R + jx 1 R + jx + 1 (2.20) Despejando se obtiene: 2 R 2 1 Γr + Γi = R +1 R + 1 ( Γr 2 2 1 2 1 1) + Γi = X X (2.21) 2 (2.22) La ecuación (5) corresponde a un círculo en el plano Γ, centrado en Todos estos círculos son denominados círculos de resistencia constante. A su vez la ecuación (6) representa círculos centrados en R 1 y de radio. R +1 R +1 1 1 de radio. Estos círculos son X X de X constante. Al graficar estos círculos en el plano complejo Γ resulta la carta de Smith Figura 2.4: La carta de Smith. Dada la construcción de la carta de Smith resulta clara la facilidad para calcular coeficientes de reflexión a partir del valor de la impedancia normalizada de la carga. Al situar el valor de la carga en el plano de Smith es inmediato el valor del coeficiente de reflexión [12]. Por ejemplo en la figura (2.5) se ubicó el punto de impedancia normalizada 0.5+0.5j. El coeficiente de reflexión corresponde al vector que une el punto ubicado anteriormente con el centro del plano complejo Γ. 13

Figura 2.5: La carta de Smith En los anexos (7.2) se presentan en mayor detalle algunos ejemplos de utilización de la carta de Smith. 2.5 Líneas de transmisión acopladas Otra configuración especial con que generalmente se trabaja en circuitos de microondas son las líneas acopladas. Se dice que dos líneas están acopladas cuando se encuentran físicamente tan cerca, que se produce una interacción electromagnética no despreciable entre las dos líneas. Analizando desde un punto de vista de circuitos equivalentes, ésta interacción puede ser descrita por dos fenómenos principales [5]. El primero corresponde a la inductancia mutua entre las líneas. El campo magnético producido por una línea es enlazado, en parte, por la otra línea. Esto es descrito en el circuito equivalente agregando una inductancia mutua L12 y L21 en cada línea. Si la construcción física de las líneas es idéntica, es posible considerar el sistema como simétrico y por tanto los valores L12 y L21 serán idénticos. El segundo corresponde a la capacitancia que se produce entre los dos conductores aislados por uno o más materiales dieléctricos. Esto es considerado a través de un condensador C12 entre las líneas. Con estas consideraciones el circuito equivalente de las dos líneas acopladas resulta ser: Figura 2.6: Circuito equivalente de dos líneas acopladas 14

Resolviendo de forma similar a (2.1) se encuentra: 2V1 ( X ) X 2 + ω ( LC L12 C12 )V1 ( X ) + ω ( L12 C LC12 )V2 ( X ) (2.17) + ω ( L12 C LC12 )V1 ( X ) + ω ( LC L12 C12 )V2 ( X ) (2.18) 2 X 2 2 V2 ( X ) 2 2 2 Para resolver do forma simple estas ecuaciones se definen las siguientes variables: Ve = 1 (V1 + V2 ) 2 Vo = Reemplazando se obtiene: 2 Ve( X ) X 2 2Vo( X ) X 2 1 (V1 V2 ) 2 (2.19) (2.20) + ω ( L + L12 )( C C12 )V1( X ) 2 + ω ( L L12 )( C + C12 )V1 ( X ) 2 (2.21) Es notable que a través del cambio de variables sea posible encontrar dos ecuaciones desacopladas que se pueden resolver de forma separada, para luego reconstruir la solución original. Este método es denominado como el método de la solución par e impar. La ecuación (2.20) se denomina solución par y la (2.21) es la impar. Notemos que cada ecuación posee una constante de propagación distinta y una impedancia de línea distinta. El caso más utilizado en circuitos de microondas es el de una línea alimentada con un voltaje V, que se acopla con otra que se encuentra con un extremo a tierra. Es necesario, entonces, resolver ambos modos por separado y luego sumar las soluciones, tal como lo indica la figura siguiente. Figura 2.7: Método de las soluciones par e impar Con el fin de encontrar las soluciones para los voltajes en ambas líneas es necesario utilizar las transformaciones inversas a (2.19). 15

2.6 Líneas de transmisión planas (Planar Transmisión Lines) Hasta el momento, hemos tratado las línea de transmisión en forma bastante genérica, ahora veremos las líneas de transmisión más utilizadas en RF y microondas, que corresponden a las denominadas líneas planas. Se llama de esa forma a todas las L.T. que se componen de un conductor plano que se encuentra sobre un medio dieléctrico que aísla el conductor de un plano de tierra. Este tipo de líneas corresponde en la actualidad la base de los circuitos impresos para alta frecuencia (MMIC Monolithic Integrated Microwave circuits). Existen distintos tipos de líneas planas, destacando las líneas de microstrip, quizás las más utilizadas en la actualidad. 2.6.1 Microstrip Es la L.T. más utilizada en la construcción de circuitos impresos para microondas y RF. Se trata de una línea rectangular de cobre de ancho w y alto t, posada sobre un medio dieléctrico de espesor h. Bajo el medio dieléctrico se encuentra una placa de cobre conectada directamente a tierra. Figura 2.5: Línea de Microstrip Para determinar los parámetros de la línea de microstrip es necesario realizar un cuidadoso estudio Electro-Magnético del problema. Para ello, se asume que los campos se propagan en un modo TEM [4]; siendo rigurosos esto no es cierto, pues las ondas se propagan por un medio no simétrico, de todas formas es posible asumir que se trata de un modo casi-tem. Para tener una aproximación a los parámetros de la línea, es necesario resolver la ecuación de Laplace 2φ = 0, con las adecuadas condiciones de borde. Para frecuencias mayores a 1[GHz] este enfoque deja de ser una buena aproximación y es necesario resolver 2φ + k2φ = 0. Afortunadamente estos problemas están resueltos y es posible disponer de un set de ecuaciones que permiten encontrar los valores de W/h y εeff si se conoce Zo y εr o de forma inversa [6]. Los resultados de estas ecuaciones se encuentran tabulados, y por tanto es posible relacionar la impedancia de la línea con las dimensiones físicas de ella en forma rápida utilizando la Figura 2.6. 16

Figura 2.6: método gráfico para determinar la impedancia de una línea de microstrip. Imagen extraída de [6] También es posible encontrar software especializado que realiza estos cálculos en forma casi instantánea (Microwave Office). Los resultados obtenidos no varían significativamente al variar el alto t de la línea de cobre, de todas formas [3] propone ajustes a las fórmulas para considerar esta variable. Las ventajas que presenta la utilización de microstrip son numerosas; destacan su facilidad de construcción y su bajo costo respecto a otras tecnologías similares, además de que numerosas discontinuidades se encuentran caracterizadas, y por tanto, es posible utilizarlas sin necesidad de realizar largos y engorrosos cálculos. Otra ventaja es la facilidad para integrar elementos activos en el mismo substrato. Quizás una de las decisiones más importantes en el diseño de un circuito impreso de alta frecuencia sea la del substrato a utilizar. Actualmente existen una amplia variedad de materiales con constantes dieléctricas que van desde 2 hasta 15 εo otras variables a considerar son las propiedades térmicas del material y las pérdidas por corriente superficiales que presenta. En [4] [6] se encuentran tablas resumen de las propiedades de los materiales más utilizados hoy en día. 2.6.2. Guía de onda coplanar En la guía de onda coplanar, los planos de tierra están al lado del conductor en lugar de estar abajo como en la línea de microstrip. Una de las ventajas que presenta ésta configuración es la facilidad para realizar conexiones a tierra, conexión que en microstrip debe ser realizada a través de agujeros en el substrato. Una segunda ventaja es que presentan una inductancia por unidad de largo mucho menor que en el caso de las líneas de microstrip. Permitiendo, de esa forma, utilizar impedancias de líneas muy bajas, inalcanzables si se utiliza microstrip, pues las líneas deberían ser de un ancho infactible. Como desventajas presentan mayores pérdidas por dispersión y por corrientes a tierra. 17

Figura 2.7 Guía de onda coplanar 2.6.3 Stripline Es el tipo más antiguo de líneas planas. Fue inventado en los años 50. En este caso el conductor se encuentra entre dos planos de tierra, tal como lo indica la figura (2.8). Esto permite que el sistema sea simétrico y luego exista efectivamente un modo TEM. El gran problema que presenta es una mayor dificultad de construcción respecto al microstrip. La técnica más utilizada de construcción es realizar un proceso igual a la construcción de un microstrip para luego cubrirlo con una placa dieléctrica con un plano de tierra en su parte superior, igual a la que se utilizo como substrato para el microstrip. El resultado de este procedimiento es una especie de sándwich. Es necesario ser cuidadoso para que no queden burbujas de aire entre las placas. Figura 2.8: Stripline 18

3 Elementos pasivos utilizados en RF Como vimos anteriormente, al trabajar en RF o microondas, los componentes utilizados en bajas frecuencias presentan diversos tipos de problemas. Por lo tanto, para obtener buenos resultados en el diseño de circuitos de alta frecuencia, es necesario utilizar componentes especialmente diseñados para operar en esa frecuencia. Existen dos metodologías para elegir los elementos a utilizar, la primera de ellas consiste en seguir utilizando elementos concentrados, es decir, cuyo tamaño sea menor a una longitud de onda. La segunda es utilizar elementos distribuidos. La primera estrategia presenta la ventaja de utilizar elementos pequeños, permitiendo disminuir el tamaño del circuito a realizar. Además estos elementos presentan un mayor ancho de banda que los elementos distribuidos, es decir, se comportan como estaba planeado para un rango de frecuencias mayor que los elementos distribuidos. Como desventajas presentan mayores pérdidas al trabajar en altas frecuencias, además de mayores costos. Por lo tanto para circuitos de baja RF, se prefiere utilizar elementos concentrados, en cambio para altas frecuencias se prefieren los elementos distribuidos. En todo caso la solución más utilizada hoy en día es la de circuitos que utilizan ambos tipos de elementos. El desarrollo de este tipo de circuitos para trabajar en microondas ha sido posible gracias a las actuales técnicas fotolitográficas, que han permitido el desarrollo de elementos concentrados hasta los 60 [GHz]. Independiente del tipo de elementos que se utilicen, es imposible eliminar los elementos parásitos, pero es posible que los valores de estos sean muy pequeños y muchas veces despreciables, aún en altas frecuencias. 3.1 Elementos concentrados 3.1.1 Resistencias Las resistencias utilizadas RF y microondas son llamadas resitencias de film (Thin Film Resistor) y se construyen utilizando Nitrato de Tantalio (TaN) o nitrato de cromo (CrN) como material resistivo. Una ventaja que presentan estas resistencias es la facilidad para integrarlas al circuito, depositando el material sobre el substrato [30]. También es posible disponer de chips de resistencia conocida [31]. De todas formas es imposible eliminar totalmente la capacitancia parásita de estas resistencias, la que es causada por la interacción entre el material conductor y el dieléctrico utilizado como substrato. Una buena elección de éste ayuda a minimizar el efecto capacitivo; en los chips resistores se utiliza silicio, vidrio, cuarzo o alumina como materiales de substrato. De esta forma, es posible disponer de resistencias con condensadores parásitos tan pequeños como 0.01 [pf]. Por otra parte, para aplicaciones muy sensibles es posible encontrar chip resistores con una tolerancia del orden de 0.01. 19

Figura 3.1 Estructura interna de un chip resistor 3.1.2 Condensadores Básicamente, existen tres tipos básicos de condensadores: chips condensadores, condensadores interdigitalizados y condensadors MIM (Metal Insulate Metal). Los chips condensadores pueden tener una amplia gama de estructuras internas y por tanto muchas características eléctricas. Para utilizar correctamente el condensador, es necesario conocer los parámetros del circuito equivalente de éste, generalmente entregados por el fabricante. Para construir condensadores relativamente grandes, en un espacio reducido se utilizan materiales cerámicos de constantes dieléctricas de 100ε0 los que además casi no presentan corrientes de fuga. Para lograr condensadores pequeños se utilizan los condensadores realizados en microstrip, como los que se muestran en la Figura 3.2. Figura 3.2: (a)condensador interdigitalizado; (b) condensador de fin de línea Estas realizaciones distan de ser condensadores ideales. Por ejemplo, el condensador de fin de línea de la Figura 3.2(b) presenta dos capacitancias a tierra debido a la interacción entre el plano de tierra y el conductor de la línea. Además existe una inductancia debida al paso de corriente por el condensador. Circuitos equivalentes y ecuaciones de diseño para este tipo de estructuras se encuentran en [33]. Los condensadores MIM son utilizados en circuitos integrados para microondas, pues pueden ser fácilmente construidos sobre un substrato. Constan de una placa de metal sobre la que 20

se deposita una delgada capa de material dieléctrico, luego se deposita una placa de conductor, tal como se ve en la Figura 3.3 Figura 3.3: Condensador MIM, (a) esquema, (b)realización física Como materiales dieléctricos se utilizan SiO2 SI3N4, materiales que presentan una alta resistencia al paso de corriente, y por tanto, se puede decir que no tienen pérdidas [32]. 3.1.3 Inductancias La forma más simple de realizar una inductancia es a través de una línea de alta impedancia, de (2.7) sabemos que la impedancia de una línea sin pérdida viene dada por: Z0 = L C (3.1) Si esta impedancia es grande entonces L>>C y podemos considerar el segmento de línea como una inductancia. En la Figura 3.4 se muestra este tipo de inductancias realizada en una línea de microstrip. Figura 3.4: Línea de alta impedancia Otra implementación común de inductor realizado en microstrip corresponde a líneas ubicadas de tal forma que realizan un camino casi cerrado. El campo magnético inducido al interior de este camino será enlazado por el mismo conductor, produciéndose así un efecto inductivo. Un ejemplo de este tipo de inductores se muestra en la figura 3.5. Es posible encontrar ecuaciones de diseño para estos tipos de inductores en [34] Figura 3.5: inductor de 4 vueltas en Microstrip [33] 21

Para realizar inductancias más pequeñas es posible realizar espirales en doble nivel, es decir utilizar los dos lados de un substrato para realizar dos inductancias en serie, en el mismo espacio que ocuparía una sola [35]. 3.2 Elementos distribuidos Para altas frecuencias es preferible utilizar elementos distribuidos en lugar de elementos concentrados, pues es muy difícil construir elementos que sean más pequeños que un décimo de la longitud de onda de las señales de interés. La forma más común de realizar estos elementos es a través de segmentos de líneas de transmisión 3.2.1 Condensadores Para realizar un condensador se utiliza una línea de transmisión terminada en un circuito abierto. De la ecuación (2.12) sabemos que la impedancia de una línea de largo L terminada en una carga Z viene dada por: Z in = Z 0 Z L + jz 0 tan( βl) Z 0 + jz L tan( βl) (3.2) Si la línea esta terminada en un circuito abierto, entonces Z es infinito y por tanto la impedancia de entrada es Z in = jz 0 cot g ( βl) (3.3) Lo que corresponde a un condensador si βl<π/2. La ventaja de este método es que si consideramos que la línea es sin pérdidas, tenemos un resultado exacto, y por tanto se minimizan los efectos parásitos. El problema que se presenta es que β depende de la frecuencia, lo que implica que este tipo de elementos puede ser utilizado en un rango de frecuencias determinado. Para aumentar este rango se utilizan líneas radiales[36], como la ilustrada en la Figura 3.6. Lamentablemente, no existe una expresión exacta para la capacitancia de esta estructura. Figura 3.6: Línea radial como condensador 3.2.2 Inductancias Utilizando un método similar para analizar una línea de largo L terminada en un corto circuito se obtiene que la impedancia de entrada de la línea corresponde a: Z in = jz 0 tg ( βl) (3.4) Impedancia que corresponde a la impedancia de un inductor 22

4. Adaptadores de impedancia Anteriormente se discutió sobre la necesidad de utilizar adaptadores de impedancia para asegurar que toda la potencia disponible sea efectivamente transferida a la carga, y de esa forma evitar la existencia de ondas reflejadas en las líneas de transmisión. Vimos que la condición para lograr este objetivo es que la carga a conectar a la línea sea de la misma impedancia que Z0, la impedancia de línea. Muchas veces es necesario conectar cargas con impedancias mayores o menores a la de la línea, y para evitar las reflexiones es necesario utilizar adaptadores de impedancia. Un adaptador de impedancia es un bloque que se utiliza entre la carga y la línea que impide la reflexión. Esto se logra haciendo que la impedancia de la carga vista desde el adaptador sea igual a la impedancia de la línea, tal como se puede observar en la figura 4.1. Figura 4.1: Uso de un adaptador de impedancia En esta sección se analizarán algunas de las metodologías más comunes para construir adaptadores de impedancia. 4.1 Adaptador con elementos concentrados Consiste en agregar una serie de elementos, en paralelo y/o en serie, a la carga, de tal forma que la impedancia equivalente corresponda a la impedancia de la línea. Es conveniente agregar cargas de tipo inductivo y capacitivo que no consuman la potencia que se desea enviar a la carga. Figura 4.2: Adaptador con elementos concentrados 23

La impedancia equivalente vista desde la línea hacia la carga corresponde a: 1 1 Z eq = Z1 + + Z2 Z 1 (4.1) Para que no exista reflexión se deben escoger Z1 y Z2 de tal forma que Zeq =Z0. Para realizar los cálculos que determinan los elementos a utilizar, existe un método gráfico, en que se utiliza la carta de Smith[7]. En los anéxos se presenta un ejemplo de utilización de este método. Es necesario ser muy cuidadoso, pues al agregar condensadores e inductancias se está agregando un filtro pasa o rechaza banda, y por lo tanto se debe realizar el diseño de forma que la frecuencia de trabajo no sea atenuada por este circuito. Conviene utilizar este método sólo para bajas frecuencias (hasta 1[GHz]). Pues para frecuencias superiores los elementos concentrados disipan mucha potencia [8]. 4.2 Adaptador de cuarto de onda Es posible utilizar segmentos de línea como adaptador de impedancia. Una de las formas utilizadas es el adaptador de cuarto de onda. Para construirlo, se agrega un segmento de línea de largo L e impedancia Za entre la carga y la línea de transmisión. Figura 4.3: Adaptador de cuarto de onda Se desea que la impedancia equivalente vista desde el final de la línea de transmisión sea igual a Z0. Sabemos a partir de la ecuación (2.11) que esta impedancia viene dada por: Z in = Z a Z + jz a tan( βl) = Zo Z a + jz tan( βl) Si elegimos el largo de la línea igual a impuesta se cumple siempre que Za = Z0 R (4.2) λ π entonces βl = y por tanto la condición 4 2 (4.3) Este tipo de adaptadores presenta dos grandes desventajas. La primera es que solamente sirven para adaptar cargas de tipo resistivo, no obstante utilizando este método en conjunto con un adaptador de línea cerrada es posible adaptar todo tipo de cargas. 24

El segundo problema que se presenta, es que todos los cálculos realizados implican que la línea mide exactamente un cuarto de onda, por tanto, para frecuencias distintas a la frecuencia utilizada en los cálculos, el adaptador ya no sirve. Sucede que el coeficiente de reflexión es cero para la frecuencia central, pero a medida que la frecuencia se aleja más de esta el coeficiente se va volviendo más y más grande. Esto corresponde a un comportamiento tipo filtro pasa banda que es necesario estudiar para lograr un buen diseño del circuito. [9] presenta un completo desarrollo acerca del ancho de banda en que es posible utilizar este tipo de adaptadores. De todas formas, se concluye que este ancho de banda es muy angosto. Los adaptadores con líneas en circuito cerrado presentan el mismo problema. 4.3 Adaptadores con líneas en circuito cerrado Utilizando una configuración como la ilustrada en la siguiente figura es posible construir un buen adaptador de impedancia. Como se ve en la Figura 4.4, una línea de largo L1 terminada en la carga que se desea adaptar, se utiliza en paralelo con otra línea de largo L2, terminada en un circuito cerrado. Figura 4.4: Adaptador de línea cerrada. líneas; La admitancia de entrada, Yin, debe ser igual a la suma de las admitancias de ambas Yin = Y1 + Y2 (4.4) Utilizando la ecuación 2.11 tenemos que las admitancias de cada línea son: Y1 = Y0 Z 0 + jz tan( βl1 ) Z + jz 0 tan( βl1 ) Y2 = jy0 cot g ( βl2 ) (4.5) (4.6) Es posible escoger L1 y L2 de tal forma que Yin sea igual a la admitancia de línea Y0 [8]. 25

4.4 Adaptadores de impedancia y filtros Como se vio anteriormente los adaptadores de impedancia presentan un comportamiento tipo filtro. Recordemos que un filtro es un bloque que solamente permite pasar la potencia que se encuentra en un rango determinado del espectro. Las señales que se encuentran fuera de ese espectro serán reflejadas. Luego un filtro ideal tendría un coeficiente de reflexión nulo en la banda de trabajo y un coeficiente de reflexión igual a 1 fuera de esa banda. Una forma de realizar adaptadores de impedancia es utilizar un filtro pasa banda como adaptador. Esta alternativa presenta la ventaja de poder elegir el ancho de banda en que funcionará el adaptador de acuerdo a las necesidades de diseño que se presenten. Existen dos modelos de filtro que son generalmente utilizados como adaptadores, a ser, el filtro con saltos de impedancia y el de impedancia variable. Ambos serán estudiados en profundidad en la sección dedicada a los filtros. 26

5 Filtros en microondas 5.1 Estructuras resonantes Se dice que un sistema es resonante cuando presenta un comportamiento selectivo para algunas frecuencias. En electrónica los sistemas resonantes más utilizados son los circuitos LC, en los cuales la impedancia equivalente del circuito se vuelve cero o infinita para alguna frecuencia en particular. En realidad, todo sistema presenta pérdidas de energía lo que provoca un comportamiento un tanto distinto del esperado idealmente. Para medir la calidad de un resonador se utiliza el factor de calidad Q, definido como la razón entre la energía promedio almacenada por el resonador y la energía disipada por unidad de tiempo; cuando el resonador se encuentra trabajando en su frecuencia natural. Claramente este tipo de estructuras tienen mucha utilidad en electrónica, ya que pueden ser utilizados para construir filtros y osciladores. Al trabajar en microondas muchas estructuras pueden ser utilizadas como resonadores. Entre ellas destacan los cristales dieléctricos, los anillos de microstrip, o la utilización de líneas abiertas [19]. Figura 5.1: Ejemplo de estructura resonante, el anillo Por ejemplo un anillo de Microstrip [18] se comporta como un resonador. Al circular una corriente por la línea de transmisión se genera una onda de voltaje que debe cumplir con la condición de borde periódica, es decir: V( X ) = V( X + 2 Π R ) V( X ) x = V ( X + 2 Π R ) x (5.1) Esta condición de borde impone que: 2πR = nλ (5.2) Y por tanto la frecuencia central de este resonador viene dada por: f0 = nc 2πR ε reff (5.3) 27

Las ondas que no cumplan con esta condición serán atenuadas. El caso crítico corresponde a aquellas señales para las cuales λ=(2n+1)πr, pues la señales se sumarán en fase de 180, produciéndose entonces una atenuación total. En [18] se presenta un desarrollo para el encontrar el circuito equivalente, y para determinar el factor de calidad de este resonador. En general todas las estructuras periódicas presentan resonancia, por ejemplo la existencia de resonancias muy bien definidas en los cristales dieléctricos se debe a la estructura periódica en que se disponen los átomos del cristal. Estos cristales son ampliamente utilizados en el diseño de osciladores en RF y Microondas. Esta propiedad que presentan las estructuras periódicas es explotada para realizar filtros en el espectro de las microondas. Una de las metodologías más utilizadas consiste en instalar obstáculos idénticos distanciados por una distancia d al interior de una guía de onda. Como resultado, la señal que viaja por la guía de onda será filtrada en una frecuencia relacionada con la distancia d. En [20] se presenta un ejemplo de filtro con esta metodología implementado en un cable coaxial. En general, las estructuras presentan resonancia para una frecuencia f0 y para todos los múltiplos de esa frecuencia. Esto genera problemas con el manejo de las armónicas por parte de los filtros. Como ejemplo de este fenómeno, se presenta en la figura (5.2) una medición realizada por [19] para las resonancias de un anillo de Microstrip. Figura 5.2 Resonancias de un anillo de Microstrip. 28

5.2 Tipos de filtros frecuentemente utilizados: Chebyshev y Butterworth Existen dos criterios para construir un filtro. El primero es conseguir un filtro con una característica lo más plana posible (Maximally Flat). El segundo criterio es conseguir un filtro cuyo Riple sea mínimo (Equal Ripple). Los filtros construidos con la primera premisa son denominados filtros de Butterworth, mientras que los segundos son llamados filtros de Cebyshev. La diferencia entre ambos tipos de filtros se puede apreciar en la figura (5.2) donde se muestran dos filtros pasa-banda, construidos con las dos estrategias antes nombradas. Figura 5.3: Tipos de filtros, (a) Butterworth, (b)cebyshev. Es sabido que mientras mayor sea el número de elementos utilizados en la construcción de un filtro, mejor será su respuesta. Por eso el primer paso del diseño es definir cuál será la atenuación requerida en la banda de rechazo para de esa forma determinar cuantos segmentos deberá tener el filtro. Una vez definido el número de segmentos que tendrá el filtro, se busca en tablas los valores gk que tendrá el filtro. Estas tablas son posibles de encontrar en cualquier libro sobre el tema, en particular se recomienda [13], donde se presentan tablas bastante completas para el diseño de filtros y una explicación acerca de la construcción de estas tablas. Es necesario notar que los gk se encuentran normalizados respecto a una impedancia base, correspondiente a la impedancia de línea, generalmente 50[Ω]. Además g0 y gn+1 corresponden a las impedancias de la línea de entrada y la línea de salida, las que deben ser idénticas. A modo de ejemplo en la tabla 5.1 se presenta una tabla para construir un filtro tipo Butterworth. Tabla 5.1: Tabla para un filtro Butterworth 29

Para construir un filtro pasa bajos los elementos se deben disponer de la siguiente forma: Figura 5.4: Filtro pasa bajo Para construir filtros pasa altos, rechaza banda o pasa banda, los segmentos calculados para el filtro pasa bajos deben ser transformados utilizando las transformaciones mostradas en la tabla 5.2 [14]: Tabla 5.2: Transformaciones para el diseño de filtros Utilizando estas transformaciones un filtro pasa altos resulta ser de la forma indicada en la figura (5.6). Figura 5.5: Filtro pasa altos 30

En cambio, un filtro pasa banda es de la forma mostrada en la Figura5.7 donde los elementos Li y Ci son calculados a través de las fórmulas que se encuentran en la tabla (5.2). Figura 5.6: Filtro pasa banda Estos filtros pueden ser implementados a través de dos aproximaciones. la primera consiste en utilizar elementos concentrados. Este procedimiento es muy bueno para bajas frecuencias, pero, a medida que se aumenta la frecuencia, los elementos se vuelven cada vez más caros y, peor aún, el filtro debe ser realizado en un espacio cada vez menor para que pueda seguir siendo considerado como un elemento concentrado. Para altas frecuencias es recomendable usar el segundo enfoque, consistente en utilizar elementos distribuidos para realizar el filtro. A continuación se analizaran dos metodologías para realizar filtros con elementos distribuidos. 5.3 Filtros con saltos de impedancia [22] De (2.7) sabemos que la impedancia y la constante de propagación de una línea sin pérdidas viene dada por: Z0 = L C β = ω LC (5.4) Luego si Z0 es pequeño podemos deducir que C>>L por tanto podemos pensar en la línea como un condensador a tierra. La admitancia de este condensador vendrá dada por: BC = ωcd = βd Z0 (5.5) En cambio si Z0 es grande entonces L>>C, y podemos pensar la línea como una inductancia. La impedancia de la inductancia será: X L = ωld = βdz 0 (5.6) En ambas ecuaciones d corresponde al largo físico de la línea, pues los parámetros L y C se encuentran expresados por unidad de longitud. No obstante, utilizando esta metodología solamente es posible realizar filtros pasa bajos, ya que sólo se dispone de dos tipos de elementos: condensadores a tierra e inductancias serie. En la figura 5.7 se puede observar la implementación en microstrip de un filtro pasa bajos de tres segmentos utilizando esta técnica. Figura 5.7: Implementación en microstrip de un filtro Pasa Bajos 31

5.4 Filtros con elementos redundantes De la ecuación (2.12) sabemos que la impedancia de una línea de largo L terminada en una carga Z viene dada por: Z in = Z 0 Z L + jz 0 tan( βl) Z 0 + jz L tan( βl) (5.7) Si consideramos una línea de longitud igual a un octavo de onda, es decir βl=π/4, terminada en un corto circuito, Z=0; tenemos que la impedancia vista desde el origen será: Z in = jz 0 (5.8) Correspondiente a una inductancia. En cambio, si consideramos la misma línea pero terminada en un circuito abierto tendremos: Z in = jz 0 (5.9) Lo que es equivalente a un condensador. Utilizando estas transformaciones, también conocidas como transformaciones de Richard s es posible implementar filtros utilizando sólo segmentos de líneas, y con la ventaja de realizar aproximaciones menos burdas que en el caso anterior. El problema surge de la dificultad para implementar las líneas cerradas en posición serie. Para evitar ese problema se utilizan las identidades de Kuroda, las que permiten cambiar una inductancia serie por un condensador en paralelo agregando un elemento unitario U.E., generalmente una línea de transmisión de largo λ/8. Figura 5.8: Identidades de Kuroda Estas identidades son válidas sólo para elementos realizados con líneas de transmisión y no lo son para elementos concentrados. La demostración puede ser encontrada en [22]. Un ejemplo de diseño de estos filtros se encuentra en 7.1.4. 32

5.5 Filtros con secciones de líneas (Multisection quarter-wavelength transformers) Este tipo de filtros se construye utilizando N secciones de línea, cada una con una impedancia Zi y con un cuarto de onda de longitud. El coeficiente de reflexión del sistema viene dado por la suma de todas las reflexiones que se producen en las uniones de las líneas. Figura 5.9: Filtro de N líneas de cuarto de onda [10] presenta una detallada discusión acerca de la posibilidad de despreciar todas las reflexiones de segundo y tercer orden, luego nos quedamos con: N Γ = Γi e j 2 iθ (5.10) i= 0 Donde: Γi = Z i +1 Z i Z i +1 + Z i (5.11) Si se realiza un diseño simétrico, es decir Γi = ΓN-i, entonces se tiene que la expresión (3.7) puede ser simplificada resultando: Γ = 2e jnθ ( Γ0 cos( Nθ ) + Γ1 cos( N 2)θ +...) (5.12) Si θ=π/2 entonces el coeficiente de reflexión será cero, para frecuencias distintas θ será distinto a Π/2 obteniéndose un coeficiente de reflexión distinto de 0. Notemos que para la tercera armónica de la señal θ=3π/2, produciéndose cero atenuación para esa frecuencia. Eligiendo adecuadamente las impedancias Zi es posible crear filtros con las más variadas características. Para obtener un filtro de Butterworth debemos escoger las impedancias de línea Zi de forma tal que se cumpla: Γn = 2 N Z Z0 N C = ΓN n Z + Z0 n (5.13) Donde CnN = N! ( N n)! n! (5.14) Un completo desarrollo sobre este resultado se presenta en [10] Es posible realizar filtros tipo Cebyshev de la misma forma, pero las ecuaciones son mucho más engorrosas que las de un filtro plano [15]. 33

5.6 Filtros con impedancias variables (Tapered) Esta estrategia de filtros es similar a la anterior, pero la impedancia va cambiando en forma continua a lo largo de la línea, tal como se puede observar en la figura 5.6 Figura 5.10: Filtro de impedancia variable: El diferencial del coeficiente de reflexión debido a la diferencia de impedancia entre X y X+dX viene dado por: [16] Γ = ( Z + Z ) Z Z 1 = ln( Z ( X ) ) X ( Z + Z ) + Z 2Z 2 X (5.15) Cada una de estas reflexiones aporta al coeficiente de reflexión del sistema con: Γi = e j 2 βx Γ (5.16) Luego el coeficiente de reflexión del sistema es: Γ= 1 j 2 βx e ln( Z ( X ) ) X 2 0 X L (5.17) Finalmente conocida la función Z(X) Se conoce el coeficiente de reflexión del sistema. Los cálculos inversos son más complicados y se encuentran en [17] Tanto este último filtro como el anterior son ampliamente utilizados como adaptadores de impedancias, esto debido a la facilidad con que es posible implementarlos en Microstrip (figura 5.7). Figura 5.10: Adaptador de impedancia en microstrip Este tipo de estructuras son utilizadas, también para adaptar la impedancia del aire a la impedancia de una guía de onda. Por la forma que tienen se conocen como bocinas. 34